Содержание к диссертации
Введение
1 Интегральные функционалы и диффузионные процессы 13
1.1 Нелинейные задачи стохастической динамики 13
1.2 Нелинейные стохастические дифференциальные системы
1.2.1 Случайные процессы 16
1.2.2 Стохастические дифференциальные уравнения 19
1.2.3 Существенная нелинейность в стохастических дифференциальных системах 25
1.2.4 Классы кусочно-линейных стохастических систем 26
1.3 Интегральные функционалы, заданные на траекториях диффузионных про цессов 33
1.3.1 Понятие интегрального функционала 33
1.3.2 Существенно нелинейные интегральные функционалы 34
1.3.3 Метод расширения фазового пространства. Редукция к СДУ 37
1.4 Некоторые специальные стохастические системы 38
2 Аналитические методы анализа нелинейных функционалов от траекторий диффузионных процессов 40
2.1 Прямое уравнение Колмогорова 40
2.1.1 Теория систем, включающих гладкие нелинейности 40
2.1.2 Теория систем с негладкими нелинейностями. Условия сопряжения
2.2 Обратное уравнение Колмогорова и уравнении Фейнмана-Каца 46
2.3 Некоторые точные решения
2.3.1 Обобщённые гамильтоновы системы 49
2.3.2 Случай кусочно-линейных систем
2.4 Некоторые приближённые методы 53
2.5 Уравнение B.C. Пугачёва 55
3 Стохастическая динамика существенно нелинейных систем и уравнение B.C. Пугачёва 56
3.1 Вывод уравнения Пугачёва з
3.1.1 Прямой вывод 58
3.1.2 Ввшод с помощвю формулы Ито 61
3.1.3 Уравнение Пугачёва для случая систем с локальным временем
3.2 Аналитические свойства характеристической функции 66
3.3 Приближённые методы решения и фильтрация по Пугачёву
3.3.1 Приближённые методы 72
3.3.2 Оптимальная фильтрация по Пугачёву 78
3.4 Уравнение Пугачёва-Свешникова 79
3.4.1 Случай полислоёв 80
3.4.2 Случай четверть-пространств 82
4 Аналитические методы решения уравнения Пугачёва—Свешникова 86
4.1 Общая идея 86
4.2 Краевая задача Римана
4.2.1 Случай полуплоскостей 87
4.2.2 Случай биполуплоскостей 89
4.3 Основное уравнение в случае полупространств 92
4.3.1 Сведение уравнения Пугачёва-Свешникова к краевой задаче Римана для полуплоскостей 92
4.3.2 Сведение задачи Римана к основному уравнению 95
4.4 Основное уравнение в случае полислоёв 97
4.4.1 Сведение уравнения Пугачёва-Свешникова к специальной краевой задаче Римана 97
4.4.2 Сведение задачи Римана к основному уравнению 98
4.5 Основное уравнение в случае четвертей пространства 100
4.5.1 Сведение уравнения Пугачёва-Свешникова к задаче Римана для биполуплоскостей 100
4.5.2 Сведение задачи Римана к основному уравнению 103
5 Классы аналитически разрешимых задач 105
5.1 Кусочно линейные системы. Случай полупространств 105
5.1.1 Задача Кренделла о перемещениях незакреплённого тела на подвижном основании при ограниченной длительности случайного воздействия 105
5.1.2 Нахождение точных выражений для моментов с помощью уравнения Пугачёва-Свешникова 109
5.1.3 Точное выражение для изображения характеристической функции пройденного пути 114
5.2 Кусочно-линейные системы. Случай четверть-пространств 117
5.2.1 Вспомогательные факты для функциональных уравнений 117
5.2.2 Фрикционное торможение незакреплённого тела при наличии управляемого демпфера сухого трения 119
5.2.3 Задача об управляемом фрикционном торможении при наличии сухого трения. Сведение к интегралвному уравнению 127
5.3 Кусочно линейные системы. Случай полислоёв 134
5.3.1 Фрикционное торможение при наличии управляемого демпфера сухого трения. Другой метод решения 134
5.3.2 Время пребвтания процесса Кохи-Динза на отрезке 137
5.4 Системы, включающие локалвное время 144
5.4.1 Локалвное время процесса Кохи-Динза 144
5.4.2 Задача Бакстера для скошенного броуновского движения со сносом 148
Заключение 161
Список литературы
- Существенная нелинейность в стохастических дифференциальных системах
- Обратное уравнение Колмогорова и уравнении Фейнмана-Каца
- Ввшод с помощвю формулы Ито
- Краевая задача Римана
Введение к работе
Актуальность темы. Стохастические математические модели, основанные на стохастических дифференциальных уравнениях (или уравнениях Ланжевена), возникают во многих областях знаний, таких как механика сейсмических явлений, теория виброзащиты, физика наноструктур, теория управления, финансовая математика и многих других. При этом на практике интерес представляет не только исследование поведения самих этих систем, но и исследование некоторых их числовых характеристик, определяемых в виде интегральных функционалов. Линейная теория, соответствующая указанному типу задач, хорошо разработана, однако, системы, встречающиеся на практике, часто содержат те или иные нелинейности, причём конкретный вид этих нелинейностей определяется как структурой исходной стохастической системы, так и свойствами рассматриваемых функционалов. В настоящее время точные решения нелинейных задач известны лишь в достаточно редких случаях.
Особую сложность в математическом отношении и, одновременно, большую практическую значимость представляют существенно нелинейные системы. Такие системы описываются с помощью нелинейностей, которые могут иметь скачки, разрывы производных, многозначности и, вообще, плохо поддаются аппроксимации гладкими функциями во всей области их определения. К сожалению, весь класс существенно нелинейных систем является слишком обширным и его детальное изучение затруднительно, поэтому часто ограничиваются рассмотрением более узкого класса систем. Одним из важнейших типовых примеров последнего является класс кусочно-линейных систем. На практике они возникают при аппроксимации сложных реальных систем, и позволяют уловить ряд тонких нелинейных эффектов, которые не удаётся выявить в рамках линейной теории. Кусочно-линейные системы являются предметом множества прикладных и теоретических исследований, что, однако, не умаляет актуальности их дальнейшего изучения.
Целью данной работы является разработка новых методов исследования существенно нелинейных стохастических систем, прежде всего, кусочно-линейных, с помощью эффективного, но недостаточно изученного в этом классе задач уравнения Пугачёва-Свешникова (ПС) для характеристической функции.
Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:
1. Осуществлён библиографический поиск и изучение имеющейся по теме работы литературы, результатом чего стал обзор работ, посвященных анализу существенно нелинейных стохастических систем;
-
Выделены новые классы существенно нелинейных систем и функционалов, для которых уравнение ПС допускает точное решение;
-
Выведено уравнения ПС для всех вновь введённых классов систем;
-
Исследованы качественные свойства решения уравнения ПС;
-
Разработан точный метод решения уравнения ПС для выделенных классов существенно нелинейных стохастических задач;
-
Разработан комплекс программ на языке среды Wolfram Mathematica, позволяющий провести численный эксперимент по исследованию решений, полученных в работе;
-
Проведено численное сравнение точных решений с приближёнными решениями, полученными методом статистической линеаризации;
Научная новизна. Автором выделены три новых класса аналитической разрешимости для кусочно-линейных стохастических задач. Для каждого из этих классов кусочно-линейных систем (кусочно-линейные системы, линейные в четвертях пространства, линейные в полислоях и включающие локальное время) впервые получен общий вид уравнения ПС для характеристической функции, а также разработан оригинальный метод его решения. В общем случае доказана теорема об аналитичности решения уравнения Пугачёва.
С помощью разработанного метода решения уравнения ПС впервые вычислено изображение по Лапласу для характеристической функции пройденного пути в классической задаче Кренделла о перемещениях незакреплённого тела, а также найден ряд ранее неизвестных практически значимых вероятностных характеристик классического процесса Кохи-Динза. Решена задача о фрикционном торможении незакреплённого тела при наличии управляемого демпфера сухого трения. Также впервые полностью решена задача Бакстера для скошенного броуновского движения с постоянным сносом.
Практическая и теоретическая значимость диссертационной работы состоит в том, что её результаты позволяют аналитически решить новый класс важных существенно нелинейных задач. Представленные в работе методы могут быть успешно использованы для исследования широкого класса математических моделей, описывающих разнообразные физические, механические, биологические, экономические и другие подобные им системы, допускающие адекватную кусочно-линейную аппроксимацию.
Методы исследования. Решение поставленных задач основывается на использовании методов теории случайных процессов, математической
физики, теории функций комплексного переменного, а также специальных методов теории функциональных уравнений.
Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается применением строгих математических методов, проверкой аналитических вычислений с помощью соответствующих математических пакетов программ, а также сопоставлением результатов диссертации с результатами, полученными иными методами и другими авторами.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: LUH-SPbSPU Workshop on Computational Methods and Modeling in Engeneering (Ганновер, Университет им. В. Лейбница, апрель 2013); Семинар кафедры теоретической электротехники, а также семинар кафедры строительной механики университета им. В. Лейбница (Ганновер, Университет им. В. Лейбница, октябрь 2013); XVII International Workshop on New Approaches to High-Tech: Nano-Design, Technology, Computer Simulations. NDTCS-2015 (Гродно, ГрГУ им. Я. Ку-палы, сентябрь 2015); Научный семинар кафедры «Теоретическая механика» (Санкт-Петербург, СПбПУ, ноябрь 2015); Семинар исследовательской лаборатории им. П.Л. Чебышёва СПбГУ «Теория вероятностей» (Санкт-Петербург, ПОМИ РАН, ноябрь, апрель 2015); Семинар кафедры «Прикладная математика» СПбПУ (Санкт-Петербург, СПбПУ, январь 2017); Городской семинар по теории вероятностей и математической статистике (Санкт-Петербург, ПОМИ РАН, февраль 2017).
По тематике диссертации автор дважды проходил стажировку на кафедре теоретической электротехники университета им. В. Лейбница (Ганновер, октябрь 2013, август-ноябрь 2014) под руководством профессора В. Ма-тиса (Wolfgang Matins).
Личный вклад. Автор принимал личное активное и непосредственное участие в постановке задач, внёс существенный вклад в их решение и анализ результатов. Совместные статьи и доклады, на которых основывается содержание диссертации, писались при существенном личном участии автора. Доказательства и обоснование приведенных в диссертации положений, а также математические выкладки целиком выполнены автором. Автором собственноручно написан комплекс программ на языке среды Wolfram Mathematica, позволяющий провести численный эксперимент по исследованию решений, полученных в работе, а также проведено численное сравнение точных решений с приближёнными решениями, полученными методом статистической линеаризации.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Аналитическая разрешимость уравнения ПС для трёх новых классов кусочно-линейных систем (кусочно-линейные системы, линейные в четвертях пространства, линейные в полислоях и включающие локальное время);
-
Новая общая теорема, устанавливающая аналитичность решения уравнения Пугачёва относительно всей совокупности аргументов искомой характеристической функции;
-
Общий метод точного решения уравнения ПС для трёх введённых классов систем;
-
Аналитические выражения для ранее неизвестных вероятностных характеристик типовых существенно нелинейных стохастических систем;
-
Численные результаты сравнения найденных точных решений с приближёнными, полученными методом статистической линеаризации.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 5 печатных и электронных изданиях, 2 из которых [1,2] изданы в журналах, рекомендованных ВАК.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и трёх приложений. Полный объем диссертации составляет 206 страниц текста с 19 рисунками. Список литературы содержит 388 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
Существенная нелинейность в стохастических дифференциальных системах
Естественнвім аппаратом для описания динамических систем в рамках стохастического подхода является аппарат теории случайных процессов. Эта теория является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов теории вероятностей. Перввіе математические задачи, связанные со случайными процессами, возникли ещё в начале XX века в связи с физическими исследованиями (теория броуновского движения), а также в связи с экономическими исследованиями (моделирование стоимости акций на бирже). Соответствующая этим задачам первая строгая математическая теория бвша впервые разработана в работах Н. Винера [176] и А.Н. Колмогорова [90]. С тех пор накоплен богатвій теоретический материал и огромное число важнвіх научно-прикладных резулвтатов, а также разработано болвшое количество тонких математических методов и моделей. В рамках диссертационного исследования мві ограничимся толвко линів некоторвіми базовыми, основополагающими понятиями, которвіе далее будут излагатвся, в основном, следуя работам [218,220,339].
Пуств задано вероятностное пространство (П, , Р), где П — пространство элементарных исходов, $ — сигма-алгебра событий, а Р — вероятностная мера. Физический смысл указаннвіх объектов следующий: пространство злементарнвіх исходов включает те и толвко те простейшие взаимоисключающие собвітия, которые могут произойти в некотором случайном эксперименте, сигма-алгебра состоит из событий, являющихся множествами таких злементарнвіх исходов, а вероятностная мера Р представляет собой способ измерения вероятности возникновения того или иного события. В зависимости от специфики решаемой задачи, сигма-алгебра может бвітв богаче или беднее, то еств содержатв болвше или менвше событий.
Мы будем назвіватв векторным случайным процессом с пространством состояний (фазовым пространством) Кга семейство гг-мерных векторнвіх случайных величин {X(t,uj)}te[0}+ooh (1.1) зависящих от параметра Є [0, +оо) (времени), причём для этого процесса часто будет при-менятвся обозначение X(t) (опуская аргумент ш). Для каждого фиксированного элементарного исхода ше(], процесс X{t,uS) представляет собой некоторую детерминированную функцию аргумента t, называемую траекторией, реализацией или выборочной функцией процесса X(t).
Для обозначения случайных величин и процессов и их векторных аналогов мы будем исполвзоватв заглавнвіе буквы латинского алфавита (иногда в виде исключения малые греческие буквві), набранные курсивом, причём в случае векторных величин эти буквы будут жирными. Компоненты вектора обозначаются той же буквой, что и сам процесс, но с соответствующим индексом, задающим номер компоненты, а аргументы связанных со случайными процессами и величинами функций (плотность вероятности, функция распределения) обозначаются соответствующими малыми буквами. Операторы и матрицы мы обозначаем заглавными прямыми жирными буквами латинского алфавита. Элементы матриц обозначаются теми же буквами, что и сами матрицы, но прописными.
Приведённое выше определение случайного процесса называют определением в узком смысле, в соответствии с которым вводится эквивалентность случайных процессов в узком смысле, то есть их эквивалентность при каждом фиксированном t как случайных величин1. Однако в прикладных задачах, которые рассматриваются далее, часто интересуются не самими процессами в узком смысле, а их некоторыми вероятностными характеристиками. В связи с этим возникает другое определение случайных процессов, которым мы и будем преимущественно пользоваться в рамках диссертации, а именно, так называемое определение в широком смысле, при котором процесс считается заданным, если задана иерархия его конечномерных законов распределения, то есть, например, при любом k 1 заданы функции распределения Fk(x1,..., хк; іь ..., tk) = P{X(ti) x1,...,X(tk) хк}, где предполагается, что tk +00 и Х\,... ,хк Є Ега, а все неравенства понимаются покоординатно. Для случая процессов с абсолютно непрерывными конечномерными законами, очевидно, вместо функций распределения можно использовать плотности вероятности fk(xi,...,xk;ti,...,tk).
Замечание. Отметим, что эти функции распределения должны удовлетворять некоторым естественным условиям согласования А.Н. Колмогорова [218], именно это и подразумевается под термином «иерархия законов распределения». Первое условие согласования заключается в том, что, если в качестве каждой компоненты одного из векторов Xj подставить +оо, то должна получаться функция распределения Fk_i меньшего числа переменных полученная при исключением вектора X{tj) из системы (X(t\),..., X{tn)). На примере j = к этот факт можно записать формулой Fk(x\,..., хк-\, +00; 1,... ,tk-\,tk) = Ffc_i(cEi,..., xk-i; t\,... ,tk-\), (1.2) где символ +oo обозначает вектор из п компонент вида (+оо,..., +оо)т.
Случайные величины называются эквивалентными, если они различаются только на событии вероятности нуль. Второе условие согласования заключается в том, что функция F/, является симметричной при перестановки аргументов парами, то есть если для любой перестановки s\,...,Sk чисел {1,..., к} имеет место равенство
В связи с определением случайных процессов в широком смысле, естественным образом возникает эквивалентность процессов в широком смысле. Два процесса называются эквивалентными в широком смысле, если они обладают одинаковыми иерархиями законов распределения. Очевидно, процессы, эквивалентные в узком смысле, являются эквивалентными и в широком смысле. Важным фактом является то, что эквивалентные в широком смысле процессы могут быть, вообще говоря, заданы на разных вероятностных пространствах. Это является естественным с точки зрения приложений, где обычно построением вероятностного пространства не занимаются, а работают напрямую с распределениями. Кроме того указанная точка зрения на эквивалентность процессов подчёркивает дух теории вероятностей по сравнению с «чистой» теорией меры. Действительно, в последней интересуются измеримыми функциями, заданными на некотором пространстве с мерой, и их свойствами, в теории же вероятностей интересуются только такими свойствами случайных величин (измеримых функций), которые сохраняются с точностью до эквивалентности в широком смысле [297]. Добавим ещё, что благодаря замечательному результату А.Н. Колмогорова всегда существует возможность по заданной иерархии законов распределения построить вероятностное пространство и заданный на нём в узком смысле случайный процесс, который бы имел заданную иерархию законов распределения [220].
В рамках диссертации мы будем в рассматривать только непрерывные случайные процессы, то есть такие процессы, почти все траектории которых являются непрерывными. Именно такие процессы естественным образом возникают во многих прикладных задачах естественно-научного, технического и экономического содержания. Интересно отметить, что хотя понятие непрерывности даётся для процессов в узком смысле (поскольку используются реализации процесса) имеются теоремы, позволяющие при некоторых дополнительных пред-пол ожениях построить непрерывный случайный процесс, обладающий заданной иерархией законов распределения.
Задание случайного процесса в широком смысле является довольно сложной задачей, поскольку необходимо указать бесконечное множество функций распределения. Поэтому имеет смысл сузить класс всех случайных процессов до таких, которые бы по возможности однозначно описывались с помощью небольшого количества функций распределения. Таким более узким, но в то же время весьма интересным с точки зрения приложений, является класс марковских процессов, которые определяются только начальным распределением, а также вероятностью перехода. Для указанного класса процессов разработаны эффективные математические методы, которые позволяет решать многие интересные с прикладной точки зрения задачи. Более подробно об этих методах будет рассказано в последующих главах, а сейчас перейдём к более точным определениям.
Обратное уравнение Колмогорова и уравнении Фейнмана-Каца
Выше было показано, что уравнение ФПК позволяет свести задачу поиска распределения диффузионного процесса, заданного СДУ, к некоторой задаче математической физики. Арсенал методов решения таких задач достаточно богат, хорошо известен и включает в себя такие стандартнвіе средства как метод разделения переменных, метод интегралвных преобразований, метод заменві переменнвіх, метод поиска симметрии (теория групп или алгебр Ли) и ряд других. Тем не менее получить решение в замкнутом виде удаётся далеко не всегда (см. [31,161]). Например, хорошо исследован класс линейных стохастических дифференциальных уравнений, для которых уравнение ФПК легко решается, причём решение представляет собой гауссовский процесс. Если относительно пространственного аргумента вектор сноса линеен, а матрица диффузии постоянна, то соответствующие процессы являются стационарными гауссовскими, и для них могут быть применены мощные методы корреляционной и спектральной теории, детально описанные в литературе (см., например, [345]).
Существует ещё один интересный класс систем, для которых в явном виде можно получить стационарное распределение вероятности, а именно класс обобщённых гамильтоновых систем (см. [59,181-183]).
Пусть Н(х,у) представляет достаточно гладкую функцию от х, у Є Ега, а д(х) обозначает непрерывную функцию скалярного аргумента х. Рассмотрим систему СДУ следующего специального вида Xj{t) = {X{t),Y{t)), j = l,...,n, dH Yk(t) = - — (X(t),Y(t)), к=1,...,п-1, (2.23) ВИ 8И Yn(t) = - — (X(t),Y(t))-g(H(X(t),Y(t))) — (X(t),Y(t)) + V2hm Здесь h обозначает является постоянную интенсивность шума, а () — скалярный процесс стандартного гауссовского белого шума. Несложно проверить, что, стационарным решением уравнения ФПК, отвечающим системе (2.23), является плотность вида G(H(tn,y)) f(x,y) = Ce —, (2.24) где С — нормировочная постоянная, a G(x) — первообразная для д{х) х G(x) = J д(у) dy. (2.25) Заметим, что в (2.23) рассматривается толвко гладкий гамилвтониан Н(х,у), позже похожим способом удастся получитв и некоторвіе решения в негладком случае.
В данном разделе будет приведён краткий обзор некоторвіх стохастических систем типа Филиппова, а также для полноты картины и некоторвіх систем релейного типа, которвіе возникают в статистической динамике и могут бвітв решенві с исполвзованием аппарата уравнения ФПК. При изложении мы в основном опираемся на работу автора [192].
Попвітки построения явнвіх решений уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для кусочно-линейнвіх систем началисв практически сразу после строгого ввшода этого уравнения Колмогороввім и активизировалисв в конце пятидесятвіх- начале шестидесятвіх годов. Активную позицию в этом вопросе занимал и сам Колмогоров, и его ученики. И хотя аналитическое решение уравнения Колмогорова для кусочно-линейнвіх систем тогда не бвіло получено, считалосв, что это возможно. Соответствующая задача получила название про-блемві Колмогорова. К сожалению сколв-нибудв полно решитв данную задачу не удалосв и по сей денв, еств толвко некоторвіе частнвіе резулвтатві. Например, один из ближайших учеников Колмогорова — Р.Л. Стратонович на I международном конгрессе ИФАК4 рассказал о том, что именно ему удалосв сделатв в плане решения проблемві Колмогорова. Стратоновичу удалосв свести указанную задачу к решению некоторой системві интегралвнвіх уравнений, содержащей фредголвмов оператор по пространственнвім переменнвім и волвтерров — по времени. Система оказаласв крайне сложной и от попвіток поиска её явного решения Стратоновичу пришлосв отказатвся.
Несмотря на это, Колмогоров считал задачу важной и решил довести её решение до конца. Задача бвіла предложена аспирантке Э.М. Хазен в качестве темві кандидатской диссертации. Вскоре Хазен опубликовала цикл статей [383-385], в которвіх фактически развивалисв идеи Стратоновича. Сутв её метода заключается в том, что для каждой из областей линейности вначале ввіражают решение через значения на границе двух функций: плотности вероятности и нормалвной составляющей потока вероятности, которвіе в силу условий сопряжения должнві оставатвся непрервівнвіми при переходе через эту границу. Далее относителвно указаннвіх граничнвіх значений ввіводиласв некоторая система интегралвнвіх уравнений, которую Хазен затем решала численно. Как оказалосв позже, даже для численного решения метод Хазен слишком сложен, это связанно,в основном, со свойствами ядер интегралвнвіх уравнений — они являются слабвіми. В этой связи бвіли предложенві некоторвіе методві регуляризации, но какая-либо подробная теория и провереннвіе численнвіе методві, относящиеся к ним, в литературе, отсутствуют.
Аббревиатура ИФАК означает Международная федерация по автоматическому управлению (или сокращённо IFAC). Отметим, что указанный выше метод хорошо известен специалистам по уравнениям с частными производными и называется методом граничных интегральных уравнений (см., например, [300]). Поскольку для каждой из областей линейности уравнение ФПК легко решить, выразив решение внутри области через интегралы от плотности и нормальной составляющей потока вероятности на границе, то фактически дело сводится к некоторой задаче сопряжения, требующей решения систем интегральных уравнений. Далее мы ещё вернёмся к этой задаче сопряжения и построим эти уравнения, исходя из несколько других соображений.
Следует особо упомянуть интересный метод, который разработали Т. Кохи и Дж. Ат-кинсон в статье [9]. В этом методе уравнение ФПК вначале преобразовывалось по Лапласу. В случае одномерного уравнения, коэффициенты которого не зависят от времени, задача сводилась к рассмотрению некоторого обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с кусочно-линейными коэффициентами. Решив это уравнение в изображениях по Лапласу можно затем с помощью стандартных методов операционного исчисления получить и искомую плотность вероятности. Указанным способом удалось полностью исследовать кусочно-линейные системы первого порядка. Важное преимущество данного метода состоит в том, что если требуется найти только спектральную плотность, что часто бывает на практике, то её можно получить, минуя обращение изображений по Лапласу. С другой стороны, если всё же необходимо найти и сами оригиналы законов распределения, то могут возникнуть большие технические трудности. Практика применения метода показывает, что в практически значимых задачах изображения имеют достаточно сложный и громоздкий вид и не являются табличными.
Для некоторых систем первого порядка оказывается применим метод разделения пространственных переменных в уравнении Колмогорова, с помощью которого иногда удаётся представить решение в виде некоторого ряда. В общем случае, конечно, сделать это крайне затруднительно и более того, если для заданной кусочно-линейной системы и удалось разделить переменные в одной из областей линейности, то из-за наличия условий сопряжения, это не приводит к кардинальному упрощению задачи в целом. Фактически указанный метод может быть эффективно применён лишь к системам первого порядка с коэффициентами, не зависящими от времени. Например, для системы U{t) + fcsign([/(t)) = V2D(t), U(0) = U0, (2.26) где k,D 0, решение можно найти в монографии [368]. Более сложные примеры рассмотрены в работах [207,208]. В частности для уравнения U(t) + ip(U(t)) = V2D(t), U(0) = Uo, (2.27) где р(х) = їх + кф(х), получены решения в случае, когда функция ф{х) имеет вид линейной функции с ограничением О iAJ iAJ -і О ф{х) ={ (2.28) sign(x), \х\ є, или более сложной нелинейности релейного типа О, ж 6, (є-6)-\х-6 sign(x)), 6 \х\ є, (2.29) sign(x), \x\ є.
Ещё одним методом, который часто используют для решения задач с существенными нелинейностями, является метод преобразования Фурье. Его идея по свидетельству Страто-новича была предложена Колмогоровым. Метод состоит в переходе от уравнения ФПК для плотности к уравнению для характеристической функции. Этот метод является основным для нас и будет подробнее описан в следующей главе.
Ввшод с помощвю формулы Ито
Ввнпе было получено уравнение Пугачёва для различного рода стохастических дифференциал вных систем. До недавнего времени были известнві лишв те или иные приближеннвіе методы решения этого уравнения. Исключение составляют лишв случай линейных стохастических систем, описанный в разделе 3.1, а также пример, построенный И.Д. Силуяновой [155]. Последний представляет собой некоторое обобщение процесса, для которого решение уравнения ФПК бвшо ранее найдено В. Феллером [55]. Во всех этих случаях уравнение Пугачёва сводилосв к некоторому уравнению в частнвіх производнвіх первого порядка, которое, как хорошо известно (см., например, [285]), допускает аналитическое решение стандартнвіми методами математического анализа.
В работе [333] были намечены некоторые приближённые методы решения уравнения (3.9). Условно их можно разделить на две группы. Первая из них включает методы Монте-Карло и основывается на записи уравнения Пугачёва в стандартной форме (3.9) с функцией Пугачёва (3.4). Правая часть уравнения (3.9) имеет вид математического ожидания и поэтому может быть легко вычислена с помощью метода статистического моделирования. Однако, подобный численный метод вызвал критику некоторых специалистов [312]. Так Дж. Мерклингер, занимавшийся решением уравнения ФПК конечно-разностными методами, признавая определённые преимущества уравнения Пугачёва над уравнением ФПК, указывал на меньшую физическую наглядность (3.9), которая может вызвать трудности при анализе сходимости числовых процедур, а также при постановке дополнительных условий [312, с. 339]. Насколько автору известно, широкого распространения указанный метод так и не получили.
Гораздо более эффективным и многообещающим оказалось второе, намеченное в [333], направление приближённого решения уравнения Пугачёва, основанное на использовании моментно-семиинвариантных методов. Моментные функции представляют собой коэффициенты разложения характеристической функции E(z,t) в степенной ряд по аргументу z. Поэтому, дифференцируя левую и правую части (3.9) по z при z = О чрезвычайно удобно получать обыкновенные дифференциальные уравнения для моментных функций. Основная сложность, однако, здесь заключается в том, что система моментных уравнений оказывается бесконечной, а уравнения оказываются перевязанными друг с другом. Переход от бесконечной системы к некоторой конечной замкнутой системе уравнений называется замыканием.
На момент написания статьи [333] точные методы замыкания отсутствовали, как впрочем и сейчас, поэтому Пугачёв предложил приближённый метод замыкания, основанный на гипотезе нормальности. Согласно этой гипотезе необходимо удерживать моменты до некоторого суммарного порядка k 2, а моменты порядка, большего чем к, выражаются по тем же формулам, как и для нормального закона. При к = 2 такой метод эквивалентен некоторой разновидности метода статистической линеаризации.
Работы Пугачёва шестидесятых годов вызвали большой интерес у специалистов. Начиная с этого времени начали появляться вначале отдельные работы, а потом и целые циклы статей, посвященные приближённому решению уравнения Пугачёва. Их авторы, как правило следовали рекомендациям [333] и даже не пытались выходить за рамки приближённых подходов, что объяснялось как математической сложностью соответствующей математической задачи, так и авторитетом автора уравнения (3.9), который опираясь на свой богатый опыт работы с этим уравнением, расценивал его аналитическое решение как крайне затруднительное.
Одни из первых работ по приближённому решению уравнения Пугачёва принадлежат перу И.Е. Казакова [263]. На момент публикации указанной статьи Казаков уже был известен как один из соавторов метода статистической линеаризации (МСЛ) [25,265]. Недостатком стандартного метода МСЛ была невозможность уточнения полученного приближённого решения. Казаков пытался преодолеть эту трудность, опираясь на уравнение Пугачёва. Общая идея Казакова состояла в том, чтобы сначала построить решение с помощью метода МСЛ, а потом использовать уравнение Пугачёва для его уточнения. Уточнённое решение использовалось для получения приближённых значений младших центральных моментов. Далее указанные моменты подставлялись в ряд Эджворта [275], что давало приближённое выражение для искомого закона распределения. Данный метод впоследствии был детализирован и улучшен в работах [260,261]. Указанный метод, по-видимому, представляет первую успешную попытку преодоления тех математических трудностей, которые в большом количестве возникают при приближённом решении уравнения Пугачёва.
Непосредственным развитием идей, описанных в [333], занимался М.Л. Дашевский, опубликовавший на эту тему целый цикл работ. Первая работа этого цикла была написана совместно с Р.Ш. Липцером [233] и имела дело со стохастическими системами, содержащими полиномиальные нелинейности. Таким образом, существенные нелинейности сразу же отметались. Основные отличия метода Дашевского от метода Пугачёва заключались в том, что использовались не моменты, а семиинварианты (кумулянты), а также, что для замыкания уравнений использовалась не гипотеза нормальности, а гипотеза квазинормальности.
Последняя получила достаточно широкое распространение в литературе по моментно-семиинвариантным методам [196,302,303,329], и на ней мы остановимся подробнее. Суть гипотезы заключается в том, что логарифм характеристической функции аппроксимируется некоторым многочленом чётного порядка к 2. При к = 2 гипотеза квазинормальности сводится к гипотезе нормальности, а основанный на ней метод эквивалентен МСЛ. Гипотеза квазинормальности была высказана ещё в сороковые годы М.Д. Милионщиковым [313] и широко используется при численном моделировании явления турбулентности [314,315]. Первоначально предполагалось, что при увеличении к будут получаться более точные аппроксимации решения, однако вскоре был обнаружен прямо противоположный факт, носящий название «теорема Марцинкевича». Последняя утверждает, что логарифм характеристической функции, соответствующий распределению без атомов, не может быть полиномом никакого конечного порядка отличного от двух (нормальное распределение) [298]. В противном случае функция E(z,t) не является положительно определённой, а её обратное преобразование Фурье (плотность вероятности) принимает отрицательные значения. Несмотря на этот принципиальный недостаток рад авторов (см., например, [196]) допускают применение квазинормальных аппроксимаций, считая их асимптотическим решением, которое на практике может давать достаточно малую погрешность.
В работе [233] выведены основные уравнения для семиинвариантов, доказывается, что при к = 2 метод сводится к МСЛ, а также приводятся примеры. В дальнейшем Дашевский продолжил свои исследования, но уже без соавтора. В статье [229] предлагается рассматривать произвольные гладкие нелинейности. В этой ситуации искомая плотность вероятности аппроксимируется каким-либо рядом, коэффициенты которого выражаются через семиинварианты (например рядом Эджворта). Отрезок этого ряда, соответствующий количеству удерживаемых кумулянтов, далее используется для вычисления математического ожидания в правой части (3.9). В статве приводятся примеры вычислений для ряда типоввіх нелиней-ностей.
В следующей работе цикла [232] даётся усовершенствованный ввтод семиинвариантных уравнений, основаннвій на понятии квазимоментов, введённых П.И. Кузнецовым, Р.Л. Стра-тоновичем и В.И. Тихоноввім [283,284]. Квазимоментві определяются как математические ожидания полиномов Эрмита от исследуемого случайного процесса. Удобство их применения в методе [229,232] обусловлено тем, что в указанном методе плотноств вероятности представляется рядом Эджворта (Грама-Шарлве типа А), координатнвіми функциями в котором как раз и являются полиномві Эрмита.
Краевая задача Римана
Последний факт можно использовать в качестве независимого альтернативного способа для нахождения момента первого достижения экрана (или вероятности его недостижения). Соответствующие выражения хорошо согласуются с формулами, полученными в следующем разделе.
Найденное в предыдущем разделе изображение (5.238) характеристической функции Е% за исключением табличного последнего слагаемого, пропорционального 1/р, представляет собой произведение экспоненты от аргумента у//i2 + р и рациональной функции от аргументов \Jц2 + р и \Jц2 + р — iz2- Такая структура двукратного преобразования Фурье-Лапласа гарантирует получение явного выражения оригинала f(y,t) в квадратурах. Наиболее удобным с практической точки зрения является метод обращения, основанный на использовании двукратного преобразования Лапласа (см. [249]), о котором далее и пойдёт речь
Вероятностная специфика задачи подсказывает, что характеристическая функция Е [ег2:2Х(- -)] представляет собой преобразование Лапласа плотности fx(y,t) вычисленное в точке (—iz2), коль скоро распределение локального времени сосредоточено на положительном луче 5. Поэтому определяя q = —iz2l перепишем (5.238) в виде Ex(z2,p) = S y/ +p + q, vV+pK +v7 ) + S2(p), (5.240) D Легко понять, что, более того, указанное распределение сосредоточено на отрезке [0,t]. 153 где введены обозначения Di{Wi,W2) — (1 - r])(fi + w2) + (1 + гі)(—ц + Wi) ((J, + Wi)(-fl + w2) I _ e o( +V +P) P s2(p) wi = \/JJ? +p + q, w2 = V jJ? + p. (5.241) В итоге, задача нахождения плотности fi(y,t) свеласв к двукратному обращению по Лапласу относительно аргументов р и q. fx(y, t) = ,-] [-; [Siiy/f+p + q, v + rfe +v ] ] + ] ["J [ЗД]] . (5.242)
В последнем равенстве J [] обозначает операцию обратного преобразования Лапласа по переменной р, причём соответствующий аргумент оригинала обозначен здесь через t.
Обращение второго слагаемого, как уже было указано выше, не представляет каких-либо существенных трудностей я 1 К [ЗД]] = б{у)&-1 [s2(p)] = 2Vt 1 _ L [ е- о/х- Erfcf- 0 2}№ ) + е2 + Erfcf v0 + 2//t 2v 8(V), (5.243) где #(y) обозначает дельта-функцию Дирака, a /Xі = (// ±//)/2 — положительную и отрицательную части числа //. Указанное слагаемое соответствует вероятности P{X(t) = 0} {X(t) = 0} = 1 - - I є -2.0М- ЕгЦ _V_1 2Vt ) \ 2 t (5.244)
Далее мы ещё вернёмся к интерпретации этого выражения, заметим лишь, что оно совпадает с соответствующим выражением для винеровского процесса со сносом (ср. с выражением (5.217)), что вполне естественно, коль скоро до момента достижения экрана процесс ведёт себя в точности как броуновское движение со сносом. Подобный факт уже отмечался в разделе 5.4.1 применительно к процессу Кохи-Динза.
Перейдём к обращению первого слагаемого из (5.240), которое проще всего описатв, предъявив соответствующую цепочку равенств где х(ж) обозначает функция Хевисайда. В равенствах (5.246), (5.247) и (5.249) исполвзованы известнвіе свойства преобразования Лапласа [238]; в равенстве (5.248) применена обобщённая теорема умножения A.M. Эфроса [286, с. 478]; в последнем равенстве (5.251) была проделана замена переменнвгх s\ \— 2y/t — ys\, s2 t— 2 /ys2.
Двукратное обратное преобразование Лапласа от рационалвной функции Si(q,p) находится стандартнвіми методами. При 0 у t окончателвно получим — Г] 1 + Г]
В частном случае, когда г] = 0 и w0 = 0, из равенства (5.244) видно, что P {Z() = 0} = 0, а интегралві в (5.252) после упрощений преобразуются к виду классического закона арксинуса
Другой важный частный случай, отвечающий /л = 0 и нулевому начальному условию о = О, описывает ситуацию, при которой постоянный снос совпадает со скоростью движения экрана. При этом интеграл (5.252) выражается в конечном виде через элементарные функции следующим образом: Последняя формула, разумеется, при rj = 0 совпадает с (5.253). Перейдём к рассмотрению безразмерного времени Т = X/t, выраженного в долях длины интервала наблюдения t. Его плотность вероятности fr(y) = tf{ty, t) уже не зависит от t и определяется так:
Нетрудно убедиться, что для случая (5.255) доля среднего время, проведённого частицей за движущимся полупроницаемым частично отражающим экраном даётся равенством Е[7 ] = Y = Р- Этот факт в некотором смысле отражает эргодическую природу рассматриваемого процесса, коль скоро параметр (3 был определён ранее как вероятность проникновения частицы сквозь экран.
В более общем случае о = 0, /І 0, производя численное интегрирование (5.252) с использованием написанного автором скрипта для среды Wolfram Mathematica, получим соответствующий график для плотности вероятности безразмерного времени fr{y ) = tfx(ty,t), который представлен на Рисунке 5.12. Также отметим, что непосредственное численное интегрирование подынтегрального выражение (5.252) представляет определённые трудности, поэтому при расчётах мы свели его к функциям ошибок и интегралам от них, что, в свою очередь, позволило провести интегрирование преобразованных выражений сравнительно просто.