Содержание к диссертации
Содержание 2
Введение 4
1. Основные определения 10
2- Постановка задачи 14
3. Классы функций 20
4. Обзор методов построения поперечников и локальных сплайнов 22
5. Обзор методов вычисления интегралов с весом и сингулярных интегралов 23
6. Обзор методов решения сингулярных уравнений 26
7. Обозначения, используемые в диссертации 31
Глава 1. Вычисление поперечников и построение локальных сплайнов функций из некоторых классов 32
1.1. Вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко и построение сплайнов для функций из класса W([Q,оо), М) 32
1.2. Вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко и построение сплайнов для функций из класса W([0,oo)p,M) 59
1.3. Вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко и построение сплайнов для функций из класса WxjS{(—og>oo),A/) 49
Глава 2. Оптимальные весовые квадратурные и кубатурные формулы вычисления регулярных ин тегралов 66
2.1. Оптимальные весовые квадратурные формулы на классе W{s({-oOi оо)уМ) 66
2.2. Квадратурные формулы вычисления интегралов на классе В^[0,оо) 83
2.3. Кубатурные формулы вычисления интегралов на классе В7[0,со)Р 93
Глава 3, Оптимальные весовые кубатурные фор мулы ВЫЧИСЛеНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТеГраЛОВ 101
3.1. Оптимальные по порядку кубатурные формулы вычи сления интегралов с фиксированной особенностью для функ ций из класса WJS((—оо,оо)р, М) 101
3.1.1* Случай гиперсингулярных интегралов 104
3.1.2* Случай сингулярных интегралов ,.,. 115
3.1.3. Случай слабосингулярных интегралов 118
3.2. Оптимальные по порядку кубатурные формулы вычи сления сингулярных интегралов с переменной особенностью для функций из класса W{^{(—ос,оо)р,М) 119
Глава 4. Проекционные методы решения много мерных сингулярных интегральных уравнений 132
4.1. Проекционный метод приближенного решения линей ных сингулярных интегральных уравнений вида a{t)x(t) + j<р{і,в)х{т)<іт = f(t) 132
4.2. Проекционный метод приближенного решения нели нейных сингулярных интегральных уравнений вида «(t,*(0)+/*f^* = / СПИСОК ЛИТературЫ 155 Приложения 171 Введение к работе Актуальность темы. Поскольку точные методы вычисления различного рода сингулярных интегралов в неограниченных областях возможны только в исключительных случаях [83]1 [84]2, возникает необходимость приближенного вычисления регулярных и сингулярных интегралов на бесконечных многообразиях. Актуальность разработки приближенных методов вычисления сингулярных интегралов связана как с необходимостью доведения до численных значений решений сингулярных интегральных уравнений, полученных с помощью некоторых приближенных методов, так и с тем обстоятельством, что и сингулярные интегралы различных типов па-ходят широкое применение в многочисленных областях естествознания и техники: в операционном исчислении [46]3, в теории упругости [79]4, гравиразведке [87]5, ядерной физике [71]6, астрофизике [93]7. Анализ численных методов решения сингулярных интегральных уравнений и вычисления сингулярных интегралов показал, что в этом направлении остается ряд нерешенных проблем. В частности, во-первых, при конструировании вычислительных алгоритмов представляют значительный интерес оценки точности аппроксимации компактов, к которым принадлежат решения уравнений, конечными подпространствами. Во-вторых, практически отсутствуют численные методы вычисления сингулярных интегралов на бесконечных областях интегрирования. В-третьих, численные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений практически отсутствуют,,за исключением единичных работ, в частности, работы [74]8, посвященной обоснованию метода моментов для сингулярных интегральных уравнений на плоскости Еч и не существует обоснованных методов для конеч ных областей интегрирования произвольной формы. Проекционные методы решения нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений также до сих пор не рассматривались Цель работы. Целью работы является: во-первых, вычисление поперечников классов функций с весами и построение локальных сплайнов, погрешность которых, зависит только от числа узлов, определенных на .) во-вторых, построение оптимальных методов вычисления слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с фиксированной и переменной особенностями, рассматриваемых на бесконечных многообразиях, в-третьих, построение оптимальных методов вычисления регулярных интегралов с весом, рассматриваемых на бесконечных многообразиях и в-четвертых, построение проекционных методов решения многомерных сингулярных интегральных уравнений. Общая методика. При обосновании полученных результатов использовались методы теории приближения функций, функционального анализа, теория квадратурных и кубатурных формул, методы оптимизации, теория краевых задач и сингулярных интегральных. уравнений. Построение пассивных алгоритмов восстановления функций и вычисления интегралов основано на концепции оптимальности, гарантирующей получение наилучших результатов при наихудшей на взятом классе исходной информации.. Эта концепция положена в основу построения оптимальных по порядку пассивных алгоритмов аппроксимации функций с особенностями, вычисления интегралов от функций с особенностями и вычисления сингулярных интегралов. Научная новизна диссертации заключается в следующем: - вычислены поперечники Колмогорова и Бабенко некоторых классов функций одной и нескольких переменных, определенных на бесконечных многообразиях; - построены локальные сплайны для функций одной и нескольких переменных, определенных на бесконечных многообразиях; - построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления регулярных интегралов с весами, определенных на бесконечных областях интегрирования в одномерном и многомерном случаях; - построены оптимальные по порядку методы вычисления одномерных и многомерных слабосингулярных, сингулярных и гиперсингуляриых интегралов с фиксированной особенностью на бесконечных областях интегрирования; - построены оптимальные по порядку методы вычисления одномерных и многомерных слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с переменной особенностью на бесконетшых областях интегрирования; - построены проекционные методы решения.линейных и нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений» Научная и практическая ценность работы. Научная ценность работы заключается в построении оптимальных по порядку алгоритмов вычисления регулярных интегралов с весом, а также слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с фиксированными, и переменными особенностями на бесконечных областях интегрирования; построении алгоритмов восстановления функций одной и нескольких переменных различных классов; построении проекционных методов решения многомерных сингулярных интегральных уравнений в ограниченных областях произвольной формы. Полученные результаты находят применение при построении оптимальных методов вычисления интегралов с различными сингулярностями и решении интегральных уравнений. Практическая ценность работы обусловлена тем, что построенные методы применимы к численному решению прикладных задач гидро-и аэродинамики, теории упругости и теории излучения, при решении. которых необходимо вычисление сингулярных интегралов, регулярных интегралов с весом и решение многомерных сингулярных интегральных уравнений. По предложенным алгоритмам разработан пакет прикладных про грамм вычислений регулярных и сингулярных интегралов (одномерных и многомерных) и решений линейных и нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений на различных классах функций на языке Паскаль. Защищяемые положения. По результатам исследований можно сделать следующие выводы: - построены поперечники Колмогорова и;Бабепко классов функций: Wlg((-oo\ooY,M) и В ((-оо;оо) М), р = 1,2,-,. при различных соотношениях параметров А и s; - построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления регулярных интегралов с весом на бесконечных областях интегрирования для функций из классов We((—оо;оо) \М) и В ((— оо;оо)р,М), р — 1,2, .. . при различных соотношениях параметров А и s\ - построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления слабосингулярных интегралов с весом на классе t-Ve((—оо; оо)р, Af), р = 1,2,.. . с фиксированной и переменной особенностью; - построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с весом на классе WJS((—оо; оо)р, М), р = 1, 2,... с фиксированной и переменной особенностью; - построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления гиперсингулярных интегралов с весом на классе И Д( -оо;оо)р,ЛГ), р = 1,2,... с фиксированной и переменной особенностью; - построены и обоснованы проекционные методы решепия линейных и нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений. Краткое содержание работы. Работа посвящена оптимальным методам вычисления регулярных и сингулярных интегралов на бесконечных многобразиях и решения многомерных сипгулярных интегральных уравнений. Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения. Во введении приводятся основные определения и используемые классы фуїікции, постановка задачи, а также обзор основных методов по строения локальных сплайнов, вычисления поперечников, сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений. В первой главе вычисляются поперетшики Колмогорова и Бабенко для классов функций Ws((—оо;со)р,М), р = 1,2,.,., вида f(x) = ф{х)р(х), где функция р(х) имеет конечное число определенным образом ограниченных непрерывных производных, а р(х) - весовая функция, такая, что f[x) — 0 при х —V со. В первом параграфе рассматриваются функции одной переменной, при этом весовая функция р(х) является степенной, во втором параграфе - функции нескольких-переменных со степенным весом. В третьем параграфе весовая функция имеет смешанную степенную и показательную структуру3 размерность рассматриваемого пространства функпий р 2. Предлагается способ разбиения области на конечное число кубов и способ аппроксимации в каждом и! кубов таков, что точность построешіьгх сплайнов близка к оптимальной и погрешность аппроксимации в каждом из кубов имеет один и тот же порядок. Во второй главе строятся оптимальные по порядку весовые квадратурные и кубатурные формулы вычисления регулярных интегралов. В качестве веса рассматривается функция р(х), имеющая смешанную степенную и показательную структуру, В первом параграфе рассматривается вычисление интегралов на классе Ws((—оо;оо),ЛХ) функций одной переменной, т.е. имеющих конечное число непрерывных производных, ограниченных одной константой-Во втором. параграфе рассматривается вычисление интегралов на классе В ((—оо;оо)»М) функций одной переменной, т.е. имеющих неограниченное число непрерывных производных,, подчиняющихся определенным условиям, В третьем параграфе строятся кубатурные формулы вычисления интегралов на классах W s({—oo; оо)рt М) и В (( со;оо)р,М),р =1,2, — Третья глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе построены оптимальные по порядку весовые кубатурные формулы вычисления интегралов с фиксированной особенностью, во втором - с переменной особенностью. Также рассматривается класс функций, имеющий конечное число непрерывных производных, ограниченных одной константой. Отдельно рассмотрены случаи слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов, t В четвертой главе построепы и обоснованы проекционные методы решения линейных и нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений в областях произвольной формы. В приложении приводится пакет прикладных программ вычисления регулярных и сингулярных интегралов на различных классах функций, а также решений сингулярных интегральных уравнений- Используемый язык программирования - Паскаль, Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на - ежегодных итоговых научно-технических конференциях ПГУ {г.Пенза, 2001-2004 г.); - VI международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложения" (БО РАН, г, Уфа, 2001); - международной конференции по вычислительной математике "ІССМ" (СО РАН, г. Новосибирск, 2002); -Пи III международных конференциях "Надежность и качество" (ПГУ, г. Пенза, 2001-2002); - международном семинаре "Геометрия и анализ" (ПГПУ, г, Пенза, 2002). Публикации, По результатам диссертации опубликовано 14 статей. Программы, приводимые в приложении, зарегистрированы в От-раслевом Фонде Алгоритмов и Программ под номером гч г , а так-жс используются в производственной деятельности Государственного научно-производственного предприятия "Рубин" j о чем свидетельствует соответствующей акт о впедрепии.Похожие диссертации на Оптимальные методы вычисления многомерных сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений
