Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. О механизмах жидкометаллическои коррозии 10
1.1. Фронтальное растворение 10
1.2. Селективное растворение 14
1.3. Образование твердых растворов и соединений на поверхности 17
1.4. Межкристаллитная коррозия 21
1.5. Влияние примесей в жидком металле на коррозию сталей 25
1.6. Коррозионное растрескивание 34
1.7. Перенос масс теплоносителем 37
1.8. Математическое моделирование коррозионных процессов 49
Выводы к главе 1 54
Глава 2. Математическая модель зереннои структуры сталей 55
2.1. Случайная плотная упаковка шаров 55
2.2. Построение СПУШ в двумерном случае 56
2.3. Построение трехмерной СПУШ 60
2.4. Построение многоугольников Вороного (областей Дирихле) из дисков СПУШ 61
2.5. Построение полиэдров Вороного вокруг шаров трехмерной СПУШ 65
Выводы к главе 2 70
Глава 3. Модель межкристаллитнои коррозии 71
3.1. Модель проникновения натрия в конструкционный материал по межзеренному ребру 71
3.1.1. Нелинейная модель 72
3.1.2. Вариационный метод 75
3.1.3. Реализация нелинейной модели 78
3.1.4. Результаты расчетов по нелинейной модели 83
3.1.5. Линейная модель 86
3.1.6. Результаты расчетов по линейной модели 88
3.2. Модель мсжкристаллитной коррозии на пространственной сети ребер зерен 90
3.2.1. Линейная модель.коррозии по реберной структуре 90
3.2.2. Подобие процессов переноса в сети ребер ПВ и в электрических цепях постоянного тока 93
3.2.3. Решение задачи методом узловых уравнений 94
3.3. Модель межкристаллитной коррозии с учетом плоских границ зерен 99
3.3.1. Модель проникновения теплоносителя на грани 99
3.3.2. Модификация узловых уравнений 103
3.3.3. Алгоритм численного решения задачи межкристаллитной коррозии 106
Выводы к главе 3 108
Глава 4. Критериальный подход к решению задач межкристаллитной коррозии 109
4.1. Учет коррозионных процессов на гранях полиэдров Вороного в распределении примесных элементов по общему для них ребру 109
4.2. Физико-химический критерий линейного распределения продуктов коррозии на ребре 111
4.3. Геометрический критерий линейности и его физический смысл 118
Выводы к главе 4 121
Заключение 122
Список использованных источников
- Образование твердых растворов и соединений на поверхности
- Построение многоугольников Вороного (областей Дирихле) из дисков СПУШ
- Реализация нелинейной модели
- Физико-химический критерий линейного распределения продуктов коррозии на ребре
Введение к работе
Актуальность темы. Основная часть электроэнергии в России производится с помощью электростанций (ЭС) на угле и природном газе. При этом тепловые ЭС имеют ряд присущих им недостатков /1,2/:
• истощение запасов ископаемого топлива;
• быстрый рост его стоимости;
• загрязнение окружающей среды углекислым газом и другими веществами, образующимися при сжигании органического топлива.
Напротив, для ядерной энергетики (ЯЭ) характерны /1,2/:
• устойчивая тенденция ослабления воздействия на окружающую среду по мере совершенствования оборудования;
• умеренный рост цен на ядерное топливо.
Все это остро ставит вопрос о развитии ЯЭ. Однако из-за небольших запасов 235U сжигание его в тепловых реакторах не способствует масштабному развитию ядерной энергетики 121. Реакторы-размножители на быстрых нейтронах при условии замкнутого топливного цикла могут обеспечить воспроизводство ядерного топлива на длительную перспективу /1,3/. Кроме того, реакторы на быстрых нейтронах могут использоваться для выжигания долгоживущих минорных актинидов перед захоронением радиоактивных отходов /2,3/.
Для реакторов-размножителей в качестве теплоносителей предполагается использовать жидкие металлы /4/. В целом, технология жидкометаллических теплоносителей разработана и достаточно успешно применяется в промышленности /5-11/. Теперь актуальной задачей стало расширение сферы использования жидкометаллических теплоносителей по температуре, расходам, давлениям и ресурсу с учетом особенностей ядерной энергетической установки (ЯЭУ), при этом отработанные приемы могут оказаться неэффективными.
Так, например, с конверсией технологии жидкометаллических теплоносителей реакторов атомных подводных лодок (АПЛ) в стационарную ЯЭ стало ясно, что необходимо использовать результаты фундаментальных исследований по физической химии тяжелых теплоносителей и модифицировать технологические приемы обращения с теплоносителем /3,12-14/. Методы и средства технологии сплава свинец-висмут внедрялись с учетом возможностей их размещения в плотной компоновке активной зоны и ЯЭУ. Поэтому системы непрерывного регулирования окислительного потенциала теплоносителя и контура не реализовались - ЯЭУ АПЛ не оснащались средствами локализации продуктов коррозии конструкционных материалов и поддержания заданного качества теплоносителя, что необходимо для стационарной установки, рассчитанной на эксплуатацию в течение нескольких десятилетий.
Таким образом, несмотря на значительный задел, усовершенствование жидкометаллической технологии по-прежнему актуально. Особенно сложной проблемой в данной области является обеспечение коррозионной устойчивости конструкционных сталей активной зоны реактора к воздействию жидких металлов в течение всего срока эксплуатации АЭС. При этом, характеристики коррозионного процесса, выявляемые из данных экспериментов, трудно интерпретировать, поскольку часто не удается учесть все факторы, влияющие на процесс коррозии в каждом конкретном случае /15,16/. Именно поэтому данные скорости коррозии и растворимости химических элементов в жидких металлах различаются в десятки раз при достаточно близких условиях проведения экспериментов.
Выход из тупиковой ситуации видится в исследовании механизмов коррозии, что позволит выделить ключевые факторы для качественного анализа результатов уже проведенных и постановки новых коррозионных испытаний. Однако изучение этих механизмов в натурных коррозионных испытаниях слишком дорого. Более того, в ряде случаев прямой эксперимент просто невозможно провести, например, если исследуемый коррозионный процесс развивается в течение нескольких десятилетий.
Решение поставленной задачи можно выполнить методом математического моделирования. Проведение численных экспериментов для изучения механизмов коррозии вместо натурного экспериментирования заметно сокращает затраты материальных и временных ресурсов.
Диссертационная работа посвящена численному моделированию межкристаллитной коррозии. Выбор для исследования именно межкристаллитной коррозии обусловлен высокой но сравнению с фронтальным растворением кинетикой, что делает такой процесс более опасным видом повреждения конструкционного материала в жидкомсталлической среде. Кроме того, практически отсутствуют публикации но моделированию этого процесса /16/.
Цель работы и задачи исследования. Целью работы является разработка эффективного алгоритма компьютерного моделирования межкристаллитгюи коррозии на базе современных информационных технологий с использованием оригинальных средств визуализации. Для этого нужно было решить следующие задачи:
• построить математическую модель зерепной структуры стали;
• построить модель, описывающую проникновение жидкого металла в твердый по пространственной сети межзеренных промежутков;
• обосновать способ численного решения системы дифференциальных уравнений и алгоритмизировать его;
• разработать программное обеспечение, реализующее эти алгоритмы расчетов;
• вывести критерии применимости полученных моделей.
Личный вклад автора. Следующие результаты диссертации получены непосредственно ее автором:
• Построена и алгоритмизирована математическая модель зеренной структуры конструкционного материала в двух и трех измерениях на основе случайной плотной упаковки шаров с последующим построением вокруг них полиэдров Вороного.
• Построена и алгоритмизирована математическая модель проникновения жидкого металла в тело конструкционного материала по ребру полиэдра Вороного.
• Предложен метод построения разностной схемы для решения задачи Стефана на основе методов вариационного исчисления.
• Для переноса модели проникновения жидкого металла в конструкционный материал по ребру зерна на пространственную сеть ребер полиэдров Вороного разработан метод на основе законов сохранения. Используется система линейных уравнений в матричной форме, эффективной для алгоритмизации модели.
Получены безразмерные критерии квазилинейности распределения продуктов коррозии на ребрах зереииой структуры для идентификации области применимости построенной модели межкристаллитной коррозии Научная новизна работы.
1. Впервые модель зеренной структуры стали строится на основе случайной плотной упаковки шаров.
2. Предложен оригинальный метод построения разностной схемы для решения задачи Стефана на базе вариационного исчисления.
3. Для определения концентраций продуктов коррозии в вершинах графа, образованного ребрами зеренной структуры, применена методика, использующая законы сохранения.
Практическая значимость. В настоящее время математические модели коррозионного проникновения жидкого металла в твердый со степенью детализации, достигнутой в диссертационной работе, в литературе отсутствуют. В рамках предложенной модели возможно математическое моделирование наиболее опасного вида воздействия жидкого металла на конструкционный материал -межкристаллитной коррозии на новом уровне понимания механизмов данного процесса, что может заменить дорогостоящие, а в ряде случаев невозможные, натурные коррозионные испытания.
На защиту выносятся.
1. Модель зеренной структуры стали на основе случайной плотной упаковки шаров.
2. Метод построения разностной схемы для решения задачи Стефана с использованием приемов вариационного исчисления.
3. Метод расчета концентраций продуктов коррозии в межзеренных промежутках на основе закона сохранения массы вещества.
4. Критерии валидации модели межкристаллитной коррозии.
Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались на всероссийских и международных конференциях /17,18/.
С печатными работами, опубликованными по материалам диссертации /19,20/, автор дважды становился призером конкурса ПІЦ РФ-ФЭИ имени А.И. Лейпунского по итогам 1997 и 1998 годов.
По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ/16-24/.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения. Работа изложена на 134 страницах, включая 40 рисунков и список литературы из 110 наименований.
В первой главе дается обзор публикаций о явлениях, происходящих при коррозии конструкционных Материалов в жидкометаллической среде. Показано, что накоплен обширный экспериментальный и теоретический материал по данной теме. Оказалось, что уровень понимания таких явлений скорее общий, чем детальный. Попытки моделирования этих процессов далеки от эффективного прогнозирования коррозионных явлений. Если модель хотя бы качественно описывает характер изменения экспериментальных данных, это уже считается успехом. При этом степень упрощения модели, как правило, велика. Так, перенос массы обычно моделируется без учета характера растворения конструкционного материала и особенностей осаждения его элементов. Модели же меж кристаллита ой коррозии или коррозионного растрескивания практически не развиваются. Поэтому актуальной задачей является математическое моделирование коррозионного проникновения жидкого металла в твердый.
Во второй главе строится математическая модель зеренной структуры металла. Для этого сначала моделируется случайная плотная упаковка шаров различного размера, причем радиусы шаров выбираются случайно по нормальному распределению Гаусса. Затем вокруг шаров строятся полиэдры Вороного, имитирующие зерна поликристалла. Для визуализации ЗО-результатов моделирования используется перспективное стереоскопическое проектирование.
В третьей главе строится физико-химическая модель коррозионных процессов, происходящих в межзеренных промежутках при проникновении жидкого металла в поликристалл конструкционного материала. Для моделирования коррозионного процесса на ребрах и гранях полиэдров Вороного разработан метод построения разностной схемы для решения задачи Стефана на основе вариационного исчисления, а метод расчета концентрации продуктов коррозии в межзеренных промежутках использует закон сохранения массы вещества.
В четвертой главе исследуется область применимости разработанной модели межкристаллитной коррозии. Выводится критерий валидации модели, связывающий геометрические параметры задачи.
В заключение автор выражает искреннюю признательность А.Л. Шимкевичу за руководство работой, обсуждение связанных с ней многочисленных вопросов, полезные советы и постоянное внимание.
Автор благодарит также Ю.В. Конобеева, В.А. Печенкина и всех остальных сотрудников лаборатории 101 ГНЦ РФ-ФЭИ за поддержку в подготовке диссертации и ряд ценных замечаний.
Образование твердых растворов и соединений на поверхности
Образование твердых растворов и соединений является, в некотором смысле, процессом, обратным растворению твердого металла в жидком. Наблюдается это явление в случае, когда жидкий металл растворяется в твердом или образует с его компонентами соединения. Отличительной чертой такой коррозии является увеличение массы корродирующего материала /6,40/. Подчеркнем, что к данному виду коррозии здесь относится взаимодействие конструкционного материала именно с жидким металлом, а не с его примесями /6,41/. Взаимодействие твердого металла с примесями, растворенными в расплаве, рассмотрено в 1.5.
Образование твердых растворов и соединений лимитируется диффузионными процессами в твердой фазе. Первые, представляющие собой ту же фазу, что и исходный металл, обусловлены пассивной диффузией /41/, а интерметаллические соединения и новые фазовые образования - реактивной диффузией/6,11/.
В случае твердого раствора замещения концентрация жидкого металла по глубине твердого уменьшается монотонно и непрерывно. Поэтому трудно выявить металлографическими исследованиями границу диффузионного фронта. Глубина диффузии, как расстояние от поверхности до уровня заданного отношения его концентрации к предельной концентрации С/С0, определяется уравнением /6/ Ід=К 5 і, (1.12) где Dme - коэффициент диффузии жидкого металла в твердом, / - время, К- константа, зависящая от С/С0 .
В случае реактивной диффузии концентрация изменяется непрерывно и монотонно лишь в пределах одной фазы. На границе соединений она изменяется скачком. Поэтому границы фазовых слоев обычно хорошо видны на шлифах после травления.
В некоторых случаях образующееся соединение может иметь удельный объем меньше, чем исходный металл. Тогда коррозионный слой растрескивается вследствие растягивающих напряжений. В итоге, скорость коррозии становится большой и не подчиняется закону (1.13) 161.
Коррозионная зона в виде твердого раствора или соединения, образовавшаяся на поверхности конструкционного материала, обычно отрицательно влияет на его свойства. Как правило, такой слой бывает хрупким, что приводит к снижению пластичности материала.
При проектировании реакторов стремятся к тому, чтобы компоненты сталей не образовывали ни твердых растворов, ни соединений с жидкими металлами, использующимися в качестве теплоносителей. Так, железо не вступает во взаимодействие с жидкими натрием, калием, литием, свинцом и висмутом /6,42/. Этого нельзя сказать о расплавленном олове, которое способно интенсивно проникать в сталь с образованием интерметаллических фаз Fe-Sn и разрушать материал /43/. Жидкое олово вообще агрессивно действует на стали, взаимодействуя с большинством компонентов до образования интерметаллических соединений /8,42/. Имеется также сообщение об образовании свинцом интерметаллического соединения со сталью 3X25N (марка 466) /8/.
К воздействию жидкого металла на конструкционный материал можно также отнести взаимодействие щелочных металлов с неметаллическими примесями, растворенными в сталях и сплавах.
Жидкий литий, содержащий 0.01 масс. % кислорода, способен восстанавливать оксиды ниобия, тантала, титана, циркония, иттрия, гафния и ванадия /6,10,44/, а ниобий отдает кислород литию даже при малых концентрациях этой примеси /10/. Процесс сопровождается проникновением лития в ниобий по границам зерен. Степень проникновения увеличивается с ростом температуры и концентрации кислорода в ниобии /9/, что приводит к снижению твердости, прочности и пластичности ниобия, а при концентрации кислорода в ниобии более 0.15 масс. % вызывает катастрофическое охрупчивание/6/.
Добавка же циркония в ниобий связывает в нем кислород, препятствует переходу кислорода из ниобия в жидкий литий и, тем самым, проникновению лития в ниобий /9,10/. Экспериментально показано, что твердые растворы и соединения в контакте с литием восстанавливаются. Восстановление раствора сопровождается образованием раковин в поверхностном слое металла, а соединения -проницаемостью лития через металлическую стенку /45/.
С углеродом, входящим в сталь, литий взаимодействует до образования карбида, термодинамически более стойкого, чем карбид железа. При температуре, по крайней мере, 723С, когда углерод в стали присутствует в виде фазы Fe C, возможна реакция /8-11/ 21л(ж) + 2Fe3C(TB) - Li2C2 (тв) + 6Fe(TB). (1.14)
Термодинамически стойкие соединения литий образует также с серой и фосфором /6,10/. В углеродистых сталях и чугунах взаимодействие лития с углеродом начинается при 400С /8/. В результате, углеродистая сталь обезуглероживается. В поверхностном слое остается феррит, а перлит разрушается, причем обеднение углерода значительно. Например, в эксперименте /6/ при 800С в течение 250 ч литиевая коррозия привела к снижению содержания углерода в стали У10 с 1 % до 0.16 % , а в чугуне с 3.55 % до 0.25 %. При воздействии лития на сталь исходная структура разрушается, и появляются включения соединений лития (вероятно, карбидов). При этом литий быстро проникает в углеродистую сталь. Выдержка ст. 20 при 600С в течение 3 ч в жидком литии приводит к проникновению его на 2 мм, а в ст. 45 - на 4.5 мм 161.
Удельный объем продуктов коррозии в стали больше удельного объема матрицы, поэтому при их образовании твердая матрица растрескивается. Например, удельный объем продуктов реакции (1.14) примерно на 40% больше, чем удельный объем Fe3C /9,11/. Это вызывает резкое снижение прочности и пластичности материала 161.
Примесным элементом, провоцирующим проникновение лития в твердый металл, может быть азот. Например, в стабилизированные азотом аустенитные хромомарганцевые стали с низким содержанием никеля литий проникает по границам зерен с образованием предположительно соединения LigCrNs /10/.
Реактивный характер проникновения лития в стали обусловливает их разрушение по границам зерен, поскольку именно они (границы) обогащены неметаллическими примесями - углеродом, кислородом, серой и др. Поэтому в железе вакуумного переплава глубина проникновения лития существенно уменьшается по сравнению с техническим железом, поскольку концентрация неметаллических примесей в нем значительно ниже /10/.
Построение многоугольников Вороного (областей Дирихле) из дисков СПУШ
Следующим этапом построения зеренной структуры металла является преобразование случайной плотной упаковки шаров в полиэдры Вороного -выпуклые многогранники, все точки которых лежат ближе к центру вписанного шара, чем к центру любого другого шара СПУШ /101/.
Рассмотрим двумерный случай, в котором полиэдр Вороного (называемый также областью Дирихле /101/) является выпуклым многоугольником, построенным следующим образом. Центр произвольного диска соединяется отрезками с центрами соседних дисков. Перпендикулярно этим отрезкам посередине проводятся прямые. Многоугольник, ограниченный ими, и представляет собой двумерный вариант полиэдра Вороного (см. рис. 2.7) /99,101/. Рис. 2.7. Построение «классического» двумерного полиэдра Вороного
Из (2.5) следует, что при относительно небольшой (10%) дисперсии радиусов дисков можно выбрать 8 = 2(V2 -1Jr = 0.83 г , где г - математическое ожидание радиуса диска. Однако численные эксперименты показали, что лучших результатов построения многоугольников Вороного удается достигнуть при 5 = 7. Поэтому алгоритм построения многоугольников Вороного вокруг 2D СПУШ сводится к следующему: 1. Для произвольно выбранного диска по критерию (2.3) находятся ближайшие соседи. 2. Ближайшие соседи упорядочиваются по росту угла, между радиусами-векторами, проведенными из О в 0„ (рис. 2.8), и горизонталью против часовой стрелки. 3. На отрезках, соединяющих точки О и 0„ , исходя из (2.2), ищутся точки пересечения со сторонами многоугольника Вороного (точки G„ рис. 2.8). 4. Ищутся точки попарного пересечения перпендикуляров, восстановленных к отрезкам, соединяющим точку О с центрами ближайших соседей (рис. 2.8), номера которых в упорядоченном на шаге 2 списке различаются на 1. Таким образом, находятся вершины многоугольника. 5. Выбирается следующий диск. Возврат к этапу 1.
Построение полиэдров Вороного в трехмерном случае аналогично 2D случаю. Центр произвольного шара соединяется отрезками с центрами ближайших соседей. Из условия (2.2) на каждом отрезке ищется точка пересечения с перпендикулярной плоскостью. Взаимное пересечение этих плоскостей замыкает полиэдр Вороного. Вместе с тем, алгоритм построения 3D полиэдра Вороного сложнее. Рассмотрим его этапы.
1. Поиск ближайших соседей для произвольно выбранного шара из условия (2.3). Численные эксперименты показали эффективность критерия (2.3) для дисперсии радиусов шаров меньше 10 %. При этом принималось 6 = 7.
2. На радиус-векторах ближайших соседей, проведенных из центра выбранного шара, определяются в соответствии с (2.2) точки пересечения с гранью полиэдра Вороного. Вычисляются коэффициенты в уравнениях плоскостей, проходящих через найденные точки перпендикулярно соответствующим радиус-векторам.
На следующих шагах алгоритма для одного из ближайших соседей данного шара строится соответствующая грань полиэдра. Для этого из числа ближайших соседей выберем тех, которым соответствуют грани, имеющие общие ребра со строящейся гранью. В качестве стартовой воспользуемся конфигурацией шаров в 3D СПУШ, состоящей из центрального шара и 12 ближайших соседей в виде деформированного икосаэдра /100,101/. Тогда Полиэдр Вороного, построенный вокруг центрального шара искаженного икосаэдра, является неправильным додекаэдром. Дополнительным аргументом в пользу того, что наиболее вероятным типом полиэдра Вороного служит искаженный додекаэдр, является тот факт, что пятиугольные грани у полиэдров Вороного в 3D СПУШ встречаются наиболее часто /99/. 4. Проводятся линии пересечения плоскости строящейся грани и тех плоскостей граней ближайших соседей, которые удовлетворяют условию (2.7). 5. Определяются точки попарного пересечения тех линий, которые принадлежат плоскостям граней с номерами (полученными на шаге 3), отличающимися на 1. Так находятся вершины построенной грани. Данная процедура полностью аналогична описанной на шаге 4 для построения 2D полиэдра Вороного (см. 2.4.). 6. Выбирается следующий из ближайших соседей для построения соответствующей ему внешней грани. Переход к шагу 3. 7. Когда найдены все вершины, ребра и грани полиэдра Вороного данного шара, выбирается следующий шар, и переходят к шагу 1. Стереоскопические изображения трех типичных полиэдров, построенных с помощью программы, реализующей данный алгоритм, приведены на рис. 2.13 а), б), в).
Реализация нелинейной модели
Интервал для решения системы (3.3), (3.4) следует выбирать достаточно большим, исходя из потребностей моделирования полубесконечной задачи. Таким образом, при использовании вариационного подхода для решения уравнений (3.3), (3.4) удается перевести 8-функцию из их правой части под знак интеграла, а также избавиться от разрывных коэффициентов диффузии, стоящих под знаком производной. Обозначим q - номер узла сетки, в который попадает точка разрыва С0.
После алгоритмизации данной математической модели в виде программы для ЭВМ были рассчитаны несколько вариантов задачи. Выяснилось, что концентрации [Na20] и [NaCr02]n на [0, 0] быстро релаксируют к линейному распределению. Переходный процесс возникает лишь при переносе точки разрыва из одного узла в другой (изменение q на единицу).
Переходный процесс иллюстрируется на рис. 3.4 и 3.5. Видно, что даже для начальных условий (3.45), (3.46) переходный процесс к линейному распределению полностью заканчивается через 0.2 с. При этом вышеописанная разностная схема требовала чрезвычайно малого временного шага, что приводило к большим затратам машинного времени.
Следует отметить, что такой подход позволил достичь значительной экономии вычислительных ресурсов (памяти и машинного времени) и повысить точность вычислений, так как координата точки t0 задается теперь не номером узла сетки, а в виде числа с плавающей запятой. 3.1.6. Результаты расчетов по линейной модели
Получены решения системы (3.57), (3.58) для различных скоростей реакций и начальных значений i0 и I. Выяснилось, что процесс зависит, главным образом, от соотношения скоростей реакций (3.1), (3.2), т.е. величин к и jua в (3.9), (3.10).
Удалось выявить 2 типа развития процесса, познакомиться с которыми удобно на примере моделирования коррозионного эксперимента, описанного в 111.
Образец стали 1Х18Н10Т со специально выращенными до размера 400 мкм зернами выдерживался в натрии, содержащем 0.065 масс. % кислорода, в течение 500 ч при температуре 800С. На рис. 3.6 показан вариант расчета, когда в начальный момент времени скорость растворения сложного оксида больше скорости его образования. Полому I уменьшается, и графики 0 и 1Х сближаются. При этом, по мере уменьшения L увеличивается скорость образования сложного оксида (3.10). пока скорости реакций (3.1), (3.2) не сравняются. Тогда І становится практически постоянной, а графики для 0и , -параллельными. Был проведен расчет для полной продолжительности эксперимента (500 ч). График полученной зависимости глубины проникновения натрия по ребру зерна (координаты ё0) от времени приведен на рис. 3.7.
Оба расчетных значения 148 мкм и 137 мкм при экспериментальном результате 140 мкм получены для константы скорости растворения сложного оксида к = 5-Ю"4 м/с. Сравним это значение с экспериментальными данными. К сожалению, в литературе данных по скорости растворения оксидов металлов в натрии найти не удалось. Однако константа скорости растворения железа в натрии при 800С оценивается в 5.9-10"5м/с 161. Таким образом, скорость растворения межзеренной твердой фазы на порядок превышает скорость фронтального растворения конструкционного материала. Что, очевидно, и имеет место при межкристаллитной коррозии.
После решения задачи проникновения жидкометаллического теплоносителя в конструкционный материал по выделенному ребру зеренной структуры можно распространить эту модель на всю пространственную «сеть» ребер поликристалла.
Схема развития межкристаллитной коррозии во времени является важным лишь наличие или отсутствие ребра между двумя определенными вершинами. Поэтому для удобства иллюстрирования воспользуемся плоской моделью этого графа (рис. 3.9). Все дальнейшие рассуждения одинаково применимы как к плоскому, так и к пространственному графу. Для рассматриваемого графа будем использовать термины "ветвь" и "узел" вместо терминов "ребро" и "вершина" для полиэдров Вороного.
Узлы графа, расположенные на границе конструкционного материала и теплоносителя, назовем внешними узлами и обозначим номером с двумя t штрихами (/"). Вершины полиэдров Вороного внутри конструкционного материала, занятые жидким металлом, назовем внутренними узлами и обозначим номером без штриха (/), а узлы на границе коррозионной зоны - узлами роста и обозначим номером с одинарным штрихом (/ ).
Итак, для каждого внутреннего узла пригодно уравнение вида (3.72), для каждого узла роста - вида (3.69), а для внешнего узла - (3.73). Система этих линейных алгебраических уравнений замыкает систему дифференциальных уравнений (3.63), (3.64), т.е. решая систему (3.72), (3.69), (3.73) относительно концентраций в узлах (достаточно найти только концентрации в узлах роста), мы определяем СЇсо ПОХу (/ = 1,..., п ).
В случае "смыкания", представленном на рис. 3.13, число узлов роста уменьшается на 2, а число внутренних узлов остается без изменений. При этом количество уравнений вида (3.69) уменьшается на 2, размерность системы (3.74) также уменьшается на 2, а количество дифференциальных уравнений в системе (3.63), (3.64) уменьшается на 4.
Следует отметить, что из-за меняющегося в ходе решения задачи числа уравнений алгоритмизация данной математической модели довольно сложна. Однако методика решения систем линейных уравнений вида (3.74) хорошо известна /110/ и легко применима в каждом конкретном случае. Для решения системы (3.63), (3.64) можно применить, например, метод Рунге-Кутта /107/ и т.п.
Физико-химический критерий линейного распределения продуктов коррозии на ребре
Выбранный критерий (3 имеет простой физический смысл. Он равен отношению суммарной площади участков соединения грани с ребром (ABCD на рис. 4.2) к площади поперечного сечения ребра.
1. Модель межкристаллитной коррозии предполагает линейное распределение концентрации сложного оксида по длине ребра в части, заполненной теплоносителем. Это указывает на необходимость определения области применимости модели, если процесс межкристаллитной коррозии развивается на гранях зерен, когда распределение концентрации сложного оксида по длине ребра должно быть нелинейным.
2. Напротив, при соблюдении введенных критериальных ограничений, накладываемых на геометрические и физико-химические параметры задачи, это распределение будет линейным.
3. Первый критерий включает физико-химические параметры, требующие экспериментальной проверки. Второй (геометрический) критерий позволяет легко установить адекватность математической модели межкристаллитной коррозии в каждом конкретном случае.
К безусловным достижениям диссертационной работы можно отнести следующие результаты.
1. Построена и алгоритмизирована оригинальная математическая модель зеренной структуры конструкционного материала в двух и трех измерениях, включая процедуры построения областей Дирихле и полиэдров Вороного.
2. Построена и алгоритмизирована математическая модель проникновения жидкого металла в тело конструкционного материала по ребру полиэдра Вороного. В нелинейной версии модель обосновала инкубационный период квазилинейного распределения концентрации продуктов коррозии по длине ребра, что детерминировало область применения линейной модели, позволив резко уменьшить необходимые вычислительные ресурсы.
3. Разработан новый метод решения уравнения Фика с разрывными коэффициентами и подвижными границами области определения кусочно-непрерывных решений на основе методов вариационного исчисления.
4. При развитии модели проникновения жидкого металла в конструкционный материал по ребру на пространственную сеть ребер полиэдров Вороного адаптирован метод расчета резистивных электрических цепей по законам сохранения. Метод использует систему линейных уравнений в матричной форме, эффективной для алгоритмизации модели.
5. Проведены пробные расчеты зависимости глубины проникновения жидкого металла в конструкционный материал по межзеренным промежуткам. Выполнена сверка полученных результатов с экспериментальными данными.
6. Модель описывает развитие коррозионного процесса на гранях полиэдров с имитацией выпадения зерен из конструкционного материала.
7. Найдены безразмерные критерии квазилинейности распределения продуктов коррозии на сетке ребер зеренной структуры для идентификации области применимости построенной модели межкристаллитной коррозии.