Введение к работе
Актуальность темы
Компьютерное моделирование физических систем является важным современным инструментом теоретических и прикладных исследований, роль которого непрерывно возрастает с развитием вычислительной техники, математических и численных методов. В теоретических исследованиях роль компьютерного моделирования обусловлена растущей сложностью математических моделей, точное решение которых, как правило, невозможно, как и качественное аналитическое исследование без дополнительных упрощений модели, не всегда адекватных исследуемой проблеме. В этой ситуации компьютерное моделирование может предоставить важную информацию о свойствах и поведении исследуемой системы в тех или иных конкретных условиях, которая затем может быть использована для конструирования приближенного математического описания решений. В экспериментальных исследованиях роль компьютерного моделирования, вероятно, еще более значительна. Во-первых, экспериментальные исследования современных физических проблем весьма дороги, и в этой связи предваряющее эксперимент моделирование исследуемой физической системы может существенно сузить область экспериментального поиска. Во- вторых, во многих случаях экспериментальные измерения носят косвенный характер, и для интерпретации результатов таких измерений информация, получаемая в результате моделирования, может оказаться очень важной. В-третьих, в некоторых случаях оказывается возможным применить численное моделирование для расчета параметров элементов систем (например, волноводов, антенн и т.п.), что опять-таки позволяет сократить расходы на проектирование и разработку таких систем, связанные с изготовлением многочисленных опытных образцов и измерением их параметров.
Следствием важной роли численного моделирования в физических исследованиях и инженерии стало создание большого числа программных систем для моделирования (таких, например, как коммерческие пакеты HFSS или МicroWave Office [1, 2] для моделирования широкого класса электродинамических и радиотехнических систем, или свободно распространяемый пакет OOMMF [3], разработанный одной из лабораторий Американского национального Института Стандартов (NIST) для моделирования микромагнитных систем). Разработан также целый ряд пакетов (типа MATLAB или MATCAD), предназначенных для пользователей, не являющихся профессионалами в численных методах и программировании,
но стремящихся самостоятельно заниматься численным моделированием. Кроме того, существует целый ряд коммерческих организаций (таких например, как ANSOFT), предоставляющих услуги как по разработке программ для численного моделирования, так и непосредственно по проведению численных экспериментов в интересах заказчика.
Другим следствием роста важности численного моделирования является необходимость разработки новых численных методов для эффективного решения новых задач, а также математическое обоснование новых и существующих методов. Такое обоснование также приводит к повышению качества и надежности результатов моделирования. Математическое исследование численных алгоритмов включает как анализ традиционных проблем, связанных c аппроксимацией, устойчивостью и сходимостью, так и изучение свойств конечномерных моделей уравнений математической физики и сопоставление их со свойствами этих уравнений. Математические модели физических процессов как правило формулируются в терминах операторов в бесконечномерных пространствах, в то время как численное моделирование всегда имеет дело с конечномерными объектами. Даже математически корректное определение конечномерных аппроксимаций исходных бесконечномерных объектов требует серьезного математического аппарата [4, 5, 6]. Анализ аппроксимаций показывает, что, во- первых, их конструкция очень неоднозначна, и, во-вторых, даже с учетом сходимости конечномерные аппроксимации могут не обладать существенными свойствами исходной модели. Например, многоточечные аппроксимации оператора Штурма-Лиувилля, как правило, являются несамосопряженными конечномерными операторами. Еще одним важным примером является задача аппроксимации калибровочно-инвариантных операторов, возникающих, в частности, при моделировании сверхпроводящих систем. В этом случае требуется, во-первых, определить, что такое калибровочное преобразование в конечномерной модели, и, во-вторых, построить аппроксимацию, обладающую этим свойством. Заметим, что и в этом случае ни порядок аппроксимации, ни ее сходимость не связаны непосредственно с калибровочной инвариантностью.
Актуальность представленной работы обусловлена, с одной стороны, важностью как для фундаментальных, так и для прикладных исследований методов и программ моделирования и расчета конкретных физических систем (электромагнитных, оптических и сверхпроводящих волноводов, магнитных наноструктур), а с другой стороны, новизной и перспективностью развитых методов численного моделирования волновых процессов в таких системах. Выбор конкретных физических систем, для моделирования которых развивались предлагаемые методы, продиктован за-
дачами, связанными с основными направлениями научной тематики Института физики микроструктур РАН.
Цели и задачи диссертационной работы
Целью диссертационной работы являлась разработка новых и адаптация существующих численных методов и алгоритмов для моделирования волновых процессов в различных низкоразмерных физических системах (электродинамических и квантовых кусочно-однородных волноводах, тонких сверхпроводящих пленках, квазиодномерных и двумерных распределенных джозефсоновских контактах, системах магнитных наночастиц, оптоволоконных световодах), математическое обоснование этих методов, необходимое для контроля достоверности результатов моделирования, а также применение разработанных методов в программах моделирования таких систем в условиях, приближенных к экспериментальным.
Основными задачами диссертационной работы являлись:
-
Разработка математически обоснованных численных методов расчета различных характеристик кусочно-однородных волноводных структур, в том числе маломодовых металлических кусочно-однородных электродинамических волноводов, используемых в системах связи, оптоволоконных световодов и квантовых систем - мезоскопических сверхпроводящих цилиндров, соединенных с нормальными металлическими проволоками.
-
Разработка и обоснование новых эффективных методов численного моделирования динамики вихревых конфигураций в низкоразмерных мезоскопических сверхпроводящих структурах - сверхпроводящих пленках сложной геометрии, квазиодномерных и двумерных джозефсоновских системах - с учетом влияния внешних электромагнитных полей.
-
Разработка численных методов и алгоритмов моделирования распределений намагниченности в микромагнитных системах и их магнито- силовых изображений, в том числе в решетках магнитных диполей и системах взаимодействующих магнитных наночастиц, находящихся во внешнем магнитном поле, с учетом влияния конечной температуры.
Научная новизна и практическая значимость
Представленные в диссертационной работе исследования выполнялись в рамках проектов РФФИ (в том числе, под руководством автора работы), программ Президиума РАН, грантов ИНТАС и международных контрактов.
Научная новизна работы состоит в следующем:
-
-
В рамках абстрактной математической модели кусочно-однородных волноводов доказана сходимость конечномерных аппроксимаций трансфер- матриц. На основе этих аппроксимаций разработаны численные алгоритмы расчета полей в кусочно-однородных электродинамических волноводах и алгоритмы численного моделирования транспорта квазичастиц в мезоскопических сверхпроводящих цилиндрах в вихревом состоянии.
-
Предложен алгоритм численного решения краевых задач для дискретного уравнения Гельмгольца в двумерных областях сложной формы. Алгоритм использован для численного моделирования динамики параметра порядка в мезоскопических сверхпроводящих пленках.
-
Предложено понятие вихря в дискретной модели двумерной системы уравнений Гинзбурга-Ландау, на основе которого разработан численный алгоритм визуализации динамики вихревых конфигураций в мезоскопи- ческих сверхпроводящих пленках.
-
Предложено и исследовано понятие стохастической деформации динамических систем, с помощью которого найдены условия сохранения интегралов движения при наличии шума и существования гиббсовско- го равновесного распределения. Стохастические деформации уравнений Ландау-Лифщица-Гильберта использованы для численного моделирования динамики намагниченности в системах магнитных наночастиц при конечной температуре.
-
Предложена математическая модель волоконного световода со случайными кручениями осей анизотропии, на основе которой аналитически исследованы статистические характеристики немонохроматического света.
Практическая значимость результатов состоит в том, что:
-
-
-
На основе конечномерных аппроксимаций трансфер-матриц кусочно- однородных волноводов совместно с соавторами разработано Windows- приложение SEMA для расчета полей в ступенчатых электродинамических волноводах, позволяющее рассчитывать с высокой точностью используемые на практике волноводные структуры.
-
Совместно с соавторами разработано Windows-приложение GLDD для моделирования динамики параметра порядка и вихревых конфигураций в мезоскопических сверхпроводящих пленках во внешних полях,
позволяющее численно исследовать устройства на основе таких пленок и интерпретировать результаты экспериментов.
3. Разработанное совместно с соавторами Windows-приложение SIMMAG для моделирования динамики намагниченности в системах магнитных на- ночастиц позволяет исследовать равновесные распределения намагниченности в таких системах и переходы между ними и интерпретировать в терминах этих распределений результаты, полученные при исследовании систем частиц с помощью магнитосилового микроскопа и другими методами.
Приложения GLDD и SIMMAG зарегистрированы в Государственном Реестре программ для ЭВМ, свидетельства №2011612682 и №2011612679.
Личный вклад автора
Во всех совместных работах автору принадлежат математические методы и алгоритмы численного моделирования. Автор также принимал участие в построении математических моделей изучаемых физических процессов и проектировании программ, с помощью которых проводилось численное моделирование.
Основные положения, выносимые на защиту
-
-
-
-
Абстрактная математическая модель, применимая для описания кусочно-однородных волноводов различной физической природы, позволяет развить и обосновать методы численного расчета электродинамических волноводных систем и квантовых цилиндрических волноводов с переходами сверхпроводник-нормальный металл.
-
Конечномерные модели дифференциальных операторов математической физики, представленные операторами в пространствах функций на графах, позволяют построить численные алгоритмы решения краевых задач для двумерного разностного уравнения Гельмгольца в двумерных областях сложной формы.
-
Конечномерная модель системы уравнений Гинзбурга-Ландау, основанная на аппроксимации операторов математической физики операторами на графах, сохраняет основные свойства исходной системы дифференциальных уравнений, такие, как калибровочная инвариантность и отсутствие электрического поля в стационарном состоянии, позволяет дать корректное математическое определение вихрей
в дискретной системе и предложить численный алгоритм детектирования вихрей в процессе численного моделирования динамики ме- зоскопических сверхпроводящих пленок.
-
-
-
-
Конечномерные аппроксимации операторов типа sine-Гордон позволяют построить численные алгоритмы моделирования динамики распределенных джозефсоновских систем. Результаты численного моделирования дают возможность исследовать структуру вихревых решеток в квазиодномерных многослойных джозефсоновских системах и интерпретировать результаты измерений вольт-амперных характеристик кольцевых джозефсоновских контактов.
-
Стохастические деформации динамических систем, в отличие от обычных стохастических возмущений, обладают важными с точки зрения физических приложений свойствами: сохраняют интегралы движения невозмущенной системы и имеют гиббсовские равновесные состояния. Это позволяет применять такие деформации в численном моделировании динамики микромагнитных систем при конечной температуре.
-
Применение методов теории случайных групп для исследования статистических характеристик излучения в оптоволоконных световодах со случайными кручениями осей анизотропии позволяет получать аналитические результаты и строить эффективные алгоритмы моделирования различных оптоволоконных систем.
Апробация результатов
Результаты диссертации докладывались на семинарах ИФМ РАН и ИПФ РАН, в ННГУ, ПОМИ РАН, на заседаниях Нижегородского Математического общества и на 27 российских и международных конференциях:
C1. IV Bilateral Soviet-German Seminar on high temperature superconductivity, St.Petersburg, 6-13 october, 1991.
C2. V German-CIS Bilateral Seminar on high temperature superconductivity, Kloster Bakz, Germany, 5-9 october, 1992
C3. III International Conference ISFOC, 1993, S.Peterburg
C4. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 1994.
C5. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 1996.
C6. X Trilateral German-Russian-Ukrainian Seminar on High temperature Superconductivity, Nizhnii Novgorod, Russia, 11-15 Sept. 1997.
C7. International conference Mathematical Results in Quantum Mechanics (QMath7), Prague, June 22-26, 1998.
C8. Moscow International Symposium on Magnetism MISM99. 20-24 июня 1999.
C9. Nanostructures: physics and technology. 7th International Symposium St.Peterburg, Russia, June 14-18, 1999, Ioffe Institute.
C10. 22nd International Conference on Low Temperature Physics (LT22), 1999, Espoo-Helsinki, Finland.
C11. 32-ое Всероссийское совещание по физике низких температур, Казань, 3-6 октября 2000.
C12. Interdisciplinary International Conference PELS-2000, Polarisation Effects in Lasers, Spectroscopy and Optoelectronics, Univ. of Southampton, 6-8 September, 2000.
C13. Euro-Asian Symposium "Trends in Magnetism", Ekaterinburg, Russia, Feb. 27-March 2, 2001.
C14. Advanced Research Workshop "Fundamentals of electronic nanosystems", St.-Petersburg, Russia (2005).
C15. Международный симпозиум "Нанофизика и нанофотоника 2005", Нижний Новгород, 2005.
C16. Moscow International Symposium on Magnetism, MISM-2005, 2005.
C17. X Симпозиум Нанофотоника и наноэлектроника, Н.Новгород, 2006.
C18. IEEE MTT-S 2006 International Microwave Symposium, 2005.
C19. International conference "Days on Diffraction'2007", St.Petersburg, May 29 - June 1, 2007.
C20. 10th Quantum Mathematics International Conference Moeciu, Romania, September 10-15, 2007
C21. XII Международный Симпозиум Нанофизика и наноэлектроника, Н.Новгород, 2008.
C22. VI International Workshop "Multipactor, Corona, and Passive Intermo- dulation". Valencia, Spain, 24-26 September 2008.
C23. International conference "Days on Diffraction'2008", St.Petersburg, June 3-6, 2008.
C24. 3-я Международная конференция "Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости" (ФПС'08), Звенигород, 2008.
C25. 13-й Международный Симпозиум. Нанофизика и наноэлектроника, Н.Новгород, 2009.
C26. International Conference Days on Diffraction 2010, June 8-11, 2010 Saint Petersburg.
C27. International Conference Days on Diffraction 2011, May 30 - June 3, 2011, Saint Petersburg.
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в оригинальных статьях в отечественных и зарубежных журналах, сборниках трудов и тезисах докладов на научных конференциях. Всего по материалам диссертации опубликовано 70 работ, из них 34 журнальные статьи. Полный список публикаций автора по теме диссертационной работы приведен в конце диссертации.
Структура и объем диссертации
Похожие диссертации на Оперативные методы моделирования волновых процессов в низкоразмерных системах
-
-
-
-
-
-
-
-
-
