Содержание к диссертации
Введение
1. Арбитражная процедура по последнему предложению 17
1.1. Дискретная схема в трех точках 17
1.2. Дискретная схема в (2n + 1) точке 26
1.3. Арбитражная процедура с поощрением 37
1.4. Имитационные модели дискретных арбитражных процедур 46
2. Комбинированные арбитражные схемы 55
2.1. Арбитражная схема с дискретным распределением 55
2.2. Арбитражная схема с непрерывным распределением . 65
2.3. Сравнение различных арбитражных схем 69
3. Многомерные арбитражные процедуры 74
3.1. Арбитражная процедура на плоскости 74
3.2. Арбитражная процедура с использованием комитета из нескольких членов 82
3.3. Оценивание параметров арбитражной процедуры с неполной информацией 89
3.4. Численные модели арбитражных процедур 92
Заключение 98
Библиографический список 100
- Дискретная схема в (2n + 1) точке
- Имитационные модели дискретных арбитражных процедур
- Арбитражная схема с непрерывным распределением
- Арбитражная процедура с использованием комитета из нескольких членов
Введение к работе
Актуальность темы.
Моделирование переговоров является актуальной задачей теории игр. Эта проблема имеет как теоретический, так и практический интерес. Задача переговоров впервые была сформулирована Эджвортом [35]. Существуют несколько основных моделей переговоров, а именно:
арбитражная схема Нэша и Калаи-Смородински [48,51,52];
многошаговые схемы переговоров Рубинштейна [50];
переговоры с последовательностью случайных предложений [44,53];
голосование в переговорном процессе [37,45].
Арбитраж: становится все более часто используемым способом решения спора как в личных, так и в общественных секторах жизни людей. Система арбитражных судов в России появилась в 1992 г. Решения арбитражного суда окончательны, являются обязательными для каждой из сторон и не подлежат обжалованию.
Рассмотрим спор между двумя лицами. Наиболее распространены следующие ситуации:
- работник и работодатель, рассматривающие вопрос о выплате предпо
лагаемой заработной платы;
- покупатель, желающий купить некоторый товар по более низкой
цене, и продавец, целью которого является продажа этого товара по
более выгодной цене;
- истец, который пострадал и ожидает некоторой компенсации от ответ
чика. Истец хочет получить как можно больше, ответчик заплатить как
можно меньше.
Данные ситуации можно рассматривать, используя теоретико-игровой подход. Обозначим предложение одного игрока (работника, продавца, истца) через х, а предложение другого игрока (работодателя, покупателя, ответчика) через у. В случае, когда игроки не могут достигнуть соглашения самостоятельно, они представляют свой конфликт на рассмотрение некоторому постороннему лицу - арбитру. Считается, что арбитр "справедлив" к обоим игрокам и действует согласно своим этическим принципам. Пусть выбор арбитра является случайной величиной (дискретно или непрерывно распределенной) - z. Задача игры - найти оптимальное поведение сторон. Как доказано на практике, личные ораторские способности и "умение подобрать наиболее убедительную для суда аргументацию" любой из конфликтных сторон влияют на решение суда. Поэтому встает проблема возможности рекомендовать конфликтным сто-
ронам поведение, достаточно близкое к оптимальному, чтобы свести к минимуму "роль индивидуального искусства стороны" [5,6].
Согласно [15], арбитражная функция должна удовлетворять некоторым требованиям.
Вот некоторые из них:
каждый из игроков должен получить столько же, сколько он мог бы получить, не обращаясь к арбитру, и "оба игрока не должны предпочитать арбитражному решению никакой другой возможный платеж";
арбитражная схема не должна зависеть от личностей участников конфликта;
близкие по ситуации игры должны иметь похожие арбитражные решения.
Рассмотрим некоторые из существующих арбитражных схем с участием одного арбитра.
Согласительный арбитраж - это наиболее традиционная процедура разрешения спора. Основываясь на предложениях спорящих сторон, третий участник - арбитр - навязывает игрокам окончательное решение, которое считает справедливым со своей точки зрения. В этой игре функция выигрыша имеет вид Н(х,у) = EHz(x,y), где
Hz{x,y)= I
^-, если x < у,
(I)
если х > у,
а Е - математическое ожидание по распределению случайной величины
Z.
Арбитраж по последнему предложению был предложен Стивен-сом в 1966 году. К этой процедуре в основном обращаются для решения вопроса об установлении заработной платы наемным работникам или о размере контрактов профессиональных спортсменов. По данной схеме принимается то предложение, которое оказывается ближе к выбору арбитра. В этом случае функция выигрыша имеет вид Н{х, у) = EHz(x, у),
Hz{x,y) = <
^|^, если х < у,
х, если х > у, \х — z\ < \у — z\,
у, если х > у,\х — z\ > \у — z\,
(ІГ)
z, если х > у, \х — z\ = \у — z\. Арбитраж по последнему предложению с бонусом. Отличие от
вышеописанной процедуры здесь в том, что победитель получает бонус,
который платится проигравшим игроком и который равен разнице между
предложениями соперников. В этом случае выигрыш есть математичес-
кое ожидание от функции
x+y 2 '
если X < у,
Hz{x,y) = і
х + \х — у\, если ж > ї/, \х — z\ < \у — z\, у — \х — у\, если х > у, \х — z\ > \у — z\,
(III)
z, если х > у, \х — z\ = \у — z\.
Арбитражная процедура с наказанием была представлена Зенгом в 2002 г. [55]. По данной схеме для определения решения спора используется предложение, которое оказывается дальше от предложения арбитра. Функ-ция выигрыша имеет вид Н(х,у) = EHz(x, у), где
^-, если х < у,
Hz(x,y) = <
2z — у, если х > у, \х — z\ < \у — z\, 2z — ж, если х > у, \х — z\ > \у — z\,
(IV)
г, если х > у, \х — z\ = \у — z\.
Таким образом, проигравший, как дающий более крайнее предложение, наказывается.
а-арбитраж по последнему предложению также был предложен и исследован Зенгом [55]. Согласно данной процедуре, окончательное
решение есть математическое ожидание от функции
Hz(x,y,a)= <
^, если x < у,
(1 + a)z — ay, если x > у, \x — z\ < \y — z\,
(V)
(1 + (y)z — ax, если x > у, \x — z\ > \y — z\,
z, если x > у, \x — z\ = \y — z\,
где a > 0. Если a < 1, наказание смягчается, а если a > 1 - ужесточается. Наказание исчезает, если а = 0и мы приходим к случаю согласительного арбитража.
Модель согласительного арбитража и арбитража по последнему предложению наиболее широко исследованы в работах следующих авторов: К. Chatterjee [34], Н. Farber [36], S.J. Brams и S. Merill [31, 32, 33], W.F. Samuelson [54].
Смешанный арбитраж был представлен в 1986 г. для улучшения арбитража по последнему предложению [33]. Правила его следующие: если решение арбитра лежит между предложениями соперников, то решением игры является предложение, близкое к z, как и в арбитраже по последнему предложению; если z не лежит между предложениями, то применяется согласительный арбитраж.
В двойном арбитраже каждый игрок делает два предложения. (#М) Ум) -первичное и вторичное предложения игрока М, (xl, Уь) - пред-
ложения игрока L. Если для первичных предложений справедливо (xl < хм), то в качестве решения принимается их полусумма XM+XL; если нет, но xl > хм и уі < ум, то арбитр проводит решение Ум+Уь. В случае, когда ни одно из вышеперечисленных условий не выполняется, арбитр оценивает предложения, используя критериальную функцию для г-го игрока (г = L, М): Сі = А \уі — Хі\ + (1 — Х)(уі — z) и выбирает игрока с наименьшим Сі как победителя. Здесь Л Є (0,1) - это константа, определенная арбитром и объявленная заранее.
Данная схема была рассмотрена в 1995г. в работе следующих авторов: D.-Z. Zerig, S. Nakamura, Т. Ibaraki [55]. Двойные предложения объяснялись так: первичное предложение обозначает требование игрока по данному вопросу, а вторичное предложение выражает его мнение о справедливом решении.
Если хотя бы одна из конфликтующих сторон не уверена в независимости решения одного арбитра, то для разрешения спора можно использовать арбитражный комитет. В России, согласно федеральному закону, его состав утвержден в количестве 12 человек. В США и других странах его состав может варьироваться в зависимости от характера обвинения и строгости возможного приговора [12].
Цель диссертационной работы заключается в построении математических моделей задач, использующих арбитражные схемы для разре-
шения конфликта между двумя сторонами, и нахождении оптимального поведения этих сторон. В работе рассматриваются следующие задачи:
переговорная задача с арбитражем по последнему предложению;
переговорная задача с комбинированными схемами арбитража;
многомерная переговорная задача;
переговорная задача с использованием арбитражного комитета.
Научная новизна работы.
Для задачи с арбитражем по последнему предложению найдено равновесие в модели с дискретным распределением мнения арбитра в трех точках. Сделано обобщение на случай распределения выбора арбитра в (2п + 1) точке. Для модели с арбитражем по последнему предложению с поощрением получен вид оптимального решения в смешанных стратегиях.
Помимо классических схем арбитража рассмотрены комбинации известных видов арбитража. Найдены выигрыш и оптимальные стратегии для двух случаев комбинированного арбитража:
арбитража по последнему предложению в комбинации с арбитражной процедурой с наказанием;
арбитража по последнему предложению в комбинации с согласительным арбитражем и арбитражной процедурой с наказанием.
Построена и исследована математическая модель переговоров двух
конкурирующих фирм на строительном рынке, которая является случаем арбитража на плоскости.
Для случая применения арбитражного комитета с п членами построен общий вид функции выигрыша, найдено равновесие в чистых стратегиях.
Практическую ценность работы представляют разработанные в диссертации модели переговоров и найденные оптимальные стратегии поведения.
Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения:
Найдено равновесие в смешанных стратегиях в арбитражной схеме по последнему предложению с участием арбитра, предложения которого имеют дискретное распределение в (2n + 1) точке.
Получено решение в арбитражной процедуре с различным поощрением для каждого из игроков.
Найдены оптимальные стратегии в комбинированных схемах арбитра-
Построена и исследована арбитражная модель переговоров на плоскости.
Найдены выигрыш и оптимальное поведение игроков в случае обращения конфликтующих сторон к арбитражному комитету, состоя-
щему из п членов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
Всероссийская научно-практическая конференция „Проблемы прикладной математики", г.Чита, ЗабГПУ, 17-19 мая 2004г.
Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых „Молодежь и наука - третье тысячелетие", г. Красноярск, 16 декабря 2004г.
VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, г. Сочи, 1-7 октября 2005г.
V Московская международная конференция по исследованию операций, посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Моисеева, г.Москва, 10-14 апреля 2007г.
Научный семинар Высшей школы Системного анализа, принятия решений и рискованного управления, Финляндия-Швеция, г.Хельсин-ки-г.Стокгольм, 5-7 декабря 2007г.
По материалам диссертации опубликовано 11 работ, из них - 7 статей [19,20,29,30,42,46,47] и тезисы 4 докладов [16,17,21,28].
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения,
трех глав, заключения и библиографического списка; включает 107 страниц, 10 таблиц и 23 рисунка.
Во введении отражена актуальность работы, поставлена цель исследования, обоснована новизна работы, сформулированы положения, выносимые на защиту, показана практическая ценность полученных результатов; также во введении дается краткий обзор научных результатов.
В первой главе рассматривается задача переговоров с участием арбитра, использующего схему арбитража по последнему предложению. В данной игровой модели решение арбитра сосредоточено в трех точках. Для данной модели с дискретным распределением выбора арбитра находится аналитический вид равновесного решения и выигрыши игроков. Также сделано обобщение на случай распределения решения арбитра в (2п + 1) точке. Предложена и решена задача с арбитражной процедурой по последнему предложению в виде игры с поощрением победителя.
Во второй главе исследуются комбинированные схемы для двух случаев: дискретного и непрерывного распределения выбора арбитра.
В первом случае выбор арбитра является дискретной случайной величиной, принимающей только два значения. Арбитр с вероятностью р руководствуется арбитражем по последнему предложению и с вероятностью (1 — р) использует арбитраж с наказанием. Решение этой задачи найдено в виде смешанных стратегий.
Второй случай характеризуется непрерывным распределением выбора арбитра на отрезке. С вероятностью р арбитр использует арбитраж по последнему предложению, с вероятностью q - согласительный арбитраж и с вероятностью (1—p — q) руководствуется арбитражем с наказанием. Показано, что данная задача имеет решение в чистых стратегиях.
Третья глава посвящена исследованию многомерных моделей задач переговоров.
Первая модель - арбитраж на плоскости. Моделируется следующая ситуация: есть две фирмы, оказывающие одинаковые услуги. Каждая из них предлагает свою цену и сроки выполнения некоторого заказа, которые характеризуются точкой на плоскости. Мнение арбитра есть двумерная случайная величина, распределенная по некоторому закону в единичном круге. Цель каждого игрока - получить заказ. Для данной модели приведена общая постановка задачи и найдены численные решения в двух частных случаях распределения мнения арбитра.
Вторая модель характеризуется тем, что конфликтные стороны обращаются не к одному арбитру, а к арбитражному комитету из нескольких членов. Для произвольного четного и нечетного количества членов комитета составлен общий вид функции выигрыша и аналитически найдено оптимальное решение.
В каждой из глав приведены результаты численного моделирования
разработанных арбитражных игр.
В заключении представлены результаты, полученные в ходе исследования в рамках диссертационной работы.
Список используемой литературы включает 55 наименований.
Дискретная схема в (2n + 1) точке
В рамках диссертационного исследования было проведено численное моделирование комбинированных арбитражных схем.
Рассмотрим игру, в которой использована комбинация арбитража по последнему предложению и арбитража с наказанием. Пусть арбитр с вероятностью p использует схему арбитражной процедуры по последнему предложению (2.1), а с вероятностью (1-p) руководствуется арбитражной схемой с наказанием (2.2). Выбор арбитра - дискретная случайная величина, принимающая с равными вероятностями два значения: -1 и 1.
Пусть игрок L использует оптимальную смешанную стратегию (2.14), а игрок M в качестве стратегии использует равномерное распределение на отрезке [i, i + 1] (i = -5, -1).
В Таблице 2.1 представлены данные, полученные в ходе численного моделирования данной ситуации в 10 000 партиях. При этом, [i,i + 1] -интервал, на котором равномерно распределена стратегия игрока M, H -средний выигрыш игрока L (за 10 000 партий), D - дисперсия выигрышей.
На Рисунке 2.3 изображено изменение среднего выигрыша H игрока L на интервалах равномерного распределения игрока M. Из рисунка можно заметить, что если игрок M не придерживается оптимальной стратегии, то ему следует использовать стратегию с равномерным распределением на отрезке [-2,-1]. В этом случае он получает выигрыш, близкий к оптимальному. Чем дальше от выбора арбитра называет свои предложения игрок M, тем больший выигрыш получает игрок L. Если игрок M не рискует, а выдвигает свои предложения вблизи точек распределения арбитра, то его проигрыш незначительно увеличивается по сравнению с оптимальным.
Заметим, что результаты моделирования данной ситуации схожи с результатами, полученными при моделировании арбитражной процедуры по последнему предложению с дискретным распределением арбитра в трех точках. Однако в данной игровой модели игрок М, не использующий оптимальное распределение, проигрывает меньше.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда игрок М использует в качестве стратегии нормальное распределение с математическим ожиданием а (а = —4, —1) и средним квадратическим отклонением а (а = 0.1,0.01,0.2). Игрок L снова действует оптимально.
В Таблице 2.2 можно увидеть результаты численного моделирования описанной ситуации за 10 000 партий, при этом: а - математическое ожидание нормального распределения, а - среднее квадратическое отклонение нормального распределения, Н - средний выигрыш игрока L (за 10 000 партий), D - дисперсия выигрышей.
На Рисунке 2.4 представлены графики, характеризующие изменение среднего выигрыша игрока L для различных параметров распределения стратегии игрока М. Можно заметить, что при увеличении параметра а выигрыш игрока М приближается к оптимальному. Для всех рассмотренных о" близкой к неизвестной игроку оптимальной стратегии является стратегия использования нормального распределения с математическим ожиданием а = —2. Отметим, что называя предложения, близкие к точкам выбора арбитра, игрок М увеличает свой проигрыш. Аналогичная ситуация наблюдается для рискующего игрока, называющего крайние точки.
Сравним данные, полученные при моделировании данной ситуации, с результами моделирования арбитражной процедуры по последнему предложению. В арбитражной схеме по последнему предложению для игрока М выигрыш, близкий к оптимальному, также был получен при использовании стратегии с нормальным распределением при а = 0.2. В игре, использующей комбинацию двух арбитражных схем, проигрыш игрока, не использующего оптимальную стратегию, возрастает при выборе предложений, лежащих левее точки —2, а в игре с арбитражной процедурой по последнему предложению или уменьшается или незначительно возрастает. С другой стороны, в ситуации с арбитражем по последнему предложению игрок М платит большую сумму, выдвигая свои предложения левее точки —2, чем в ситуации с комбинацией арбитражных схем. Отметим также, что в комбинированной схеме игрок, отклонившийся от оптимальной стратегии, наказывается больше, чем в арбитражной схеме по последнему предложению.
Имитационные модели дискретных арбитражных процедур
Таким образом, можно оценить разброс между оптимальными предложениями в зависимости от числа членов комитета. Например, в случае n = 12 разброс составляет 0.228, т.е. предложения игроков отклоняются от математического ожидания распределений мнений арбитров примерно на величину 0.11.
В рамках диссертационного исследования было проведено численное моделирование арбитража на плоскости.
Рассмотрим следующую ситуацию. Первая фирма использует оптимальную чистую стратегию, то есть называет точку Вторая фирма не знает оптимальной стратегии и называет точку (0, t), где координата t выбирается согласно равномерному закону из отрезка [0.5,1]. Пусть плотность распределения выбора арбитра имеет вид: f(r,9) = 3(1-г)
В результате проведенного моделирования вторая фирма выиграла заказ в 4 953 случаях из 10 000 разыгранных партий, так как в этих случаях ее точка оказалась ближе к точке выбора арбитра. Средний выигрыш второй фирмы (за 10 000 партий) составил Н = 0.34455, что меньше ожидаемого оптимального выигрыша Hopt = - - 0.37, т.е. выигрыша, вычисленного в предположении, что обе фирмы придерживаются своих оптимальных стратегий.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда вторая фирма знает оптимальную стратегию, но не всегда ее использует. Предположим, что она называет точку (0,), где для выбора точки t используется стратегия нормального распределения с математическим ожиданием, равным оптимальному значению ( А, 0 ), и средним квадратическим отклонением а (а = 0.01, 0.05, 0.1,0.15,0.2).
На Рисунке 3.3 можно увидеть количество выигранных заказов второй фирмой (за 10 000 партий) при рассмотренных а. На Рисунке 3.4 показано, как изменяется средний выигрыш Н (за 10 000 партий) второй фирмы в зависимости от параметра а нормального распределения. Из рисунков можно заметить, что с увеличением значения среднего квадратического отклонения количество выигранных заказов и средний выигрыш второй фирмы уменьшаются. Таким образом, разумным для фирмы, использующей стратегию с нормальным распределением вместо оптимальной стратегии, будет выбирать для своего распределения наименьший параметр т, так как это дает ей выигрыш, близкий к оптимальному Hopt = г. В рамках диссертационной работы было проведено численное моделирование игры с арбитражным комитетом, состоящим из трех членов. Пусть мнения членов комитета есть случайные величины, подчиненные нормальному закону распределения с математическим ожиданием т = О и средним квадратическим отклонением а І (і = 1,3), где а І - равномерно распределенные на отрезке [0,1] случайные величины. Игрок L действует оптимально, т.е. всегда называет предложение Игрок M не знает оптимальной стратегии, поэтому использует стратегию с равномерным распределением на отрезке [і, і + 0.5] (і = —2, —0.5). В Таблице 3.3 представлены результаты, полученные в ходе численного моделирования (в 100 партиях), где [і/і + 0.5] - отрезок, на котором равномерно распределена стратегия игрока М, Н - средний выигрыш игрока L (за 100 партий), D - дисперсия выигрыша На Рисунке 3.5 можно увидеть график изменения среднего выигрыша Н игрока L при стратегии игрока М, равномерно распределенной на отрезке [і, і+0.5]. Рисунок показывает, что оптимальная чистая стратегия игрока М вида (3.21) близка к стратегии равномерного распределения на отрезке [—1, —0.5]. Если игрок М начинает рисковать, выдвигая свои предложения из промежутков, находящихся левее данного отрезка, его проигрыш увеличивается. Если игрок M называет предложения вблизи медианы распределения мнений арбитров, то он, хотя и выигрывает часто, получает меньший выигрыш.
Арбитражная схема с непрерывным распределением
В рамках диссертационной работы было проведено численное моделирование игры с арбитражным комитетом, состоящим из трех членов.
Пусть мнения членов комитета есть случайные величины, подчиненные нормальному закону распределения с математическим ожиданием т = О и средним квадратическим отклонением а І (і = 1,3), где а І - равномерно распределенные на отрезке [0,1] случайные величины. Игрок L действует оптимально, т.е. всегда называет предложение Игрок M не знает оптимальной стратегии, поэтому использует стратегию с равномерным распределением на отрезке [і, і + 0.5] (і = —2, —0.5). В Таблице 3.3 представлены результаты, полученные в ходе численного моделирования (в 100 партиях), где [і/і + 0.5] - отрезок, на котором равномерно распределена стратегия игрока М, Н - средний выигрыш игрока L (за 100 партий), D - дисперсия выигрыша На Рисунке 3.5 можно увидеть график изменения среднего выигрыша Н игрока L при стратегии игрока М, равномерно распределенной на отрезке [і, і+0.5]. Рисунок показывает, что оптимальная чистая стратегия игрока М вида (3.21) близка к стратегии равномерного распределения на отрезке [—1, —0.5]. Если игрок М начинает рисковать, выдвигая свои предложения из промежутков, находящихся левее данного отрезка, его проигрыш увеличивается. Если игрок M называет предложения вблизи медианы распределения мнений арбитров, то он, хотя и выигрывает часто, получает меньший выигрыш. Отметим, что используя стратегию равномерного распределения на отрезке [-1.5, -1], игрок M выиграл только в 6 случаях из 100 партий, а используя стратегию равномерного распределения на отрезке [-2, -1.5], игрок M выиграл только в 4 случаях. Рассмотрим теперь ситуацию, когда игрок M использует в качестве сратегии нормальное распределение с математическим ожиданием a (a = - 1, - 1, 5, -2) и средним квадратическим отклонением ( = 0.01, 0.1,0.2). Игрок L снова играет оптимально. В Таблице 3.4 приведены средние выигрыши Н игрока L для рассмотренных параметров а и т, где а - математическое ожидание нормального распределения, Н - средний выигрыш игрока L (за 100 партий), D -дисперсия выигрышей. Из таблицы и рисунка можно заметить, что для игрока, использующего в качестве своей стратегии нормальное распределение, разумным будет придерживаться параметра а = — 1 для всех рассмотренных т, так как данная стратегия дает ему выигрыш, близкий к оптимальному Hopt = 0. Для рискованного игрока, называющего предложения из отрезков, расположенных на значительном расстоянии от математического ожидания т = 0 распределения мнений арбитров, не рационально выбирать маленький параметр а. Для игрока, выбирающего свои предложения вблизи точки т = 0, наоборот, данный параметр дает наименьший проигрыш. В работе представлены результаты исследования моделей переговоров между двумя сторонами с участием одного арбитра и арбитражного комитета. Для всех рассмотренных в диссертации задач найдены оптимальные стратегии поведения и вычислен ожидаемый выигрыш. Полученные результаты носят как теоретический, так и прикладной характер. Получены следующие результаты: 1. Решена задача арбитража по последнему предложению в случае, когда выбор арбитра подчиняется дискретному распределению в (2n + 1) точке. В данном случае оптимальные стратегии игроков смешанные. 2. Решена задача арбитража по последнему предложению с поощрением в виде некоторой суммы для каждого из игроков. В игре данного типа арбитр с одинаковой вероятностью может принимать только два значения: -1 и 1. Данная задача имеет решение в смешанных стратегиях. 3. Исследованы две модели переговоров, использующие комбинированные схемы арбитража. Найдены оптимальные стратегии в смешанном виде для случая, объединяющего арбитраж по последнему предложению и арбитраж с наказанием, и чистые оптимальные стратегии для случая с непрерывным распределением, соединяющего три вида арбитража: арбитраж по последнему предложению, согласительный арбитраж и арбитраж с наказанием. 4. Построена и исследована математическая модель переговоров двух конкурирующих фирм на строительном рынке. Отличительной особенностью модели является то, что распределение арбитра сосредоточено на плоскости в круге. Дана общая постановка задачи и исследованы два частных случая с плотностями распределения арбитра. 5. Рассмотрена задача, в которой для разрешения конфликта между сторонами используется не один арбитр, а комитет из n членов. Найдено аналитическое выражение функции выигрыша и оптимальные стратегии для произвольного числа арбитров. 6. В рамках диссертационного исследования проведено численное моделирование ситуаций, рассмотренных в работе. Полученные результаты подтверждают теоретические выводы: игрок, не использующий оптимальную стратегию, получает меньший выигрыш.
Арбитражная процедура с использованием комитета из нескольких членов
Данная схема была рассмотрена в 1995г. в работе следующих авторов: D.-Z. Zeng, S. Nakamura, T. Ibaraki [55]. Двойные предложения объяснялись так: первичное предложение обозначает требование игрока по данному вопросу, а вторичное предложение выражает его мнение о справедливом решении.
Если хотя бы одна из конфликтующих сторон не уверена в независимости решения одного арбитра, то для разрешения спора можно использовать арбитражный комитет. В России, согласно федеральному закону, его состав утвержден в количестве 12 человек. В США и других странах его состав может варьироваться в зависимости от характера обвинения и строгости возможного приговора [12].
Цель диссертационной работы заключается в построении математических моделей задач, использующих арбитражные схемы для разрешения конфликта между двумя сторонами, и нахождении оптимального поведения этих сторон. В работе рассматриваются следующие задачи: 1. переговорная задача с арбитражем по последнему предложению; 2. переговорная задача с комбинированными схемами арбитража; 3. многомерная переговорная задача; 4. переговорная задача с использованием арбитражного комитета. Научная новизна работы. Для задачи с арбитражем по последнему предложению найдено равновесие в модели с дискретным распределением мнения арбитра в трех точках. Сделано обобщение на случай распределения выбора арбитра в (2n+1) точке. Для модели с арбитражем по последнему предложению с поощрением получен вид оптимального решения в смешанных стратегиях. Помимо классических схем арбитража рассмотрены комбинации известных видов арбитража. Найдены выигрыш и оптимальные стратегии для двух случаев комбинированного арбитража: - арбитража по последнему предложению в комбинации с арбитражной процедурой с наказанием; - арбитража по последнему предложению в комбинации с согласительным арбитражем и арбитражной процедурой с наказанием. Построена и исследована математическая модель переговоров двух конкурирующих фирм на строительном рынке, которая является случаем арбитража на плоскости. Для случая применения арбитражного комитета с n членами построен общий вид функции выигрыша, найдено равновесие в чистых стратегиях. Практическую ценность работы представляют разработанные в диссертации модели переговоров и найденные оптимальные стратегии поведения. Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения: 1. Найдено равновесие в смешанных стратегиях в арбитражной схеме по последнему предложению с участием арбитра, предложения которого имеют дискретное распределение в (2n + 1) точке. 2. Получено решение в арбитражной процедуре с различным поощрением для каждого из игроков. 3. Найдены оптимальные стратегии в комбинированных схемах арбитража. 4. Построена и исследована арбитражная модель переговоров на плоскости. 5. Найдены выигрыш и оптимальное поведение игроков в случае обращения конфликтующих сторон к арбитражному комитету, состоящему из n членов. Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: 1. Всероссийская научно-практическая конференция „Проблемы прикладной математики“, г.Чита, ЗабГПУ, 17-19 мая 2004г. 2. Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых „Молодежь и наука - третье тысячелетие“, г. Красноярск, 16 декабря 2004г. 3. VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, г. Сочи, 1-7 октября 2005г. 4. V Московская международная конференция по исследованию операций, посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Моисеева, г.Москва, 10-14 апреля 2007г. 5. Научный семинар Высшей школы Системного анализа, принятия решений и рискованного управления, Финляндия-Швеция, г.Хельсинки-г.Стокгольм, 5-7 декабря 2007г. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, из них - 7 статей [19,20,29,30,42,46,47] и тезисы 4 докладов [16,17,21,28]. Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка; включает 107 страниц, 10 таблиц и 23 рисунка. Во введении отражена актуальность работы, поставлена цель исследования, обоснована новизна работы, сформулированы положения, выносимые на защиту, показана практическая ценность полученных результатов; также во введении дается краткий обзор научных результатов. В первой главе рассматривается задача переговоров с участием арбитра, использующего схему арбитража по последнему предложению. В данной игровой модели решение арбитра сосредоточено в трех точках. Для данной модели с дискретным распределением выбора арбитра находится аналитический вид равновесного решения и выигрыши игроков. Также сделано обобщение на случай распределения решения арбитра в (2n+1) точке. Предложена и решена задача с арбитражной процедурой по последнему предложению в виде игры с поощрением победителя. Во второй главе исследуются комбинированные схемы для двух случаев: дискретного и непрерывного распределения выбора арбитра.