Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Албу Алла Филипповна

Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами
<
Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Албу Алла Филипповна. Применение методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами: диссертация ... доктора Физико-математических наук: 05.13.18 / Албу Алла Филипповна;[Место защиты: Московский физико-технический институт (государственный университет)], 2016.- 292 с.

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Оптимальное управление процессом плавления вещества с осевой симметрией 24

1.1. Математическая формулировка задачи оптимального управления процессом плавления вещества 25

1.2. Алгоритм решения прямой задачи 27

1.3. Новый итерационный алгоритм для решения задач с фазовыми переходами 30

1.4. Формулы методологии быстрого автоматического дифференцирования 37

1.5. Вычисление градиента в задаче оптимального управления процессом плавления вещества 59

1.6. Об эффективности расчета градиента с помощью методологии быстрого автоматического дифференцирования. 62

1.7. Основные результаты главы 75

Глава 2. Разработка математической модели процесса кристаллизации вещества в литейном деле 77

2.1. Физическая формулировка задачи 77

2.2. Математическая формулировка задачи 78

2.3. Условия на внешней границе 80

2.4. Расчет потока теплового излучения 81

2.5. Основные результаты главы 89

Глава 3. Алгоритм решения прямой задачи 90

3.1. Построение расчетной сетки 90

3.2. Формулировка задачи в терминах функции теплосодержа ния 92

3.3. Выбор разностной схемы для решения начально-краевой задачи Стефана

3.4. Аппроксимация граничных условий 103

3.5. Алгоритм численного определения температурного поля объекта 108

3.6. Результаты численного решения прямой задачи 115

Глава 4. Оптимальное управление скоростью перемещения литейной формы в плавильной печи 4.1. Формулировка задачи оптимального управления .

121 121

3.7. Основные результаты главы 119

4.2. Выбор целевого функционала задачи оптимального управ ления 122

4.3. Канонический вид прямой задачи 125

4.4. Аппроксимация функционала качества 132

4.5. Сопряженные уравнения для объекта - параллелепипеда 133

4.6. Градиент целевой функции задачи оптимального управления для объекта - параллелепипеда 142

4.7. Решение задачи оптимального управления для параллелепипеда 150

4.8. Выпрямление поверхности раздела фаз для объекта простейшей формы 153

4.9. Сопряженные уравнения для объекта сложной геометрии 156

4.10. Градиент целевой функции дискретного варианта задачи оптимального управления для объекта сложной геометрии 164

4.11. Результаты численного решения задачи оптимального управления для объекта сложной геометрии 167

4.12. Выпрямление поверхности раздела фаз для объекта сложной геометрии 173

4.13. Влияние параметров установки на протекание процесса кристаллизации 175

Глава 5. Исследование задачи оптимального управления процессом кристаллизации металла в новых по становках 184

5.1. Численное решение задачи оптимального управления в новых постановках для параллелепипеда 186

5.2. Исследование задачи оптимального управления процессом кристаллизации вещества в новой постановке для объекта сложной геометрической формы 191

5.3. Управление процессом кристаллизации для объекта сложной геометрической формы при новых термодинамических параметрах исследуемого вещества 200

5.4. Основные результаты главы 202

Заключение

204

4.14. Основные результаты главы 182

Список литературы

Введение к работе

Актуальность темы исследования

В настоящее время методы математического моделирования и вычислительной математики все глубже проникают в различные области науки, техники и производства. Они занимают особое место среди современных методов решения прикладных математических задач. Развитие численных методов наряду с развитием мощной вычислительной техники дали импульс развитию других разделов математики. Особенно возрос интерес к проблемам оптимизации. Оптимизация как раздел математики существует достаточно давно. У ее истоков стояли такие ученые, как Ферма, Ньютон, Лейбниц, Бернулли. Практика порождает новые задачи оптимизации, причем их сложность растет.

Бурное развитие промышленности в XX веке и осознание ограниченности ресурсов Земли привели к тому, что все более широкое применение в науке и технике находят задачи оптимального управления. Они имеют многочисленные применения в механике космического полета, в вопросах управления ядерными реакторами. К задачам оптимального управления часто обращаются создатели автоматизированных систем управления и систем автоматизированного проектирования, экономисты, инженеры-конструкторы, физики и многие другие. Обширные применения этих задач, в свою очередь, способствуют развитию вычислительных методов оптимизации, созданию новых разнообразных направлений исследования.

Эффективнейшим средством исследования задач оптимального управления является высказанный Л.С. Понтрягиным “принцип максимума”. Он существенно обобщает и развивает основные результаты классического вариационного исчисления. Принцип максимума Понтрягина позволил дать каноническую формулировку необходимых условий оптимальности и заложить основу для формализации и развития нового раздела оптимизации.

Основы современной теории управления системами с распределенными параметрами были созданы работами профессора А.Г. Бутковского. Ряд направлений современной математической теории управления рассмотрены в работах А.И. Егорова.

Первые работы по численным методам решения задач оптимального упрвления выполнили Д.Е. Охоцимский и Т.М. Энеев, А. Брайсон и В. Денхем, Л.И. Шатровский.

Можно выделить несколько различных направлений в разработке численных методов решения задач оптимального управления, которые существенно отличаются друг от друга. Прежде всего, следует упомянуть прямые методы, основанные на спуске в пространстве управлений. Ряд исследований связан с непрямыми методами, в которых с помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина исходная задача оптимального управления сводится к краевой. Другое направление, предложенное Р.П. Федоренко, базируется на использовании идей метода линеаризации. Большой цикл работ по численным методам оптимального управления был выполнен Н.Н. Моисеевым и его учениками.

Другой подход численного решения задач оптимального управления основан на применении методов нелинейного программирования и был развит в работах Э. Полака, А.И. Пропоя, Ю.М. Ермольева, В.П.Гуленко и Т.И. Царенко, Д.Табака и Б. Куо.

В книге Ю.Г. Евтушенко “Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации” (1982 г.) изложен подход решения задач оптимального управления, который был разработан в ВЦ АН СССР и который также базируется на идеях нелинейного программирования: задачи оптимального управления с краевыми условиями и фазовыми ограничениями сводятся к задачам нелинейного программирования. Такой подход оказался чрезвычайно эффективным, так как он дал возможность использовать при решении задач оптимального управления обширный набор методов нелинейного программирования и безусловной минимизации. Методы нелинейного программирования позволили решать сложные задачи оптимального управления

со смешанными ограничениями, проводить оптимизацию систем с распределенными параметрами. В период с 1980 г. по 1990 г. в ВЦ АН СССР была создана диалоговая система оптимизации ДИСО. Она была предназначена для решения задач безусловной минимизации, нелинейного программирования и оптимального управления.

Ряд алгоритмов поиска оптимального управления, основанных на применении многометодной технологии для получения приближенного решения с заданной точностью, предложены в работах А. Ю. Горнова, А. И. Тятюшкина и Е. А. Финкельштейна.

Методология исследования и численного решения широкого класса обратных задач и задач управления была разработана Г.И. Марчуком, В.И. Агошковым и их учениками. Она базируется на результатах ряда разделов современной математики: теории экстремальных задач, теории операторных уравнений в банаховых пространствах, сопряженных уравнениях, теории некорректных задач, современных итерационных процессах. На базе этой методологии исследован ряд сложных задач математической физики.

В связи с интенсификацией производства, со все возрастающей конкуренцией производителей и сокращением материальных ресурсов в последнее время все большую актуальность приобретают задачи оптимального управления сложными динамическими системами. К ним относятся и задачи оптимального управления тепловыми процессами с фазовыми переходами.

Распространение тепла в различных средах оказывает большое влияние на характер протекания многих важных для практики процессов. Изучению вопросов, связанных с распространением тепла, посвящено огромное количество работ. С математической точки зрения процесс распространения тепла описывается краевыми задачами для уравнения теплопроводности. Лишь немногие краевые задачи для уравнения теплопроводности имеют аналитические решения. Поэтому большие усилия были направлены на разработку численных методов решения этих задач.

Один из важных классов задач, описывающих распространение тепла, связан с наличием такого свойства процессов, что при их протекании исследуемое вещество претерпевает фазовые превращения с выделением или поглощением тепла. Задачи этого класса известны под общим названием задачи Стефана. С такого рода задачами сталкиваются во многих случаях, из которых важнейшими и наиболее распространенными являются случаи плавления и затвердевания. Существенной чертой таких задач является наличие движущейся поверхности раздела между двумя фазами, причем ни вид данной поверхности, ни закон ее движения заранее неизвестны и должны быть определены в процессе решения. Именно на этой поверхности происходит поглощение или выделение тепла, связанное с фазовым переходом. Термические свойства фаз по обеим сторонам поверхности раздела фаз могут оказаться различными. Задачи этого класса заметно сложнее тех, в которых отсутствует переход вещества из одной фазы в другую. Основная причина возникающих сложностей состоит в том, что на поверхности раздела фаз коэффициенты уравнения теплопроводности терпят разрыв.

Не считая нескольких задач, имеющих точные решения, эти задачи приходится решать численными методами. Плодотворными оказались подходы, основанные на использовании метода прямых, метода конечных элементов, конечно-разностных методов. Последние являются наиболее популярными для решения задач с фазовыми переходами. Сами по себе конечно-разностные методы, используемые при этом, достаточно разнообразны. Большая группа методов, позволяющих эффективно решать задачи с фазовыми переходами, разработана А.А. Самарским и его учениками.

С середины двадцатого столетия начал развиваться энтальпийный метод решения задач нестационарной теплопроводности с фазовыми переходами. В термодинамике термин «энтальпия» является синонимом термина «теплосодержание». Параллельно развивались два направления: практическое – решение конкретных инженерных задач и теоретическое – доказательство существования и единственности решения, определение критериев сходимости, устойчивости и погрешности

расчетов, а также возможности распространить метод на более широкий класс задач, называемый обобщенной задачей Стефана.

Самарский А.А. и Моисеенко Б.Д. предложили экономичную разностную схему сквозного счета для численного решения задачи Стефана в случае нескольких пространственных переменных, в которой для решения поставленной задачи применен метод прогонки. Схема сквозного счета характеризуется тем, что граница раздела фаз явно не выделяется и используются однородные разностные схемы. Основную роль при этом играет принцип «размазывания» теплоемкости по температуре, который тем самым не зависит от числа измерений.

Выдвигаемые практикой задачи заключаются не только в описании и изучении процессов распространения тепла, но и в оптимальном управлении этими процессами. Следствием этого явилось создание теории оптимального управления тепловыми процессами. Здесь исследуются вопросы существования оптимального решения и его единственности, вопросы разностной аппроксимации и регуляризации задач оптимального управления, решаются конкретные важные для практики задачи.

В последнее время ведущие отрасли промышленности часто применяют электротермические процессы и установки для индукционного нагрева металла перед последующей обработкой давлением. Для повышения экономической эффективности производственных процессов большое значение приобретает оптимизация режимов работы нагревательных установок по разным критериям оптимальности.

Что касается задач оптимального управления процессами с фазовыми переходами, то под ними понимается выбор тех или иных параметров процесса (управляющих параметров) таким образом, чтобы либо сам процесс протекал по сценарию, наиболее близкому к заданному, либо поведение границы раздела фаз или функция от значений температуры в некоторой области были наиболее близки к требуемым. К трудностям решения прямых задач здесь прибавляются еще специфические трудности решения задач оптимального управления. Количество работ, выполненных в этом направлении, не столь велико.

Одной из теоретически сложных и практически важных задач оптимального управления тепловыми процессами с фазовыми переходами является исследуемая в диссертации задача управления эволюцией поверхности раздела фаз при кристаллизации металла в литейном деле. В основе ее математической модели лежит нестационарная трехмерная двухфазная начально-краевая задача типа Стефана.

Кристаллизация расплавленного металла начинается с того, что в рабочую полость литейной формы с определенной конфигурацией внешней границы и определенной конфигурацией рабочей полости заливают жидкий металл. Затем, под воздействием изменяющихся внешних условий начинается постепенное охлаждение литейной формы и металла. Для того чтобы управлять этим процессом, используется специальная промышленная установка. Она состоит из верхней и нижней частей. Верхняя часть представляет собой плавильную печь, внутри которой перемещается объект. Нижняя часть является охладителем и состоит из большой емкости, заполненной жидким алюминием при температуре, немного превышающей температуру плавления алюминия. Литейная форма, заполненная жидким металлом, медленно погружается в охладитель. Жидкий алюминий имеет сравнительно низкую температуру, благодаря чему происходит кристаллизация металла. Однако объект получает тепло от стенок плавильной печи, что не позволяет процессу кристаллизации протекать слишком быстро.

Для того чтобы получить деталь хорошего качества, на протекание процесса кристаллизации накладываются различные технологические требования. Многочисленные исследования процесса кристаллизации в установках, подобных рассматриваемой, показали, что для получения образца хорошего качества желательно, чтобы поверхность раздела фаз была бы как можно ближе к плоской и чтобы скорость ее движения была бы небольшой.

Один из параметров, который оказывает существенное влияние на эволюцию поверхности раздела фаз и которым сравнительно легко управлять, является скорость перемещения литейной формы в рассматриваемой установке. Поэтому в качестве функции, управляющей процессом, используется скорость перемещения литейной формы. Для того чтобы определить управляющую функцию, удовле-

творяющую технологическим требованиям к процессу кристаллизации, была сформулирована задача оптимального управления. Она состоит в выборе такого режима остывания расплавленного металла, при котором фронт кристаллизации имеет заданную технологами форму (желательно, чтобы это была плоскость, ортогональная вертикальной оси объекта) и движется со скоростью, близкой к предписанной.

Цель работы

Основной целью диссертационной работы является разработка подхода к решению задач управления тепловыми процессами с фазовыми переходами и исследование задачи управления эволюцией поверхности раздела фаз при кристаллизации металла в литейном деле. Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:

Исследовать эффективность применения методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению задач оптимального управления тепловыми процессами с фазовыми переходами.

Построить математическую модель процесса остывания и затвердевания вещества, учитывающую воздействие элементов используемой промышленной установки на литейную форму, заполненную металлом.

Разработать подход к численному определению температурного поля в рассматриваемом объекте (литейная форма с залитым в нее металлом) и выделению поверхности раздела фаз в металле.

На основе построенной математической модели, описывающей процесс прохождения литейной формы с жидким металлом в плавильной печи, и разработанного алгоритма решения прямой задачи провести серию расчетов с целью исследования влияния внешних параметров задачи (температура стенок печи, глубина погружения в охладитель, скорость перемещения литейной формы и т.д.) на протекание процесса затвердевания металла.

На основе результатов решения серии прямых задач сформулировать задачу оптимального управления процессом кристаллизации металла, призванной определять такой режим протекания процесса, при котором обеспечиваются требуемые технологические условия. Провести исследования, связанные с выбором подходящего целевого функционала для ряда постановок задачи оптимального управления процессом кристаллизации.

Разработать эффективный алгоритм численного решения задачи оптимального управления процессом кристаллизации металла, основанный на методологии быстрого автоматического дифференцирования, для объекта простейшей формы - параллелепипеда и для объекта сложной геометрической конфигурации, имеющий практический интерес.

Исследовать задачу управления эволюцией поверхности раздела фаз при кристаллизации вещества для материалов с разными термодинамическими свойствами.

На защиту выносятся следующие результаты:

1) На примере задачи плавления вещества с осевой симметрией проиллюстрирован разработанный эффективный метод решения задач оптимального управления тепловыми процессами с фазовыми переходами. Физическая проблема, на примере которой описывается предложенный алгоритм, состоит в следующем: требуется расплавить заданную часть металлического образца, затратив при этом минимальное количество подводимого тепла. Сформулированная задача исследуется в рамках одномерной (с радиальной симметрией) нестационарной постановки. Источник подводимого тепла располагается вдоль оси симметрии. Рассмотрен случай распределенного по пространству источника. В качестве управления выбрано распределение по времени количества выделяемого источником тепла (мощность источника).

В основе решения прямой задачи лежит переход от формулировки задачи в
терминах температуры к формулировке в терминах теплосодержания. Этот

переход позволяет лучше учесть скачок функции теплосодержания, свойственный задачам, где встречаются фазовые превращения материала.

Проведена модернизация использовавшихся ранее итерационных алгоритмов решения систем нелинейных конечно-разностных уравнений, полученных в результате аппроксимации начально-краевой задачи. Показано преимущество нового метода по сравнению с использовавшимися ранее методами (метода Якоби и метода Гаусса-Зейделя). Показано, что новый итерационный алгоритм по быстродействию превосходит и алгоритм Якоби, и алгоритм Гаусса-Зейделя; его преимущество проявляется тем сильнее, чем больше число узлов сетки по пространственной переменной и чем выше требуемая итерационная точность. Особенно заметно преимущество нового алгоритма при увеличении величины шага по времени.

Градиент целевой функции в рассматриваемой задаче оптимального управления вычисляется с помощью методологии быстрого автоматического дифференцирования, которая позволяет получить точное значение компонент градиента при выбранном дискретном варианте задачи оптимального управления.

На примере достаточно сложной функции - потенциала Терсоффа, позволяющего вычислить когезионную энергию взаимодействия группы атомов, проилюстрирована работоспособность и эффективность применения методологии быстрого автоматического дифференцирования для вычисления градиента этой функции по координатам атомов и по специфическим для моделируемого вещества параметрам.

Оценено время, требуемое для вычисления градиента целевой функции с помощью методологии быстрого автоматического дифференцирования в задачах оптимального управления тепловыми процессами с фазовыми переходами. На примере задачи оптимального управления процессом плавления вещества с осевой симметрией сформулировано и доказано утверждение о том, что время, требуемое для определения компонент градиента целевой

функции с помощью указанного выше метода, не превышает времени, требуемого для вычисления двух значений этой функции.

2) Разработана математическая модель нестационарного процесса остывания и
кристаллизации металла в литейном деле, учитывающая воздействие элементов
используемой установки на литейную форму, заполненную жидким металлом.

Построен алгоритм расчета потока теплового излучения на поверхности исследуемого объекта. В его основе лежат конечные формулы, полученные в результате интегрирования общих соотношений, описывающих распространение теплового излучения.

3) Разработан подход к численному решению задачи определения температуры
в каждой точке рассматриваемой области и выделения поверхности раздела фаз в
металле.

В основе этого алгоритма лежит использование интегрального закона теплового баланса для расчетной ячейки и переход от формулировки задачи в терминах температуры к формулировке в терминах теплосодержания. Задача определения температурного поля рассмотрена для неоднородной среды сложной геометрии.

Для того чтобы лучше учитывать геометрию расчетных ячеек, и то, как они заполнены, при исследовании неоднородной среды введено понятие так называемой «суммарной плотности теплосодержания» в ячейке.

Исследовался вопрос о выборе разностной схемы при численном решении прямой задачи.

На основе построенной математической модели, описывающей процесс прохождения литейной формы с жидким металлом в плавильной печи, и разработанного алгоритма решения прямой задачи проведена серия расчетов с целью исследования влияния внешних параметров задачи (температура стенок печи, глубина погружения в охладитель, скорость перемещения литейной формы и т.д.) на протекание процесса затвердевания металла. Расчеты проводились как для объекта простейшей формы - параллелепипе-

да, так и для реального объекта, имеющего более сложную геометрическую конфигурацию.

4) Сформулирована задача оптимального управления процессом кристаллизации металла, призванная определять такой режим протекания процесса, при котором обеспечиваются требуемые технологические условия. Предложен подход к решению поставленной оптимизационной задачи. В основе этого подхода лежит использование методологии быстрого автоматического дифференцирования.

Проведены исследования, посвященные выбору целевого функционала, который моделирует технологические требования к процессу кристаллизации металла.

Дискретный вариант прямой задачи приведен к так называемому каноническому виду, позволяющему воспользоваться формулами быстрого автоматического дифференцирования при вычислении градиента целевой функции.

Сопряженная задача и формула для вычисления компонент градиента целевой функции выведены как для объекта простейшей формы, так и для объекта более сложной геометрической конфигурации.

Изложены аргументы в пользу того, что вычисление градиента целевой функции с помощью БАД-методологии является необходимым элементом решения сформулированной в работе задачи оптимального управления.

Создан комплекс программ для реализации численного алгоритма построения управления, при котором обеспечиваются требуемые технологические условия процесса кристаллизации вещества.

Для объекта простейшей формы (параллелепипед) с помощью техники быстрого автоматического дифференцирования решены две задачи оптимального управления. В первой из них в качестве целевого функционала использовался функционал, который представляет собой среднее по времени среднеквадратичное отклонение реальной поверхности раздела фаз от требуемой (основной функционал). Он призван обеспечить выполнение требова-

ний, накладываемых как на форму реальной поверхности раздела фаз, так и на скорость ее перемещения. Во второй задаче использовался функционал, представляющий собой среднее по времени среднеквадратичное отклонение реальной поверхности раздела фаз от ее среднего по сечению значения. Этот функционал отвечает только за выпрямление поверхности раздела фаз без ограничения на скорость ее перемещения.

Задача оптимального управления для объекта сложной геометрической формы была исследована с помощью четырех функционалов качества: основной функционал; функционал, который накладывает ограничения на наклон поверхности раздела фаз; и два функционала, которые отвечают за выпрямление поверхности раздела фаз без ограничения на скорость ее перемещения.

Исследовано влияние температуры печи и максимально допустимой глубины погружения литейной формы в охладитель на характер протекания процесса кристаллизации вещества при оптимальном управлении этим процессом. Была проведена большая серия расчетов, в которых указанные параметры варьировались в широких пределах.

5) Предложены и исследованы новые постановки задачи оптимального управления процессом кристаллизации вещества. Они рассмотрены как для литейной формы простейшей геометрии - параллелепипеда, так и для случая, когда исследуемый объект имеет сложную геометрическую форму.

В первоначальной постановке плавильная печь моделировалась двумя вер
тикальными, расположенными друг напротив друга стенками, разогретыми
до заданной сравнительно высокой температуры. В новой рассматриваемой
модели установки боковые стенки печи соединены сверху еще с одной го
ризонтальной стенкой («крыша»), которая имеет заданную температуру.
Показано, что учет теплового потока, идущего от «крыши», оказывает су
щественное влияние на протекание процесса кристаллизации вещества.

Задача оптимального управления процессом кристаллизации вещества для новой модели установки рассмотрена в трех вариантах. В первом варианте используемые законы теплообмена на внешней поверхности литейной формы остаются такими же, как и в старой модели, т. е. стенки литейной формы получают тепло от печи, от жидкого алюминия и от «крыши», и одновременно отдают им тепло за счет теплопередачи и собственного излучения. Во втором варианте новой модели установки рассматривается такая литейная форма, у которой две боковые стенки теплоизолированы (с тех сторон, где отсутствуют стенки печи). В третьем варианте новой модели предполагается, что те же боковые стенки литейной формы, о которых говорится во втором варианте, изготовлены из такого теплоизолированного материала, который в жидком алюминии теряет свойство теплоизоляции. Этот вариант призван описать ситуацию, когда в плавильной печи обрабатываются несколько литейных форм, расположенных в ряд недалеко друг от друга.

Задача оптимального управления в новых постановках решена для новой требуемой поверхности раздела фаз, которая движется существенно медленнее, чем та, которая использовалась при старой модели установки. Медленное движение фронта кристаллизации более предпочтительно для технологов. Показано, что изменение геометрии установки (добавление верхней стенки), изготовление некоторых частей литейной формы из теплоизолирующих материалов и использование более медленного требуемого закона движения фронта кристаллизации приводят к существенному улучшению протекания процесса кристаллизации вещества. При управлении, полученном в результате решения оптимизационной задачи, реальная поверхность раздела фаз в металле практически совпала с требуемой. На основе проведенных исследований представлены практические рекомендации для изготовления металлических изделий высокого качества в литейном деле.

Решена задача оптимального управления процессом кристаллизации вещества в новой постановке для материала, термодинамические свойства которого заметно отличаются от свойств ранее рассматривавшегося материала.

Целью проведенных исследований было получить ответ на вопрос: как влияют на решение задачи оптимального управления термодинамические параметры исследуемого материала. Результаты исследований показали, что предложенный в работе подход к решению задачи управления эволюцией поверхности раздела фаз в процессе кристаллизации является эффективным и в этом случае, что позволяет сделать вывод о его применимости и его эффективности при рассмотрении разных видов исследуемого материала.

Методы исследований

Полученные теоретические результаты основываются как на классических, так и на новых подходах теории оптимального управления и на традиционных методах вычислительной математики. Настоящая работа использует накопленные за последние десятилетия знания и опыт в теории оптимального управления системами с распределёнными параметрами и направлена на применение новейших математических достижений для решения реальной, практически значимой задачи оптимального управления тепловыми процессами с фазовыми переходами.

Задача управления эволюцией поверхности раздела фаз в процессе кристаллизации металла в литейном деле решается с помощью сформулированной в работе задачи оптимального управления. При численном решении задач управления сложными динамическими системами обычно используются градиентные методы минимизации целевого функционала. А для этого необходимо уметь точно вычислять градиент целевой функции.

Самым естественным способом вычисления градиента достаточно сложной функции представляется определение компонент градиента с помощью метода конечных разностей. В диссертационной работе раскрыты проблемы, возникающие при использовании метода конечных разностей для вычисления градиента целевой функции в задачах оптимального управления сложными системами.

В настоящей работе использован подход, с помощью которого задача оптимального управления сводится к задаче нелинейного программирования. При этом можно воспользоваться, в основном, двумя путями.

Первый путь предусматривает формулировку исходной задачи оптимального управления и сопряженной задачи в “непрерывном” пространстве, определение градиента функционала в “непрерывном” случае, и только после этого осуществляется аппроксимация прямой и сопряженной задач, и получается дискретный вариант формул для определения градиента целевого функционала. Этот путь является наиболее популярным среди исследователей. Однако в этом случае необходимо учитывать, что получаемый дискретный градиент функционала неточен. Он зависит от способа дискретизации как прямой и сопряженной задач, так и от способа дискретизации самого градиента. Эта неточность может быть существенно уменьшена, если уменьшить погрешности указанных аппроксимаций или даже полностью ликвидировать их за счет выбора “согласованных” аппроксимаций прямой и сопряженной задач и “согласованной” с ними аппроксимации градиента. Эти “согласованные” аппроксимации можно случайно угадать, но указать способ определения “согласованных” аппроксимаций, используя данный подход, по-видимому, невозможно. Если выбрать неправильный дискретный вариант сопряженной задачи, получается неверное значение градиента.

Второй путь связан с формулировкой рассматриваемой задачи оптимального управления в конечномерном пространстве и с определением градиента функционала сразу в дискретном виде. Целевой функционал и связи, наложенные на управления и фазовые переменные, аппроксимируются, в результате чего целевому функционалу ставится в соответствие функция конечного числа переменных, а связям – система алгебраических уравнений. Если дискретный градиент целевой функции определять с помощью метода множителей Лагранжа (сопряженных переменных), то такой путь известен как обобщенная методология быстрого автоматического дифференцирования (БАД-методология). Она возникла как естественное обобщение и развитие методов, разработанных в нелинейном программировании.

Быстрое автоматическое дифференцирование значительно превосходит символьное дифференцирование и вычисление производных с помощью метода конечных разностей. БАД-методология дает возможность с единой позиции рассмотреть задачи из самых различных направлений вычислительной математики. Например, из общих формул дифференцирования несложно получить формулы БАД для определения градиента функций многих переменных. При этом вычисление значения функции представляется как многошаговый процесс, в котором введены новые фазовые переменные. Эти фазовые переменные являются функциями независимых переменных, по которым ищутся производные заданной функции.

Методология быстрого автоматического дифференцирования предлагает канонические формулы, позволяющие получить точное значение градиента дискретной задачи оптимального управления (дискретного целевого функционала при наличии дискретных связей) за время, не превосходящее утроенного времени вычисления самой функции. Именно этот современный и эффективный метод используется в настоящей работе при численном решении задачи оптимального управления процессом кристаллизации металла в литейном деле.

Степень разработанности темы исследования

Диссертационная работа представляет собой законченное исследование поставленной в работе задачи: разработан и реализован метод решения задачи управления эволюцией поверхности раздела фаз при кристаллизации металла в литейном деле.

Управление, полученное в результате решения оптимизационной задачи, определяет такой сценарий протекания исследуемого процесса, при котором реальная поверхность раздела фаз в металле практически совпадает с требуемой.

Научная новизна работы

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными в процессе работы конкретными результатами. Задача оптимального управления про-

цессом кристаллизации вещества, рассматриваемая в работе, актуальна, интересна сама по себе и до сих пор нигде не рассматривалась. Все полученные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы определяется ее актуальностью, научной и технической востребованностью исследуемой задачи.

Задача, рассматриваемая в работе, относится к литейному делу и она была сформулирована в результате общения с сотрудниками Всероссийского института авиационных материалов (ВИАМ). Этап остывания расплавленного металла – один из важных этапов процесса изготовления деталей в литейном деле. От того, как протекает этот процесс, зависит качество получаемого металлического образца.

Задачи оптимального управления сложными системами решаются в мире достаточно активно. К настоящему времени накоплен большой опыт в решении подобных задач. Каждая из решенных конкретных задач представляет не только самостоятельный интерес, но также вносит вклад в общую теорию оптимального управления сложными системами.

Одна из основных целей диссертационной работы – развитие и иллюстрация возможностей применения новой, современной методологии быстрого автоматического дифференцирования к решению сложных задач оптимального управления. Эта методология впервые применяется при решении столь сложных задач управления. В работе показано, что несмотря на громоздкость полученных формул и на трудоемкость получения сопряженных уравнений, вычисление градиента целевой функции с помощью методологии быстрого автоматического дифференцирования оказалось очень эффективным и является необходимым элементом решения задач оптимального управления тепловыми процессами с фазовыми переходами.

Степень достоверности и апробация результатов

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается тем, что при проведенных в работе исследованиях были использованы хорошо апробированные методы и подходы, прововодилась проверка результатов с тестовыми расчетами. Результаты согласуются с результатами, полученными другими авторами.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих конференциях:

XIII Байкальская международная школа-семинар “Методы оптимизации и их приложения”, (Иркутск, Россия, 2005 г.);

Международная конференция “XIV-th Conference on applied and industrial mathematics”, (Кишинев, Молдова, 2006 г.);

Седьмой всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Москва, 2006 г.);

Международная конференция “22n European Conference on Operational Research (EURO XXII)”,. (Прага, Чехия, 2007 г.);

Международная конференция “Numerical geometry, grid generation and high performance computing (NUMGRID2008)”, (Москва, Россия, 2008 г.);

Международный конгресс “8th World Congress on Computational Mechanics (WCCM8), 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2008)”,.(Венеция, Италия, 2008 г.);

XIV Байкальская международная школа-семинар “Методы оптимизации и их приложения”, (Иркутск- Северобайкальск, Россия, 2008 г.);

Международная конференция “23rd European Conference on Operational Research (EURO XXIII)”, (Бонн, Германия, 2009 г.);

Международная конференция “Optimization and applications (OPTIMA-2009)”, (Петровац, Черногория, 2009 г.);

Международная конференция “Моделирование-2010” (Киев, Украина, 2010 г.);

Международная конференция “IV European Conference on Computational Mechanics ECCM 2010 (Solids, Structures and Coupled Problems in Engineering)” (Париж, Франция, 2010 г.);

Международная конференция “MODELARE MATEMATIC, OPTIMIZARE I TEHNOLOGII INFORMAIONALE ” (Кишинев, Молдова, 2010 г.);

Международная конференция по прикладной математике и информатике, посвященная 100-летию со дня рождения академика А.А. Дородницына, (Москва, Россия, 2010 г.)

Международная конференция “Optimization and applications (OPTIMA-2011)”, (Петровац, Черногория, 2011 г.);

Международная конференция “Optimization and applications (OPTIMA-2012)”, (Коста де Капарика, Португалия, 2012 г.);

Международная конференция “Numerical Heat Transfer 2012 (ECCOMAS Special Interest Conference)”, (Вроцлав, Польша, 2012 г.);

Международная конференция “26 European Conference on Operational Research (MMXIIIROME)”, (Рим, Италия, 2013 г.);

Международная конференция “Mathematics & Information Technologies: Research and Education (MITRE-2013)”, (Кишинев, Молдова, 2013 г.);

Международная конференция “Optimization and applications (OPTIMA-2013)”, (Петровац, Черногория, 2013 г.);

Международная конференция “20th Conference of the International Federation of Operational Research Societies (IFORS)”, (Барселона, Испания, 2014 г.);

Международная конференция “Optimization and applications (OPTIMA-2014)”, (Петровац, Черногория, 2014 г.);

15-я Всероссийская конференция "Математическое программирование и приложения", (Екатеринбург, Россия, 2015 г.);

Международная конференция “Optimization and applications (OPTIMA-2015)”, (Петровац, Черногория, 2015 г.).

3-я Международная научная конференция “МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИ
НЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ (MNPS - 2015)” , (Москва, Россия,

2015 г.).

III-я Всероссийская научно-техническая конференция «Роль
фундаментальных исследований при реализации «Стратегических
направлений развития материалов и технологий их переработки на период
до 2030 года», (Москва, Россия, ВСЕРОССИЙСКИЙ НАУЧНО-
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ АВИАЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ,

2016 г.).

Также результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах:

Семинар “«Методы решения задач математической физики»” под руководством А.А. Абрамова и В.И. Власова (Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» РАН);

Семинар “Методы оптимизации” под руководством Ф.П. Васильева (факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова);

Междисциплинарный семинар “Методы многомасштабного моделирования и их приложения” под руководством академика РАН Е.И. Моисеева (Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» РАН);

Междисциплинарный семинар факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством Н.П. Савенковой;

Семинар кафедры вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова;

Семинар отдела “Математическое моделирование экономических систем” (Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» РАН);

Семинар “Математическая физика и математическое моделирование” под руководством профессора Э.Г. Шифрина (Московский физико-технический институт);

Семинар кафедры высшей математики Московского физико-технического института под руководством профессора Е.С. Половинкина;

Семинар “Математические и информационные технологии” под руководством члена-корреспондента РАН И.Б. Петрова (Московский физико-технический институт).

Работа поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований:

  1. 05-01-00063-а “Оптимальное управление процессом кристаллизации металла в литейном деле”;

  2. 08-01-90100-Мола “Методы и алгоритмы решения задач управления сложными динамическими системами”;

  3. 11-01-12136-офи-м-2011 “Приложение оптимального управления к исследованию современных динамических моделей экономических, экологических и технических систем”;

4) 12-01-00572-а “Применение методологии быстрого автоматического диффе
ренцирования к решению задач управления сложными динамическими система
ми”;

Получено свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ “Программа построения оптимального управления процессом кристаллизации вещества в литейном деле” № 2016612131, дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ 18 февраля 2016г.

Личный вклад соискателя состоит в непосредственном участии соискателя в разработке математической модели и численных алгоритмов, программного обеспечения и получении исходных данных, личном участии в апробации результатов исследования и подготовке публикаций по выполненной работе, в том числе двадцати из Перечня изданий, рекомендованного ВАК РФ.

Структура работы. Диссертация состоит из оглавления, введения, пяти глав, разбитых на параграфы, заключения, списка литературы и приложения (таблицы и рисунки). Диссертация изложена на 292 страницах, содержит 36 таблиц, 113 рисунков. Список цитируемой литературы включает 156 наименований.

Новый итерационный алгоритм для решения задач с фазовыми переходами

Здесь T(r,t) - температура вещества в точке с координатами {r,t);T„i - температура плавления вещества; р,С,к - плотность вещества, его теплоемкость и коэффициент теплопроводности соответственно; Tiny) – начальная температура вещества (Tjn(r) T„i); ОС - коэффициент теплообмена с окружающей средой; Тех - температура окружающей среды; X - теплота плавления вещества; нижние индексы L и S указывают на принадлежность величины жидкой или твердой фазе соответственно. Источник подводимого тепла Fyr,t) имеет следующий вид: F(г,t )= (руг)- f yt), где (р (г) - заданная функция, описывающая распределение выделяемой источником энергии по пространству. Задача (1.1.1)-(1.1.8) при заданной функции f\t) называется прямой задачей. Пусть Е, (t) - поверхность раздела фаз, которая соответствует источнику f\t\ Є [0,Е ] и % f - максимальное значение величины (t) при t0 t S. Будем говорить, что функция f \t) принадлежит классу К уБ), если она: определена и кусочно-непрерывна на отрезке [0,5], имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [0,5], удовлетворяет ограничениям 0 f у t) fmax для всех t є [ 0, 5 J, соответствующее ей f Rpj, где R і - заданная величина и R і R . Ограничение сверху может отсутствовать, то есть величина /max может быть бесконечно большой. Для заданной конечной величины /max значение величины 5 не должно быть меньше некоторого определенного значения, иначе класс К у 5 ) окажется пустым. Задачу оптимального управления можно сформулировать следующим образом: среди функций f \t) из класса КуБ.) найти такую функцию f0pt\4, при которой функционал s J = f\t) dt (1.1.9) достигает минимального значения.

Известны два основных подхода к поиску численного решения данной проблемы. Первый связан с явным выделением поверхности раздела фаз. Однако даже в простейших случаях это требует построение громоздких процедур и больших затрат машинного времени, а для практически важных задач, где таких поверхностей много и они имеют довольно причудливые формы, использование данного подхода представляется нерациональным. Второй подход основан на использовании так называемых алгоритмов сквозного счета. Здесь явного выделения поверхности раздела фаз не требуется, но приходится работать с уравнениями, коэффициенты которых - сильно меняющиеся или разрывные функции. Получение численного решения краевой задачи здесь также требует использования специальных алгоритмов.

Оригинальный и интересный метод расчета задач с фазовыми переходами предложен М.Е. Rose в работе [51] и развит R.E. White в работах [52], [53]. M.E. Rose предлагает обобщенную формулировку задачи и показывает, что классическое решение является также слабым решением задачи. С другой стороны, два классических решения, области определения которых разделены гладкой поверхностью, будут составлять решение обобщенной задачи тогда и только тогда, когда параметры решения задачи на поверхности раздела фаз с разных ее сторон будут связаны теми же условиями, что и параметры среды в твердой и жидкой фазах.

В соответствии с указанным выше подходом при решении прямой задачи осуществляется переход от неизвестной функции температуры T\rJ) к функции теплосодержания E(r,t), которая определяется через температуру следующим соотношением , ч Ps sT , Т Т , Е (Т) = ( \ pLCL \Г — Т i)+ psA + psCsT і, Tі Т . Функция Е[Т) в точке плавления вещества T„i терпит разрыв. Если считать функцию теплосодержания E(r,t) основной, а температуру определять через нее с помощью равенства

то температура как функция теплосодержания будет уже функцией непрерывной (эта функция является обратной к функции E(r,t)).

Коэффициент теплопроводности в общем случае зависит от температуры и при переходе от твердой фазы к жидкой (при температуре плавления) испытывает скачок. В предлагаемом алгоритме коэффициент теплопроводности рассматривается как функция теплосодержания и определяется формулой:

Для аппроксимации краевой задачи (1.2.2) в области Q вводится неравномерная сет ка СО = где r0 = t = 0; гг= rj_1 + hj_1; tJ =tJ +TJ; (i = 1,...,K; j = 1,...,M). Использование интегро-интерполяционного метода и неявной аппроксимации по времени приводит к следующей системе конечно-разностных уравнений: Е + а0Сї\Е )T\EQ J- a0Cl\E JT\E j = EQ +TJ FQ , j- І , І ЛІг/І, L f\l T- 7 Пт-Іг-1/! L f\l T- 7 Іт-Іг-"/ I is/ + 1 121Л/ 1+ /j iilii JJ1 \E- J— DjLlyE- i Jl \p-_i J— -ajClyE/ \T\E-+A= E- +TJFJJ, (l і К -і), (1.2.3) EJK + \ака + bKCl\EJK_Y WW к j кЩ к-і г\ к-\}= ака ех + к + т к (і j м). Здесь введены следующие обозначения ATJ %т}гк 4rJ(2rK -hK_A a0 = —o ак = bK = —;—Y , щ 4rKhK_l(\ - hKl) hfc-i \ гк hK_i) 4rJ(2Г.- +k) 4rJ(2r,- -/г_і) at = 7 —\ —о 5 bt = — r- —, 4r;/г;- щ + /z ) + ht - hj hj 4rt/z \ht + /z ) + ht /z - h \i = \,2,...,K -l), Я/ =E\riJJJ, F/ =F\ri,tJ J, Сі\Е )=ЩЕ +EJi+l)l2\. Конечно-разностные уравнения (1.2.3) представляют собой неявную аппроксимацию краевой задачи (1-2.2) с порядком аппроксимации Uu,n I, где т =maxrJ, h = max ht. Система алгебраических уравнений (1.2.3) разбивается на М подсистем, которые связывают величины, зависящие от значений функции теплосодержания, на временном слое с номером j с величинами, определяемыми функцией теплосодержания, на предыдущем временном слое с номером (_/ — 1), где j = 1,2,...,М.

Для решения прямой задачи М. Е. Rose также выбирает традиционную, естественную конечно-разностную схему. В общем случае при использовании неявной аппроксимации по времени она может быть записана в виде следующей системы алгебраических уравнений

Е + АТ(Е) = ц , где искомый вектор Е - удельная внутренняя энергия среды (функция теплосодержания); Т[Е) - температура среды; А - матрица, коэффициенты которой зависят от Е; ц– правая часть; матрица А и вектор ц определяются конкретной разностной схемой. В работе [52] используются следующие алгоритмы решения полученной системы уравнений: модифицированный метод Якоби и модифицированный метод Гаусса-Зейделя. При некоторых предположениях там доказывается сходимость предложенных алгоритмов, и указываются пути повышения их скорости сходимости.

Решение системы уравнений (1.2.3) можно получить существенно быстрее, чем по методу, изложенному в [52]. Существенное ускорение сходимости достигается за счет модификации используемых там алгоритмов. Описанию предлагаемой модификации и иллюстрации ее эффективности посвящен следующий параграф.

Заканчивается процесс решения задачи (1.2.2) выделением траектории движения фронта раздела фаз. Пусть Ер[ =\Е_+Е+)/2. Если для некоторого значения 0 z К при t — г выполняются условия EJZ Е i, а E-L.1 Ері, тогда радиус расплавленной области Е,] вычисляется по формуле

Условия на внешней границе

Необходимо отметить, что рассматриваемая оптимизационная задача решается при определенном, фиксированном положении базисных атомов рассматриваемой кристаллической структуры. Решив задачу идентификации параметров в такой постановке, нет уверенности, что положения базисных атомов будут соответствовать минимуму потенциальной энергии системы. Поэтому следующим шагом исследований является оптимизация по координатам частиц, расставляющая частицы в положения, соответствующие минимуму суммарной потенциальной энергии рассматриваемой системы атомов. На этом этапе возникает необходимость вычисления градиента потенциала Терсоффа по координатам атомов.

Для того чтобы вычислить градиент потенциала Терсоффа по координатам атомов, введем вектор V, имеющий компоненты: v = [х11,х12,...,х1 ,х21,х22,...,х21 ,х31,х32,...,х31\ , где х1, x2i, x3j, (і = 1,1) - координаты і -ого атома. / / .. Тогда градиент функции (v) = E(z(y)) = 2_, zlz17( ) относительно независи мых переменных х1, х2і, х3і, (і = 1,1) определяется соотношениями: I (І = 1,І; / = 1,2,3) Здесь, как и в формулах (1.4.12), для вычисления вектора сопряженных переменных т р \P1 ,P2,..,P17\ используется многошаговый процесс (1.4.11). Отметим, что приведенные выше формулы позволяют получить точное значение компонент градиента потенциала Терсоффа по рассматриваемым параметрам и по координатам.

В работе [102] рассмотрена задача подбора параметров потенциала Терсоффа приме нительно к однокомпонентному кристаллу кремния. Для определения начальных при ближений в указанной работе допустимое множество X = [и,и] = ш є R :и І Xj Ui J выбиралось таким образом, чтобы заведомо содержались все возможные значения параметров, а именно: и = (0.5; 0.5; 0.5; 0.5; 0.1; 5-10" ; 0.5; 10000; 1; -2), и = (10; 5; 5; 5; 2; 3 10 ; 3; 200000; 30; -0.1).

Сравним вычисление градиента потенциала Терсоффа на основе формул быстрого автоматического дифференцирования и вычисление этого градиента с помощью метода конечных разностей. В таблицах 1.7-1.9 приведены значения градиента потенциала Терсоффа по трем специфическим для моделируемого вещества параметрам: щ = De, щ = J3, и6 = у. Все входные параметры задачи выбирались из диапазона допустимых значений. Величина А в таблицах 1.7-1.9 указывает на значения приращения параметров ut, которые были использованы при вычислении градиента с помощью метода конечных разностей. Как следует из таблицы 1.7, при вычислении первой компоненты градиента наиболее подходящим является выбор А из интервала [10 jl.O], что составляет от 10 % до 100% от начального приближения щ =1.0. Из таблицы 1.8 следует, что при вычислении третьей компоненты градиента наиболее подходящим является выбор А 10

Это составляет примерно 10 % от начального приближения г/3 =1.0. Из таблицы 1.9 следует, что при вычислении шестой компоненты градиента наиболее подходящим является выбор А 10 . Это составляет примерно 10 % от начального приближения и6 =10 7.

На основании сказанного выше следует вывод о том, что вычисление градиента потенциала Терсоффа с помощью метода конечных разностей связано с определенными трудностями. В случае использования этого метода необходимо проводить исследования, связанные с выбором приращения каждого параметра потенциала и при каждом его новом значении. В противоположность этому, алгоритм, использующий формулы быстрого автоматического дифференцирования, позволяет автоматически получить с машинной точностью значение этого градиента.

Выбор разностной схемы для решения начально-краевой задачи Стефана

Изготовление металлического образца происходит следующим образом. В рабочую полость литейной формы, имеющей заданную конфигурацию внешней границы и рабочей полости (рисунок 2.1), заливается жидкий металл. Температура литейной формы (заштрихованная область на рисунке 2.1) равна Тгогт. Залитый в литейную форму металл

(внутренняя незаштрихованная область на рисунке 2.1) имеет температуру Tmet. Затем

под воздействием изменяющихся внешних условий начинается постепенное охлаждение объекта (объектом мы будем называть литейную форму и залитый в нее металл). При этом разные части внешней границы литейной формы будут находиться в разных тепловых условиях (т.е. на этих частях будут действовать разные законы теплообмена с окружающей средой), причем тепловые условия будут меняться в зависимости от времени. Для остывания и кристаллизации расплавленного металла используется специальная промышленная установка, внутри которой перемещается объект. Она состоит из верхней и нижней частей. Используемая установка схематически представлена на рисунке 2.2. Верхняя часть установки - плавильная печь, которая моделируется двумя вертикальными, расположенными друг против друга стенками, разогретыми до заданной сравнительно высокой температуры. Нижняя часть рассматриваемой установки является охладителем и представляет собой емкость, которая на практике обычно заполняется жидким алюминием. Температура жидкого аллюминия несколько выше его температуры плавления. При перемещении объекта в рассматриваемой установке на него воздействуют два фактора. С одной стороны, объект погружается в охладитель, благодаря чему начинается кристаллизация вещества. С другой стороны, он получает тепло от плавильной печи, и это не позволяет процессу затвердевания вещества протекать слишком быстро. Необходимо выбирать такой режим остывания и затвердевания вещества в рассматриваемой установке, при котором поверхность раздела фаз имеет заданную технологами форму и движется достаточно медленно (со скоростью, близкой к предписанной). Описание подобных задач можно найти в работах [2], [69].

В основе математической модели рассматриваемого процесса лежит трехмерная нестационарная двухфазная начально-краевая задача типа Стефана (см. [110]-[117]). Процесс распространения тепла в рассматриваемом объекте описывается следующим урав нением теплопроводности: dt д ху дх) дуу ду) д zy dz Здесь Q - область литейной формы с залитым в нее металлом, имеющая кусочно-гладкую границу Г; Тух,у,z,t) - температура вещества в точке с координатами (x,y,z) в момент времени t. Функция теплосодержания G\Tyx,y,z,t)), которая входит в уравнение (2.2.1), имеет следующий вид: GyTyx, у, z, t)) = \G1уТ), ух,y,z)e металлу, G2уТ), ух,y,z)e форме, Ф) = pscsT, Т 71, PsCs + Ps ( 2 Т1) у Т - р$ЛТ1(Т2 - 21) , 71 Т Т2, PiL (Т - Т) + Pscs?2 + Ps , Т Т2, где Я - удельная теплота плавления. Термодинамические параметры р,С,К (плотность вещества, теплоемкость и коэффициент теплопроводности) разные для материала металла и для материала формы. Они определяются соотношениями:

Величины Cg, с , Сф, Ps, р , Рф, к , kj , кф , кф , 7], 7 , 7 , которые встречаются здесь, считаются известными. Все термодинамические коэффициенты испытывают разрыв на границе между металлом и формой. На этой границе необходимо выполнение двух условий: условие непрерывности температуры и условие непрерывности потока тепла.

В работе рассматриваются такие режимы, при которых металл находится в двух фазах: жидкой и твердой. Эти две фазы отделяются узкой областью, которая определяется интервалом температур [7 , Т2 \. В этой области параметры р ,С ,К, а также функция теплосодержания G\T\x,y,z,t)) изменяются очень быстро. При пересечении поверхности раздела фаз температура остается непрерывной, а теп дТ = ps X vn , (уп - скорость по дп ловой поток претерпевает скачок такой величины: верхности раздела фаз). На внешней границе Г рассматриваемой области требуется выполнение условий теплообмена с внешней средой, которые зависят от точки на поверхности и от времени. Все эти условия могут быть записаны в компактном виде: „ дТ осі + = у . (2.2.2) дп Функции а, р , f, зависящие от координат (х, у, z) точки поверхности Г и от тем пературы 1 \x,y,z,t), считаются заданными. В соотношении (2.2.2) = 1п - произ дп водная от температуры по направлению внешней нормали П к поверхности Г. Область Q и граница Г для одного из сечений объекта представлены на рисунке 2.3.

Под решением прямой задачи будем понимать задачу определения функции температуры T(x,y,z,t), удовлетворяющей уравнению (2.2.1) в рассматриваемой области Q, условиям (2.2.2) на внешней границе Г области Q, двум условиям на поверхности раздела фаз (температура должна быть непрерывной, а тепловой поток должен испытывать указанный выше скачок) и двум условиям на границе металл - форма (непрерывность температуры и теплового потока).

Как отмечалось выше, процесс остывания жидкого металла осуществляется в специальной установке. Разные части внешней поверхности объекта находятся в разных тепловых условиях. Ниже перечислены основные типы этих условий в точках внешней поверхности объекта.

1) Если точка находится в охладителе, необходимо учесть следующие факторы: о отдача тепловой энергии объектом за счет собственного излучения, о получение энергии объектом за счет излучения окружающего охладителя, о обмен тепловой энергией за счет теплопередачи между охладителем и объектом. 2) Если точка находится вне охладителя, необходимо учесть следующие факторы: о отдача тепловой энергии объектом за счет собственного излучения, о получение энергии объектом за счет излучения от стенок плавильной печи, о получение энергии объектом за счет излучения от поверхности охладителя.

Как видно из предыдущего рассмотрения, основной механизм переноса тепла в задаче - тепловое излучение. Для определения потока тепла, приходящего на поверхность объекта от горячих поверхностей, необходимо, вообще говоря, решать достаточно сложную краевую задачу, связанную с переносом теплового излучения. Этого, однако, можно избежать, если принять во внимание некоторые особенности задачи. А именно, известно, что в рассматриваемой установке поддерживается постоянная температура стенок печи и обратное влияние объекта на стенки печи мало. Также учитывается, что в этой установке воздух разрежен (непоглощающая среда), и его взаимодействие с излучением пренебрежимо мало. Это позволяет получить конечные формулы, определяющие тепловое излучение, приходящее на поверхность объекта (см. [118]).

Градиент целевой функции задачи оптимального управления для объекта - параллелепипеда

Многочисленные расчеты прямой задачи показали, что скорость перемещения литейной формы в рассматриваемой промышленной установке оказывает сильное влияние на эволюцию поверхности раздела фаз в металле. Этим параметром сравнительно легко управлять на практике. Поэтому в качестве функции, управляющей процессом, в работе используется скорость движения литейной формы относительно плавильной печи. Для того чтобы определить управляющую функцию, удовлетворяющую технологическим требованиям к процессу кристаллизации, была сформулирована задача оптимального управления. Эта задача состоит в определении такого режима остывания расплавленного металла, при котором поверхность раздела фаз имеет предписанную технологами форму и движется со скоростью, близкой к заданной.

Если движением литейной формы в рассматриваемой установке не управлять, то, как показано в 3.6, внутри детали могут формироваться и схлопываться пузыри, состоящие из жидкого металла. В результате получается металлический образец плохого качества. Такой режим протекания процесса кристаллизации проиллюстрирован на рисунке 4.1, где представлены две продольные проекции области металла исследуемого объекта (светло-голубой фон – область твердого металла, желтый и оранжевый фоны – область жидкого металла).

Для более аккуратного описания множества допустимых управлений введем два класса функций: K1 и K2 . Пусть A и B – некоторые априори заданные константы (в рассматриваемой задаче A – z -координата, определяющая начальное расположение объекта относительно печи; B – z -координата, определяющая расположение объекта относительно печи при его максимально допустимом погружении в охладитель). Будем говорить, что функция u(t) принадлежит классу К1, если u(t) непрерывная и кусочно-гладкая при t є [0, со), удовлетворяет ограничениям А u(t) В , причем г/(0) = А .

К классу К2 отнесем все те кусочно-непрерывные функции (t), t є [0, со), которые получаются дифференцированием функций класса К1, т.е. u(t) = u (t), u(t) є К1, t є [0,со).

Если в качестве управления выбирается перемещение литейной формы относительно печи, то оно должно принадлежать классу К1. Если же в качестве управления выбирается скорость движения литейной формы относительно стенок печи, то допустимым управлением будет являться функция класса К2.

При постановки задачи оптимального управления необходимо указать используемый целевой функционал. В следующем параграфе будут представлены результаты исследований, которые были посвящены выбору такого функционала качества 1(и), который удовлетворяет технологическим требованиям к процессу затвердевания металла.

Итак, задача оптимального управления, рассматриваемая в настоящей работе, состоит в выборе такого управления u(t) є К1 (или (t) є К2), при котором целевой функционал 1(и) достигает минимального значения.

Указанная выше задача оптимального управления для различных параметров установки (температуры печи, температуры жидкого алюминия, глубины погружения объекта в жидкий алюминий) решалась численно с помощью градиентного метода минимизации функционала качества ([4], [62], [64]). Компоненты градиента целевой функции вычислялись с помощью методологии быстрого автоматического дифференцирования ([96]-[98]), подобно тому, как это делалось для задачи оптимального управления процессом плавления вещества ([72]), рассмотренной в первой главе.

Выбор целевого функционала задачи оптимального управления Первый функционал качества, который рассматривался, имел вид (см. [123], [128], [129]): 123 t2(u) I1(u)= МГ(х,у,z (t),t)piJ dxdydt. (42.1) t1(u) S{z (t)) Здесь t1 (и) - момент времени, при котором начинается кристаллизация металла; t2(u) момент времени, при котором заканчивается затвердевание вещества; [х, у, z (t)) - требуемые координаты фронта кристаллизации в момент времени t; S\z (t)) - площадь металла поперечного сечения литейной формы плоскостью z = z (У) в момент времени t; T„j - температура кристаллизации вещества.

Функционал (4.2.1) представляет собой среднеквадратичное отклонение температуры на требуемой поверхности раздела фаз от температуры кристаллизации металла. Требуемая поверхность раздела фаз в данном случае - плоскость, которая перемещается во времени со скоростью z (t) . Численные эксперименты показали, что функционал (4.2.1) не подходит для решения поставленной задачи, так как в достаточно большой окрестности поверхности раздела фаз температурное поле меняется мало. Этот функционал является малым даже для поверхностей l(t) = \X,y,z(t)), которые сильно отличаются от требуемой поверхности раздела фаз.

В качестве второго функционала качества было выбрано среднеквадратичное отклонение реальной поверхности раздела фаз от требуемой: 2(u) г -. І2 (и)= І \\\Z pi(x,y,t) — z (t)\ dxdydt , (4.2.2) t1(u) S где S = S(t) - проекция поверхности раздела фаз на плоскость XOY; t1 - момент времени, при котором начинается кристаллизация вещества; t2 - момент времени, при котором заканчивается кристаллизация вещества; \X,y,Zpi(x,y,t)J - реальные координаты фронта кристаллизации в момент времени t, а \x,y,z (t)) - требуемые координаты фронта кристаллизации в момент времени t.

Как и в первом случае, функционал 12 (и) не удовлетворяет технологическим требованиям к процессу затвердевания вещества. Он рекомендует мгновенно погружать объект в жидкий алюминий (при t2 — 1 функционал (и) — 0).