Обратные задачи для математических моделей механической и электрической систем звездообразной структуры Аксенова Зульфия Фильгатовна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Прямые задачи для математических моделей механической и электрической систем звездообразной структуры

1.1. Обзор литературы 11

1.2. Постановка задачи и моделирование диагностирования механической системы из струн

1.3. Решение прямой задачи. Поиск собственных частот механической системы из струн

1.4. О возможных дополнительных сериях собственных частот 21

1.5. Идентификация параметров механической системы по всем собственным значениям

1.6. Постановка задачи и моделирование диагностирования электрической сети

Глава 2. Диагностирование закреплений механических систем из струн методами численного моделирования

2.1. Метод выделения линейной подсистемы. 40

2.2. Метод двух нелинейных систем 43

2.3. Метод исключения лишних решений 46

2.4. Метод введения дополнительных неизвестных 51

Глава 3. Численные эксперименты по диагностированию параметров механической системы, оценка погрешностей полученных результатов

3.1. Сравнение метода нахождения собственных значений с численными экспериментами других авторов.

3.2. Сравнение собственных частот для однородной струны, рассматриваемой как геометрический граф, и непрерывной однородной струны .

3.3. Оценка погрешности численных экспериментов 66

3.4. Программа поиска сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа

Заключение 70

Список литературы

• Решение прямой задачи. Поиск собственных частот механической системы из струн
• Постановка задачи и моделирование диагностирования электрической сети
• Метод двух нелинейных систем
• Сравнение собственных частот для однородной струны, рассматриваемой как геометрический граф, и непрерывной однородной струны

Введение к работе

Актуальность темы. Настоящая работа актуальна для диагностики закреплений и нагруженности механических систем, проектирования виброзащитных систем, сохраняющих приборы от ударного воздействия, а также диагностики условий заземления электрических сетей на участках труднодоступных для визуального осмотра, и подбора условий заземления для обеспечения нужного спектра частот колебаний переменного тока. Близкие исследования проводились в работах, посвященных обратным задачам Штурма-Лиувилля, задачам идентификации краевых условий и задачам идентификации конечномерных операторов.

Обратные задачи Штурма-Лиувилля рассматривались в работах Марченко В.А., Левитана Б.М., Садовничего В.А. и др. Однако, эти задачи были заданы не на графах, а на интервалах. Прямые задачи для дифференциальных уравнений на графах изучались в работе Покорного Ю.В. и др. Обратные задачи для графов рассматривались в работах Юрко В.А. и др. специалистов по обратным спектральным задачам, однако в этих работах восстанавливались преимущественно коэффициенты дифференциальных уравнений, и для восстановления использовалось несколько спектров.

В настоящей работе восстанавливаются краевые условия для заданных дифференциальных уравнений. Для восстановления используется только один спектр или его часть – собственные частоты самой механической системы (колебания переменного тока электрической сети).

Обратные задачи идентификации краевых условий рассматривались в работах Ахтямова А.М., Ямиловой Л. С., Муфтахова А. В., Сафиной Г.Ф. и др., однако для геометрических графов были решены лишь обратные статические задачи и обратная задача идентификации жесткостей пружинок по собственным частотам (наличие присоединенных масс не рассматривалось).

Валеевым Н.Ф., Мартыновой Ю.В., Рабцевич С.А., Нугумановым Э.Р.и др. авторами рассматривались задачи идентификации конечномерных операторов, в том числе и краевых условий, заданных на графах. При этом решение оказывается неединственным, в том числе и для несимметрических систем. В данной работе для получения единственности несимметрических систем предложено использовать количество частот, большее, чем количество неизвестных.

Цель работы: Целью настоящей работы является исследование математических моделей механической и электрической систем звездообразной структуры, разработка методов диагностики закреплений и нагруженности тупиковых вершин геометрического графа из струн и условий заземления электрических сетей по собственным частотам колебаний.

В соответствии с поставленной целью формулируются и решаются следующие задачи:

1. Исследовать математические модели механической и электрической систем звездообразной структуры.

2. Разработать методы решения обратной задачи для идентификации параметров механической и электрической систем звездообразной структуры. Провести численные эксперименты предложенных методов решения обратной задачи

для идентификации параметров механической и электрической систем звездообразной структуры.

3. Исследовать вопрос о количестве решений в обратных задачах по идентификации коэффициентов жесткости пружинок и сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа по конечному набору собственных частот, а также ответить на вопрос, какие собственные частоты лучше использовать для такой идентификации.

4. Создать комплекс программ, позволяющий провести расчет собственных частот колебаний струнного графа, а также диагностировать параметры математические модели механической и электрической систем звездообразной структуры.

Методы исследования. В работе разработаны новые численные методы для решения задач идентификации коэффициентов жесткостей пружинок и сосредоточенных масс (параметров) на тупиковых концах струнного графа по конечному набору собственных частот колебаний. Использовались также методы решения систем нелинейных уравнений, теории дифференциальных уравнений, теории целых функций, теории обратных задач, вычислительной математики, математического анализа, линейной алгебры.

Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, обеспечивается математическими доказательствами теорем, сравнением полученных результатов разработанного численного алгоритма расчета собственных частот для идентификации параметров механической системы из струн с аналитическими решениями для модельных задач, а также результатами других авторов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Впервые проведено численное моделирование задачи диагностики закреплений, состоящих из пружинок и сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа, по конечному набору собственных частот свободных колебаний этого графа. Для идентификации коэффициентов жесткостей пружинок и значений сосредоточенных масс автором используется лишь часть спектра самой спектральной задачи. Такая постановка отличается от работ по коэффициентным обратным задачам Штурма–Лиувилля, в которых коэффициенты краевых условий идентифицировались вместе с коэффициентами дифференциальных уравнений, и для восстановления использовалось несколько спектров, или же спектр и дополнительные спектральные данные (функция Вейля, матрица Вейля, спектральная функция, весовые числа и т.п.) (п.1 паспорта специальности 05.13.18).

2. Впервые доказаны теоремы о количестве решений в обратных задачах для идентификации параметров струнного графа по конечному набору собственных частот, а также показана устойчивость этих решений. Показано, что для идентификации параметров лучше использовать первые собственные значения, иначе получаются системы с плохо обусловленными матрицами (п.2 паспорта специальности 05.13.18).

3. На основе доказанных теорем разработаны новые численные алгоритмы вычисления коэффициентов жесткостей пружинок и сосредоточенных масс на

тупиковых концах струнного графа. В отличие от известных методов идентификации (п параметров по п собственным частотам) предлагаемые подходы дают ответы на следующие вопросы: 1) какое число решений можно получить по всем собственным частотам; 2) какое минимальное количество собственных частот достаточно для получения этого числа решений. Найдены контрпримеры, показывающие, что трех собственных значений недостаточно для однозначной идентификации трех неотрицательных (физических) параметров mДh_i) (i = 1,2,3)

струнного (геометрического) графа, а шести собственных значений недостаточно для однозначной идентификации шести неотрицательных параметров m_i и h_i

(i = 1,2,3). Показано, что в этих случаях достаточно 4-х и 9-и собственных значений соответственно. Проведено сравнение результатов, результатов разработанного численного алгоритма расчета собственных частот для идентификации параметров механической системы из струн с аналитическими решениями для модельных задач, а также результатами других авторов (п.4 паспорта специальности 05.13.18).

4. Разработан комплекс программ, позволяющий провести расчет собственных частот колебаний струнного графа и электрической сети, а также позволяющий диагностировать параметры математических моделей механической и электрической систем звездообразной структуры. Проведена проверка адекватности результатов вычислительного эксперимента с помощью численной фильтрации (п.8 паспорта специальности 05.13.18).

Теоретическая и практическая значимость результатов. Полученные результаты позволяют создавать механические системы с заданным спектром колебаний, проектировать виброзащитные системы, сохраняющие приборы от ударного воздействия, а также проводить диагностику таких систем. Кроме того, они дают возможность диагностировать условия заземления электрических сетей, на участках труднодоступных для визуального осмотра, а также подбирать условия заземления для обеспечения нужного спектра частот колебаний переменного тока.

Положения диссертации, выносимые на защиту:

4. Математическая модель для диагностирования закреплений состоящих из пружинок и сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа.

5. Численные методы решения задачи диагностирования закреплений, состоящих из пружинок и сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа. Анализ численных экспериментов с помощью методов многокомпонентной фильтрации.

6. Алгоритм и комплекс программ в среде Maple для численного расчета собственных частот колебаний струнного графа, а также для диагностирования закреплений, состоящих из пружинок и сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на всероссийских и международных конференциях:

VI Международная школа-конференция Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании, Уфа, 9-13 октября 2013 г.;

Конференция, посвященная 100-летию Левитана Спектральная теория и дифференциальные уравнения, Москва, 23–27 июня 2014 г.;

VII Международная школа-конференция Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании, Уфа, 12-16 октября 2014 г.;

Всероссийская научная конференция Обратные краевые задачи и их при-ложения, посвященная 100-летию со дня рождения проф. М.Т. Нужина, Казань, 20-24 октября 2014 г.;

XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Казань, 20-24 августа 2015 г.;

научный семинар лаборатории «Механика твердого тела» Института механики Уфимского научного центра РАН

научный семинар отдела «Математическая физика» Института математики с вычислительным центром РАН

научный семинар Башкирского государственного университета по обратным задачам теории колебаний;

научный семинар Башкирского государственного университета по обратным задачам в науке и технике

Диссертационная работа выполнена при поддержке гранта №2561 «Развитие теории решения прямых и обратных задач математической физики и ее приложения» в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности. Номер госрегистрации: 01201456405(рук. В.Н. Кризский, 2014–2016 гг).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, из которых 4 работы размещены в журналах, входящих в перечень Высшей аттестационной комиссии Министерства образования и науки Российской федерации. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад автора. В совместных работах А.М. Ахтямову принадлежит постановка обратных задач. Автору принадлежит анализ поставленных задач, разработка численного метода решения прямых и обратных задач, результаты вычислительных экспериментов, создание комплекса компьютерных программ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и приложения. Полный объем диссертации 85 страниц, список литературы содержит 131 наименование.

Благодарности. Исследования, представленные в диссертационной работе, проведены под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ахтямова Азамата Мухтаровича, которому автор выражает глубокую признательность и благодарность за научные консультации, внимание и помощь, оказанные при выполнении работы.

Решение прямой задачи. Поиск собственных частот механической системы из струн

Техническая диагностика стала важной для людей, с того момента как появилась техника. Процессы, протекающие в механизмах и в двигателях, являются источником шума и вибрации [31, 62, 81, 84]. Вибрации же повышает усталость работников, делают рабочее место менее комфортным, а также отрицательным образом сказываются на здоровье человека. Колебания и вибрации в различных механизмах могут вызвать погрешности в работе машин или устройствах, увеличить износ и заметно понизить их надежность. Среди специальных методов борьбы с вибрациями: к объекту присоединяют ударные гасители колебаний, с целью изменения его вибрационного состояния. Поэтому, на сегодняшний день, интенсивно развивается акустическое диагностирование, решающее задачи оперативного контроля технических конструкций, по собственным частотам их колебаний [92].

Виброакустическая диагностика - наука, изучающая возможности распознавания характеристик машин, механизмов, узлов или агрегатов, иными словами, это вибромониторинг, включающий методы неразрушающего контроля (без механического вмешательства). Подобные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют немало приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Интерес к данной тематике непрерывно возрастает благодаря появлению все новых приложений, и в настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире. Дифференциальные операторы на графах часто возникают в естествознании и технике [38, 67-75]. Прямые спектральные задачи решались в работах [48-49, 51, 65-66, 119]. Решались также и обратные спектральные задачи (см., например, [32-33, 36-37, 40-41, 61, 76, 105-106, 118]), в том числе на графах [64, 97-103]. Однако значимым отличием этих работ, от данной, является то, что коэффициенты дифференциальных уравнений и краевых условий восстанавливаются не по части спектра, а по нескольким спектрам и (или) по некоторым другим спектральным характеристикам (например, функция Вейля, спектральная функция, весовые числа). К тому же, основной целью этих работ является восстановление коэффициентов в уравнении, а не в краевых условиях.

Работы [45-47] направлены на изучение задач граничного управления колебательными процессами, т.е. в таких задачах изучается управление движением одного из концов струны при закрепленном втором конце. При исследовании в данной работе, считается, что закреплением на каждом из концов механической системы из струн управлять возможности не имеется. Идентификации краевых условий спектральных задач по собственным значениям в механических и электронных системах посвящены работы [11-19, 29-30]. В [35] восстанавливались коэффициенты граничных условий оператора Штурма – Лиувилля по всему спектру (а не по конечному набору собственных частот).

Обратные задачи идентификации краевых условий рассматривались в работах Ахтямова А.М., Ямиловой Л. С., Муфтахова А. В., Сафиной Г.Ф. и др. [11-13, 15-19, 24-30, 63, 96, 123], однако для геометрических графов были решены лишь обратные статические задачи и обратная задача идентификации жесткостей пружинок по собственным частотам (наличие присоединенных масс не рассматривалось).

Валеевым Н.Ф., Мартыновой Ю.В., Рабцевич С.А., Нугумановым Э.Р.и другими авторами [35, 64] рассматривались задачи идентификации конечномерных операторов, в том числе и краевых условий, заданных на графах. Однако эти работы посвящены обратным задачам для конечномерных операторов, для восстановления параметров которых используется столько собственных частот сколько и неизвестных параметров. При этом решение оказывается неединственным, в том числе и для несимметрических систем. В данной работе для получения единственности несимметрических систем предложено использовать количество частот, большее, чем количество неизвестных. Таким образом, представленное исследование данной работы отличается от перечисленных выше работ как по постановке, так по методам решения поставленных задач.

Постановка задачи и моделирование диагностирования электрической сети

Таким образом, рассмотренная нами вторая серия собственных чисел может быть только в двух случаях: первый, когда выполняются условия (1.19) и (1.20), и второй, когда выполняются условия (1.15), (1.16), (1.21), которые не могут выполняться при / 2 /?3 или /и2 ф т3 . В первом случае имеем возможно решение (1.18 h1 и т1 - любые неотрицательные числа, h2 = /23 = h, ТП2=Щ =т . А во втором случае имеем только два собственных значения, по которым находится бесконечное множество (континуум) краевых условий. Следовательно, вторая серия не является информативной: мы получаем бесконечное множество (континуум) краевых условий.

Аналогичная ситуация возникает и с другими сериями собственных значений. Случай, когда и с = 0, и все с2 0, возможен только когда h1 = h2 = /23 = h, m1 = m2 = /773 = m .

Поэтому в дальнейшем при решении обратной задачи мы будем рассматривать только первую серию (случай СФ0). Будем также считать, что нам известно, что рассматриваемые собственные частоты принадлежат именно первой серии (случай с 0).

Далее будем рассматривать только случай и = 3. Система уравнений (1.6) при s = s/c (к = 1,2,...) является нелинейной относительно неизвестных hj (1 : = 1, 2,3 ) и nij(i = 1,2,3 ). И если для определения а) 6 неизвестных параметров hj и ntj использовать также 6 собственных значений, то помимо диагностируемых данных окажутся и другие лишние решения.

Для выявления минимального количества решений (шестерок неизвестных параметров А.(/ = 1, 2,3 ) и ти,.(/ = 1, 2,3 )) был применен аналитический метод целых функций. Метод целых функций был применен, исходя из того, что характеристический определитель представляет собой целую функцию порядка . Метод основан на том, что такие функции (а значит, и характеристические определите 25 ли) восстанавливаются с точностью до ненулевого постоянного множителя по своим нулям (собственным значениям краевой задачи). Поскольку числитель (1.10) представляет собой конечную сумму, слагаемыми в которой являются линейно независимые функции, то это позволяет получить теоремы о количестве решений поставленной задачи а) по всему бесконечному набору собственных зна-чений[17, 60]. Этот метод полезен и для предварительного анализа и позволяет понять какое минимальное количество решений в задаче а) можно получить с помощью собственных частот. Покажем что это число для задачи а) равно 6. Условимся задачу (1.1)-(1.4) в дальнейшем называть задачей L. Ниже приводится теорема показывающая, что коэффициенты жесткостей пружинок hj и сосредоточенные массы /и, восстанавливаются с точностью до перестановок закреплений (пар (hj ,/w7-)) на тупиковых вершинах местами.

Пусть qi{x) = q{xi). Без ограничения общности докажем теорему в случае qi(x)=q(xi) и 1г=1 = 1 (в случае, различных qt(x) итоговый результат не будет отличаться, так как различие состоит в том, что в асимптотиках вместо V(XJ ) надо писать VJ(XJ), а окончательный результат от VJ(XJ) не зависит, так как главные части в асимптотических разложениях функций z1(xhs) и zi2{xhs) не содержат Теорема 1.1. Если /,- =/, qi(xi)=q(xi), то коэффициенты жесткостей пружинок hj и сосредоточенные массы /и, восстанавливаются с точностью до перестановок закреплений (пар (hj,mj)) на тупиковых вершинах местами по всем собственным значениям. Доказательство: Для определенности докажем теорему для случая, когда все константы краевых условий hj и rrij (hj и различны, т.е. удовлетворяют неравенствам: h1-h2 0; k1-h3 0; h2-h3 0; т1-т2 0; т1-т3Ф0; т2-т3Ф0. (1.22) Приведем (1.14) к общему знаменателю (знаменатель отличен от нуля, ина че имели бы с=0) и приравняем числитель к нулю. Сгруппировав в числителе вы ражения при переменных хх = hx + h2 + h3 ; х2 = т\ + т2 + т3; Задачу L, но с другими коэффициентами в краевых условиях будем обозначать через L. Всюду будем считать, что если некоторый символ обозначает объект из задачи L, то символ с волной наверху - обозначает аналогичный объект задачи L .

Итак, пусть собственные значения задачи іиГ совпадают. Покажем, что в это случае выполняются равенства: функцией того же порядка. Собственные значения Лк суть нули целой функции Д(Л) [68, с.29]. Аналогично Лк суть нули целой функции Цл). По условию теоремы собственные значения спектральных задач L и L совпадают, а значит, совпадают нули функций Д(Л) и Д(Я). Следовательно, по теореме Адамара А(Л) = СА(Л) (Напомним, что целая функция Д(я) порядка /7 представляется в форме

Метод двух нелинейных систем

Однако на практике более удобен другой метод численного моделирования - метод двух нелинейных систем, основанный на поиске решения двух систем, у которых количество неизвестных и количество уравнений совпадают.

Метод двух нелинейных систем - основывается на пересечении совокупности решений двух систем уравнений, у которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений. Т.е для отыскания mj(hj)(i = 1, 2, 3): сначала решается система (1.10) главы 1 при к= 1, 2,..., п-1, п, т.е. без (п+1)-го уравнения. Затем система (1.10) решается при к= 1, 2,..., п-1, п+1, т.е. без «-го уравнения, при этом каждая система будет иметь п! решений (в нашем случае п = 3). Пересечение множеств полученных решений является искомым. Этот метод основан на том, что, как показывается ниже, число решений задач идентификации неизвестных параметров в краевых условиях по всем собственным частотам совпадает с числом решений задач идентификации неизвестных параметров в краевых условиях по 4 (п+1) собственным частотам.

Пример 2.2. Пусть известны четыре собственных значения =0,9419374, s2 = 1,6738488, s3 = 1.8763382, s4 =2.6350993. Требуется найти значения масс mt (/ = 1, 2, 3), причем длины струн равны Ц = / = 1(7 = 1, 2, 3), и коэффициенты жесткости пружин hx = 1, h2 = 2, h3 = 3 .

Итак, предлагаемые численные алгоритмы выделения линейной подсистемы и метод нелинейных систем позволяет ответить на вопрос: какое минимальное число собственных значений достаточно для однозначной идентификации mi {hi)

Из теоремы 1.1. главы 1 коэффициенты жесткостей пружинок hi и сосредоточенные массы mi восстанавливаются с точностью до перестановок закреплений (пар (hi,mi)) на тупиковых вершинах местами по всем собственным значениям. Покажем, что для отыскания 6 неизвестных параметров можно использовать не все собственные частоты, а лишь 9 из них, как показано ниже в контрпримере 2, 6 собственных значений недостаточно. Предлагаемый метод основан на теореме 1.1, где при доказательстве использовалось 9 уравнений. Для получения этих 9 уравнений будем использовать 9 собственных частот. Для простоты изложим метод для случая q(xi) = 0.

Контрпример 2. Приведен контрпример, показывающий, что шести собственных значений недостаточно для однозначной идентификации шести неотрицательных параметров геометрического графа (значений масс mi (i = 1, 2, 3) и коэффициентов жесткости пружины hi (i = 1,2,3)).

Помимо решения {h1 = 1.9999999, h2 = 1.0000000, h3 = 3.0000000, m 1 = 0.4999999, m2 = 0.4000000, m3 = 0.6000000} краевой задачи L есть еще близкое решение {h1 = 2,0144732, h2 = 1.0069301, h3 = 2,9621874, m 1 = 0,4841141, m2 = 0,4107170, m3 = 0,6033221} имеющее вполне реальный физический смысл. Проверим это решение с помощью решения прямой задачи, повысим при этом поря док значащих цифр до 20.

Собственные значения при проверке близкого к исходному решению Собственные значения исходного решения s1 := 0.9419374 s1 := 0.9419374 s2 := 1.6738487 s2 := 1.6738487 s3 := 1.8763382 s3 := 1.8763382 s4 := 2.6350993 s4 := 2.6350993 s5 := 3.7588639 s5 := 3.7588639 s6 := 5.1462313 s6 := 5.1462313 s7 := 6.5831714 s7 := 6.5813183 Первые 6 собственных частот совпадают с точностью до 19 значащих цифр (ввиду громоздкости результаты приведены с точностью до 7 значащих цифр), а седьмое - только до 3 значащих цифр (т.е. отличается).

Вывод: шести собственных значений не достаточно для восстановления 6 параметров с точностью до перестановок закреплений местами.

При решении задачи а) (поиске 6 неизвестных параметров) в методе целых функций сначала решались первые 6 уравнений. Из них находились 36 наборов решений. Затем с помощью 3 других уравнений исключались лишние. В результате оставались 6 решений.

Модифицированная система (1.14) главы 1, позволяет по 9 собственным значениям одновременно восстановить и значения сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа, и значения коэффициентов жесткости пружины с точностью до перестановок.

Так как легче решать уравнения, когда число неизвестных совпадает с числом переменных, поэтому берем девять собственных значений по числу неизвестных X1,X2,...,X9. Ниже приведен пример для графа из трех одинаковых однородных струн 11 = /2 = /3 = 1. Пример 2.3. Пусть sj = 0.5351947; s2 = 0.7209194; s3 = 1.7077687; s4 = 3.2007785; s5 = 4.7562883; s6 = 6.3122330; s7 = 7.8802149; s8 = 9.4440742; s9 = 11.0142911 являются собственными значениями краевой задачи L и длины струн h = h= /j=1. Требуется найти hh h2, h3, mh m2, m3. Решая систему линейных уравнений (1.14), получим Х! = 6.0001245,х2 = 11.0002292, JCJ = 6.0001258, х4 = 15.0002729, JC5 =74.0013465, JC6 = 120.0021835, х7 = 58.0011800,х8 = 51.0010534, х9 = 138.0027133.

Сравнение собственных частот для однородной струны, рассматриваемой как геометрический граф, и непрерывной однородной струны

Для однозначной идентификации сосредоточенных масс лучше использовать первые собственные значения. Использование в качестве данных восстановления собственных значений с большими номерами еще не гарантирует высокой точности восстановления сосредоточенных масс на концах тупиковых вершин струнного графа, ввиду того, что соответствующая матрица системы уравнений может оказаться плохо обусловленной.

Приведенные выше методы идентификации сосредоточенных масс для случая п = 3 справедливы и для произвольного п.

Итак, для получения нужного (меньшего) числа решений при восстановлении трех параметров требуется использовать четыре собственных значения, а при восстановлении шести параметров - девять.

В данной главе будет показано, что результаты вычислений собственных значений предложенных в данной работе хорошо согласуются с известными методами. Также проведено сравнение собственных частот для однородной струны, рассматриваемой как геометрический граф, и непрерывной однородной струны. Проведена оценка погрешностей полученных результатов.

Предложенный метод вычисления собственных значений в параграфе 1.3 главы 1, основанный на разложении в ряд линейно независимых решений более удобен для решения обратной задачи отыскания краевых условий, так как методы регуляризованных следов [48,49], конечных разностей не позволяют решить нашу задачу. Далее показано, что результаты вычислений собственных значений по предложенной модификации метода разложения в ряд хорошо согласуются с известными методами.

Штурма-Лиувилля:-У + 2ху = Лу, j/(0)= 0,У(1)= 0. Вычисляя собственные значения методом описанным в параграфе 1.3 главы 1 получены следующие результаты: = 3.59692, s2 = 23.51765.

Эти результаты сравнены с решением задачи по методу Коллатца Л. [54, 112]. Этот метод заключается в построении общего решения в виде ряда оо У= X апхП , что при подстановки для у дает: п=0 оо [-(« +1)(« + 2)ап+2 + (2и - Л)ап]хп = 0. Далее приравнивается к нулю каждый п=0 член в квадратных скобках и получают рекуррентную формулу относительно яи+ = сіп. Затем используя краевые условия вычисляются собст п+2 (и + 1)(и + 2) венные значения. Представлены следующие результаты: = 3.59692, s2 = 23.518 [54, c. 422-423; 112]. Как видно, результаты хорошо согласуются. Все утверждения, теоремы и примеры представленные в работе справедливы для случая п ребер-струн.

Так же было проведено сравнение результатов вычисления собственных значений предложенных в данной работе при п = 4 (число ребер-струн) с численными результатами, представленными в работе Покорного Ю.В. и др. в задаче “струнного креста” [75, с. 34-36], где результаты хорошо согласуются.

Сравнение собственных частот для однородной струны, рассматриваемой как геометрический граф, и непрерывной однородной струны.

Показано, что результаты по вычислению собственных значений, с помощью математической модели, описывающей геометрический граф из струн предложенной в работах [68-76], хорошо согласуются и с результатами вычислений собственных частот однородных струн. Ниже показано для разных условий закрепления концов струн(ы), что если рассматривать обычную струну как граф из струн, то собственные частоты не изменятся [4].

Случай свободных концов. 1А. Случай свободных концов струны. Граф из двух струн. Рассмотрим граф G из двух однородных струн. Длина каждой струны ж. Будем считать, что обе струны лежат в одной плоскости, и связаны в общей точке О. Через у ) и у2(х2) обозначим отклонения от состояния равновесия струны, то есть вертикальные смещения в ортогональном направлении относительно плоскости начального расположения. Соответствующие амплитудные колебания при собственном колебании струны должны быть собственными функциями для следующей задачи: