Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современное состояние и перспективы развития экспертных систем 11
1.1. Исходные положения 11
1.2. Экспертные системы искусственного интеллекта 18
1.3. Экспертно-статистические методы оценивания 29
1.4. Цель и основные задачи исследования 38
Выводы 40
Глава 2. Теоретическое обоснование экспертно статистических методов 42
2.1. Экспертное пространство 42
2.2. Статистические свойства экспертных оценок 45
2.3. Критерий согласованности экспертной группы 55
2.4. Ортогонализация векторов оценок 66
2.5. Комплексный показатель качества 75
В ы воды 79
Глава 3. Математические модели и алгоритмы экспертного оценивания 82
3.1. Параметрические гипотезы экспертных оценок 82
3.2. Рефессионный анализ комплексного показателя качества 90
3.3. Категоризация данных в экспертных системах 98
3.4. Установление однородности качества радиотехнических приборов и устройств на основе критерия знаков 104
В ыводы 110
Глава 4. Технология экспертного оценивания 114
4.1. Основные этапы технологии экспертизы 114
4.2. Методика численного эксперимента 120
4.3. Процедура экспертного анализа 132
Выводы 142
Заключение 145
Библиографический список
- Экспертные системы искусственного интеллекта
- Статистические свойства экспертных оценок
- Рефессионный анализ комплексного показателя качества
- Методика численного эксперимента
Введение к работе
Актуальность темы исследования. При приобретении нового радиотехнического прибора или устройства этом быть учтен целый ряд характеристик (показателей, признаков). Некоторые из признаков носят количественный характер, другие признаки являются качественными и поэтому не могут быть выражены количественно и носят оценочный характер:
Кроме того, очевидно, что все технические характеристики неразрывно связаны с ценой изделия. Поэтому потребитель должен выбирать приобретаемый радиотехнический прибор, исходя из компромисса: качество -цена. Научно обоснованным подходом к выбору приемлемого радиотехнического прибора, в случае необходимости учета большого количества взаимосвязанных характеристик, является экспертный подход.
В теории и практике применения экспертных систем известно два основных направления: 1) системы, основанные на создании базы знаний и применении методов искусственного интеллекта; 2) системы, использующие базы данных и методы математической статистики.
Экспертные системы искусственного интеллекта имеют ряд
принципиальных недостатков: процессы разработки экспертной системы очень
длительны и дорогостоящи; для создания полноценной базы знаний требуется
привлечение очень большого количества экспертов и др. В связи с
изложенным, в работе исследуется другой класс экспертных систем,
основанный на применении методов математической статистики, т.е.
программы, которые создаются максимум за 1 — 2 года и требуют для
своего функционирования небольшой группы экспертов.
Вместе с тем, в теории и практике статистических экспертных систем существует ряд нерешенных проблем, которые требуют своего исследования: оценка согласованности группы экспертов, определение минимально достаточного количества экспертов, методика планирования экспертизы и др.
Необходимость разрешения этих и других вопросов теории статистических экспертных систем оценки характеристик радиотехнических приборов обуславливает актуальность выбранной темы.
Цель и задачи работы. Целью работы является математическое моделирование экспертно-статистических систем, разработка и исследование методов статистической экспертной оценки, разработка основных этапов экспертной технологии и методики численного анализа основных показателей радиотехнических устройств.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:
На основе исследования современного состояния и перспектив развития экспертных систем обосновать выбор варианта экспертно-статистической системы и принципы планирования экспертного эксперимента.
Провести теоретическое обоснование предлагаемого экспертно-статистического метода на основе введения понятия экспертно-вероятностного пространства, понятия идеального наблюдателя, анализа статистических свойств экспертных оценок, нового критерия согласованности оценок.
3 I
Разработать и исследовать математические модели и алгоритмы экспертного оценивания на основе анализа параметрических гипотез, применения регрессионного анализа и алгоритмов категоризации данных, критерия знаков, критерия Вилкоксона.
На основе проведенных исследований сформулировать основные этапы технологии экспертного оценивания, разработать методику численного эксперимента и программное обеспечение.
Методы исследования. Для решения перечисленных задач в диссертационной работе были использованы методы теории вероятностей, математической статистики, функционального анализа, теории информационных систем.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
Предложен и обоснован новый метод статистического экспертного анализа, основой которого являются: представление мнений экспертов векторами в многомерном пространстве признаков; гипотеза о существовании идеального наблюдателя; введение комплексного показателя качества, учитывающего влияние признаков и функцию цены.
Введен новый критерий согласованности группы экспертов на основе принадлежности векторов их оценок «шару» в многомерном пространстве признаков и определение минимально достаточного количества экспертов путем вычисления обобщенной дисперсии выборки.
3. Минимизация требуемого количества экспертов с учетом
коррелированности их векторов оценок, использованием теоретико-
информационного подхода и процедуры ортогонализация векторов оценок.
4. Исследования статистических свойств векторов оценок и их
характеристик, проверки простых и сложных гипотез относительно величины
оценок, применения линейной и нелинейной регрессии в установлении
зависимости комплексного показателя качества от цены.
5. Обоснование целесообразности применения и исследование
дополнительных аналитических процедур: алгоритмов категоризации данных,
критерия знаков, критерия Вилкоксона.
6. Новый метод планирования экспертизы на базе введенного понятия
«куб экспертного эксперимента», разработка технологии проведения
экспертизы, методики численного эксперимента и программного обеспечения.
Практическая значимость работы определяется комплексом проведенных исследований, позволивших создать новую методику планирования экспертного эксперимента с различными вариантами усреднения: по множеству экспертов, по множеству признаков, по множеству объектов. Разработана детализированная технология проведения экспертизы, методика численного эксперимента и программное обеспечение в двух вариантах: как для простых задач экспертизы, так и для сложных и ответственных задач.
Результаты работы внедрены в НИР Концерна «Созвездие», ФБУ,
ЦИТО УФСИН России по Воронежской области, а также в учебный процесс Воронежского института МВД России и Воронежского института ФСИН России.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на Всероссийской научно-практической конференции «Охрана, безопасность и связь-2007» - Воронеж, ВИ МВД, 2007; на IX Всероссийской научно-технической конференции «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования» - Тамбов (27 - 28 апреля 2009 г.); на 5-ой Международной заочной научно-практической конференции «Составляющие научно-технического прогресса» - Тамбов, ТГТУ (29 - 30 апреля 2009 г.); на 7-ой Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Инновационные технологии и экономика в машиностроении» - Юрга, Юргинскии технологический институт (филиал) Томского политехнического университета (21-22 мая 2009 г.).
Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 14 печатных работ.
Экспертные системы искусственного интеллекта
Кроме того, эти определения не пригодны для другого класса экспертных систем, основанных не на искусственном интеллекте, а на применении методов математической статистики. Воспользовавшись методами семантических объединения и суперпозиции, предложим более общее определение экспертной системы, как охватывающее все перечисленные выше определения, так и учитывающие специфику математико-статистических систем: «Компьютерная программа или набор программ, способных в диалоге с экспертами выполнять экспертизу и обосновывать рациональные управленческие решения, основанных на методах искусственного интеллекта и (или) математической статистики».
При создании экспертных систем искусственного интеллекта область информационных технологий, целью которой является накопление и применение знания не как объекта обработки их человеком, но как объекта обработки их на компьютере, называется «инженерия знаний» (knowledge engineering). Для обработки знаний на компьютере необходимо проанализировать знания и особенности их обработки компьютером, а также разработать их машинное представление. Технологии накопления, суммирования и использования знаний являются составными частями общей технологии обработки знаний [31].
Как было отмечено выше, экспертная система - это программа, которая ведет себя подобно эксперту в некоторой, обычно узкой, прикладной области [ПО]. Экспертная система должна уметь объяснять свои решения пользователю, так же, как это делает эксперт-человек. Это особенно необходимо в областях, для которых характерна неопределенность, неточность информации (например, в медицинской диагностике, маркетинге, менеджменте, диагностике неисправностей технических устройств и т.д.). В этих случаях способность к объяснению нужна для того, чтобы повысить степень доверия пользователя к советам системы, а также для того, чтобы дать возможность пользователю обнаружить возможный дефект в «рассуждениях» системы.
Приведем ряд примеров успешно функционирующих экспертных систем в различных предметных областях [23]: 1. «Экспертная система диагностики бронхиальной астмы у детей» разработана ЦОС и ВТ МФТИ. Система функционирует на персональном компьютере и взаимодействие с пользователем организовано в режиме диалога. Скорость ответа на вопросы пользователя такова, что с ней можно работать в реальном времени. Система включает базу знаний и программы, реализующие следующие основные функции: 1) ведение диалога с пользователем; 2) поиск решающих правил в базе знаний и вывод на их основе логических заключений; 3) проверка ответов пользователей с точки зрения их совместимости; 4) объяснение получаемых системой заключений (диагнозов); 5) подробного отчета о логической работе экспертной системы. Группировка качественных признаков (жалобы, осмотр, анамнез и т.д.) была использована в качестве основы для декомпозиции общей задачи диагностики на подзадачи, в рамках которой эксперт делал предварительные заключения. Эти подзадачи объединены в древовидную структуру, при последовательном проходе по которой снизу вверх осуществляется постепенное формирование решающих правил. Знания в системе управления базой знаний представлены с помощью проекций (набора условий в виде правил типа «если - то».
Еще одним примером экспертной системы медицинской диагностики является система «Лонгитюд» — это ассистент специалиста (психолога, педагога, врача), работающего в сфере индивидуального сопровождения развития детей. Разработка ЭС «Лонгитюд» ведется на факультете психологии СПбГУ. 2. Экспертная система логического распознавания «ЭкСиЛор» разработанная в Минском объединенном институте проблем информатики, основывается на идеях моделирования проблемных областей в конечномерном пространстве дискретных признаков. Ее можно настраивать на конкретную предметную область, перечисляя имена существенных признаков и их значений и настраивая таким образом математическую модель. Правила представляются в форме секвенций «если - то», запретов или дизъюнктов и вводятся в систему экспертом либо выводятся индуктивно из данных. Они же используются в дедуктивных процедурах вычисления значений целевых признаков у распознаваемых объектов. Сфера ее применения включает в себя, в частности, диагностику технических систем или устройств.
Полный цикл решения задачи логического распознавания в сис-теме «ЭкСиЛор» предусматривает следующую последовательность процедур: 1) построение признакового пространства (определения состава распознающих признаков и их возможных значений); 2) получение представительной выборки данных; 3) проведение индуктивного вывода, позволяющего на основании информации о данных выборки выявить закономерности функционирования объекта или процесса; 4) реализация дедуктивного вывода, на основании которого строится логическое заключение о возможных значениях неизвестных признаков; 5) формируются рекомендации эксперту.
3. Экспертная система «RoadExpert» предназначена для решения задач по расследованию дорожно-транспортных происшествий, их моделированию и анализу. На данный момент выбрана схема реализации системы, по которой шаблонно созданы задачи, охватывающие до 90 % всех дорожно-транспортных происшествий. Классификация дорожно-транспортных ситуаций и выбор задач осуществлялся на основе опыта профессиональных экспертов и статистики происшествий. Итогом работы «RoadExpert» является полный формализованный отчет со всеми схемами и пояснениями, касающимися конкретного ДТП.
4. Экспертная система «eXponent Customs Payments» предназначена для решения всех вопросов, связанных с таможенными платежами. Начиная с середины ноября 2003 в ряде таможенных органов РФ осуществляется внедрение современной комплексной автоматизированной системы таможенного оформления «АИСТ-М», применяемой при таможенном оформлении и таможенном контроле транспортных средств и товаров. Составной частью данной системы и является . «eXponent Customs Payments». В основе упомянутой системы лежит база знаний. В ее состав входят связанные между собой нормативно-правовые акты, экспертные методики и схемы начисления таможенных платежей, рекомендованные и одобренные ГТК РФ. Система «eXponent Customs Payments» предоставляет средства для работы с электронными копиями таможенных документов. На основании содержащейся в них информации экспертная система может подготовить юридически обоснованное заключение, в котором будут перечислены имеющиеся ошибки в начислении платежей и предложены правильные решения.
Статистические свойства экспертных оценок
При проведении статистического эксперимента предполагается, что элементы множества X (оценок) введенного нами экспертного пространства О, Е, X обладают следующими свойствами: 1) взаимно независимы; 2) имеют одинаковые функции распределения F(x).
Выполнение первого условия почти очевидно. При тщательном подборе группы экспертов и исключении фактора «экспертной власти» оно может быть обеспечено.
Выполнение второго условия требует обоснования. В первом приближении оно обеспечивается подбором экспертной группы из условия согласованности мнений экспертов. Одним из известных способов достижение этого требования в случае ранговых статистик является использование особой меры согласованности - коэффициента конкордации [46]. В нашей ситуации, когда ранжирование не используется, необходимо применять другие критерии, которые будут рассмотрены далее.
Поэтому, в начале исследования, мы временно отвлечемся от обоснования идентичности F(x) для всех элементов х є X и предположим, что это условие также выполняется. Рассмотрим статистические свойства получаемых при этом экспертных оценок.
Обозначим: 0 - неизвестный параметр распределения (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.д.). В теории больших выборок в качестве оценки для 0 выбирается статистика t = t (х lt х 2, х „), вычисляемая по выборке точно таким же путем, как 0 вычислялось по генеральной совокупности [45]. Например, выборочное среднее =7l /s (2.2.1) /=i считается оценкой для генерального среднего (т.е. математического ожидания). Используя элемент вероятности d F(x) , определяемый интегралом Стилтьеса, рассмотрим случай генеральной совокупности (нормальное распределение с единичной дисперсией): dF(x) = (2л-) 2 ехр-\{х-в)2рх. (2.2.2) Можно показать, что после п независимых экспериментов вероятностный элемент распределения статистики t имеет вид dF(t) = (n/27r) Qxp-%(t-e)2\lt, (2.2.3) т.е. выбираемая в качестве оценки для 0 статистика t распределена нормально со средним 0 и дисперсией 1/ п .
В последнем распределении (2.2.3) оценки t выборочное среднее равняется истинному значению параметра 0, а при возрастании объема п выборки точность оценки увеличивается. Определим качественно смысл термина «точность оценки». Это означает, что дисперсия статистики t убывает с увеличением объема выборки со скоростью не менее 1/ п , а математическое ожидание t либо совпадает с 0 , либо отличается от него на величину А0 , которая также убывает пропорционально 1/ п .
Как известно из монографий по математической статистике [45, 49], при любых способах получения оценок необходимо выяснить их основные статистические свойства: состоятельность, степень смещенности, эффективность и достаточность. В начале мы будем интересоваться только двумя основными параметрами распределения: выборочным средним и выборочной дисперсией. Следующие характеристики (коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса) основаны на использовании выборочных моментов третьего и четвертого порядков. Их свойства рассмотрим далее, при определении степени отклонения распределения экспертных оценок X от нормального. Применимость выборочных моментов более высоких порядков в экспертной практике нецелесообразна.
Состоятельность. Оценка t п , вычисленная на основании выборки объема /7 из пространства X экспертных оценок, является состоятельной оценкой для 0, если для любых сколь угодно малых є и т] существует число N такое, что Р {/„ -в\- є} -\-гі , n N. (2.2.4) Иначе говоря, оценка / „ должна сходиться к Э по вероятности. Рассмотрим наиболее важный для нас случай [10], когда под 0 понимается математическое ожидание а распределения оценок экспертов. В предположении нормальности распределения элемент вероятности описывается выражением (2.2.3) при 0 = а . Поэтому величина (/ - a)yjn распределена нормально с нулевым средним и единичной дисперсией. Согласно {2.2А), нас интересует вероятность \tn — а\ - є. Умножим левую и правую часть последнего неравенства нал/« и получим тождественное неравенство (tn - a)yjn\ Єліп . Учитывая условие нормировки )dF{t) = 1, из последнего неравенства следует, что для любого є можно найти такое п , что это неравенство будет выполняться.
Рефессионный анализ комплексного показателя качества
Можно показать, что в этих условиях введенная мера количества информации является симметричной функцией относительно получения оценок /-ым и /-ым экспертами: I[xij x!i) = I[xij xij) J = 1 2 - т (2.4.8) и поэтому называется взаимной информацией. Это легко объяснимо, поскольку мы еще не выделяли ведущего эксперта и поэтому оценки каждого из них равноправны. В предельном случае, когда оценка Хц достоверна и однозначно определяет оценку Ху, апостериорная вероятность р\х \ Ху ) = 1, а взаимная информация достигает максимума l{xij)=-\ogp(xij). (2.4.9) В экспертных приложениях это может относиться к оценке количественных признаков, поддающихся точному измерению. Величина 1\Ху) называется собственного информацией оценки х у-го признака. Собственная информация всегда положительна, поскольку р\Ху) є [0,l]. Взаимная информация может иметь как положительные, так и отрицательные значения. Она положительна, когда вероятность совместного наблюдения двух оценок Xj- и Хц больше, чем если бы эти оценки были статистически независимыми. Она может быть отрицательна, если эксперты имеют противоположное мнение.
До сих пор речь шла об оценке одного у-го признака двумя экспертами. Если учитываются оценки всех членов экспертной группы, возможно определение полного среднего количества взаимной информации в множестве \xjjj оценок каждого 1-го эксперта относительно множества \х{Л оценок каждого / -го эксперта. Оба этих множества являются подмножествами множества X экспертного пространства (2.1.1): I(,)cl; X{i)czX. (2.4.10) Тогда полное среднее количество взаимной информации в множестве оценок Х относительно множества оценок Х 1 определяется как /(X V(")= ±±Р{ %Р{Х""(]\т) (2.4.11) /=1 /=1 P\Xim )
Как видим, теоретико-информационные представления оказываются полезными при раскрытии вероятностно-статистической сущности процесса экспертизы. В частности, они позволяют обосновать полученный нами ранее вывод об уменьшении дисперсии оценок при учете коррелированности мнений экспертов. Умножим числитель и знаменатель в формуле (2.4.7) на р\Ху ) /( „; „)= log p[xMxij) , (2.4.12) откуда, с учетом определения собственной информации, получим % )=Ф/у)+Ф/у)-Д /у)- (2.4.13) Формула (2.4.13) показывает, что собственная информация произведения событий Ху Ху, заключающегося в совместном получении оценок Ху,Хц, равна количеству информации, необходимому для определения первой оценки, плюс количество информации, необходимого для второй оценки, минус количество взаимной информации между этими двумя оценками.
С позиций теории информации этот результат подтверждает наше утверждение о том, что оценка нового эксперта добавляет к предыдущим оценкам лишь некоторые изменения, величина которых зависит от степени коррелированности оценок экспертов по т признакам.
В связи с полученными результатами возникает задача преобразования исходного пространства оценок в такое пространство, в котором бы следующие оценки были линейно независимы от предыдущих. В связи с этим уточним понятие линейной независимости. Элементы пространства признаков xn,xi2,...,xim называются линейно независимыми, если из равенства Хххп + Х2хп + ... + Хтхш = 0 (2.4.14) следует, что все вещественные числа X = 0 для у/. Если, наоборот, существуют такие не все равные нулю числа X:, что по-прежнему выполняется условие (2.4.14), то упомянутые элементы считаются линейно зависимыми. В последнем случае любой элемент xt можно представить в виде линейной комбинации других элементов пространства X. Действительно, пусть например X 5й 0. Тогда этот элемент представим в виде
Последний результат имеет для нас гораздо большее практическое значение, чем трудно проверяемое условие (2.4.14). Выполнение его означало бы, что некоторый эксперт с точностью до коэффициента, характеризующего его предрасположенность к высоким или низким оценкам, доставляет оценки, не содержащие новой информации. Такого эксперта следовало бы исключить из состава группы на этапе проверки согласованности.
В гильбертовом пространстве случайных величин второго порядка или в вероятностном пространстве Р 2 над евклидовым пространством т 1 т « ч мерных векторов /2 понятию линейной независимости соответствует понятие некоррелированности. Возникает важная теоретическая задача преобразования пространства коррелированных векторов оценок экспертов xn,xi2,...,xim, / = 1,2,...,/7 в пространство некоррелированных, т.е. линейно независимых векторов [8]. Для решения этой задачи предложим использовать процедуру ортогонализации Грама-Шмидта [58].
Рассмотрим вначале применение этой процедуры к выборочному пространству, т.е. пространству I вещественных w-мерных векторов. Первым этапом процедуры ортогонализации является построение ортогональной системы элементов jx,- j по исходной системе линейно независимых оценок экспертов {Л;,}, а вторым этапом - построение ортонормированной системы Положим х{ = jCj и будем искать второй элемент х2 ортогональной системы в виде X 2 j X,1 , ГДЄ X 2! = (х2 , xf- j/ Xj1, Xj1), вычитая тем самым из элемента х2 ту его часть, которая является проекцией элемента X! . Согласно методу математической индукции, если часть элементов її Xj ,...,х , уже определена, следующий элемент 1=1 где А =(xcrxj-)/(x xl-).
Для выяснения смысла процедуры ортогонализации рассмотрим следующий числовой пример. Векторы, представленные на рис.2.3.2, приближенно имеют следующие координаты: х{ = (3,3) ; х2 = (5,3) ; х3 = (l,l) ; х4 = (4,2). Воспользовавшись формулой (2.4.16), получим два ортогональных векторах, = (3,3); х2 = (l,-l). Попытка формального получения третьего вектора не дает результатов: третий вектор х3 оказывается нулевым. Поиск других ортогональных векторов не имеет смысла, поскольку в двумерном пространстве ортогональных векторов может быть только два. Представим полученные результаты графически (рис.2.4.2).
Методика численного эксперимента
В качестве объектов, для которых необходимо определение однородности, могут выступать различные радиотехнические приборы (спутниковые телефоны, мобильные телефоны, телевизионная и компьютерная техника, приборы охранно-пожарной сигнализации, радиостанции и т.д.). При этом в качестве признаков могут выступать как технические, так и экономические характеристики приборов, т.е. задача носит комплексный технико-экономический характер. Следуя терминологии 40 ст. Налогового кодекса РФ [71], сравнивая различные приборы и устройства, мы зачастую будем называть их обобщающим понятием «товары».
Для проверки гипотезы об однородности технических средств, предложим использовать свободный от распределения процедуры математической статистики критерий знаков [45,12].
Пусть для оценки однородности двух товаров выбрано т - признаков: х{1\х2\...,х% - для первого товара; x,(2),x 2),...,x 2) - для второго. Для критерия знаков ситуации: х,0) х 2) (3.4.1) приписывается знак «+», или +1, а ситуации 103 JC,0) xl2) (3.4.2) - знак «-», или -1. В том случае, если соответствующие признаки могут быть сопоставлены количественно, это просто неравенства. Если же признаки носят качественный характер, под символами « » или « » в формулах (3.4.1), (3.4.2) понимается «лучше» или «хуже». Если в качестве статистики критериев выбрать среднее арифметическое, то для однородных товаров она будет распределена около нуля.
Так называемый критерий знаков для значения квантили непрерывного распределения был, по-видимому, первым из когда-либо использовавшихся свободных от распределения критериев, но современный интерес к нему берет начало с работ Кокрэна В. и Смирнова В.Г. Предположим, что функция распределения наблюдений есть F(x) и что F(XP) = p (3.4.3) так что Хр есть /?-квантиль этого распределения, т.е. значение, ниже которого лежит 100/? процентов распределения. Для любого/?, 0 /? 1, значение , есть характеристика положения распределения. Мы хотим проверить гипотезу Я0: Хг=х0 (3.4.4) где хо - некоторое заданное значение. (Если для удобства принять XQ за начало отсчета, то мы хотим проверить равенство Хр нулю.)
Если имеется выборка из п наблюдений, то мы знаем, что выборочная функция распределения будет сходиться по вероятности к функции распределения наблюдений. Отметим соотношение между порядковыми статистиками хщ, х@), -, (П) и гипотетическим значением Хр, подлежащим проверке. Сосчитаем, сколько наблюдений в выборке попадает ниже х0, т.е. образуем статистику S = (x0 - ())=5 ( о - ,) (3.4.5) 1, z 0, О, z 0. где h(z) = 104
Статистика S считает число положительных значений среди разностей (хо-х,), и поэтому критерий, основанный на S, называется критерием знаков. Сразу видно, что S имеет биномиальное распределение, поскольку S есть сумма п независимых наблюдений над (0 - 1) - случайной величиной h(xo - х) с P{h(x0-x) = l} = P{x x0}. Обозначим Р{х хп} = Р. Тогда гипотеза (3.4.4) сводится к Я0: Р = р, (3.4.6) и мы просто проверяем гипотезу о биномиальном параметре р. Нас могут интересовать односторонние или двусторонние альтернативы к (3.4.6).
Если мы больше ничего не знаем относительно функции распределения F(x), то интуитивно очевидно, что мы не можем получить ничего лучшего, чем S, в качестве статистики критерия, и мы находим из биномиальной теории, что для односторонней альтернативы Я, : Р р критическая область, состоящая из больших значений S, является равномерно наиболее мощной (РНМ), а для двусторонней альтернативы Я2 : Р р двусторонняя критическая область является равномерно наиболее мощной несмещенной (РНМН).
В наиболее важном для практики случае, когда Р = 1/2 и мы проверяем медиану распределения, мы имеем для S симметричное биномиальное распределение и РНМН критическая область против гипотезы Н2 симметрична.
Таким образом, при малом объеме выборки п таблицы биномиального распределения достаточны как для определения размера критерия знаков, так и для определения его мощности против любого конкретного альтернативного значения р, а следовательно, и его функции мощности для альтернатив Н\ или Н2. Когда п возрастает, сходимость биномиального распределения к нормальному позволяет нам сказать, что (S - пр) /{пр(\ - р) имеет стандартное нормальное распределение. Если мы пользуемся поправкой на непрерывность, то это сводится к замене \S — пр\ на S — пр \ —1/2 при условии выполнении критерия.
В случае медианы, когда мы проверяем гипотезу Р = \/2, сходимость к нормальности настолько быстрая, что здесь, скорее всего, вовсе не потребуются специальные таблицы, поскольку нам нужно только сравнить значение л " (3.4.7) — щ 2 2 с подходящим стандартным нормальным отклонением. Приближенная мощность критерия знаков также легко устанавливается с помощью нормальной аппроксимации. Пренебрегая поправкой на непрерывность, указанной в (3.4.6), поскольку она мала при больших выборках, мы видим, что критической областью одностороннего критерия для Р-ХІ1 против Р \12 является S -n + dt,—nU2, где da — подходящее нормальное отклонение для критерия размером а.
