Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современный подход к расчету стержневых систем 14
1.1. Классификация стержневых систем 14
1.2. Методы расчета стержневых систем
1.3. Возможность повышения эффективности при расчете сложных стержневых систем 20
1.4. Модели параллельных вычислений и показатели эффективности параллельного алгоритма 1.4.1. Модель параллельных вычислений 22
1.4.2. Показатели эффективности параллельного алгоритма 28
Выводы по первой главе 29
Глава 2. Модели и методы параллельной реализации задач при расчете стержневых систем 31
2.1. Модель реализации параллельных алгоритмов как система массового обслуживания 31
2.2. Модель удаленного доступа как система массового обслуживания 35
2.3. Модификация различных численных методов в условиях применения параллельных вычислений 43
2.3.1. Модифицированный метод для решения СЛАУ 43
2.3.2. Модифицированный метод для интерполяции табличных функций.. 44
2.3.3. Модифицированный метод для численного интегрирования 45
2.4. Численные методы в расчетах стержневых систем 46
2.4.1. Последовательный метод расчета стержневых систем 46
2.4.2. Параллельный метод расчета стержневых систем 52
Выводы по второй главе 55
Глава 3. Реализация программных комплексов при расчете стержневых систем и решении задач численными методами 57
3.1. Программный комплекс на основе технологии параллельных вычислений всредеМАТЬАВ 57
3.1.1. Технология параллельных вычислений в среде MATLAB 57
3.1.2. Программный комплекс «ПАРАСС»
3.2. Программный комплекс на основе технологии удаленного доступа 67
3.3. Реализация библиотеки функций 70
Выводы по третьей главе 78
Глава 4. Расчёт стержневых систем в условиях применения параллельных вычислений и их моделирование 79
4.1. Моделирование параллельных вычислений при расчете стержневых систем 79
4.2. Моделирование системы удаленного доступа 82
4.3. Расчет плоских стержневых систем
4.3.1. Описание расчетной модели плоской фермы 88
4.3.2. Результаты расчета плоской фермы 90
4.3.3. Экспериментальная оценка эффективности 90
4.4. Расчет пространственных стержневых систем 92
4.4.1. Описание расчетной модели системы 92
4.4.2. Расчет рамы по оси 1 102
4.4.3. Расчет группы объектов 109
4.5. Параллельная реализация различных задач 118
Выводы по четвертой главе 119
Заключение 121
Список литературы 123
- Возможность повышения эффективности при расчете сложных стержневых систем
- Модификация различных численных методов в условиях применения параллельных вычислений
- Программный комплекс на основе технологии удаленного доступа
- Описание расчетной модели плоской фермы
Возможность повышения эффективности при расчете сложных стержневых систем
Расчет стержневых систем заключается в определении следующих неизвестных: опорные реакции; нормальные силы, поперечные силы и изгибающие моменты в любом сечении любого стержня; геометрическая форма и размеры всех поперечных сечений всех стержней и коэффициенты упругости их материала; нормальные и касательные напряжения в любой точке любого стержня; абсолютные и относительные линейные и угловые деформации и перемещения во всех точках сооружения. Расчет состоит в задании значений некоторых из этих величин и в составлении необходимого количества функциональных зависимостей или уравнений для определения остальных. При этом геометрическая схема сооружения, то есть расположение его стержней, узлов шарниров опор и т.д. известна, а также известна внешняя нагрузка. Замечательной особенностью стержневых систем является то, что первые две группы неизвестных не зависят от остальных групп, то есть усилия и реакции не зависят от формы и размера сечений, от напряжений, деформаций и коэффициентов упругости [108]. При расчете стержневых систем применяются различные методы, в том числе метод сечения, метод замены связей, графический и кинематический методы и др. Эти методы обычно используются для расчета простых систем, но для сложных систем они в большинстве случаев малоэффективны [62].
Методы прочностных расчетов конструкций формировались с развитием строительной механики стержневых систем. Историю развития строительной механики делят на два периода: до появления вычислительных машин - это классическая строительная механика стержневых систем - и после появления вычислительных машин. Развитие вычислительной техники, широкое ее распространение и увеличение мощности ЭВМ способствовали появлению точных и высокопроизводительных численных методов расчета и обусловили широкое внедрение их в расчетную практику при проектировании конструкций. Применительно к расчету конструкций наиболее эффективным, очень удобным вычислительным методом решения прикладных задач механики деформируемого твёрдого тела является метод конечных элементов (МКЭ) [119, 123], который стал фундаментальным методом механики по определению напряженно-деформированного состояния сложных инженерных конструкций [137].
Кроме того, одной из характерных особенностей научно-технического прогресса является широкое применение численных математических методов и ЭВМ в различных областях деятельности человека и тем более в расчетах всевозможных конструкций. Процесс математизации науки и техники требует от специалистов в каждой области деятельности навыков применения ЭВМ и использования для исследований машинно-ориентированных методов расчета. Современное решение задач связано с использованием более сложных расчетных схем, наиболее близких к реальным конструкциям. Это естественно приводит к увеличению числа факторов, которые необходимо учитывать при исследовании напряженно-деформированного состояния, устойчивости и колебаний конструкций, и усложняет расчет. Статический и динамический расчет стержневых систем таких сложных конструкций стал возможным только благодаря широкому применению численных методов расчета, ориентированных на использование ЭВМ. Применению этих методов способствовало становление и развитие нового направления в исследовании сложных объектов статического и динамического расчета - вычислительного экспериментирования. В процессе проведения вычислительного эксперимента выбранная математическая модель подвергается всестороннему исследованию с целью ее уточнения и улучшения. При этом определяется, какими факторами можно пренебречь, а какие следует учесть. Кроме того, решаются вопросы выбора вычислительного алгоритма, оценки устойчивости процесса вычислений и его точности.
Следовательно, применение численных математических методов и ЭВМ -важнейшее направление в решении современных задач, связанных с расчетом сложных стержневых систем.
МКЭ впервые был применен в инженерной практике в начале 50-х гг. XX в. Первоначально он развивался по двум независимым направлениям -инженерному и математическому. На раннем этапе формулировки МКЭ основывались на принципах строительной механики, что ограничивало сферу его применения. Только тогда, когда были сформулированы основы метода в вариационной форме, стало возможным распространение его на многие другие задачи. Быстрое развитие МКЭ шло параллельно с прогрессом современной компьютерной техники и ее применением в различных областях науки и инженерной практики [77].
Значительный вклад в разработку МКЭ был сделан Дж. Аргирисом [34], который впервые дал общую матричную формулировку расчета стержневых систем на базе фундаментальных энергетических принципов, им определена матрица податливости, а также введено понятие матрицы жесткости (как обратной матрице податливости). Работы Дж. Аргириса и его сотрудников, опубликованные в период 1954-1960 гг., дали отправную точку для матричной формулировки известных численных методов и применения ЭВМ в расчетах конструкций.
Для развития МКЭ особое значение имели вариационные принципы механики и математические методы, основанные на этих принципах. Дискретизацию задачи на основе вариационного метода Ритца впервые в 1943 г. осуществил Р. Курант. Лишь в 50-е гг. появились аналогичные работы Ж. Поли, Ж. Герша и др.
Первая работа, в которой была изложена современная концепция МКЭ, относится к 1956 г. Американские ученые М. Тернер, Р. Клаф, Г. Мартин и Л. Топп [92], решая плоскую задачу теории упругости, ввели элемент треугольного вида, для которого сформировали матрицу жесткости и вектор узловых сил. Название МКЭ ввел в 1960 г. Р. Клаф. В период 1960-1965 гг. опубликованы работы, в которых на основе вариационных принципов получены конечные элементы для решения задач изгиба плит, тонких оболочек, массивов. Среди них можно отметить работу Р.Д. Мелоша [78]. В 1967 г. издана первая монография о МКЭ О. Зенкевича и И. Чанга [61], в которой изложены основы метода и области его применения.
К семидесятым годам относится появление математической теории конечных элементов. Здесь можно выделить труды Р. Галлагера [47], Ж. Деклу [53], Дж. Одена, Г. Стренга, Дж. Фикса [123]. Значительный вклад в разработку теоретических основ МКЭ внесли и российские ученые. В. Г. Корнеев указал на совпадение математической сущности МКЭ и вариационно-разностного метода (ВРМ). Сопоставление МКЭ с рядом вариационных методов приведено в трудах Л.А. Розина [110-112]. Под руководством А.С. Сахарова разработана моментная схема конечных элементов [115].
Модификация различных численных методов в условиях применения параллельных вычислений
В работах В.В. Воеводина, Вл.В. Воеводина, В.П. Гергеля [44, 49] описана реализация параллельных задач умножения матрицы на вектор, матричного умножения, решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методами Гаусса, сопряженных градиентов, сортировки, решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в частных производных и др. На основе технологии параллельных вычислений в среде MATLAB в работе Н.Н. Оленева, Р.В. Печенкина, A.M. Чернецова [95] была описана реализация параллельных задач решения СЛАУ методом Гаусса, матричного умножения, численного интегрирования с использованием встроенной функции quadlQ и решения задач моделирования экономики. Автором были разработаны и реализованы параллельные задачи для решения СЛАУ методами исключения Гаусса, простой итерации и Крамера; интерполяции табличных функций многочленами Лагранжа, Ньютона и кубическими сплайнами; численного интегрирования методами трапеций, прямоугольников, Симпсона и Монте-Карло в среде MATLAB с целью их использования при расчете стержневых систем [84, 116].
Известными методами решения СЛАУ являются методы исключения Гаусса, Крамера и простой итерации. Рассмотрим реализацию параллельной задачи решения СЛАУ методом простой итерации. Суть классического метода простой итерации заключается в нахождении вектора X путем вычисления последовательных приближений в зависимости от начального приближения Р. Подход, лежащий в основе параллельного решения СЛАУ АХ = В методом простой итерации, заключается в том, что на начальной стадии (инициализации) производится разбиение матрицы А и вектора В на полосы и отправка их соответствующим рабочим процессам. Вектор Р целиком отправляется всем рабочим процессам. После инициализации все рабочие процессы кроме первого (Iabindex \) вычисляют векторы X = Д. - АР (/ = 2. numlabs), затем происходит отправка их первому рабочему процессу (Iabindex=\) командой labSend(Xt,l,labindex). После получения от других рабочих процессов векторов Хг командой labReceive(i,i) в пространстве первого рабочего процесса производится композиция вектора X. Вектор X снова посылается остальным рабочим процессам в качестве вектора Р для следующей итерации. Алгоритм продолжает работать до достижения определенного числа итераций, либо до тех пор, пока решение X не достигнет заданной точности. Решение хранится в пространстве первого рабочего процесса. 2.3.2. Модифицированный метод для интерполяции табличных функций При интерполяции табличных функций используются многочлены Лагранжа, Ньютона и кубические сплайны. Рассмотрим интерполяционный многочлен Лагранжа. Суть задачи интерполяции табличных функций заключается в вычислении вектора значений полинома уу в точках хх при заданных векторах координат узлов х и значений интерполируемой функции у. Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет следующий вид: р (х\ _ у v С ХО)УХ xi)--\x-хг-іАх-хг+\)--\х хп) _ у р rx \ nq\ І=О (Д. —Х0)\Х ХХ)... \Xt - ХІХ )\ХІ - Хм )...(Х{—Хп) i=o Подход, лежащий в основе параллельного численного интерполирования, заключается в том, что на начальной стадии (инициализации) производится разбиение многочлена Рп(х) следующим образом:
Вектор значений аргумента хх, для которых надо вычислить значения полинома, посылается всем рабочим процессам. Затем каждый рабочий процесс вычисляет массив значений полинома по принимаемому многочлену, и он отправляется первому рабочему процессу.
Первый рабочий процесс после получения всех векторов из остальных рабочих процессов суммирует их, в результате чего формируется вектор уу. Модифицированный метод для численного интегрирования Известными методами численного интегрирования являются методы трапеций, прямоугольников, Симпсона и Монте-Карло. Суть численного интегрирования - это замена подынтегральной функции f(x) вспомогательной функцией, интеграл от которой легко вычисляется в элементарных функциях. Наиболее часто f(x) заменяют некоторым интерполяционным многочленом. Подход, лежащий в основе параллельного алгоритма численного интегрирования функции f(x) на интервале [а,Ь], заключается в следующем: предполагаем, что для вычисления интеграла имеются г рабочих процессов (r = niimlabs). Тогда на начальной стадии (инициализации) производится разбиение интервала [а,Ь] на г равных подинтервалов. Первый рабочий процесс вычисляет интеграл на первом подинтервале, второй рабочий процесс вычисляет интеграл на втором подинтервале и т.д.
После вычисления все рабочие процессы, кроме первого, отправляют результаты первому рабочему процессу, где они суммируются, в результате чего вычисляется интеграл на всем интервале [a,b]. 2.4. Численные методы в расчетах стержневых систем
Применительно к расчёту конструкций наиболее эффективным вычислительным методом решения прикладных задач механики деформируемого твёрдого тела является МКЭ, который стал фундаментальным методом механики по определению напряжённо-деформированного состояния сложных инженерных конструкций. Преимущество МКЭ проявляется в его универсальности техники вычислений при использовании различных КЭ в модели конструкции. Конечно-элементные модели различных конструкций могут быть сведены к стержневым, пластинчатым, оболочечным или объёмным системам, находящимся под действием произвольных нагрузок. МКЭ позволяет рассчитывать сложные инженерные конструкции с единых позиций, т.е. с возможностью образования плоских и пространственных расчётных моделей на основе стержневых КЭ, так как матричный аппарат метода носит стандартный характер для КЭ различной формы.
Метод последовательного расчета стержневых систем заключается в следующем. Конструкция, с учетом её геометрии, разбивается на некоторое количество КЭ, которые связаны между собой узловыми точками (узлами), расположенными на их границах. Расчётная схема задачи, смоделированная совокупностью КЭ, рассматривается как дискретная, нагруженная узловыми силами, которые статически эквивалентны действующим на элемент распределенным нагрузкам и граничным напряжениям.
В МКЭ различаются общая и местная системы координат. На рис. 2.6 приведены декартовые правые системы координат. Глобальные оси координат Х, Y, Z0 задаются для всей конструкции. Местные оси координат X, Y, Z связаны с определенными КЭ.
Программный комплекс на основе технологии удаленного доступа
В практике программирования во многих случаях возникает необходимость решить сложную математическкую задачу. При решении этой задачи часто выбираются какие-нибудь математические системы, например, системы Mathematica [57, 59], Maple [55, 56, 113] и MATLAB [103, 106]. Основными областями применения MATLAB являются математические расчеты, моделирование, анализ данных и визуализация, научная и инженерная графика, разработка приложений, включая графический интерфейс пользователя.
Несмотря на мощный технический язык, система MATLAB имеет некоторые недостатки, например, язык MATLAB является интерпретируемым языком сценариев, то есть не создается машинный код [13, 28, 83]. Поэтому каждый раз при выполнении программы тратится время на её интерпретацию.
С другой стороны, на данный момент Visual Studio является самым популярным средством разработки приложений на платформе Windows. CncTeMaVisual Studio использует не только высокую эффективность языка C++, но и дружественный интерфейс, удобство визуального программирования. Переход на C++ Visual Studio требует разработки и отладки программ выполнения матричных операций, численного анализа и инженерных расчетов. Хотя существует большое число библиотек, выполняющих матричные операции и численный анализ, было решено использовать библиотеку функций на языке MATLAB, апробированных в наших предыдущих разработках.
Использование эффективного математического кода MATLAB совместно с возможностями визуальных сред разработки приложений позволило бы программисту-математику решать широкий круг прикладных задач [97]. Рассматриваемая технология позволяет сократить время разработки программы [27]. Одной из возможностей системы MATLAB является технология создания визуальных приложений C++ с библиотекой функций, полученной с помощью компилятора MATLAB [89]
Созданная библиотека может в дальнейшем использоваться во многих задачах, требующих применения тех же методов. При этом не исследовался вопрос решения задач с большими объемами исходных данных, так как основное внимание уделялось удобному способу ознакомления студентов с численными методами.
Компилятор MATLAB [15] используется для преобразования программ MATLAB в приложения и библиотеки, которые могут работать независимо от самой системы. Можно компилировать m-файлы и МЕХ-файлы. Компилятор MATLAB поддерживает все особенности системы, включая объекты и функции, и используется для создания автономных C/C++ приложений на различных платформах (Windows, Unix и Macintosh) и динамически подключаемых библиотек (dll) на платформе Windows.
Пакет MATLABBuilder для .NET есть расширение пакета MATLABCompiler. Он используется для преобразования функций MATLAB в один или более классов .NET, которые составляют компонент .NET, или пакет. Каждая функция MATLAB преобразуется в метод некоторого класса и может быть вызвана из приложения .NET. Приложения, использующие методы, созданные при помощи .NET Builder, при своей работе не требуют установленной системы MATLAB. Однако должна быть установлена MCR -среда исполнения для компонентов MATLAB (MATLAB Component Runtime) [15].
Среда выполнения компоненты MATLAB, библиотека MCR [15]. Эта среда, называемая MCR (MATLAB Component Runtime), содержит автономный набор общедоступных библиотек MATLAB и все необходимое для работы созданного компилятором приложения или компонента. Среда MCR обеспечивает полную поддержку всех особенностей языка MATLAB.
Создание библиотеки совместного использования. Библиотекой совместного использования называется динамически компонуемая библиотека (Dynamic Link Library). Обычно эта библиотека представляет собой фрагмент кода, хранимый в файле с расширением dll. Код может быть использован другими программами, но сама по себе библиотека программой не является. При создании библиотеки DLL компилятором MATLAB создается сама DLL и остальные файлы: файл обертки, заголовочный файл, файл библиотеки импорта и список экспорта.
Для создания библиотеки можно использовать среду разработки Deployment Tool или исполнить команды тсс, mbuild [15]. Среда разработки Deployment Tool позволяет легко создавать необходимые компоненты MATLAB. Однако иногда нужны более широкие возможности управления процессом построения автономных приложений и библиотек. В этом случае можно использовать две утилиты, тсс и mbuild, с их опциями. Ниже на рис. 3.13 показана процедура создания библиотеки «matlablib» с помощью среды разработки Deployment Tool. Библиотека «matlablib» содержит разные функции, определенные в т-файлах и используемые в компилируемой программе. Перечислим некоторые функции:
Создание автономного C++ приложения. Для иллюстрации использования созданной библиотеки было создано автономное C++ приложение в среде Visual Studio 2008 [98, 99], которое имеет возможности программного комплекса, разработанного ранее в среде MATLAB. При этом создается проект «mymatlab» (рис. 3.14). В форме приложения «Forml.h» размещены нужные компоненты. Для использования в приложении общедоступной библиотеки, созданной компилятором MATLAB, файл «mymatlab. срр» должен иметь следующую структуру [122]:
Описание расчетной модели плоской фермы
На рис. 4.28 изображен график ускорения расчета рамы при увеличении число процессов от 2 до 8. Результаты тестирования показывают, что с ростом числа процессов, значение ускорения увеличивается и считается эффективным.
Рассмотрена параллельная реализация в среде MATLAB различных задач -решения СЛАУ методом Гаусса (для размерности 1024), интерполяции табличных функций многочленом Лагранжа (размера массива значений аргумента 211) и численного интегрирования методом Монте-Карло (для количества подинтервалов 220). Графики полученного ускорения изображены на рис. 4.29.
По результатам экспериментов можно сделать вывод, что эффективность параллельного варианта алгоритма по сравнению с последовательным проявляется при больших размерах исходных данных (числе неизвестных СЛАУ, числе узлов интерполирования и т. д.). Это естественно, так как при малых размерах время, затрачиваемое на настройку параллельного режима работы и обмен данными между рабочими процессами, превышает выигрыш от параллельной работы.
Из-за наличия накладных расходов, связанных с пересылкой данных между рабочими процессами, линейного ускорения при использовании двух рабочих процессов достичь не удалось. Полученные неэффективные значения ускорения при числе процессов больше 4 объясняются тем, что задачи дробятся на слишком мелкие подзадачи, взаимодействие между которыми осуществляется через JobManager. Выводы по четвертой главе Выполнено моделирование параллельных вычислений при расчете стержневых систем. Анализ результатов расчетов показывает, что среднее время пребывания запросов в системе нелинейно возрастает в зависимости от количества клиентов сети. Разработана имитационная модель реализации параллельных алгоритмов; результаты имитационного моделирования хорошо согласуются с результатами аналитических расчетов. Выполнено моделирование системы удаленного доступа. Анализ результатов расчетов показывает, что среднее время пребывания запросов в системе нелинейно возрастает в зависимости от количества удаленных пользователей.
Разработана имитационная модель MWS на основе системы AnyLogic, и результаты имитационного моделирования хорошо согласуются с результатами аналитических расчетов. Произведены расчеты плоской и пространственной стержневых систем в условии распараллеливания и даны графики ускорения их расчета. При расчете плоских ферм с количеством панелей меньше 400 и при расчете рамы по оси 1 каркаса спортивного корпуса Иркутского техникума физической культуры полученные значения ускорения считаются не эффективными.
Значения ускорения считаются эффективными при расчете плоских ферм при количестве панелей больше 400 и группы объектов каркаса спортивного корпуса Иркутского техникума физической культуры.
Сравнение временных затрат показывает, что пригодность параллельного варианта алгоритма получается только при большом объеме исходных данных, следовательно существует предел эффективности параллельного варианта алгоритма по сравнению с последовательного. Это объясняется тем, что при параллельном варианте алгоритма требуется значительное время для создания параллельных подзадач, планировщик должен стартовать и распределить работы своим процессам, выделить им память, затем после вычисления уничтожить задачи и освободить память. Кроме того задачи дробятся на мелкие подзадачи, процессы общаются друг с другом для передачи и приема данных, такие обмены требуют значительного времени. Из-за этих затрат оказывается, что чем больше процессов, тем больше времени требуется для таких обменов, поэтому применение параллельных вычислений может быть неэффективным при использовании многих процессов для расчета систем с малым количеством стержневых КЭ.
В результате диссертационного исследования получены следующие результаты: Разработан численный метод расчета стержневых систем сложной конструкции, расчетная схема которых имеет очень большое количество стержневых КЭ в условиях применения параллельных вычислений, особенность которого заключается в параллельном формировании матрицы жесткости конструкции в глобальной системе координат и решении системы разрешающих уравнений. Приведена экспериментальная оценка эффективности параллельных алгоритмов при расчете конкретных стержневых систем.
Разработаны модифицированные методы решения СЛАУ, интерполяции табличных функций и численного интегрирования в условиях применения параллельных вычислений и приведена экспериментальная оценка их эффективности в конкретных случаях.
Впервые использована многоканальная система массового обслуживания без отказов как модель реализации параллельных алгоритмов для решения СЛАУ, интерполяции табличных функций и численного интегрирования и расчета стержневых систем, состоящих из большого количества конечных элементов в условиях применения параллельных вьшислении. На основе аналитического моделирования получены её показатели эффективности в стационарном режиме. Разработана имитационная модель реализации параллельных алгоритмов. Результаты имитационного моделирования хорошо согласуются с аналитическими расчетами.
Разработана модель удаленного доступа как система массового обслуживания, реализовано аналитическое моделирование в трех видах: многоканальной системы массового обслуживания без отказа; многоканальной системы массового обслуживания без очереди и многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным числом мест в очереди. Разработана имитационная модель удаленного доступа. Результаты имитационного моделирования хорошо согласуются с аналитическими расчетами.
Разработан программный комплекс параллельного расчета стержневых систем на основе разработанных методов и технологии параллельных вычислений, позволяющий рассчитать плоские и пространственные стержневые системы и решать различные задачи численными методами; его работа проиллюстрирована расчетами реальных примеров стержневых систем, при этом отмечено увеличение скорости вычислений в 3 раза. Разработан программный комплекс решения задач в удаленном режиме, позволяющий пользователям удаленно решать различные задачи численными методами через Web-браузер.