Содержание к диссертации
Введение
1. Математические модели нелинейной теории вязкоупругости и постановки задач о включениях
1.1. Основные термины и обозначения, используемые в работе 15
1.2. Постановка задачи для упругого тела 16
1.3. Линейные модели вязкоупругости
1.3.1. Модель Фойгта 19
1.3.2. Модель Максвелла 20
1.3.3. Стандартная линейная модель твёрдого тела 21
1.3.4. Обобщённая стандартная линейная модель твёрдого тела
1.4. Постановка вязкоупругой задачи при малых деформациях 23
1.5. Нелинейные модели вязкоупругости 25
1.6. Понятия и уравнения нелинейной теории вязкоупругости
1.6.1. Кинематические соотношения 28
1.6.2. Определяющие соотношения 28
1.6.3. Уравнение равновесия и граничные условия 30
1.7. Постановки плоских задач нелинейной теории вязкоупругости при
больших деформациях 30
1.7.1. Постановка физически линейной задачи для сжимаемого вязкоупругого материала (геометрическая нелинейность) 31
1.7.2. Постановка физически нелинейной задачи для сжимаемого вязкоупругого материала 32
1.7.3. Постановка задачи для несжимаемого вязкоупругого материала... 33
1.8. Выводы по первой главе 34
2. Аналитические методы, алгоритмы и программное обеспечение решения плоских задач о круговом вязкоупругом включении при конечных деформациях 36
2.1. Сущность метода возмущений применительно к задачам нелинейной теории вязкоупругости 36
2.2. Применение метода Колосова–Мусхелишвили к плоским задачам теории упругости 37
2.3. Описание алгоритма решения задачи для нулевого приближения
2.3.1. Постановка задачи в изображениях 40
2.3.2. Определение напряжённо-деформированного состояния в нулевом приближении 2.4. Аналитическое решение линеаризованных плоских задач теории вязкоупругости 44
2.5. Алгоритм решения задачи для первого приближения
2.5.1. Постановка задачи в изображениях для первого приближения 46
2.5.2. Сжимаемые вязкоупругие материалы. Геометрическая нелинейность 48
2.5.3. Сжимаемые вязкоупругие материалы. Физическая нелинейность 49
2.5.4. Несжимаемые вязкоупругие материалы
2.6. Описание программной реализации алгоритмов решения задач 51
2.7. Выводы по второй главе 54
3. Результаты решения задачи о круговом вязкоупругом включении в вязкоупругом теле 56
3.1. Сжимаемые вязкоупругие материалы 56
3.1.1. Одноосное постоянное нагружение 57
3.1.2. Одноосное изменяющееся со временем нагружение 67
3.1.3. Всестороннее постоянное нагружение 72
3.1.4. Двухосное сдвиговое постоянное нагружение 77
3.1.5. Нормальные и касательные нагрузки 79
3.2. Несжимаемые вязкоупругие материалы 83
3.2.1. Одноосное постоянное нагружение 83
3.2.2. Всестороннее постоянное нагружение 90
3.2.3. Двухосное сдвиговое постоянное нагружение 91
3.2.4. Нормальные и касательные нагрузки 94
3.3. Выводы по третьей главе 98
Заключение 99
Список литературы 102
- Стандартная линейная модель твёрдого тела
- Постановка задачи в изображениях
- Всестороннее постоянное нагружение
- Нормальные и касательные нагрузки
Введение к работе
Актуальность темы работы определяется широким применением композиционных материалов в современной технике, их особыми свойствами и эксплуатационными характеристиками, необходимостью прогнозировать напряжённо-деформированное состояние вязкоупругих элементов конструкций, в том числе и с учетом нелинейных эффектов, обусловленных конечностью деформаций. Примером таких конструкций являются изделия из композитов, в том числе с наноразмерными частицами наполнителя, подвергающиеся динамическим нагрузкам: резинокордные оболочки амортизаторов, узлы агрегатов, шины и др. Постановки новых прикладных задач стимулируют развитие общих методов и поиск многочисленных частных решений. Соответственно, представляет интерес построение и исследование математических моделей напряжённо-деформированного состояния в этих материалах.
При математическом моделировании напряжённо-деформированного состояния вязкоупругих тел с включениями можно использовать различные методы, как аналитические, так и численные (например, метод конечных элементов). Недостатками численных методов являются невозможность получения точного решения, потребление значительных ресурсов ЭВМ для достижения необходимой точности. Подход, основанный на применении приближённых аналитических методов и аналитических (символьных) вычислений на ЭВМ, позволяет существенно сократить затраты на решение задач. Ранее он был применён для задач о напряженном состоянии вблизи отверстий, имеющихся или образующихся в упругих и вязкоупругих телах. Плоские задачи нелинейной теории вязкоупругости для неоднородных тел при конечных деформациях ранее не были решены приближенными аналитическими методами.
Целью диссертационной работы является построение математической
модели и разработка приближённых аналитических методов, алгоритмов и
программного обеспечения для исследования напряжённо-
деформированного состояния в нелинейно-вязкоупругих телах с
вязкоупругими включениями при конечных деформациях.
Основные результаты
Для достижения цели исследования в диссертации исследуются и решаются следующие основные задачи:
построение математических моделей напряжённо-деформированного состояния вязкоупругого тела с круговым вязкоупругим включением при конечных деформациях, для сжимаемого вязкоупругого материала с учётом геометрической нелинейности, для сжимаемого вязкоупругого материала с учётом физической нелинейности, для несжимаемого вязкоупругого материала;
развитие приближённых аналитических методов, использованных ранее для случая упругих тел, для расчёта напряжённо-деформированного состояния в вязкоупругом теле с вязкоупругим включением;
построение алгоритма решения задачи для определения основных характеристик напряжённо-деформированного состояния, как-то: напряжения, деформации, перемещения, давление;
разработка программного комплекса, реализующего данный метод и алгоритм для бесконечно протяжённых вязкоупругих тел с круговым вязкоупругим включением, в среде системы компьютерной алгебры Maple;
проведение серии вычислительных экспериментов с целью исследования зависимости напряжённо-деформированного состояния в теле от параметров модели: величин приложенных нагрузок, вязкоупругих характеристик материалов тела и включения; от времени нагружения.
Методы исследования: метод возмущений (метод малого параметра), метод Колосова-Мусхелишвили, интегральное преобразование Лапласа.
Научная новизна полученных результатов
В работе построена математическая модель, описывающая напряжённо-деформированное состояние бесконечно протяжённого тела (матрицы) с круговым вязкоупругим включением для сжимаемых и несжимаемых вязкоупругих материалов как с учётом геометрической нелинейности, так и с учётом физической нелинейности.
Получено новое приближённое аналитическое решение класса плоских задач нелинейной теории вязкоупругости для неоднородных тел при конечных деформациях — задач о НДС бесконечно протяжённого вязкоупругого тела с круговым вязкоупругим включением.
Найдено решение задачи о квазистатическом нагружении бесконечно протяжённого тела с круговым вязкоупругим включением для случаев сжимаемых и несжимаемых вязкоупругих материалов. Для случая сжимаемых вязкоупругих материалов решение найдено как с учётом геометрической нелинейности, так и с учётом физической нелинейности.
Развит приближённый аналитический метод для решения указанного класса задач. Метод основан на модификации математических методов, применяемых ранее для решения задач теории упругости и теории вязкоупругости для случая однородных тел (метод возмущений, метод Колосова-Мусхелишвили). Расчётные формулы и алгоритмы для неоднородных вязкоупругих тел отличаются от соответствующих формул и
алгоритмов для однородных вязкоупругих тел и тел с отверстиями. На границе вязкоупругих материалов в теле используются условия идеального контакта — условия непрерывности вектора перемещений и вектора нормальных напряжений.
Теоретическая значимость работы заключается в дальнейшем развитии приближённых аналитических методов решения плоских задач нелинейной теории вязкоупругости и тем, что эти методы могут быть обобщены на задачи теории многократного наложения больших вязкоупругих деформаций.
Предложенные алгоритмы могут быть модифицированы для решения задач о вязкоупругом включении с вязкоупругим межфазным слоем, задач о плосконапряжённом состоянии, задач, в которых материал тела, содержащего включение, является сжимаемым, а материал включения — несжимаемым, или наоборот и др.
Практическая значимость
Разработан программный комплекс для ЭВМ, реализующий
математические методы и алгоритмы, описанные в диссертации.
Программный комплекс реализован с использованием системы
компьютерной алгебры Maple на языке этой системы. Комплекс позволяет приближённо решать задачи для тел из нелинейно-вязкоупругих материалов в случае плоской деформации. Предусмотрена возможность расчёта для одноосного нагружения тела, для одновременного нагружения по двум осям, для касательных нагрузок. Нагрузки на бесконечности могут задаваться как функции времени.
С помощью программного комплекса можно решать практические задачи по выполнению прочностных расчётов композиционных материалов при конечных деформациях. Результаты расчётов могут быть использованы на стадии проектирования изделий из полимерных и резиноподобных материалов, в задачах мониторинга, а также для анализа и верификации численных решений.
Обоснованность и достоверность результатов
Обоснованность базируется на использовании при постановке задачи уравнений и граничных условий, использованных ранее другими авторами, и апробированных определяющих соотношений, реалистично описывающих механические свойства материалов.
Механические свойства сжимаемого вязкоупругого материала
определяются соотношениями, обобщающими на случай вязкоупругости соотношения для потенциала Мурнагана. Физическая нелинейность определяется записью определяющих соотношений в виде нелинейной зависимости между вторым тензором напряжений Пиолы–Кирхгофа и тензором деформаций Грина, обобщающими на случай вязкоупругости определяющие соотношения для пятиконстантного потенциала Мурнагана. Для несжимаемого вязкоупругого материала определяющие соотношения записываются в виде нелинейной зависимости между тензором обобщённых напряжений и тензорной мерой Коши–Грина, обобщающей на случай
вязкоупругости определяющие соотношения для потенциала Трелоара. Во всех этих соотношениях упругие постоянные заменены интегральными операторами вида свёртки по времени.
Достоверность полученных результатов подтверждается
согласованностью с результатами решения задачи об упругом включении в упругой среде, точным выполнением для каждого приближения: условия равновесия, граничных условий на границе между включением и матрицей, условия несжимаемости (для несжимаемых материалов).
Апробация результатов диссертации
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на
международных научных конференциях «Современные проблемы
математики, механики, информатики» в 2013 и 2014 гг. (г. Тула, ТулГУ); на Десятой международной конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» в 2014 г. (г. Казань, КФУ); на VIII Международном научном симпозиуме «Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела» в 2015 г. (г. Тверь, ТвГТУ), на Ломоносовских чтениях в 2016 г. (г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова) на научных семинарах НОЦ «Математическое моделирование сложных систем и процессов» ТвГУ под руководством проф. А.Н. Кудинова; на научных семинарах кафедры вычислительной математики ТвГУ.
Работа по теме диссертации проводилась в соответствии с
тематическими планами НИР, в рамках реализации ФЦП «Исследования и
разработки по приоритетным направлениям развития научно-
технологического комплекса России на 2014–2020 годы» (соглашение о
предоставлении субсидии № 14.579.21.0076, уникальный идентификатор
проекта RFMEFI57914X0076) в плане выполнения расчетов для
несжимаемых материалов, в рамках базовой части Государственного задания в сфере научной деятельности (Задание 2014/220, проект 1153) и при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-08-01191) в плане выполнения расчетов для сжимаемых материалов.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах, из них 6 в изданиях, включённых в «Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук» решением ВАК. Две статьи опубликованы в журналах, входящих в международную реферативную базу данных и систему цитирования Scopus. На модули программного комплекса получены 3 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ в федеральной службе по интеллектуальной собственности.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 141 страницах машинописного текста, содержит 68 рисунков, список использованных источников из 95 наименований.
Стандартная линейная модель твёрдого тела
Постановку плоских задач теории вязкоупругости рассмотрим на примере задачи о напряжённо-деформированном состоянии в бесконечно протяжённом упругом теле (матрице) с круговым упругим включением из другого материала, когда на бесконечности заданы напряжения. Включение содержится в неограниченном теле, которое находится в условиях плоской деформации. Предполагается, что на границе между включением и матрицей выполнены условия идеального контакта — условия непрерывности вектора перемещений и вектора нормальных напряжений. Механические характеристики материалов матрицы и включения могут отличаться. В рамках линейной теории упругости при малых деформациях в описании напряжённо-деформированного состояния нет различия между начальной и деформированной конфигурацией. Уравнение равновесия: V-cr + pf = 0. (1.2.1) Уравнение несжимаемости (для несжимаемого материала): Л = 0. (1.2.2) Граничные условия (условия идеального контакта): wMr=Wgr, (1.2.3) N-aM\T=N-aB\T. (1.2.4) 1. Определяющие соотношения для сжимаемого тела (отдельно для матрицы и включения): сгм = Ям{БМ : /)/ + 2jUMsM, (1.2.5) СУВ=ЛВ(ЄВ:І)І + 2ЦВЄВ, (1.2.6) где Ям, Яв — модули объёмного расширения, а /лм, /лв — модули сдвига для матрицы и включения соответственно. 2. Определяющие соотношения для несжимаемого тела (отдельно для матрицы и включения): сгм = pMI + 2jUMsM, (1.2.7) aB=pBI + 2jUBsB, (1.2.8) где рм, рв — множители Лагранжа, а цм, /лв — модули сдвига для матрицы и включения соответственно. Кинематические соотношения: = I(va + (V«) ). (1.2.9) В постановку задачи входят также условия на бесконечности: ам\ж=ам- (1.2.10)
Физическая природа вязкости твердых тел значительно сложнее, чем жидких и газообразных. Однако существуют математические модели элементарной ячейки тела, позволяющие независимо от структурного строения вещества достаточно правильно описывать реологические соотношения между физическим и геометрическим параметрами этой ячейки. Элементарным упругим элементом таких моделей является линейно-упругая пружина единичной длины с модулем упругости первого рода Е (модуль Юнга), сила натяжения которой пропорциональна ее удлинению (массой этой пружины пренебрегают). Простым вязким элементом модели является демпфер с коэффициентом динамической вязкости 77, представляющий собой поршень, движущийся в цилиндре с вязкой жидкостью.
Вязкоупругое тело можно представить, как совокупность частиц, составленных из всевозможных комбинаций упругих и вязких элементов. Если множество таких частиц соединить в одну систему, то из анализа взаимодействий можно получить соотношения, связывающие напряжения и деформации.
Стоит отметить, что определяющие соотношения в теории вязкоупругости описывают некоторую абстрактную математическую модель, которая может быть использована для качественной и количественной оценки реальных физических систем. Выбор математической модели для расчёта напряженно-деформированного состояния определяется только из сравнения теоретических результатов с экспериментально полученными данными. Это характерно и для других феноменологических теорий, характеризующих физические системы.
Модель Фойгта [5, 29, 47] представляет собой систему из упругого и вязкого элементов, соединённых параллельно (рис. 1.3.1). В этом случае деформации совпадают для упругого и вязкого элементов. Кинематических структурных соотношений модели, связывающих деформации, будет два s{f) = єупр it) = євязк (0, (1.3.3) а динамическое структурное соотношение, связывающее напряжения, будет одно + 7agв язк-W. (1.3.4) ait) = Esvn (О упрЛ df В случае линейного роста деформации во времени s(t) = kt модель прогнозирует линейный рост напряжения (j(t) = Ekt + rik. (1.3.5) Этот результат не соответствует экспериментальным данным, из чего следует, что модель Фойгта не может быть использована для описания НДС полимерных вязкоупругих материалов.
Модель Максвелла Модель Максвелла [5, 29, 47] представляет собой систему из упругого и вязкого элементов, соединённых последовательно (рис. 1.3.2).
Для этой модели на упругом и вязком элементах совпадают напряжения. Кинематическое структурное соотношение модели, связывающее деформации, будет одно s(t) = Єупр () + євязк (), (1.3.6) а динамических структурных соотношений, связывающих напряжения, будет два: a(t) = Esупр(t) =, !) dt (1.3.7) В случае линейного роста деформации напряжение определяется как экспоненциальная зависимость от деформаций (7(t) = Tjk Є Е ч (1.3.8) что также не вполне адекватно согласуется с экспериментальными данными. Таким образом и модель Максвелла не может быть использована. 1.3.3. Стандартная линейная модель твёрдого тела
Стандартная линейная модель твёрдого тела (так же известная как Модель Кельвина–Зинера [62], Standard Linear Solid — SLS [82, 87]) представляет обобщение моделей Максвелла и Фойгта, и состоит из одного вязкого элемента и двух упругих, с одним из которых вязкий элемент соединён параллельно, а с другим — последовательно (рис. 1.3.3).
Постановка задачи в изображениях
Метод возмущений (метод малого параметра, метод последовательных приближений) впервые был применен к задачам нелинейной упругости при конечных деформациях в работе Синьорини [90]. Дальнейшее его применение к этим задачам рассмотрено, например, в [11, 12, 25, 51]. Применение этого метода к задачам нелинейной теории вязкоупругости для бесконечно протяженных тел описано в [33, 34].
Малый параметр v выбирается в безразмерном виде GO max v= iJ М (2.1.1) и для всех величин, входящих в постановку задачи, записывается разложение в ряд по этому параметру. Например, для вектора перемещений и такое разложение может быть записано в виде ряда М = М(0)+М(1)+..., M W +1. (2.1.2) Здесь-— знак пропорциональности. В подобном виде записываются выражения для представления других характеристик напряжённо-деформированного состояния: аффинора 0 деформаций W, тензора полных деформаций Е, тензорной меры деформаций G, тензоров истинных напряжений а и обобщённых напряжений Е, множителя Лагранжа р: собой поправки от учёта эффектов (і +1) -го порядка для тензоров Ч , Е, G, Z , О" и скаляра /? соответственно. Так /?(1) — поправка от учёта эффектов первого порядка для множителя Лагранжа. Подставляя разложения характеристик в ряды в уравнения из постановок задач и группируя члены по степеням малого параметра V, получаем бесконечную последовательность линеаризованных задач для расчёта напряжений и деформаций в теле в П -ом состоянии. Таким образом, решение нелинейной задачи сводится к последовательному решению этих задач.
Метод Колосова-Мусхелишвили с использованием комплексных потенциалов является универсальным методом решения граничных задач линейной теории упругости [21, 22, 26, 29, 33, 41, 44, 51, 53, 80, 83, 89]. Метод Колосова-Мусхелишвили использует тот факт, что плоская задача может быть сформулирована в терминах теории функций комплексного переменного. Для этого вводятся в рассмотрение комплексные переменные z = x + iy=rel и z = x-iy = re l , где X и у — декартовы координаты, а и 3 — радиус и угол в полярной системе координат, соответственно. Основа метода Колосова-Мусхелишвили в том, что бигармоническое уравнение, описывающее плоское напряжённо-деформированное состояние или плоскую деформацию, имеет общее решение, которое может быть выражено через две функции ф) и ф) — комплексные потенциалы. Комплексные потенциалы должны удовлетворять граничным условиям и быть аналитическими в области, занимаемой телом, то есть удовлетворять условиям Коши-Римана. Комплексные потенциалы определяются из граничных условий соответствующих краевых задач.
В соответствии с [34] обозначим через CJI и аи следующие комбинации компонент (в декартовой системе координат) симметричного тензора (7 второго ранга: сг/=сг11+с22, (2.2.1) ал = 11 - 22 + 2i 12. (2.2.2) Выражения для напряжений через комплексные потенциалы имеют вид т1=2[ф) + ф)\, (2.2.3) стп = -2p(V) + zqf(z)\. (2.2.4) Эти выражения справедливы как для сжимаемых, так и для несжимаемых материалов. Комплексный вектор перемещений выражается через комплексные потенциалы следующим образом: щ+іи=—\ф)-2ф)-ф)1 (2.2.5) 1 2 2//L J где Л + Зм (сжимаемый материал) ae = j A + ju (2.2.6) [ 1 (несжимаемы й материал) а А, и /и — модули объёмного расширения и сдвига соответственно. Функция р для несжимаемого материала определяется по формуле p = -[cp (z) + 0(z)\. (2.2.7) Для нахождения функций cp(z) и y/(z) могут быть применены, например, метод интегралов типа Коши [37, 44], метод степенных рядов [28, 44]. В настоящей работе для нахождения комплексных потенциалов используется метод степенных рядов. Комплексные потенциалы определяются в виде рядов Лорана [31] по степеням z = х + іу = геі3. Поскольку напряжения должны быть ограниченными функциями, и они выражаются через комплексные потенциалы, то для потенциалов включения берутся положительные степени, а для матрицы отрицательные. _ оо4 к=-\ _ оо2 k=-l _ оо4 к=0 _ ооWB(z) = YJdkzk . 2 к=0 (pM(z) = LYuaz \ M b XV , (2.2.8) pB(z) = - Y,czK , y/B(z) = Y,dzK . (2.2.9) Положительные компоненты тензора а , расположенные на главной диагонали, характеризуют «растягивающие» нагрузки на бесконечности. «Сжимающие» нагрузки определяются с противоположным знаком. Если компонента тензора сг имеет положительный знак, то это означает «поворот» осей нагружения против часовой стрелки, иначе — по часовой стрелке. Отметим, что можно ограничиться в этих суммах конечным числом слагаемых к без потери точности, поскольку коэффициенты при старших степенях z будут нулевыми. Для нулевого приближения к = Ъ, для первого — к = 9. Условия непрерывности вектора перемещений и вектора нормальных напряжений на границе матрицы и включения могут быть выражены через комплексные потенциалы следующим образом [26, 44]: M(z)-z - ]0=1 (z)-z )-M
Для нулевого приближения решение находится следующим образом. Так как определяющие соотношения в задаче заданы в виде интегралов свёртки по времени, можно эффективно воспользоваться интегральным преобразованием Лапласа. Для внешней нагрузки и ядер релаксации используем их функции в изображениях, причём для получения функций в изображениях для ядер релаксации применяем преобразование Лапласа-Карсона [14, 25, 27] (Карсона-Хевисайда [31]).
Ниже приведены дополнительные основные обозначения, используемые в этом параграфе. Верхний индекс в круглых скобках справа от символа означает номер приближения. Под оператором Ц-] понимается прямое преобразование Лапласа. Для обозначения изображений по Лапласу используется знак «дужка вниз» над символом. Для ядер релаксации Л, //, С3, С4 и С5 этот знак означает изображение Лапласа помноженное на комплексный параметр s.
Всестороннее постоянное нагружение
В данной главе приводятся результаты решения плоских задач о квазистатическом нагружении сжимаемых и несжимаемых вязкоупругих тел с включениями, постановки и методы решения которых рассмотрены в первых двух главах. Исследуется напряжённо-деформированное состояние в зависимости от величин и типов нагружений, механических характеристик материалов. Анализируется влияние нелинейных эффектов.
Для решения задачи было разработано программное обеспечение в среде системы компьютерной алгебры Maple [15, 42, 88] и получены в аналитической форме выражения для напряжений, деформаций и перемещений как функции координат и времени. Были вычислены первые два приближения. Приведённые результаты получены с использованием авторского проблемно-ориентированного программного комплекса
В данном параграфе рассматриваются решения плоских задач с учётом геометрической и физической нелинейности. Материалы матрицы и включения считаются сжимаемыми. Выбирается декартова система координат (х,у) таким образом, чтобы её центр совпал с центром включения, а координатные оси с осями нагружения. Расчёты выполнены при следующих значениях вязкоупругих характеристик материалов: ам=Рм=ав=Рв, A0 //Л0 =1.5, Af/juf=14, ju /juf=4, 2%/ju =15, tf/rff=140, ju / ju0 =10, tf / ju = 40 если не указано иное. Для физически нелинейных вязкоупругих материалов дополнительно заданы следующие характеристики: f M =f M =f M =f B=f B =f B =ам/5, C3 /G0M =-2 , C /G0M =-3 , C /G =-4, C? /G = -20, Cf/G0f=-30, Of /G0f = -40. При таких заданных характеристиках включение более жёсткое, чем матрица. Радиус включения R принимается равным 2. В начальном (недеформированном) состоянии в теле отсутствуют напряжения и деформации. Затем на бесконечности «мгновенно» и «внезапно» к телу прикладываются напряжения.
Сплошная линия на графиках соответствует линейному решению, пунктирная — решению с учётом геометрической нелинейности, штрихпунктирная — решению с учётом физической нелинейности. Пунктирной линией изображена исходная форма включения — окружность.
Форма включения в момент времени t рм = 30 и исходный контур включения Рисунок 3.1.10. Фрагмент формы включения вблизи точки (х,у) = (R,0)в моменты времени t-j3M=0, t-fiM=10 и t-j3M=30 Рисунок 3.2.11. Изменение координаты х точки (x,y) = (R,0) со временем Рисунок 3.1.12. Зависимость напряжений Z11 от $ в точке (x,y) = (-R,0) На рис. 3.1.1 представлен график изменения напряжений со временем в центре включения. На рис. 3.1.2-3.1.5 показано распределение напряжений Е11 и Е22 вдоль осей х и у в моменты времени t = 0 и t-pM =30. На рис. 3.1.6 показано распределение деформаций Е11 и Е22 со временем в точке (x,y) = (-R,0) — приблизительно в этой точке значения тензора деформаций 4 достигают максимальных значений. На рис. 3.1.7-3.1.8 представлено распределение деформаций Е11 и Е22 вдоль оси х. На рис. 3.1.9 изображена форма включения в момент времени t (5М =30 и исходный контур включения — окружность. Поскольку формы включения при наличии физической нелинейности и при её отсутствии при заданных характеристиках и нагрузках достаточно близки и неотличимы на графике, добавлены рис. 3.1.10, изображающий фрагмент формы включения вблизи точки (x,y) = (R,0) в моменты времени t = 0, t-/3M =10 и t-j3M=30 и рис. 3.1.11, изображающий изменение местоположения точки (x,y) = (R,0) вдоль оси JCсо временем.
При заданных нагрузках поправка от учёта нелинейных эффектов для компонент тензора напряжений не превосходит 22.5% без учёта физической нелинейности и 20.8% при её учёте. Для тензора деформаций поправки составляют 119.8% и 109.7% соответственно. Поправки для вектора перемещений составляют 4.15% и 3.95% для случаев геометрической и физической нелинейностей соответственно.
На рис. 3.1.12 представлена зависимость напряжений Z11 от $ в точке (x,y) = (-R,0). Сплошная линия соответствует нулевому приближению в момент времени t = 0, штриховая — первому приближению при t = 0, штрихпунктирная — нулевому при t f5M =30 и пунктирная — первому при t-j3M=30.
Для нулевого приближения проведено сравнение с численным решением, полученным в системе ABAQUS. Приведены графики для распределения напряжений Z11 и Е22 вдоль оси х в момент времени t рм =0.01 (рис. 3.1.13) и для распределения напряжений Z11 и Е22в центре включения (х,у) = (0,0)с течением времени (рис. 3.1.15). Расчёты приведены при следующих значениях вязкоупругих характеристик материалов, заданных в ABAQUS: Ем =1, Е =0.2, Ев =2, Е?=03, уМ=уя=03, vM=vf=0.2, т=т?=2, rf=rf=1, что соответствует следующим значениям величин, используемых в работе: ам=рм=ав=рв=-, %/$=-, tf/r0= —, /t1//t0=—, 7В ,,М 1В / ,,М 180 ,,В ,,М 3 ,,В / ,,М 120 A0 / JU0 = 1, /tj JU0 = , /I0 / /I0 = — , jUi JU0 = .
Результаты показывают хорошее совпадение, максимальная относительная погрешность достигается в точках наибольшей концентрации напряжений и составляет для Z11 — 0.45%, а для Е22 — 9.4% (рис. 3.1.14). Максимальная относительная погрешность для напряжений в центре включения составляет для Z11 — 0.145% и для Е22 — 6.75% (рис. 3.1.16). Высокая относительная погрешность для Е22 связана с малыми значениями по абсолютной величине за счёт отсутствия нагрузки на бесконечности вдоль оси у и возрастает в матрице при удалении от включения из-за стремления Е22 к значениям на бесконечности (7м22 = 0 . Большая погрешность возникает вследствие приближённого характера конечно-элементного решения, которая особенно проявляется в местах быстрого изменения полей напряжений.
Нормальные и касательные нагрузки
Выполненная работа была проведена с общей целью построения математической модели и разработки приближённых аналитических методов, алгоритмов и программного обеспечения для исследования напряжённо деформированного состояния в нелинейно-вязкоупругих телах с вязкоупругими включениями при конечных деформациях. При этом было получено новое решение класса плоских задач о квазистатическом нагружении бесконечно протяжённого вязкоупругого тела с круговым вязкоупругим включением.
Выводы и основные результаты диссертационной работы 1. Построена математическая модель, описывающая напряжённо-деформированное состояние бесконечно протяжённого тела (матрицы) с круговым вязкоупругим включением для сжимаемых и несжимаемых вязкоупругих материалов как с учётом геометрической нелинейности, так и с учётом физической нелинейности. Приведены механические и математические постановки задач для каждого случая. 2. Получено новое решение класса плоских задач о квазистатическом нагружении бесконечно протяжённого вязкоупругого тела с круговым вязкоупругим включением. При решении используется метод возмущений, метод Колосова–Мусхелишвили и преобразование Лапласа. 3. Найденное решение удовлетворяет всем условиям задачи: условию равновесия, условиям идеального контакта на границе между матрицей и включением, условиям на бесконечности, условию несжимаемости (для несжимаемых материалов). 4. Предложен приближённый аналитический метод для решения плоских задач о квазистатическом нагружении неоднородных тел из нелинейно-вязкоупругих сжимаемых и несжимаемых материалов при конечных деформациях. Задача для первого приближения представляет собой линеаризованную задачу теории упругости и формулируется в комплексной форме. 5. Определено, что разложения комплексных потенциалов в ряды Лорана являются конечными аналитическими выражениями. Определено, что они представлены в виде конечных сумм по степеням комплексной переменной z = x + iy=reiS до к = Ъ для нулевого приближения и к = 9 для первого приближения. 6. Установлено, что для нулевого приближения (линейная задача) напряжённое состояние в области включения является однородным при постоянных внешних нагрузках, заданных на бесконечности. Полученный результат согласуется с результатами решения задачи об упругом включении в упругой среде. 7. Разработан авторский программный комплекс, предназначенный для решения плоских задач линейной и нелинейной теорий вязкоупругости для бесконечно протяжённого тела с круговым включением. С его помощью получено приближённое аналитическое решение плоских задач теории вязкоупругости для бесконечно протяжённого тела с круговым включением. 8. Дана оценка нелинейных эффектов для выполненных в диссертации расчетов. Например, для сжимаемого материала при заданных нагрузках и параметрах материала поправка от учёта нелинейных эффектов для компонент тензора напряжений не превосходит 22.5% без учёта физической нелинейности и 21% при её учёте.
Рекомендации для практического внедрения
Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при проведении научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ по выполнению прочностных расчётов, при проектировании полимерных и резиноподобных композитов, изготовленных из материалов, испытывающих при нагружении большие упругие и вязкоупругие деформации. Также результаты могут использоваться в качестве тестовых примеров для анализа и верификации численных решений как на стадии их разработки, так и при тестировании. Перспективы дальнейшей разработки темы Предложенные методы и алгоритмы могут быть модифицированы и использованы для решения задач о вязкоупругом включении с вязкоупругим межфазным слоем, задач о плосконапряжённом состоянии, задач с различными материалами матрицы и включения (сжимаемым и несжимаемым), задачи теории многократного наложения больших вязкоупругих деформаций.
Может быть найдено второе приближение решения задачи. Это позволит уточнить ответы на вопросы о сходимости метода и пределах его применимости.