Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель однопродуктового предприятия (на примере спичечной фабрики) 8
1.1. Пределы, в которых работает однопродуктовое предприятие 8
1.2. Уравнения математической модели предприятия 20
Глава 2. Задача об оптимальном распределении прибыли между инвестициями и дивидендами 31
2.1. Оптимизационная постановка 31
2.2. Вывод и анализ условий оптимальности 43
Глава 3. Анализ оптимальных решений 55
3.1. Параметрический анализ формулы критерия 55
3.2. Пример .оптимального решения 65
Заключение 67
Приложение
Список литературы 87
- Уравнения математической модели предприятия
- Вывод и анализ условий оптимальности
- Параметрический анализ формулы критерия
- Пример .оптимального решения
Уравнения математической модели предприятия
Официальные регламенты, имеющие отношение к рас чету прибыли, остающейся в распоряжении предприятия. Два закона, принятых Государственной Думой, определяют рамки ведения финансовых дел и финансовой отчетности на предприятии: "О бухгалтерском учете" [6] и "Налоговый кодекс Российской Федерации" [10]; первый документ сопровождается "Планом счетов бухгалтерского учета" [7], а также серией "Положений по бухгалтерскому учету" [6], утвержденных приказами Министерства финансов РФ. Учебники по бухгалтерскому учету [4] и финансам [5], а также работы по отдельным вопросам бухгалтерского и налогового учета [8, 9, 11] дают достаточно полное представление об официальных регламентах, направляющих финансовую отчетность на предприятии. Задача настоящего пункта в том, чтобы привести официальный состав компонентов формулы прибыли, что даст возможность оценить полноту формулы (1.13). Со знаком плюс в (1.13) фигурирует только выручка предприятия. В положении по бухгалтерскому учету "Доходы организаций" (ПБУ 9/99) доходами признаются следующие виды поступлений от других юридических и физических лиц: - выручка от продажи продукции и товаров, поступления, связанные с выполнением работ, оказанием услуг; - арендная плата за предоставление во временное пользование (временное владение и пользование) активов предприятия по договору аренды; - лицензионные платежи предприятию за предоставление им прав, возникающих из патентов на изобретения, промышленные образцы и другие виды интеллектуальной деятельности; - поступления предприятию, возникающие из участия в уставных капиталах других организаций; - прибыль, получаемая предприятием в результате совместной деятельности (по договору простого товарищества); - поступления от продажи основных средств и иных активов, отличных от денежных средств (кроме иностранной валюты), продукции, товаров; - проценты, полученные за предоставление в пользование денежных средств предприятия, а также проценты за использование банком денежных средств, находящихся на счете предприятия в этом банке; - штрафы, пени, неустойки за нарушение условий договоров; - активы, полученные безвозмездно, в том числе по договору дарения; - поступления в возмещение причиненных предприятию убытков; - прибыль прошлых лет, выявленная в отчетном году; г - суммы кредиторской и депонентской задолженности, по которым истек срок исковой давности; - курсовые разницы; - сумма дооценки активов (за исключением внеоборотных активов); - чрезвычайными доходами считаются поступления, возникающие как последствия чрезвычайных обстоятельств хозяйственной деятельности (стихийного бедствия, пожара, аварии, национализации и т.п.): страховое возмещение, стоимость материальных ценностей, остающихся от списания непригодных к восстановлению и дальнейшему использованию активов и т.п. В ПБУ 10/99 "Расходы организации" [6] приведен следующий перечень расходов: - расходы, связанные с приобретением сырья, материалов, товаров и иных материально-производственных запасов; - расходы, возникающие непосредственно в процессе переработки (доработки) материально-производственных запасов для целей производства продукции, выполнения работ и оказания услуг и их продажи (расходы по содержанию и эксплуатации основных средств и иных внеоборотных активов, а также по поддержанию их в исправном состоянии, коммерческие расходы, управленческие расходы и др.); - затраты на оплату труда; - отчисления на социальные нужды; - амортизация; - расходы, связанные в предоставлением за плату во временное пользование (временное владение и пользование) активов предприятия; - расходы, связанные с предоставлением за плату прав, возникающих из патентов на изобретения, промышленные образцы и другие виды интеллектуальной собственности; - расходы, связанные с участием в уставных капиталах других предприятий; - расходы, связанные с продажей, выбытием и прочим списанием основных средств и иных активов, отличных от денежных средств (кроме иностранной валюты), товаров, продукции; - проценты, уплачиваемые предприятием за предоставление ему в пользование денежных средств (кредитов, займов); - расходы, связанные с оплатой услуг, оказываемых кредитными организациями; - штрафы, пени, неустойки за нарушение условий договоров; - возмещение причиненных организацией убытков; - убытки прошлых лет, признанные в отчетном году; - суммы дебиторской задолженности, по которым истек срок исковой давности, других долгов, не реальных для взыскания; - курсовые разницы; - сумма уценки активов (за исключением внеоборотных активов); - в составе чрезвычайных расходов отражаются расходы, возникающие как последствия чрезвычайных обстоятельств хозяйственной деятельности (стихийного бедствия, пожара, аварии, национализации имущества и т.п.).
Вывод и анализ условий оптимальности
Эта функция представляет собой сумму критериального показателя зг и условий задачи, умноженных на свои двойственные переменные-множители Лагранжа; условия задачи — это два динамических соотношения во второй строчке (2.20); они записаны в первоначальной функции Лагранжа так, что все члены соотношений перенесены в одну сторону; тогда при любых двойственных переменных р1, г1 функция Лагранжа совпадает с критерием задачи зг, если условия задачи выполняются. В следующих двух строках функция Лагранжа представлена в виде произведений исходных (прямых) переменных Ф , Ul, D1 на скобки, содержащие комбинации двойственных переменных р\ гг. Последняя строка (2.21) повторяет предыдущее представление с тем отличием, что там введены обозначения р и ф\ которые расшифровываются в четвертой строке.
Согласно формализму Лагранжа следует определить оптимальные прямые переменные Ф , U , D , которые доставляют безусловный максимум функции Лагранжа; эти оптимальные Ф{, W, D1 оказываются зависящими от двойственных рг, г ; двойственные переменные (от которых зависят оптимальные прямые переменные) должны быть найдены такими, чтобы условия задачи выполнялись. Сказанное здесь есть общий рецепт формализма Лагранжа. В применении к (2.21) безусловный максимум достигается при том, что:
Верхняя строка есть условие равенства нулю первой производной L(...) по Ф , t = 1,2,... ,Т — 1 и Фт. Не так выглядят условия оптимальности по Vі и .D , поскольку эти аргументы оптимизации должны быть неотрицательными (что касается Ф , Фг, то их положительность обеспечивается тем, что Ф 0 и иг 0). Двойственные переменные срг, ф1 не могут быть положительными, ибо в таком случае безусловный максимум функции Ла-гранжа достигался бы при Ul = D1 — +оо и при этом L(...) = +оо. Никаким подбором двойственных переменных р1, г1 невозможно обеспечить выполнение исходных условий задачи при неограниченных значениях С/ , D%. Поэтому комбинации р\ ф1 либо отрицательные, либо равны нулю. Если в какой-то момент р1 0, то оптимальное значение Vі нулевое и если срг = 0, то оптимальное значение U1 любое из допустимой области значений: Vі 0; в любом случае произведение (рЮ1 ноль. Аналогично обосновывается и выглядит признак оптимальности для D1.
Когда выполняются условия оптимальности (2.22) и если удается подобрать двойственные переменные р , г1, которые обеспечивают выполнение исходных условий задачи (это удается, о чем см. ниже), то все члены в функции Лагранжа обращаются в ноль кроме последнего (см. предпоследнюю строку в (2.21)):
Формулой (2.23) максимальное значение критерия выражается через двойственные переменные.
Во-первых, не может быть так, чтобы одновременно и инвестиции U1 и дивиденды D1 были нулевыми — тогда нарушился бы баланс производства и использования прибыли (второе уравнение во второй строке (2.20)): прибыль производится: рФ -1 0 и ни во что не распределяется: Vі + D1 — 0. Так не может быть и, следовательно, не может быть одновременно: ip 0 и фь 0.
Во-вторых, не может быть, чтобы на оптимальном движении одновременно обе переменные Dl, U1 были положительными (не считая одного исключительного случая, который прямо сейчас будет рассмотрен). Действительно, при этом комбинации двойственных переменных срг, фь должны одновременно равняться нулю и для определения двух неизвестных р , г1 получаются три уравнения (см. (2.21), (2.22)):
Значит, на каждом временном шаге прибыль направляется либо на инвестиции, либо на дивиденды; часть планового интервала, на которой прибыль направляется на инвестиции будет называться участком накопления; часть на которой прибыль отдается на дивиденды, — участком потребления.
Исключение представляет случай: р = /?, х = 1; ПРИ таком совпадении выполняются три равенства и граничное условие (2.24). В этом случае:
Параметрический анализ формулы критерия
При х — 0 конечная стоимость производственных фондов в зачет богатства не идет; при j3 = 0 акционер не пользуется услугами вкладного счета. Теперь нужно обсудить факт целочисленности значений г: г = 0,1, 2,..., 1 Строго говоря, такой инструмент, как производная л?тах(т) по г для определения оптимального значения т, не применим. Однако облегчительным обстоятельством является то, что здесь речь идет об одной функции с одним целочисленным аргументом. Известный прием нахождения точки экстремума таков: находится оптимальное значение аргумента, временно считающегося непрерывной переменной, а затем рассчитывается функция в ближайших левой и правой точках; сравнение двух чисел выявляет максимальное значение функции и оптимальное целое значение аргумента; такую операцию называют "оцелочисливанием". Еще одно дополнительное замечание. Время переключения т может принимать в том числе нулевое значение: отсчет текущего времени t начинается с 1, а г — с 0. Дело в том, что участок накопления заканчивается в конце периода г, а участок потребления начинается с т+, 1 и, если режим потребления полностью занимает весь интервал планирования, то его первый период — это t = 1, следовательно, т = 0 и переключение происходит как бы до первого периода. На рис. 3.1 представлены три графика зависимости тахС ") для трех сочетаний параметров р, Т. Видно, что максимумы функции (т) при р = 0,3; Т = 5 и р = 0,3; Т = 10 внутренние (ropt = 1 и Topt = 6), а при р = 0,2; Т = 5 максимум получается при граничном значении аргумента оптимизации ropt = 0. Вообще функция (3.1) не доставляет сложностей для исследования: она имеет один максимум на интервале 0 г Т, внутренний: 0 roPt Т или граничный: Topt = Т; она обращается в ноль при г = Т. Эти свойства подтверждаются формулой (3.1) и следующими выражениями для первой и второй производных: Внутренний максимум достигается при г — Т — 1/1п(1 + р), если Т 1/1п(1 + р); если же Т 1/1п(1 + р), то максимальное значение функция iax(r) принимает на левой границе интервала, г = 0, и здесь производная отрицательная. В точке внутреннего экстремума вторая производная — см. (3.2) отрицательная и внутренний экстремум всегда максимум (в случае х 0, 0, который будет рассмотрен далее, это не так). Выражение для ropt таково: если Т г/, если Т Т), где 77=1/1п(1 + р). (3.4) і Если г номер последнего периода режима накопления и одновременно продолжительность участка накопления, то rj — "полная" продолжительность участка потребления; ц — не всегда действительная продолжительность потребления (в случае Т rj потребление занимает весь интервал планирования, но его продолжительность меньше rj); 77 не зависит от продолжительности интервала планирования Т и в данном случае (% = 0; (3 = 0) зависит только от рентабельности предприятия р. Формулу (3.3) следует читать так: оптимальная продолжительность накопления ropt есть остаток от длительности планового интервала Т после того, как из него вычитается "полная" продолжительность потребления г)\ если последняя превышает Т, то на накопление не остается ничего. В данном случае (х = 0; (3 = 0) потребление есть всегда и оно занимает временной промежуток, не зависящий от общей длительности Т; накоплению отводится тот временной промежуток, который остается от потребления (здесь необходимо напомнить, что режим потребления следует за режимом накопления). На рис. 3.2 изображена зависимость максимального значения критерия ах от длительности интервала планирования Т; звездочкой в позиции верхнего индекса отмечается тот факт, что значение критерия рассчитано при оптимальном значении торЪ. Надо еще раз сказать, как рассчитывались кривые на рис. 3.2: при каждом Т и при фиксированном р по формулам (3.3)-(3.4) определялось нецелое оптимальное значение ropt; затем по формуле (3.1) находились значения 2&„(b"opt]) И тах ([Topt] + 1) ([ opt] — как обычно, обозначает целую часть числа ropt); из двух значений функции выбиралось максимальное — оно ставилось в соответствие аргументам Тир. Итак, даже если стоимость фондов предприятия не идет в зачет богатства, то участок накопления может включаться в интервал планирования, чтобы нарастить фонды и чтобы эти наращенные фонды производили больший поток прибыли, отдаваемый дивидендам на участке потребления. Естественно, ни при каких условиях участок потребления не может быть нулевым, потому что богатство в рассматриваемом случае есть продукт только участка потребления. Начальные участки обоих графиков есть прямые.линии, потому что при малых значениях Т (Т rj) оптимальное
Пример .оптимального решения
Расчет будет проделан для набора параметров (2.6), который использовался при сопоставлении пяти вариантов распределения прибыли — п. 2.1.2. Дело начинается с определения оптимальной продолжительности участка накопления ropt. Поскольку в рассматриваемом случае р /3 (р = 0,3;0 = 0,2), то ropt находится по формуле Получилось нецелое значение переменной г, которая по условиям задачи должна принимать только целые значения; ближайшие целые значения — 2 и 3. При этих значениях находятся величины 32тж{т) — см. (2.43): Оптимальное значение ropt и максимальное (в том числе по т) значение критерия с ах таковы Теперь рассчитывается динамика (оптимальная) переменных наподобие того, как это делалось в п. 2.1.2 — см. табл. 3.1. Первые три строки таблицы 3.1 совпадают с таковыми таблицы 2.1, но затем режим накопления в таблице 3.1 сменяется режимом потребления, что позволяет прийти к большему значению критерия. . Коэффициент полезного действия определяется как отношение значения критерия, получаемого при каком-то варианте распределения прибыли, к максимально возможному значению критерия. В таблице 3.2 даны значения первых — см. п. 2.1.2 и значение последнего, а также отношения первых к последнему. Надо сказать, что при тех значениях параметров, которые были выбраны для расчета — см. (2.6), К.П.Д. всех пяти вариантов достаточно высоки и, во-вторых, варианты дают близкие между собой результаты. Так что для привлечения акционеров должна выбираться та инвестиционная и дивидендная политика, которая "звучит" наиболее привлекательно. В работе получены следующие основные результаты. 1.Выведена полная модель однопродуктового производства. Модель первоначально представляют два ограничения: по основным фондам и по оборотным средствам, которые для однопродуктового производства и при условии согласованного роста стоимости основных фондов и оборотных средств редуцируются в одно соотношение с единственным параметром — рентабельностью производственных фондов. Показано, что эта рентабельность не зависит от объемных характеристик производства и определяется удельными затратами сырья и труда, ценами и налоговыми ставками. Представлены расчеты по спичечной фабрике. 2.Сформулирована задача об оптимальном распределении прибыли на инвестиции и дивиденды. Предложен критерий оптимальности - суммарное богатство акционеров на конец планового интервала; это — сумма рыночной стоимости предприятия и наращенных в банке дивидендов. Для пяти наиболее распространенных вариантов распределения прибыли рассчитаны значения критерия. Выписаны динамические соотношения оптимизационной задачи: уравнение распределения прибыли на инвестиции и дивиденды, а также уравнение роста предприятия. 3."Выведены и проанализированы условия оптимальности. Обнаружены следующие свойства оптимального управления. Во-первых, не может быть так, чтобы дивиденды и инвестиции одновременно были ненулевыми, ибо производимая прибыль должна поглощаться либо теми, либо другими. Это очевидное свойство имеет следствием ограничение на двойственные переменные. Во-вторых, инвестиции и дивиденды не могут одновременно быть положительными (не считая одного исключительного случая, когда безразлично, куда направляется прибыль). Участок, где дивиденды нулевые, а инвестиции положительные, назван участком накопления; участок, где дивиденды положительные, а инвестиции нулевые, - участком потребления. И, в-третьих, возможны только три следующие варианта расположения участков накопления и потребления: 1)участок накопления занимает весь интервал планирования и участка потребления на нем нет; 2) участок потребления занимает весь интервал планирования — без участка накопления; 3) интервал планирования разбивается на часть, отдаваемую на накопление, и часть, отдаваемую на потребление; при этом участок накопления один и участок потребления один и следуют они в таком порядке: сначала накопление и затем потребление. 4.Получено максимальное по инвестициям и дивидендам значение критерия, которое является функцией момента смены режима (его следует находить из условия максимума критерия), а также следующих параметров: рентабельности предприятия, банковской вкладной ставки, продолжительности планового интервала и отношения рыночной и действительной стоимостей предприятия в конце планового периода. Исследована зависимость оптимального момента смены режимов, а также критерия от перечисленных четырех параметров; в пространстве параметров определены границы областей: "только накопление", "только потребление", "накопление и потребление".
