Содержание к диссертации
Введение
1. Проекционные схемы на основе разрывного метода Галеркина для решения уравнений диффузионного типа 20
1.1. Применение разрывного метода Галеркина для решения одномерных уравнений диффузионного типа 22
1.1.1. Схема DG-метода 22
1.1.2. Результаты расчетов 25
1.2. Применение разрывного метода Галеркина для решения двумерных уравнений диффузионного типа 30
1.2.1. Схема DG-метода 30
1.2.2. Результаты расчетов 35
1.3. Применение разрывного метода Галеркина для решения трехмерных уравнений диффузионного типа 41
1.3.1. Схема DG-метода 41
1.3.2. Результаты расчетов 46
2. Программная реализация разрывного метода Галеркина в виде комплекса программ DGM з
2.1. Препроцессинг и постпроцессинг 52
2.1.1. Salome 52
2.1.2. UNV-формат 57
2.1.3. ParaView и модель данных VTK 62
2.2. Структура хранения сеточных данных 69
2.2.1. Треугольная неструктурированная сетка 69
2.2.2. Тетраэдральная неструктурированная сетка 71
2.3. Архитектура программного комплекса DGM 73
3. Численное моделирование с применением комплекса программ DGM 83
3.1. Решение обратной задачи о диффузии лекарственных веществ из хитозановых пленок 84
3.1.1. Постановка задачи 84
3.1.2. Результаты численного моделирования 88
3.2. Моделирование динамики распространения температуры в пласте с нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва 95
3.2.1. Постановка задачи 95
3.2.2. Результаты численного моделирования 100
Заключение 104
Литература
- Применение разрывного метода Галеркина для решения двумерных уравнений диффузионного типа
- Применение разрывного метода Галеркина для решения трехмерных уравнений диффузионного типа
- ParaView и модель данных VTK
- Моделирование динамики распространения температуры в пласте с нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва
Введение к работе
Актуальность диссертационной работы определяется необходимостью создания программных средств для проведения эффективных термометрических исследований нефтедобывающих скважин и пластов и для решения обратных задач о диффузии лекарственных веществ из полимерных пленок методами математического моделирования и выполнения вычислительных экспериментов с целью определения требуемых параметров.
Развитие нефтяной и газовой промышленности России в последние десятилетия происходит на фоне заметного ухудшения структуры запасов нефти и газа, что в основном связано со значительной выработкой многих уникальных и крупных месторождений, а также вводом в разработку месторождений с трудноизвлекаемыми запасами. Степень выработки запасов существенно зависит не только от правильного регулирования разработки с целью максимального извлечения остаточных запасов углеводородов, но и от полноты и достоверности информации о пласте и скважине.
Одним из важнейших источников информации являются
гидродинамические (промысловые) исследования пластов и скважин.
Совершенствование систем разработки нефтяных месторождений связано с применяемыми на промыслах мероприятиями по интенсификации добычи нефти. Промысловые исследования скважин и пластов, поэтому приобретают все более важное значение как инструмент для оценки эффективности применяемых мероприятий1.
Для более полного обеспечения информативности гидродинамических методов исследований скважины, особенно для скважин с гидравлическим разрывом пласта2, необходимо совместное рассмотрение гидродинамического состояния системы "скважина - пласт" с температурным полем, или термометрией3.
Другой важной задачей является решение обратной задачи о диффузии лекарственных веществ из полимерных пленок.
Перспективным направлением в современной медицине является
заживление ран с помощью полимерных пленок4,5, пропитанных лекарственным
1 Деева, Т.А. Гидродинамические исследования скважин: анализ и интерпретация данных / Т. А. Деева,
М. Р. Камартдинов, Т. Е. Кулагина, П. В. Мангазеев. – Томск : Издательство ТПУ, 2009. – 243с.
2 Кузнецов, Д. С. Гидродинамический разрыв пласта / Д. С. Кузнецов, Т. Е. Кулагина, Д. А. Малахов,
B. П. Меркулов. – Томск, 2008. – 114 с.
3 Чекалюк, Э. Б. Термодинамика нефтяного пласта / Э. Б. Чекалюк. – М. : Недра, 1965. – 238 с.
4 Кулиш, Е. И. Особенности транспортных свойств лекарственных хитозановых пленок / Е. И. Кулиш,
А. С. Шуршина, С. В. Колесов // Высокомолекулярные соединения. Серия А. – 2014. – Т. 56. – № 3. –
C. 282-288.
5 Кулиш, Е. И. Транспортные свойства пленок хитозан – амикацин / Е. И. Кулиш, А. С. Шуршина,
С. В. Колесов // Химическая физика. – 2014. – Т. 33. – № 8. – С. 76-84.
веществом. Для эффективного применения этих пленок необходимо знать такую их характеристику, как коэффициент диффузии, что позволит оценивать скорость впитывания лекарственного вещества из пленки в кожу и ткани пациента. Цели диссертационной работы - разработка высокоточных проекционных сеточных схем на основе разрывного метода Галеркина (РМГ), или discontinuous Galerkin method (DGM), для численного моделирования процесса распространения температуры в системе с вертикальной нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва и моделирования диффузии лекарственных веществ из полимерных пленок и реализация разработанных численных схем и алгоритмов в рамках программного комплекса DGM. В первой задаче моделируется температурное поле в пласте с вертикальной нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва. Во второй задаче требуется определить коэффициент диффузии пленок по имеющимся экспериментальным данным. Для достижения поставленных целей были решены следующие основные задачи:
разработать и исследовать семейство проекционных сеточных схем повышенного порядка точности для решения начально-краевой задачи для решения уравнений диффузионного типа на неструктурированных разнесенных сетках;
разработать алгоритм расчета температурного поля в системе «скважина-трещина-пласт», проанализировать влияние эффектов, возникающих в ходе эксплуатации скважины;
разработать алгоритм расчета коэффициента диффузии для хитозановых пленок, учитывающий особенности проведения экспериментов.
реализовать предложенные численные схемы и алгоритмы в рамках программного комплекса DGM;
провести численное моделирование распространения температуры в системе «скважина-трещина-пласт» средствами созданного программного комплекса;
провести численное моделирование процесса диффузии лекарственных веществ из полимерных пленочных систем с помощью разработанного программного обеспечения с целью нахождения коэффициентов диффузии пленок.
Основным методом исследования задач, поставленных в диссертационной работе является вычислительный эксперимент.
Объект исследования - модели распространения температурного поля в системе «скважина-трещина-пласт» и высвобождения лекарственных веществ из полимерных пленочных систем.
Предмет исследования - математические модели, описывающие изменение температурного поля в системе с нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва и диффузию лекарственных веществ из полимерных пленок. Научная новизна работы заключается в разработке и применении нового семейства проекционных сеточных схем на основе РМГ для моделирования изменения температурного поля со временем в системе с вертикальной нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва и моделирования процесса диффузии лекарственных веществ из полимерных пленочных систем.
Моделирование показало высокую степень соответствия полученных численных результатов и экспериментальных данных.
Разработаны численные алгоритмы для расчета температурного поля в системе «скважина-трещина-пласт» коэффициента диффузии пленочных систем на основе хитозана.
Особенность построенных численных схем состоит в том, что искомая функция рассматривается на основной сетке, в то время как вспомогательные функции рассматриваются на двойственной сетке, состоящей из медианных ячеек. В случае разрыва коэффициента диффузии производится усреднение коэффициента на ячейках двойственной сетки, внутри которых проходит разрыв. Методы исследования. Математическая модель распространения температуры в системе «скважина-трещина-пласт» получена опираясь на основное положение теории теплопроводности - закон Фурье и использовании уравнения переноса. Для построения математической модели процесса диффузии лекарственных веществ из полимерных пленок использовалась гипотеза о сплошности и однородности диффундирующего вещества. При анализе и исследовании полученных математических моделей использовались численные методы решения уравнений математической физики, в частности метод Галеркина с разрывными базисными функциями для решения уравнений диффузионного типа, приближенные методы вычисления определенных интегралов, методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Численные расчеты были выполнены с помощью комплекса программ DGM, написанного на языке С++. Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в том, что построено и исследовано новое семейство проекционных сеточных схем повышенного порядка точности на основе РМГ для решения уравнений диффузионного типа на неструктурированных разнесенных сетках. Практическая значимость диссертационной работы заключается в создании программного комплекса DGM, реализующего разработанные автором численные схемы и алгоритмы, и использовании созданного ПО для решения задачи термометрии в системах с вертикальной скважиной и трещиной гидроразрыва и для решения обратной задачи о диффузии лекарственных веществ из полимерных пленок.
Положения, выносимые на защиту:
проекционные сеточные схемы повышенного порядка точности на основе РМГ для решения уравнений диффузионного типа на неструктурированных разнесенных сетках;
численный алгоритм усреднения тензорных коэффициентов диффузии на двумерных медианных контрольных объемах на основе метода опорных операторов. Показана работоспособность алгоритма на задачах с разрывными коэффициентами диффузии;
математическая модель распространения температуры в системе с вертикальной нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва, полученная на основе применения закона Фурье и уравнения переноса;
математическая модель диффузии лекарственных веществ из полимерных пленочных систем, полученная на основе гипотезы о сплошности и однородности диффундирующего вещества;
программный комплекс DGM, реализующий разработанные численные схемы и алгоритмы.
Достоверность результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов численного моделирования с известными экспериментальными данными, а также данными вычислительных экспериментов, выполненных известными численными методами.
Апробация результатов. Основные результаты были представлены на следующих конференциях и семинарах: XVI научно-практическая конференция молодых ученых, аспирантов и студентов мордовского университета им. Н.П. Огарева, Саранск, МГУ им. Н.П. Огарева, 14-18 мая 2012 г.; Девятая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, СамГТУ, 20-23 мая 2013 г.; VI международная математическая школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» имени Е.В. Воскресенского, Саранск, МГУ им. Н.П. Огарева, 6-12 июля 2013 г.; VIII Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза, ПГУ, 22-25 октября 2013 г.; VIII Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем», Пенза, ПГУ, 26-30 мая 2014 г.; XI научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых, Саранск, МГУ им. Н.П. Огарева, 14-16 июля 2014 г.; IX Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза, ПГУ, 28-31 октября 2014 г.; XII научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых, Саранск, МГУ им. Н.П. Огарева, 28-30 августа 2015 г.; Международная научная конференция "Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2016", Архангельск, 28 марта - 1 апреля 2016 г.; Международная научная конференция «Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании», Ульяновск, УлГТУ, 28-30 апреля 2016 г. Личный вклад автора. Все научные результаты, вынесенные на защиту, получены лично автором. Цели, задачи, основные идеи и результаты работы детально обсуждались с научным руководителем В. Ф. Тишкиным. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит автору, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано
семнадцать статей, список которых приведен в конце автореферата, в том числе 5 из списка, рекомендованного ВАК РФ и получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016611467.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 114 страниц. Список литературы включает 84 наименования.
Применение разрывного метода Галеркина для решения двумерных уравнений диффузионного типа
Глава посвящена построению семейства проекционных сеточных схем на основе метода Галеркина с разрывными базисными функциями для решения начально-краевой задачи для уравнений диффузионного типа. Решение уравнений ищется на неструктурированных разнесенных сетках.
В разделе 1.1 подробно описывается процесс построения проекционной сеточной схемы в одномерном случае на примере одномерного уравнения диффузионного типа. В подразделе 1.1.1 строится численный алгоритм на основе РМГ. В подразделе 1.1.2 исследуются аппроксимирующие свойства предложенной проекционной сеточной схемы в численных экспериментах на одномерных модельных задачах и приводятся оценки порядка аппроксимации.
В разделе 1.2 подробно описывается процесс построения проекционной сеточной схемы в двумерном случае на примере двумерного уравнения диффузионного типа. В подразделе 1.2.1 строится численный алгоритм на основе РМГ. В подразделе 1.2.2 исследуются аппроксимирующие свойства предложенной проекционной сеточной схемы в численных экспериментах на двумерных модельных задачах и приводятся оценки порядка аппроксимации.
В разделе 1.3 подробно описывается процесс построения проекционной сеточной схемы в трехмерном случае на примере трехмерного уравнения диффузионного типа. В подразделе 1.3.1 строится численный алгоритм на основе РМГ. В подразделе 1.3.2 исследуются аппроксимирующие свойства предложенной проекционной сеточной схемы в численных экспериментах на трехмерных модельных задачах и приводятся оценки порядка аппроксимации. 1.1 Применение разрывного метода Галеркина для решения одномерных уравнений диффузионного типа
В случае, если коэффициент диффузии зависит от х или терпит разрыв внутри ячейки двойственной сетки, то его значение берется как среднее значение функции, определяющей коэффициент диффузии, в этой ячейке.
Для аппроксимации уравнения (1.1.1) с помощью РМГ [49, 50] необходимо преобразовать исходное уравнение второго порядка к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Для этого вводится в рассмотрение вспомогательная переменная [18]:
На каждом интервале ,. х хм решение искомой функции и будем искать в виде проекции на пространство полиномов р(х) степени р в базисе [ср){х)} с зависящими от времени коэффициентами. Тогда искомая функция будет представляться в виде: /,.( , ) = !( ;( ). В данной работе рассматриваются линейные р = 1 и квадратичные р = 2 полиномы. На каждом интервале х, х xi+1 выберем систему базисных функций: центр интервала xt x xt Приближенное решение вспомогательной функции тх будем искать на каждом интервале xt_1/2 х хІ+1/2 в виде проекции на пространство полиномов р(х) степени р в базисе { (х)} с зависящими от времени коэффициентами. Вспомогательная функция будет искаться в виде: »Л , 0 = ІА ( И ( ) . В данной работе рассматриваются линейные р = 1 и квадратичные р = 2 полиномы. На каждом интервале xt_1/2 х х1+1/2 выберем систему базисных функций: у/ 0=1,щ= — , у/. х-ха У Ах j ;-1 / +1 /2 где ха = LE2 - центр интервала xt_1/2 х х1+1/2. Коэффициенты разложения ufi находятся из системы, получаемой подстановкой в первое уравнение (1.1.2) искомой функции в виде разложения по базису и умножением на пробные функции р\. С учетом условия ортогональности невязки всем пробным функциям на каждом интервале xt х х1+1 [50] получаем: Коэффициенты разложения axji находятся из системы, получаемой подстановкой во второе уравнение (1.1.2) вспомогательной функции в виде разложения по базису и умножением на пробные функции ). С учетом условия ортогональности невязки всем пробным функциям на каждом интервале х1_1/ 2 х х1+1/ 2 получаем:
Для вычисления интегралов в системах (1.1.3) - (1.1.4) использовались квадратурные формулы Гаусса [51]. В работе использовался двухточечный шаблон. В системах (1.1.3) – (1.1.4) при нахождении интегралов на границе ячеек необходимо вычислить потоковые значения величин иг и сотх. Эти значения предлагается вычислять аналогично тому, как это сделано для уравнения теплопроводности [52], используя стабилизирующие добавки: В расчётах была использована явная схема Эйлера по времени. Начальное распределение искомой функции показано на рисунке 1.1.
Рассмотрим следующие три случая, в зависимости от коэффициента диффузии к: 1) Коэффициент диффузии к = а. Точное решение задачи, найденное с помощью метода разделения переменных, имеет вид: и = sm(?vc)exp(-a7r2t). В расчетах использовался коэффициент диффузии к = \. Решение задачи экспоненциально убывает со временем, при этом показатель экспоненты будет зависеть от значения коэффициента диффузии.
В таблицах 1.1 - 1.2 представлены порядки точности численной методики в нормах 1} и Z2, N - число ячеек основной сетки в расчетной области. Расчет выполнялся до времени Г = 0.1. Численное решение сравнивалось с точным решением. Оценки порядков точности получены по правилу Рунге. На рисунке 1.2 представлено численные решение задачи, полученное с помощью представленной численной схемы на момент времени ґ = 0.1.
Применение разрывного метода Галеркина для решения трехмерных уравнений диффузионного типа
Для создания геометрической модели и разбиения ее на конечные элементы использовалась свободно распространяемая платформа для численного моделирования Salome [64, 65]. Salome объединяет несколько компонентов программного обеспечения, которые построены таким способом, что это позволяет объединять приложения-решатели и существующие алгоритмы слияний наряду со спецификацией физических свойств данной области. Новизна этого подхода заключается в том, что различные компоненты должны иметь возможность сочетаться друг с другом динамически и быть легко настраиваемыми. На рисунке 2.1 представлена архитектура платформы Salome.
Архитектура Salome основана на технологии CORBA, которая использует распределенную системную модель приложений. Эта архитектура использует концепцию мультиряда клиент-сервер. Распределенная системная модель представляет функциональные возможности приложений в форме объектов, каждый из которых может использовать все возможности остальных объектов в системе, или даже внесистемных объектов. Архитектура может также стирать различие между "клиентом" и "сервером", потому что клиентские компоненты могут также создавать объекты, которые ведут себя подобно серверам. Эта архитектура обеспечивает чрезвычайно высокую гибкость.
Распределенная архитектура системы является гибкой за счет того, что определенные задачи предписаны определенным составляющим интерфейса. Интерфейс компонента указывает другим компонентам, какие сервисы может предоставить этот компонент и как им воспользоваться. До тех пор, пока интерфейс компонента остается неизменным, выполнение компонента возможно, не затрагивая другие компоненты.
Все компоненты программного обеспечения (Пост-Про, Геометрия, Сетка, …), интегрированные в платформу Salome, имеют предопределенный интерфейс. Каждый компонент обеспечивает Salome данными для исследования в форме связей к определенным данным, созданным и сохраненным в компоненте. Все компоненты представляют собой серверы "CORBA", и это позволяет запускать их на различных станциях-хостах.
Также возможно создать независимые от ядра модули. Эти модули не используют "CORBA", и могут иметь внутреннюю структуру данных, которая может быть написана на языке C ++ (или Python). Такие модули расположены внутри SALOME GUI, и с точки зрения конечного пользователя не имеют никакого различия со стандартными компонентами. Такие модули, которые не используют стандартные инструменты платформы Salome определены на специальном отделенном уровне, который называется CAM. Компонент CAM - основа нового SALOME GUI и содержит все основные функциональные возможности для того, чтобы работать с модулями (загрузка, сохранение, закрытие, настройка панели инструментов и меню). Другой фундаментальной частью архитектуры Salome является использование Языка Определения Интерфейса (IDL). IDL, который определяет интерфейсы взаимодействия между компонентами CORBA, способствует обеспечению языковой независимости CORBA. Поскольку интерфейсы, описанные в IDL, могут быть внедрены в любой язык программирования, заявления приложения CORBA и компоненты таким образом независимы от языка, используемого для реализации их.
В Salome есть возможность запускать определенные компоненты в так называемом пакетном режиме без использования GUI, обеспеченного компонентом GUI. В этом случае Вы можете работать с этими компонентами с помощью команд и скриптов на языке программирования Python.
Архитектура этой комплексной платформы для численных компонентов обладает следующими характеристиками:
Гибкость: создание и модификация схем вычисления должны быть легкими для понимания. Разработчик должен иметь свободный доступ ко всем параметрам моделирования для того, чтобы создать проблемно-ориентированные инструменты, приспособленные к новым ситуациям или проверить новые числовые алгоритмы. Salome позволяет интеграцию и выполнение числовых и физических компонентов, полученных из существующего кода.
Производительность: выполнение кода просто в использовании для пользователя, и повторное использование компонентов (в пределах других приложений для макрокомпонентов) максимально облегчено.
Выполняемость: Salome в состоянии более точно моделировать явления, которые являются более сложными в масштабе, и в физических требованиях для согласования. Salome экономно эксплуатирует работу используемых машин (в широком масштабе параллельные процессоры, кластеры ПК и т.д).
Расширяемость: с одной стороны, технологии программного обеспечения и физические архитектуры развиваются достаточно быстро по сравнению с временем для разработки, адаптации и использования в научных
ParaView и модель данных VTK
На сегодняшний день перспективным направлением в медицине является лечение ран с помощью полимерных пленок, содержащих лекарственные вещества (ЛВ). Для таких пленок необходимо в течении продолжительного времени поддерживать требуемый уровень лекарственного вещества в крови или тканях пациента [71-77]. В условиях, когда процессами растворения или деструкции полимера можно пренебречь, основным механизмом высвобождения ЛВ из пленки является диффузия. Одной из важнейших характеристик, влияющей на выход ЛВ из полимерной матрицы-носителя является коэффициент диффузии пленки.
Основой для математического моделирования служат экспериментальные данные, представленные в работах [9-11]. В этих работах были рассмотрены пленки на основе полимера природного происхождения — хитозана. В качестве ЛВ были использованы некоторые представители антибиотиков аминогликозидного (амикацин) и цефалоепоринового (цефазолин) ряда, активно используемые в лечении ожоговых травм [78]. Пленки на основе хитозана способствуют ускоренному заживлению повреждений кожи, подавляют рост микроорганизмов, хорошо сорбируют влагу, а кроме этого, является биоразлагаемыми, что позволяет исключить крайне болезненную процедуру смены повязки [79].
В экспериментах из работ [9-11] использовались пленки с длиной и шириной, равной 0,5 см и толщиной 0,01 см, которые помещали в емкость объемом 10 мл, заполненную водой, при этом воду постоянно перемешивали. На основании вышеописанных данных для описания процесса диффузии ЛВ в пленке использовалось одномерное уравнение диффузии: tс=JL(Ddc\ 0 х /, 0 t T, (3.1.1) dt дх{ дх) с(х,0) = с0, 0 х 1, 0,0 = с(/,0 = 0, 0, где D - искомый коэффициент диффузии, t - время, х - пространственная координата, с = с(х, і) - концентрация лекарственного вещества в пленке, с0 начальная концентрация ЛВ в пленке, / - толщина пленки.
Использование такого сочетания граничных и начальных условий подразумевает, что полимерная пленка, предварительно насыщенная ЛВ до равновесной концентрации, помещается в воду, где мгновенно начинает терять ЛВ с поверхности. Граничная концентрация становится равной нулю и остается таковой на всем протяжении процесса десорбции.
В результате возникает прямая задача - при известном коэффициенте диффузии D найти концентрацию ЛВ во всех точках х на момент времени t.
Модель с постоянным коэффициентом диффузии, используемая в работе [78] адекватно описывает поведение пленки при малых значениях t, но при больших t наблюдается расхождение численных расчетов с экспериментальными данными. В экспериментах наблюдается интенсивный выход ЛВ в начальные моменты времени и почти полное отсутствие выхода в конце эксперимента. В связи с этим в работе рассматривается математическая модель, при которой коэффициент диффузии меняется с течением времени. В качестве зависимости от времени рассматривается экспоненциальная зависимость: D = Я0е-/ 0, где D0 - начальное значение коэффициента диффузии, t0 - время релаксации.
Универсального метода решения обратных задач не существует. Чаще всего их решение находят, перебирая по определенному алгоритму серию прямых задач с целью минимизации выбранного критерия отклонения расчетных и экспериментальных данных [80]. В качестве такого критерия в работе была выбрана исправленная выборочная дисперсия. Для минимизации выбранного критерия использовался генетический алгоритм [81]. Для решения прямой задачи используется созданная проекционная сеточная схема на основе РМГ.
Покроем отрезок, на котором ищется решение, сеткой 0 = x0 x1 ... xN=l с шагом Л . =(х.+1- .). Также примем в рассмотрение двойственную сетку 0 = JC0 х1/2 ... xN_1/2 xN =1 с шагом Ах =(хм/2-х1_1/2), где x i+1/ 2 Для аппроксимации уравнения (3.1.1) будем использовать новую проекционную сеточную схему на разнесенных сетках. Введем в рассмотрение вспомогательную переменную: пдс со = D—. дх Уравнение (3.1.1) переписывается в виде системы: \дс дсох = \dt дх , (3.1.2) \ пдс со,. = D —. I дх На каждом интервале xt x хм искомую функцию концентрации с(х,і) будем искать в виде проекции на пространство базисных функций fe}. В качестве базиса выберем базис Тейлора: X — X Р -1, (р = CL Y0 Дс;. где ха - середина интервала xt x хм. Тогда функция концентрации представляется в следующем виде с зависящими от времени коэффициентами: ,м=5 ;( М0. На каждом интервале xt_1/2 x xi+1/2 вспомогательную функцию будем искать в виде проекции на пространство базисных функций \//)-\. В качестве базиса выберем базис Тейлора: где хС1 - середина интервала х1_1/2 х х1+1/2. Для определения коэффициентов cfi искомой функции на ячейках основной сетки, необходимо первое уравнение системы (3.1.2) умножить на проверочные функции, роль которых выполняют базисные функции { ?;}. В результате получаем следующую систему: 1ках = сэ[ср1\ -отМ\ - cox dx, к = 0,1. (3.1.3) J xi xi Для определения коэффициентов mXJ, на ячейках двойственной сетки, необходимо второе уравнение системы (3.1.2) умножить на вспомогательные функции, роль которых выполняют базисные функции \j/)}. В результате получаем систему:
Моделирование динамики распространения температуры в пласте с нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва
Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными и результатами, полученными с помощью другого математического аппарата. При этом в отличие от работ [9-11] в данной работе используется единая формула для нахождения коэффициента диффузии, а не две разные формулы в зависимости от времени с начала эксперимента. В дальнейшем планируются уточнить математическую диффузии ЛВ из полимерных пленок и разработать информационно-вычислительную систему для создания эффективных лечебных полимерных пленок. Моделирование динамики распространения температуры в пласте с вертикальной нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва
Для изучения термодинамических эффектов фильтрации в пластах и скважинах рассматривается система дифференциальных уравнений с подходящими граничными и начальными условиями. Основные теоретические результаты, касающиеся температурных явлений в этой области, были получены Э. Б. Чекалюком [4]. Рассматривается пласт, который эксплуатируется вертикальной скважиной с трещиной ГРП. Моделируется пуск нагнетательной скважины с постоянной закачкой жидкости. Прослеживается изменение и распределение температурного поля в пласте [81]. Температура закачиваемой жидкости меньше температуры пласта.
Общий вид на систему «скважина-трещина-пласт» сверху. На рисунке 3.11 представлен вид сверху на систему «скважина-трещина-пласт», где 2-Lx - длина пласта, м; 2Z - ширина пласта, м; wf - ширина трещины; xf - полудлина трещины, м; рт - пористость пласта, %; pf пористость трещины, %; р1 - плотность жидкости, кг/м3; сг - удельная теплоемкость, Дж/(кгК); Xmt - коэффициент теплопроводности пласта, Вт/(мК); Xfi - коэффициент теплопроводности трещины, Вт/(мК); а, объемная теплоемкость жидкости, Дж/(м3К); aft - объемная теплоемкость, Дж/(м3К). Предполагается, что течение жидкости в трещине и в пласте подчиняется линейному закону фильтрации Дарси:
Распределение температурного поля в техногенной трещине и продуктивном пласте описывается уравнениями теплопроводности: где aft - объемная теплоемкость в трещине, amt - объемная теплоемкость в пласте, Aft - коэффициент теплопроводности в трещине, Amt - коэффициент теплопроводности в пласте, сг - удельная теплоемкость, р1 - плотность жидкости, т,, Th - температура на границе пласта, Vf - скорость фильтрации жидкости в трещине, V , Vny - компоненты скорости фильтрации жидкости в пласте, ju - вязкость жидкости, Г0 - температура в начальный момент времени. Для единообразия расчетов решение (3.2.2) в трещине ищется в двумерной постановке, при этом считаем, что скорость фильтрации будет иметь вид Vf={yfic,0). Численная методика рассматривается на примере аппроксимации уравнения теплопроводности в пласте.
Производные второго порядка не могут быть согласованы напрямую в слабой вариационной формулировке, используя пространство разрывных функций. Поэтому отдельно рассматриваются потоковые переменные как вспомогательные неизвестные уравнения теплопроводности, которые переформулируются в следующую сопряженную систему:
Для применения разрывного метода Галеркина область о, на которой ищется решение, покрывается треугольной сеткой, удовлетворяющей критерию Делоне. Также вводится в рассмотрение сетка, построенная из медианных контрольных объемов D] вокруг вершин треугольной сетки. На каждом элементе Т} температура ищется в виде проекции на пространство полиномов Р(х,у) степени st в базисе /(x,j)} с зависящими от времени коэффициентами:
На каждом элементе D] потоковые переменные ищутся в виде проекции на пространство полиномов Р(х,у) степени st в базисе { /(л-, )} с зависящими от времени коэффициентами: st M , O=E» ( V;M. J=0 В работе в качестве пробных (базисных) функций на треугольниках используется базис Тейлора: x-x. у-у. (d=1, ер! = 5, col = CJ, 0 1 Ax; 2 Ay, где (xq/.,jq7.) - координаты центра масс треугольника Т., Ах.,Ау. - проекции треугольника на соответствующие оси координат. В качестве пробных (базисных) функций на ячейках двойственной сетки используется базис Тейлора: х-х. у - у ц/]0 = 1, ц/1 = , у/2 Axj 2 Ау) где х с,у с- координаты центра масс соответствующей ячейки двойственной сетки, Ах , А/ - проекции двойственной сетки на оси координат.
Приближенное решение системы (3.2.4) в разрывном методе Галеркина ищется как решение следующих систем:
В системе (3.2.5) для вычисления значений конвективных членов уравнения ТІ на ребрах треугольников выбираются в зависимости от направления вектора скорости подобно тому, как это сделано для уравнений газовой динамики [83]. Для вычисления потоков на границе элементов, подобно тому, как это сделано в [52], используются стабилизирующие добавки. Для вычисления интегралов в системах (3.2.5) – (3.2.7) применялись квадратурные формулы Гаусса [51]. В вычислениях использовался двухточечный шаблон для вычисления интегралов по контуру и трехточечный шаблон для вычисления интегралов по элементам. Для обеспечения монотонности решения применяли TVD-ограничитель на каждом шаге по времени [84].
В начальный момент времени, когда скважина еще не запущена в эксплуатацию, во всей области задаются следующие параметры: начальная температура Г0=363.15 К, удельная теплоемкость сг =2000 Дж/кгК, плотность жидкости р,=950 кг/м3, объемная теплоемкость в трещине aft= 1316676 Дж/м3К, объемная теплоемкость в пласте ат=\ЪШ16 Дж/м3К, коэффициент теплопроводности в трещине Я =2.5208, коэффициент теплопроводности в пласте Лш =2.5208. Параметры рассматриваемой системы «скважина-трещина-пласт»: 1х=150 м; Ly=25w, wf =0.0025 м; Хг=40 м.