Содержание к диссертации
Введение
1 Моделирование пористых структур 18
1.1 Моделирование процесса фильтрации 21
1.1.1 Система уравнений однофазной фильтрации 23
1.1.2 Нарушение линейного закона фильтрации 24
1.2 Эффективные показатели пористой среды 27
1.2.1 Осреднение показателей в пористой среде 28
1.2.2 Распределение размеров в пористой среде 32
1.2.3 Эмпирические показатели пористой среды 37
1.2.4 Вероятностные характеристики пористой среды 40
1.3 Капиллярные модели пористых структур 41
1.3.1 Системы капилляров постоянного сечения 41
1.3.2 Многослойные системы капилляров 44
1.3.3 Регулярные сетевые системы капилляров 47
1.4 Матричные модели пористых структур 51
1.4.1 Регулярные системы сферических частиц 51
1.4.2 Регулярные системы деформируемых частиц 54
1.5 Стохастические модели пористых структур 56
1.5.1 Решёточные перколяционные модели 56
1.5.2 Континуальные перколяционные модели 62
1.5.3 Потенциальные перколяционные модели 66
1.6 Выводы 68
2 Моделирование фрактальных структур 70
2.1 Детерминированные системы функций 70
2.2 Рандомизированные системы итерированных функций
2.2.1 Четырёхугольные протофракталы 75
2.2.2 Трёх- и шестиугольные протофракталы 79
2.3 Размерность фрактальных структур 82
2.3.1 Топологическая размерность з
2.3.2 Размерность Хаусдорфа 85
2.3.3 Размерность Минковского 86
2.3.4 Размерность подобия 90
2.3.5 Скейлинговые соотношения 103
2.3.6 Вероятностные размерности 110
2.3.7 Массовая размерность 113
2.4 Выводы 115
3 Моделирование решёточной перколяции 117
3.1 Перколяция узлов на квадратной решётке 118
3.1.1 Изотропные кластеры с (1,0)-окрестностью 119
3.1.2 Изотропные кластеры с (1,п)-окрестностью 124
3.1.3 Анизотропные кластеры с (1,0)-окрестностью 129
3.1.4 Анизотропные кластеры с (1,п)-окрестностью 133
3.2 Основные показатели процесса перколяции 136
3.2.1 Порог перколяции 137
3.2.2 Мощность перколяционного кластера 142
3.2.3 Фрактальная размерность кластера 146
3.2.4 Средний радиус кластера 163
3.3 Выводы 167
4 Моделирование броуновских функций 170
4.1 Обыкновенная броуновская функция 171
4.2 Фрактальная броуновская функция 175
4.3 Последовательные случайные сложения
4.3.1 Стандартный алгоритм Фосса 179
4.3.2 Обобщённый алгоритм Фосса 186
4.4 Анализ обобщённого алгоритма Фосса 189
4.4.1 Дискретный спектральный анализ 190
4.4.2 Непрерывный вейвлетный анализ
4.5 Моделирование потенциальной перколяции 204
4.6 Выводы 209
5 Моделирование гидравлического гистерезиса 211
5.1 Инвазивная ртутная порометрия 212
5.2 Явление гидравлического гистерезиса
5.2.1 Модель контактного гистерезиса 215
5.2.2 Модель структурного гистерезиса 217
5.3 Модель перколяционного гистерезиса 219
5.3.1 Перколяционная решётка и граничные условия 220
5.3.2 Основные гипотезы и допущения 221
5.3.3 Построение модели для отдельных реализаций 223
5.3.4 Построение модели для выборочных совокупностей 226
5.3.5 Моделирование перколяционного гистерезиса 229
5.4 Выводы 231
Заключение 233
Список литературы
- Осреднение показателей в пористой среде
- Рандомизированные системы итерированных функций
- Изотропные кластеры с (1,0)-окрестностью
- Модель перколяционного гистерезиса
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Моделирование пористых структур и связанные с ним исследования процессов протекания в пористой среде традиционно занимают одно из важных мест среди современных проблем вычислительной математики и математического моделирования.
С одной стороны это обусловлено тем, что пористой можно считать структуру множества природных и искусственных материалов: почв и грунтов, тканей растений и животных, волокнистых, порошковых и вспененных металлических, керамических, полимерных и композитных материалов.
С другой стороны это обусловлено сложностью как теоретического, так и экспериментального анализа внутренней структуры пористой среды, без чего невозможны прогнозирование и оценка эффективности применения пористых материалов в новых и модернизируемых технологических процессах.
Применение моделей пористых структур оказало существенное влияние на развитие многих областей научных исследований: на теорию фильтрации и энергетику, на механику и материаловедение, на медицину и биологию, на сельское хозяйство и науки о Земле.
Степень разработанности темы исследования. Одной из первых публикаций, обозначившей проблему изучения физических процессов в пористой среде, был отчёт об экспериментальных исследованиях выпускника Политехнической школы, французского инженера Г. Дарси, изданный в Париже в середине XIX века. Годом позже Дарси опубликовал теоретическую работу с анализом экспериментальных данных и выводом известного соотношения между скоростью течения жидкости и градиентом давления в проницаемой среде, названного впоследствии его именем. Подробный анализ поставленных вопросов в этих работах создали прочный базис для нового раздела гидродинамики–– теории фильтрации жидкостей и газов в капиллярно-пористой среде.
Становление нового направления в конце XIX и первой половине XX веков тесно связано с трудами Ж. Дюпюи, Ф. Кинга и С. Слихтера, П. Форхгеймера, Н.Н. Павловского, Дж. Козени, Г. Фэнчера и Дж. Льюиса, Н.Е. Жуковского, П. Кармана, М. Маскета, С.А. Христиановича, Л.С. Лейбензона. Во второй половине XX века постановка задач в теории фильтрации значительно расширилась благодаря исследованиям П.Я. По-лубариновой–Кочиной, С. Эргуна, В.И. Аравина и С.Н. Нумерова, В.Н. Николаевского, А. Шейдеггера, Д.А. Эфроса, Р. Коллинза, В.М. Ентова,
Ф. Дюллиена, М.И. Швидлера и многих других отечественных и зарубежных учёных.
По состоянию на первое десятилетие XXI века исследования пористых структур включают в себя следующие основные направления: а) фундаментальные проблемы процессов переноса в пористых средах, включая теоретические модели течения жидкости и методы усреднения, а также фрактальные, скейлинговые и перколяционные концепции; б) принудительная конвекция в пористых средах, включая численное моделирование потоков с переменными теплофизическими характеристиками и течений с теплообменом во вращающихся и сильно анизотропных пористых средах; в) естественная и смешанная конвекции, а также течения, порождённые периодическими колебаниями поля давлений в пористой среде; г) эффекты вязкого рассеяния при естественной и смешанной конвек-циях, а также турбулентность в пористых средах; д) теплопроводность в пористых средах; е) перенос и осаждение частиц в пористой среде; ж) радиационный теплоперенос и высокотемпературные химические реакции в пористых средах; з) низкотемпературные химические реакции и связанная с ними биологическая конвекция в пористых средах; и) размерные и поверхностные эффекты в микро- и наномасштабных пористых средах.
На протяжении последнего столетия наблюдался интенсивный рост интереса к исследованию пористых структур. Например, по данным полнотекстовой базы научно-технической литературы «ScienceDirect.com», за последние десять лет было опубликовано свыше 16 тысяч научных работ по данной тематике.
Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является развитие численных методов математического моделирования пористых структур и определения их основных характеристик на основе современных концепций фрактальной геометрии и теории перко-ляции (протекания). Для достижения данной цели в настоящем диссертационном исследовании были сформулированы и решены следующие задачи: а) сравнительный анализ принципиальных моделей внутренней структуры пористой среды; б) построение моделей пористой среды, с учётом стохастического характера её внутренней структуры; в) разработка численных методов и прикладного программного обеспечения для моделирования процесса перколяции (протекания) в пористой среде; г) выявление взаимосвязей между основными показателями, характеризующими внутреннюю структуру пористой среды, и параметрами процесса протекания в этой среде; д) применение разработанных математических моделей и прикладного программного обеспечения для описания феномена структурного гистерезиса при инвазивной ртутной порометрии пористой среды и сопоставление полученных результатов с данными независимых
экспериментальных исследований.
Объекты и методы исследования. Объектом диссертационного исследования является внутренняя структура пористых сред и материалов исследуемая методами теории фрактальных множеств, решёточной, континуальной и потенциальной перколяции. Рассмотренные во второй и четвёртой главах модели фрактальных структур записывались в виде рандомизированных систем итерированных функций. Для исследования моделей фрактальных структур использовались методы линейной алгебры, теории функций и функционального анализа, теории вероятностей и математической статистики. При исследовании моделей решёточной перколяции в третьей главе методами Монте-Карло (статистических испытаний) генерировались независимые совокупности реализаций равномерно взвешенных однородных графов (в частности, двух- и трёхмерных квадратных решёток). Для оценки статистически устойчивых характеристик моделей решёточной перколяции использовались методы моментов и наименьших квадратов. Разработанное в настоящей работе прикладное программное обеспечение, реализовано с помощью средств, распространяемых под различными лицензиями семейства GNU GPL: а) компилятора языка C, разрабатываемого в рамках проекта «The GNU Compiler Collection»; б) свободного языка программирования и системы статистической обработки данных R; в) языка описания векторной графики Asymptote. Это же программное обеспечение было использовано при подготовке иллюстраций для всех основных публикаций, диссертационной работы и автореферата. Тексты диссертации и автореферата были свёрстаны с помощью свободно распространяемой издательской системы ЕТцХ 2g с применением разработанных Д. Кнутом шрифтовых гарнитур Computer Modern и Concrete.
Научная новизна результатов проведённых исследований:
-
выявлена связь двумерных случайных величин с полигональными множествами Серпинского, порождаемыми рандомизированными системами итерированных функций, для которых построены априорные оценки размерности подобия;
-
продемонстрирована связь глобальных характеристик моделей перколяции узлов на двух- и трёхмерных квадратных решётках и локальных характеристик единичной окрестности узла этих решёток, на основе которой построено иерархическое обобщение моделей изо- и анизотропной перколяции узлов на n-мерных квадратных решётках с (1,7г)-окрестно-стью Мура;
-
разработаны универсальные методы статистического оценивания характеристик кластеров узлов по выборкам их реализаций на дву- и трёх-
мерных квадратных решётках с (1,7г)-окрестностью Мура, обеспечивающие расширение допустимых значений долей достижимых узлов и повышение вычислительной эффективности оценок;
-
найдены зависимости характеристик кластеров узлов от значений показателя неметрического расстояния Минковского и компонент вектора долей достижимых узлов для моделей решёточной перколяции на дву- и трёхмерных квадратных решётках с (1,7г)-окрестностью Мура;
-
построено обобщение алгоритма случайных сложений Фосса для моделей потенциальной перколяции, позволяющее порождать одно- и двумерные реализации фрактальных броуновских функций не только с экспоненциальным, но и иными видами функций распределения средних квадратических отклонений по итерациям;
-
для исследования гидравлического гистерезиса, возникающего при ин-вазивной ртутной порометрии, разработана прикладная модель перколяции узлов на трёхмерной квадратной решётке с (1,7г)-окрестностью Мура; предложено феноменологическое обоснование взаимосвязи вероятностных параметров перколяционной модели с гидравлическими характеристиками пористой среды;
-
разработанные в рамках настоящего исследования алгоритмы реализованы в виде библиотек прикладных программ «RIFS», «SPSL», «SECP», «Voss» и опубликованы на условиях свободной лицензии GNU GPL-3 в репозиториях CRAN и Фонде алгоритмов и программ СО РАН.
Положения, выносимые на защиту:
-
метод построения новых видов самоподобных фрактальных структур, в совокупности образующих класс полигональных множеств Серпинско-го; соотношение, связывающее параметры рандомизированной системы итерированных функций с априорной оценкой размерности подобия полигональных множеств Серпинского;
-
иерархическое обобщение алгоритма моделирования изо- и анизотропной перколяции узлов на n-мерных квадратных решётках с (1,7г)-окрест-ностью Мура, независимость которого от размерности решётки достигается за счёт векторизации матрицы достижимости и применения сдвигового вектора, соответствующего топологии окрестности внутренних узлов используемой перколяционной решётки;
-
методы построения интервальных конечномерных статистических оценок мощности, фрактальной размерности и среднего радиуса кластеров узлов по распределениям относительных частот узлов для выборки реализаций на дву- и трёхмерных квадратных решётках, основанные на переходе от осреднения по реализациям к осреднению по сечению перко-ляционого процесса, благодаря чему достигается повышение точности и
вычислительной эффективности расчёта статистических оценок;
-
зависимости для интервальных оценок частоты и мощности перколя-ционных кластеров, их среднего радиуса и массовой фрактальной размерности от доли достижимых узлов и показателя Минковского; логистическую аппроксимацию зависимости порога протекания от двоичного логарифма показателя Минковского и показательно-степенную аппроксимацию зависимости мощности перколяционного кластера от порога протекания в сверхкритической области;
-
обобщение алгоритма последовательных случайных сложений Фосса, отличающегося от известных тем, что позволяет использовать для моделирования одно- и двумерных реализаций фрактальных броуновских функций не только экспоненциальную, но и иные виды функций распределения среднего квадратического отклонения нормальных приращений по итерациям;
-
физическое приложение модели изотропной перколяции узлов на трёхмерной квадратной решётке с (1, 7г)-окрестностью для исследования феномена гидравлического гистерезиса, возникающего при инвазивной ртутной порометрии с феноменологическим обоснованием взаимосвязи фиксируемых при порометрии эмпирических показателей с вероятностными параметрами перколяционной модели;
-
библиотека «RIFS», в составе которой реализованы функции построения и визуализации реализаций полигональных множеств Серпинского, порождаемых двумерными протофрактальными множествами при различных распределениях коэффициента разбиения и вероятности по элементам протофрактального множества;
-
библиотека «Voss», в составе которой реализованы функции построения одно- и двумерных реализаций фрактальных броуновских функций с произвольными функциями распределения среднего квадратического отклонения нормальных приращений по итерациям;
-
библиотека «SPSL», в составе которой реализованы функции построения отдельных реализаций кластеров узлов и распределений относительных частот узлов перколяционной решётки для их выборочных совокупностей с помощью обобщённых моделей перколяции узлов на двух- и трёхмерных квадратных решётках с изо- или анизотропной (1, -^-окрестностью;
10) библиотека «SECP», в составе которой реализованы функции оценки
массовой фрактальной размерности для отдельных реализаций класте
ров узлов и распределений относительных частот узлов перколяционной
решётки для их выборочных совокупностей с изо- или анизотропными
покрывающими множествами.
Теоретическая значимость работы обусловлена тем, что разработанные в диссертационном исследовании математические модели и численные методы вносят вклад в расширение сферы применения теории фрактальных множеств, решёточной, континуальной и потенциальной перколяции на анизотропные многомерные задачи теории фильтрации и подземной гидромеханики с непрерывной зависимостью от модельных параметров.
Практическая значимость работы обусловлена тем, что разработанные в диссертационном исследовании библиотеки прикладных программ позволяют моделировать фрактальные структуры и перколяци-онные кластеры, как для изотропных, так и для анизотропных пористых сред. Разработанное программное обеспечение может быть использовано при исследованиях систем с пористыми элементами в машиностроении и энергетике, в медицине и биотехнологиях, в сельском хозяйстве и мелиорации, а также в нефте- и газодобывающей отраслях. Полученные результаты также могут применяться при обучении студентов по направлениям «Прикладная математика», «Прикладная информатика», «Теоретическая и математическая физика», «Биофизика», «Геофизика», «Материаловедение и технологии материалов».
Описанные в приложении Б диссертации библиотеки прикладных программ «RIFS», «SPSL», «SECP», «Voss» в 2012 г. были опубликованы соискателем на условиях лицензии GNU GPL-3 и доступны через репозито-рии CRAN, включающие в себя 99 серверов, расположенных в 47 странах мира [–]. Русскоязычная документация и исходный код указанных библиотек также доступны в Фонде алгоритмов и программ, функционирующем на базе Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН [–].
Достоверность результатов, приведённых в настоящем диссертационном исследовании, достигается за счёт построения новых моделей путём расширения и обобщения уже существующих. Это подтверждается согласованием выводов, сделанных на основе численного моделирования и качественных методов анализа, а также отсутствием противоречий с данными экспериментальных исследований из известных литературных источников. Представленные в настоящем диссертационном исследовании результаты обсуждались на специализированных научных, научно-методических и научно-технических семинарах и конференциях, а также получили положительные заключения рецензентов при публикации в ведущих российских научных журналах, российских и международных Фондах алгоритмов и программ.
Апробация работы. Результаты представленных исследований прошли апробацию на 43 международных, всероссийских, региональных и
внутривузовских научных, научно-технических и научно-методических конференциях и семинарах в г. Астрахань, Воронеж, Казань, Москва, Нальчик, Пенза, Пущино в 2002–2007 и 2009–2015 гг.: 1) на III–V международных научно-технических конференциях «Авиакосмические технологии», проходивших в 2002–2004 гг. на базе Воронежского государственного технического университета; 2) на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов Воронежского государственного аграрного университета, проходивших 2004–2007, 2009–2015 гг.; 3) на международных школах-семинарах «Современные проблемы механики и прикладной математики», проходивших 2004, 2005, 2007 гг. на базе Воронежского государственного университета (ВГУ); 4) на XVIII–XIX, XXIV международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях», проходивших в 2005 г. на базе Казанского государственного технологического университета, в 2006 г. на базе Воронежской государственной технологической академии (ВГТА), в 2011 г. на базе Пензенской государственной технологической академии; 5) на II–III международных научных конференциях «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования», проходивших в 2007, 2009 гг. на базе ВГУ; 6) на I–V международных научных конференциях «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», проходивших 2009–2014 гг. на базе ВГУ; 7) на XLVIII–XLIX отчётных научных конференциях преподавателей и научных сотрудников ВГТА, проходивших в 2010–2011 гг.; 8) на XXI–XXIII научных конференциях «Понтря-гинские чтения», проходивших в 2010–2012 гг. на базе ВГУ; 9) на XI– XIII международных научно-методических конференциях «Информатика: проблемы, методология, технологии», проходивших в 2011–2013 гг. на базе ВГУ; 10) на II международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем», проходившей в 2011 г. на базе Московского государственного технологического университета «СТАНКИН»; 11) на IV–V международных научных конференциях «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования», проходивших в 2011–2012 гг. на базе ВГУ; 12) на научном семинаре «Моделирование физических свойств неупорядоченных систем: самоорганизация, критические и перколяционные явления», проходившем в 2011 г. на базе Астраханского государственного университета;
-
на международной научной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна», проходившей в 2012 г. на базе ВГУ;
-
на XX международной научной конференции «Математика. Компьютер. Образование», проходившей в 2013 г. на базе Пущинского центра биологических исследований и института биофизики клетки РАН; 15) на
IV международной научной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», проходившей в 2013 г. на базе Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН.
Публикации по теме диссертации. Материалы диссертационного исследования опубликованы в 59 работах, включающих в себя: 16 статей в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов диссертаций [–]; 1 монографию в издательстве физико-математической и технической литературы «ФИЗ-МАТЛИТ» []; 34 материала докладов в сборниках научных, научно-технических и научно-методических конференций и семинаров [–]; 4 библиотеки прикладных программ для свободной системы программирования и статистической обработки данных R, доступные под лицензией GNU GPL-3 на серверах CRAN [–] и в Фонде алгоритмов и программ СО РАН [–].
Личный вклад автора. Все результаты, представленные в диссертационной работе, были получены соискателем лично. Обсуждение и публикация полученных результатов проводились совместно с соавторами, но основное содержание настоящего исследования и положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в выполненную работу.
Связь с научными проектами. В основу диссертационного исследования положены работы, выполненные в период с 2002 по 2015 годы в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I» в рамках госбюджетной научно-исследовательской тематики: «Построение и численная реализация новых математических моделей технологических и производственных процессов в агропромышленном комплексе» (Государственный регистрационный №01.2001.00.39.87) по разделам: «Теоретические исследования качественных особенностей математических моделей» и «Применение методов многомерного статистического анализа в задачах агропромышленного комплекса».
Объем и структура работы. Настоящая работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы на 255 наименований и двух приложений. Полный объём диссертации составляет 339 страниц, включая 105 рисунков и 44 листинга программ.
Осреднение показателей в пористой среде
Из приведённых иллюстраций вполне очевидно, что непосредственный вывод системы уравнений движения жидкости в поровом пространстве реальных материалов представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Вместо этого в теории фильтрации используется феноменологический подход, при котором одно из определяющих уравнений (закон сохранения момента импульса) заменяется на некоторое полуэмпирическое соотношение, называемое законом фильтрации.
С содержательной точки зрения это означает применение для моделирования фильтрационного потока гипотезы сплошности, в рамках которой процесс фильтрации описывается как движение фиктивной сплошной сре 23 ды, через некоторое пространство, занимаемое в действительности пористой средой. Применение гипотезы сплошности для моделирования процессов в пористых структурах оказалось весьма плодотворным, поскольку позволяло избежать чрезмерного усложнения формулируемых систем дифференциальных уравнений.
Используя закон сохранения массы, запишем дифференциальное уравнение неразрывности при однофазной фильтрации без источников: + v(H = o, (1-І) где оператор V раскрывается в соответствии с выбранной системой координат; pv — поток массы фильтрующейся жидкости; р и v — плотность и скорость фильтрации жидкости через пористую среду; П — усреднённая пористость среды. Если жидкость несжимаема, а пористая среда недефор-мируема, то произведение pU. = const, а уравнение (1.1) упрощается до Vv = 0.
Закон сохранения массы дополняет уравнение фильтрации, обычно записываемое в форме Дарси и постулирующее линейную зависимость между скоростью фильтрации v и градиентом давления Vp в пористой среде: где а — коэффициент проницаемости пористой среды; р, — динамический коэффициент вязкости фильтрующейся жидкости; д — ускорение свободного падения. И хотя соотношение Дарси было установлено экспериментально [86, 87], но при записи в форме (1.2) оно вполне соответствует уравнению Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости в поле сил тяжести: p— = -Vp + pg + fiAw, (1.3) где w — вектор скорости течения жидкости. Существование подобной аналогии позволяет говорить о возможности получения уравнения фильтрации из уравнения Навье-Стокса с помощью некоторой процедуры осреднения, что вполне согласуется с ранее выдвинутой гипотезой сплошности. Объединение уравнений (1.1) и (1.2) с исключением скорости фильтрации v даёт общее уравнение однофазной фильтрации несжимаемой жидкости в недеформируемой пористой среде без источников: V(a(-Vp + pg))=0. (1.4) Для большинства анизотропных задач коэффициент проницаемости есть тензорная величина, которая в декартовых прямоугольных координатах может быть приведена к виду (OLX 0 (И а О ау О v0 0 aZJ где в изотропном случае ах = ау = az. Заметим, что если скорость фильтрации v выразить в см/с, коэффициент динамической вязкости жидкости fj, в мПа с, а градиент давления Vp в кПа, то коэффициент проницаемости а будет иметь размерность, именуемую «дарси», где 1 Д = 9,869 10 9см2.
Ещё в первые годы XX века было отмечено, что линейная зависимость между скоростью фильтрации и градиентом давления при течении вязкой жидкости в пористой среде может нарушаться [101, 127]. Нарушение линейного закона фильтрации может происходить по самым разным причинам: неньютоновская вязкость, влияние турбулентности и иных инерционных эффектов, явление проскальзывания (появляющееся при пониженных давлениях) или образование поверхностных фаз (проявляющееся при сверхнизких скоростях деформации).
Как показано у Д. Райта [191] по мере роста скорости фильтрации отклонение от закона Дарси сначала происходит из-за влияния эффектов, связанных с изменениями сечения и поворотом потока в поровых каналах [120], а затем возникает турбулентный режим течения [85, 95, 98]. При этом отклонение от закона Дарси наблюдается уже при Re 1, в то время как развитые турбулентные режимы течения — только при Re 500.
В этой области зависимость между модулями векторов скорости фильтрации и градиента давления более адекватно отображается с помощью квадратичного закона сопротивления, первый вариант которого был предложен П. Форхгеймером [101]: — S7p = —v + pplv\v\. (1.5)
Легко увидеть, что коэффициенты многочлена при v помимо динамического коэффициента вязкости fi и плотности р фильтрующейся среды содержат коэффициенты а и /?, которые имеют смысл вязкостного и инерционного коэффициентов сопротивления пористой среды.
Используя безразмерные комплексы можно записать модифицированное уравнение фильтрации в безразмерном виде: Cf = - + 2; Cf = -\7p- -; Re = , (1.6) Re pv\v\ lip где Cf — безразмерный коэффициент гидравлического сопротивления; Re — критерий Рейнольдса. Заметим, что при континуальном моделировании фильтрации жидкости в пористой среде роль характерного размера в выражении для критерия Рейнольдса играет отношение вязкостного коэффициента сопротивления к инерционному f. Запись закона сопротивления в форме (1.6) предполагает, что для фильтрационном течения можно выделить три характерных режима, показанные на рис. 1.2: 1. Вязкостный режим наблюдается при малых значениях числа Рей-нольдса Re 10 2, где коэффициент гидравлического сопротивления определяется соотношением Cf — -. 2. Для чисел Рейнольдса в диапазоне 10 2 Re 102 наблюдается переходный режим течения с коэффициентом гидравлического сопротивления, равным Cf = + 2. 3. Инерционный режим течения наблюдается при больших значениях числа Рейнольдса Re 102, где коэффициент гидравлического сопротивления можно считать практически постоянным Cf — 2. Определению значений вязкостного и инерционного коэффициентов проницаемости пористой среды были посвящены экспериментальные исследования А.Е. Шейдеггера [58], СВ. Белова [13] и В.М. Поляева [44].
Вязкостный, переходный и инер- Рис. 1.3. Скорость фильтрации воды v ционный режимы течения жидкости в по- (м/с) в зависимости от её напора h (мм вод. ристой среде для (1.6) ст.) для песчаника Безразмерная запись уравнения фильтрации в форме (1.6) показывает, что основной причиной, вызывающей отклонение от линейного закона сопротивления с ростом скорости фильтрации являются силы инерции, формирующие в пределе развитое турбулентное течение. Экспериментальные исследования Ф. Кинга [127] и Н.Н. Павловского [39], продолженные
Рандомизированные системы итерированных функций
Примером самоподобного фрактального множества может быть квадратичная снежинка Кох [30], базовым множеством для которой является граница единичного квадрата [— Результат применения преобразова ний к базовому множеству на первых трёх итерациях показан на рис. 2.13. Очевидно, что данная замкнутая кривая образуется как объединение четырёх самоподобных квадратичных кривых Кох формируемых на базе сторон исходного квадрата. Реализация алгоритма построения такой кривой для заданного числа итераций приведена в листинге А.2.3.
Как видно из рисунков и листинга квадратичная кривая Кох формируется с помощью разбиения исходного отрезка на каждой итерации на четыре элемента (коэффициент подобия s = ) с последующим увеличением числа элементов разбиения до восьми (/с = 8). Следовательно, размерность подобия квадратичной кривой Кох будет определяться отношением: ds = н = . Примечательно, что предельное множество квадратичной снежинки Кох в данном случае будет ограничивать ту же самую площадь, что и исходный квадрат.
Оценка размерности подобия ds в соответствии с (2.17) возможна не только для кривых, но и для более сложных структур, подобных рассмотренным в работе [209] распределениям Серпинского, показанным на рис. 2.3-2.8. Так размерность четырёхугольного распределения Серпинского первого порядка на рис. 2.3 (г) будет равна ds41 = j = 2, так как при разбиении рёбер квадрата с коэффициентом S41 = \ число элементов разбиения будет равно fc4i = 4.
Тогда размерности четырёхугольных распределений Серпинского второго и третьего порядков на рис. 2.4 (д) и на рис. 2.5 (е) будут равны ds42 = j яз 1,893 и ds43 = f 1,792, соответственно, так как при разбиении рёбер квадрата с коэффициентами S42 = и S43 = число элементов разбиения будет равно &42 = 8 и к з = 12.
Аналогично размерности подобия для трёх- и шестиугольных распределений Серпинского на рис. 2.6-2.8 (д) будут равны ds31 = j f 1,585 и dsZ2 = ds62 = j f 1,631, соответственно, так как при разбиении рёбер треугольника с коэффициентами s i = \ и S32 = \ число элементов разбиения будет равно &31 = 3 и fc32 = 6. Причина же совпадения размерностей подобия ds32 = ds62 состоит в том, что протофрактальные множества у трёх- и шестиугольников Серпинского второго порядка оказываются изоморфными друг другу Z32 Z62.
Сравнительный анализ приведённых результатов приводит к мысли о связи показателей к и s из (2.17) с параметрами рандомизированной системы итерированных функций (2.2). Для всех рассмотренных выше примеров параметр /z = - — 1, а число элементов протофрактального множества к совпадает с числом элементов разбиения к. Тогда размерность ds формируемой системой (2.2) самоподобной фрактальной структуры может быть определена в виде: ds{fJL\k) = - j zc = І0еі+м к- (2-18) Фрактальное множество F называется самоаффинным по отношению к вектору подобия s, если оно является объединением п непересекающихся подмножеств Fi, F2, ..., Fn, каждое из которых конгруэнтно множеству F , получаемому из F с помощью аффинного преобразования, определяемого вектором s [52].
Классическим примером самоаффинного фрактального множества является всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая косинусоида Вейерштрасса-Мандельброта у = С(х), соответствующая действительной части комплексной функции Вейерштрасса-Мандельброта W(x) с нулевой п і т і і і і і г 0 0,2 0,4 0,6 0,8
На рис. 2.14 показан пример построения нормированной по амплитуде косинусоиды Вейерштрасса-Мандельброта для двух различных интервалов значений аргумента. Из определения (2.19) видно, что функция у = С{х) является однородной: С{Ъх) = b2 DC(x). То есть, по известным значениям функции у = С(х) на произвольном конечном интервале х Є (х\, Х2) можно вычислить ее значения на любом другом интервале из области определения. Сопоставление графиков на рис. 2.14 (а-б) показывает, что графики функции у = С(х) на интервалах аргумента х Є [0,1] и х Є [0, Ь 3] оказываются подобны, при этом коэффициенты масштабирования по абсциссе sxx = b 3 и ординате syy = b 3 2 D не равны друг другу. Следовательно, график функции у = С(х) является кривой, самоаффинной по отношению к вектору sxy = (Ь"3, 0, 0, b"3(2"D), 0, 0).
Ограниченное фрактальное множество F статистически самоаффинно по отношению к вектору подобия s, если оно является объединением п непересекающихся подмножеств Fi, F2, ..., Fn, каждое из которых обладает теми же статистическими характеристиками, что и множество F1, получаемому из F с помощью аффинного преобразования, определяемого вектором s [52].
Заметим, что самоподобие является частным случаем свойства самоаффинности. Например, множество F, самоподобное с коэффициентом s в R2, также является самоаффинным по отношению к вектору sxy = (s, 0, 0, s, 0, 0). В таком случае можно сказать, что ограниченное фрактальное множество F статистически самоподобно с коэффициентом подобия s, если оно является объединением п непересекающихся подмножеств Fi, F2, ..., Fn, каждое из которых обладает теми же статистическими характеристиками, что и множество F , конгруэнтное множеству F после преобразования подобия с показателем s.
Классическим примером статистически самоаффинного фрактального множества является траектория перемещений броуновской частицы на плоскости в фиксированные моменты времени при наличии глобального градиента. Вычисления показывают, что статистические характеристики траекторий, приведённых на рис. 2.15 (а-б) подобны (если точнее, то различие между ними является статистически незначимым), однако их простран V2 ственные масштабы различаются в — 200 раз. Таким образом, траектория броуновской частицы на плоскости является статистически самоаффинной по отношению к вектору sxyt = ( , 0, 0, 0, , 0, 0, 0, 0, 0, 0). Реализации на языках Asymptote и R алгоритмов построения траектории броуновской частицы между двумя произвольными точками на плоскости и в пространстве за заданное число шагов показаны в листингах А.2.4.
Метод Ричардсона. Одним из самых известных в научной литературе примеров статистически самоподобных фрактальных множеств является береговая линия западного побережья острова Британия исследованная в работе известного английского метеоролога и картографа Л. Ричардсона [160], которая вышла уже после его смерти в 1961 г. В этой работе с помощью последовательности все более точных карт измерялась длина береговой линии. Линия аппроксимировалась с помощью ломаной Ь(Ь), составленной из отдельных хорд длиной Ъ. Ричардсон полагал, что существует конечный предел L(b) — L при Ъ — 0, как это бывает у гладких кривых.
Изотропные кластеры с (1,0)-окрестностью
Одной из наиболее эффективных процедур для формирования реализаций фрактальной броуновской функции является алгоритм последовательных случайных сложений, впервые представленный Р. Фоссом в 1985 году на Берлинской конференции по фундаментальным алгоритмам компьютерной графики [186].
В одномерном варианте алгоритма Фосса представляет собой рекурсивную последовательность сложений значений некоторой псевдослучайной функции Xk-i со случайными приращениями: Хк = %k-i + Axk, где Axk N(0, (Ju) — центрированная нормально распределённая случайная величина с заданным средним квадратическим отклонением а .
Изменение числа точек определяется величиной коэффициента разбиения (4.14) Atk At,, где Atk, Atk-i — приращения по независимой переменной для двух последовательных поколений фрактальной функции. Тогда число точек определения для к-го поколения фрактальной функции может быть записано в виде Щг = riVfc_i. (4.15) Так как величина N является неубывающей функцией разрешения по независимой переменной, то начальные значения фрактальной функции в дополнительных точках Xo(tk) для каждого последующего к-го поколения определяются методом линейной интерполяции по её значениям в предыдущем (к — 1)-ом поколении. Разрешением функции X(t) по независимой переменной будем назвать величину, прямо пропорциональную наименьшему расстоянию mm(Atk) между точками, для которых её значения в г-ом поколении определены.
Дополнительно необходимо потребовать [52], чтобы среднее квадрати-ческое отклонение приращений по зависимой переменной подчинялось соотношению 0к\г,Н = гнсгк-ъ (4.16) где (Jk\r,H — среднее квадратическое отклонение приращений по зависимой переменной для к-го поколения фрактальной функции при заданных значениях параметров г и Н; Н — показатель Хёрста.
Пример выполнения последовательности случайных сложений для первых трёх поколений фрактальной функции X(t) показан на рис. 4.5. Точки, принадлежащие одной и той же итерации, соединены линиями. Три верхних точки соответствуют первой итерации к = 1, пять средних точек — второй к = 2, а девять нижних — третьей итерации к = 3 фрактальной Последовательные случайные Рис. 4.6. Функции распределения показа-сложения для трёх итераций фрактальной телей Ыщг и ацг,н Аля стандартного алго-броуновской функции X(t) при г = Н = ритма Фосса при г функции. Для большей наглядности ординаты точек двух первых итераций условно смещены на Ах\ = 0,3 и Д2 = 0,1. При реализации алгоритма случайных сложений для каждого элемента множества значений функции текущего поколения удобно использовать рекурсивное представление в виде нормально распределённой случайной величины с математическим ожиданием, равным интерполированному значению функции предыдущего поколения, и средним квадратическим отклонением по (4.16).
Из изложенного выше следует, что значения фрактальной функции X(t) зависят от распределения показателей Nk\r и ацг,н по итерациям к. Анализ соотношений (4.15)-(4.16) показывает, что стандартный алгоритм Фосса предполагает монотонное возрастание числа точек N и убывание среднего квадратического отклонения а по мере роста к. Типичное распределение указанных величин при г = показано на рис. 4.6. Символы "" соответствуют графику Nk\r, а символы "о", "+" и "х" — графикам &k\r,H при возрастающих показателях Хёрста Н = , , . Начальное значение показателя 7о нормируется суммой сходящегося степенного ряда, определяемого рекурсивным соотношением (4.16):
Описанный алгоритм допускает вполне тривиальное обобщение на слу 182 чай двух или большего числа независимых переменных. Примеры одно- и двумерных обыкновенных и фрактальных броуновских функций, показанные на рисунках 4.1-4.4, построены при различных значениях параметра «Н» с использованием описанных в приложении Б.2 функций «vossldQ» и «voss2dQ», содержащих реализации стандартного алгоритма последовательных случайных сложений Фосса для системы R.
Статистический анализ алгоритма Фосса. Одной из часто возникающих задач в научно-исследовательской практике является оценка параметров теоретического распределения случайной величины по ограниченному ряду её наблюдаемых значений. В случае фрактальной броуновской функции основным параметром распределения является показатель Хёрста Н.
Следуя работе [229] для оценки показателя Н воспользуемся допущением о нормальности распределения приращений фрактальной броуновской функции. Заметим, что с ростом показателя Хёрста Н размерность реализаций функции (4.13) снижается, что обусловлено более быстрым падением амплитуды приращений АХ в соответствии с (4.16). Выполним отображение наблюдаемых значений реализации фрактальной функции Xj на плоскость независимых переменных ОУШ с единичным лагом: Vj = Xj+i, ujj = Xj. (4.18)
В этом случае, расстояние от полученных точек до прямой ш = v будет определяться минимальным средним квадратическим отклонением приращений для анализируемой реализации фрактальной функции.
Модель перколяционного гистерезиса
Для статистически изотропных реализаций кластеров узлов на трёхмерной квадратной решётке неподвижная точка покрывающего множества должна быть расположена в центре решётки (0,0,0). Для оценки зависимости массовой фрактальной размерности d от доли достижимых узлов р воспользуемся вначале отдельными реализациями изотропных кластеров узлов с (1,7г)-окрестностью при 7Г = 1 и стартовым подмножеством вдоль внешних границ трёхмерной квадратной решётки размером I = 129 узлов.
На рис. 5.6 (а-б) показаны средние сечения z = 0 трёхмерных реали 224 зации изотропных кластеров для до- и сверхкритических значении долей достижимых узлов: а) р = 0,1565 рс(тг = 1); б) р = 0,1965 рс(тг = 1). Тогда, при стартовом подмножестве, состоящем из достижимых узлов вдоль внешних границ решётки: (±, у, z)\ (х, ±, z)\ (х, у, ±), покрывающее множество будет строиться из оболочек кубических элементов с фиксированным внешним размером /0 и переменной ТОЛЩИНОЙ Г% = IQ — 1г, где 1г — переменный размер исключаемой области.
Практически это означает, что выборка абсолютных частот {пг} покрываемых узлов кластера будет определяться разностью абсолютных частот всех узлов перколяционной решётки и узлов, покрываемых масштабируемой областью исключения. В примерах, показанных на рис. 5.6, множество областей исключения образуется двенадцатью симметрично сжимаемыми кубическими элементами с неподвижной точкой в центре решётки (0, 0, 0).
На рис. 5.7 (а-б) показаны линейные модели, позволяющие получить оценки коэффициентов линейной регрессии: а) 10)95 (Рп) = (0,506; 0,748) при р = 0,1565 рс(1); б) 10,95 (Рп) = (0,700; 0,937) при р = 0,1965 рс(1). Символы “о” соответствуют выборочным значениям (Inгг, Inпг) для суммарных абсолютных частот узлов пг, покрываемых оболочкой текущего размера гг. Полученные в разделе 3.2.3 результаты, позволяют предположить, что при увеличении доли достижимых узлов р Є (0,1) точечные оценки коэффициента регрессии абсолютных частот будут монотонно возрастать на промежутке рп Є (0,1). При этом толщина оболочки гг будет возрастать по г как функция, выпуклая вниз, а численность узлов пг — как функция, выпуклая вверх, что обусловлено наличием ограничения на текущее число узлов пг IQ по мере увеличения толщины оболочки гг 1о при фиксированном размере решётки 10. В результате, несмотря на достаточно высокие значения коэффициентов детерминации R2a 0,8, адекватность линейной модели при р — 1— будет оставаться слабой.
Для решения указанной проблемы вместо суммы абсолютных частот узлов оболочки пг воспользуемся суммой их отклонений Апг = пх — пг от предельного числа узлов пх для оболочки текущего размера гг при р — 1—. Линейные модели, позволяющие получить оценки коэффициентов регрессии отклонений, показаны на рис. 5.7: а) 10,э5 ІРАП) = (0,187; 0,216) при р = 0,1565 рс(тт = 1); б) I0i95 (РАП) = (0,007; 0,013) при р = 0,1965 рс(-7г = 1). Символы “” соответствуют выборочным значениям (1пгг; 1пЛпг) для отклонений суммарных абсолютных частот узлов Лпг, покрываемых оболочкой текущего размера гг.
По рис. 5.7 (а-б) можно предположить, что адекватность линейной модели выборочным данным (1пгг,1пЛпг) будет возрастать при р — 1—, а радиусы доверительных интервалов для коэффициента регрессии рдп — снижаться до єдп — 0+. Действительно, оценивая нормальность распределения остатков ещ и едПг линейных моделей по приведённым на рис. 5.7 (в-г) квантиль-квантильным графикам нетрудно заметить, что показанное символами “” распределение остатков едп. значительно лучше соответствует показанному сплошными линиями теоретическому нормальному распределению, чем распределение остатков еп., показанное символами “о”. Кроме того, с учётом сделанных определений можно показать, что при увеличении доли достижимых узлов на р Є (0,1) точечные оценки коэффициента регрессии рдп отклонений абсолютных частот An будут монотонно убывать на промежутке рдп Є (0,1).
Статистические оценки коэффициента регрессии рдп, полученные для отдельных реализаций при докритических долях достижимых узлов решётки р Рс(тг), будут зависеть от репрезентативности выбранной реализации, что существенно снижает ценность полученных результатов. Как ранее было показано в разделе 3.2.3, одним из эффективных способов для преодоления указанного недостатка является переход от оценки коэффициента рдп по отклонениям абсолютных частот для отдельных реализаций кластеров к оценке коэффициента рд по отклонениям относительных частот для их выборочной совокупности.
Тогда для оценки зависимости массовой фрактальной размерности d от доли достижимых узлов р воспользуемся выборочными совокупностями ре 227 ализаций изотропных кластеров узлов с (1,7г)-окрестностью при 7Г = 1 и стартовым подмножеством вдоль внешних границ трёхмерной квадратной решётки размером I = 129 узлов. На рис. 5.8 (а-б) показаны средние сечения z = 0 распределений относительных частот узлов трёхмерной перко-ляционной решётки по выборкам объёмом п = 200 реализаций изотропных кластеров для до- и сверхкритических значений долей достижимых узлов: а) р = 0,1565 рс(тг = 1); б) р = 0,1965 рс(тг = 1). Белый цвет на рис. 5.8 (а-б) соответствует наибольшему значению относительной часто ты текущего узла решётки v = 1, а тёмно-серый цвет — усреднённому по выборке значению относительной частоты v(p), которая в данном случае будет функцией доли достижимых узлов решётки: a) f(0,1565) ж 0,0185;
На рис. 5.9 (а-б) показаны линейные модели, позволяющие получить интервальные оценки коэффициентов линейной регрессии: а) 10(95 (Pv) = = (0,253; 0,520) при р = 0,1565 рс(тг = 1); б) 10,95 (А,) = (0,672; 0,893) при р = 0,1965 рс(тг = 1). Символы “о” соответствуют выборочным значениям (1пгг;1пі;г) для суммарных относительных частот узлов vl, покрываемых оболочной текущего размера гг.
Как и ожидалось, неопределённость интервальных оценок 10)95 (Pv), найденных для выборочных совокупностей объёмом п = 200 реализаций, по сравнению с отдельными реализациями изотропных кластеров узлов значимо не изменилась. Действительно, єп(0,1565) & 0,1242, что вполне сопоставимо с .„(0,1565) & 0,1334, а еп(0,1965) & 0,1184, что также сопоставимо с Єї,(0,1965) ж 0,1104. Это подтверждает гипотезу о недостаточной адекватности линейной функции при аппроксимации эмпирических точек (1ппг; 1пгг) или (1пі;г;1пгг).