Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Априорные методы исследования свойств разностных схем . 17
1. Механизмы диссипации энергии в методах расчета ударных волн . 17
2. Разностные схемы в дифференциальном представлении .22
3. Акустическое приближение 26
4. Метод исследования диссипативных свойств разностной схемы 27
5. Метод исследования дистракции сильного разрыва. 29
6. Метод исследования немонотонности 34
Глава 2. Анализ свойств разностных схем 37
1. Разностная схема ДЛеймана - Р.Рихтмайера 37
2. Разностная схема П. Лакса 49
3. Разностная схема С.КХодунова . 56
4. Недивергентная разностная схема В.Ф.Куропатенко 62
5. Разностная схема ПЛакса, Б.Вендрофа. 69
Глава 3. Новая разностная схема „ 73
1. Выбор сетки. Типы интервалов 73
2.' Разностные уравнения для ударной волны. 75
3. Погрешности аппроксимации на ударной волне 77
4. Анализ устойчивости разностной схемы для ударной волны 81
5. Анализ монотонности и дистракции разностной схемы на ударной волне 83
6. Разностные уравнения для волны разрежения. . 85
7. Погрешности аппроксимации на волне разрежения 87
8. Анализ устойчивости разностной схемы на волне разрежения 88
9. Анализ монотонности разностной схемы на волне разрежения. 89
10. Повышение порядка аппроксимации. 90
11. Уменьшение немонотонности на слабых разрывах 94
12. Краткое описание программы КАМА. 97
13. Верификация разностной схемы 102
Глава 4. Исследование влияния свойств разностных схем на моделирование разрушения веществ 109
1. Характерные погрешности за фронтом ударной волны. Дистракция и осцилляции 109
2. Выход стационарной ударной волны на свободную поверхность. Аналитическое решение и результаты расчетов 110
3. Взаимодействие двух волн разрежения с образованием откола. Аналитическое решение 112
3.1. Область стационарного течения за фронтом ударной волны 114
3.2. Область центрированной волны разрежения 115
3.3. Область взаимодействия двух волн разрежения 118
3.4. Точка смены краевого условия 122
3.5. Течение в области у свободной границы 122
3.6. Масса отколовшегося слоя 125
4. Зависимость положения трещины от дистракции и осцилляции разностной схемы 128
Выводы 132
Список литературы
- Метод исследования диссипативных свойств разностной схемы
- Разностная схема С.КХодунова
- Анализ устойчивости разностной схемы для ударной волны
- Выход стационарной ударной волны на свободную поверхность. Аналитическое решение и результаты расчетов
Введение к работе
В основе моделей механики сплошной среды, описывающих поведение вещества под действием динамических нагрузок, лежат законы сохранения массы, количества движения и энергии. Для разных задач эти законы сохранения записываются в разных формах. Ниже мы будем рассматривать их, следуя [1]. В случае непрерывных течений законы сохранения образуют систему дифференциальных уравнений в частных производных.
При интенсивных динамических воздействиях на материалы, таких, как электровзрыв фольги, детонация взрывчатого вещества, удар пластиной, поток электронов или частиц, мощное рентгеновское, лазерное или другие виды излучений, как правило, возникают ударные волны. Распространяясь по веществу и взаимодействуя со свободными или контактными поверхностями, они могут отражаться волнами разрежения. При; взаимодействии встречных волн разрежения возникают растягивающие напряжения. Под действием растягивающих нагрузок сначала рвутся наиболее слабые связи между кристаллами и зернами, затем эти микроразрушения сливаются, и возникает трещина.
Разрушение вещества в различных условиях зависит от характера динамического воздействия. В одних экспериментах определяющей причиной разрушения является большая дисторсия и связанная с ней работа девиатора тензора напряжений. При этом дилатация, а значит, работа давления PdV может быть малой. В других экспериментах причиной разрушения являются большие отрицательные давления, а работа напряжений сдвига может быть малой. В. большом количестве экспериментальных работ по изучению откольного разрушения опыты ставятся так, что нормаль к фронту ударной волны ортогональна свободной поверхности вещества, и до наступления разрушения движение можно рассматривать как плоское. В таких экспериментах разрушение происходит, в основном, из-за больших растягивающих давлений.
Основным методом исследования откольного разрушения является физический эксперимент, основным методом. прогнозирования разрушения является математическое моделирование. Существует много различных моделей, описывающих отклик вещества на динамическое воздействие, в том числе моделей прочности и разрушения. Следует заметить, что в каждой модели можно выделить адиабатическое ядро, в котором присутствует только шаровая часть тензора напряжений, т.е. давление. Под адиабатическим ядром понимается система законов сохранения в дифференциальной форме без учета теплопроводности, девиаторов тензора напряжений и энерговыделения.
Следствием уравнений адиабатического ядра является постоянство энтропии вдоль линии тока. При расчетах реальных задач сильные и слабые разрывы взаимодействуют друг с другом и с контактными разрывами, в результате чего может произойти необратимое накопление погрешностей из-за осцилляции и дистракции разрывов, что в, итоге дает существенное различие между характеристиками реального физического процесса и его математического образа. Для адекватного описания поведения материалов необходима высокая точность как кинетических моделей разрушения, так и численных методов с оптимальными дистракцией и немонотонностью.
При этом экстенсивные величины - удельный объем и удельная внутренняя энергия— могут оставаться разрывными.
В силу нелинейности уравнений газовой динамики их решение в общем случае можно найти лишь численно. Наиболее разработанным численным методом решения задач газодинамики является метод конечных разностей. В разностных методах непрерывные функции заменяются дискретными, определенными в узлах разностной сетки. Вообще говоря, для каждой функции может быть выбрана своя сетка, однако, во избежание дополнительных интерполяций при вычислении давления из уравнения. состояния по V и Е, эти величины задаются на одной и той же сетке. После этого остается две возможности: 1) значения скорости определяются на той же сетке, что и давление; 2) значения скорости определяются на сетке, отличной от той, на которой определяется давление.
Разностная схема, вообще говоря, должна отражать основные свойства сплошной среды. Поэтому естественно требовать, чтобы в разностной схеме прежде всего выполнялись разностные аналоги законов сохранения. Разностные схемы, в которых изменение массы, количества движения и полной энергии в области интегрирования определяются только потоками массы через границы, импульсом и работой сил, действующих на границах, называются консервативными. На важность требования консервативности схемы обращали внимание многие исследователи. Так, например, в начале 50-х годов А.Н.Тихонов, и А.А. Самарский [2] для обоснования интегро-интерполяционного подхода к конструированию разностных схем построили пример, когда неконсервативная разностная схема, обеспечивающая второй порядок точности в классе достаточно гладких коэффициентов, расходится в классе разрывных коэффициентов [2]. Однако требование консервативности не исчерпывает всех требований к разностной схеме. Дело в том, что в так называемом дивергентном уравнении энергии «сохраняется» только полная
энергия є = Е + 0.5U .... Поэтому погрешности в определении скорости, т.е. кинетической энергии, влияют на точность вычисления внутренней энергии, которая является суммарной величиной, состоящей из упругой (холодной) энергии, тепловой энергии; ядер, тепловой энергии электронов, свободной энергии и т.д. Упомянутые выше требования консервативности оставляют без контроля переходы энергии из одной формы в другую,, а это может исказить температуру, давление, энтропию, энтальпию и другие термодинамические величины. В [3] приведен пример, когда погрешности аппроксимации приводят к заметному искажению внутренней энергии.
Для изучения свойств разностных схем разностные уравнения чаще всего рассматриваются в дифференциальной форме.. Вопросы получения разностных уравнений: газовой динамики в дифференциальной форме и исследование свойств их дифференциальных приближений подробно изучены в [4]. В [5] показано, что для того, чтобы определить диссипативные свойства разностной схемы, нужно построить для нее уравнение производства энтропии и уравнение производства массы и исследовать остаточные члены для этих уравнений. Очевидно, что изменение энтропии из-за погрешностей аппроксимации не должно превосходить ее изменений в характерных физических процессах.
Конечноразностные методы расчета нестационарных течений сжимаемых сред основываются на системе законов сохранения либо в форме Эйлера, либо в форме Лагранжа. И лагранжевы, и эйлеровы методы имеют свои достоинства и недостатки. Выбор системы координат для расчета течения газа определяется постановкой задачи. Если важны параметры потока в заданной пространственной области (например, течение газа в газопроводе, задачи обтекания жесткой поверхности и т.д.), то естественно выбрать эйлеровы координаты. В связи с тем, что в этом случае сетка является; неподвижной в пространстве, не возникают проблемы, связанные с сеткой. Однако, при расчете задач, связанных с течением определенной массы вещества, применение эйлеровых координат может привести либо к неоправданному уменьшению, либо к увеличению количества точек сетки и, следовательно, к потере точности численного решения. Например, при сильном сжатии вся рассчитываемая масса вещества может попасть в один счетный интервал эйлеровой сетки, что приводит к полной потере точности.
Чтобы обеспечить необходимую точность расчета центрированных волн разрежения в самом начале их существования, когда градиенты велики, С.К. Годунов предложил использовать подвижные сетки [6]. В этом случае точки сетки, связанные с контактными границами или со слабыми разрывами, движутся вместе с ними. Промежуточные точки сетки получаются по произвольному закону с сохранением определенного минимума или максимума точек.
При использовании лагранжевых координат в задачах с большими деформациями в двумерной или трехмерной постановке возникают проблемы, связанные с перестройкой сетки. Но при необходимости детально исследовать газодинамические процессы, происходящие в некоторой фиксированной массе вещества, применение лагранжевых методов является наиболее целесообразным. В этом случае легко проследить историю деформирования частицы вещества, не возникает проблем с отслеживанием контактных границ, местами зарождения микроповреждений, зародышей новой фазы, что особенно важно для описания сложных процессов, связанных с деформациями и фазовыми переходами.
Область, в которой рассматривается движение вещества, разбивается сильными и слабыми разрывами на области гладкого течения,. в которых выполняются законы сохранения в дифференциальной форме, тогда как на разрывах удовлетворяются условия совместности. Наиболее общим является решение, представляющее собой совокупность гладких - решений, примыкающих друг к другу через линии; сильных, слабых или контактных: разрывов с соблюдением условий совместности. Такая структура решения естественно описывается методом характеристик [7], учитывающим, в принципе, все особенности решения. От других разностных методов его отличает аппроксимация не законов сохранения, а характеристических уравнений и многократное использование операторов интерполирования. Сглаживание профилей, характерное для разностных схем с фиксированной сеткой, является минимальным в методе характеристик, так как применяемая в нем сетка строится с учетом области зависимости решения. Альтернативой методу характеристик являются разностные методы с нулевой дистракцией, выделяющие особенности в решении, например, ударные: волны, слабые и контактные разрывы. В этом случае для расчета параметров течения используются алгебраические и дифференциальные уравнения - законы сохранения и их следствия, записанные для каждого типа разрыва. Примером является неоднородный метод В.Ф. Куропатенко, реализованный в программе "Волна" [8], где для решения системы разностных уравнений используется регулярная сетка для областей интегрирования с гладкими решениями и "размазанными" особенностями и сетка особенностей, которая накладывается на регулярную сетку.
Наиболее простыми для реализации на ЭВМ являются методы с ненулевой дистракцией, получившие название "однородных". Для описания течения в ударном слое, заменяющем сильный разрыв, в этом случае в уравнения гидродинамики вводятся диссипативные члены. Первой схемой такого рода была схема Неймана-Рихтмайера [9], в которой по аналогии с физической вязкостью в уравнения газодинамики вводится псевдовязкость. При этом были использованы результаты Беккера [10], который в 1922 году показал, что введение физической вязкости в уравнения газодинамики приводит к появлению переходного слоя, толщина которого в газах сравнима с длиной пробега молекулы. В методе Неймана-Рихтмайера после введения псевдовязкости сильный разрыв заменяется: переходным слоем конечной ширины. Другим вариантом однородных методов с псевдовязкостью, является і метод, предложенный в США Лаксом и Вендрофом [11]. Лаке [12] предложил однородный метод с аппроксимационной «вязкостью». В СССР были созданы разностные схемы, в которых для диссипации; энергии использовались уравнения физических процессов. Первой схемой такого рода была схема, предложенная С.К.Годуновым [13], в которой для расчета диссипации энергии применяются соотношения для распада произвольного разрыва. В отличие от схем Неймана-Рихтмайера и Лакса-Вендроффа, этот метод не содержит эмпирических констант. В методе, предложенном В.Ф. Куропатенко [14], [15] применяется разнородная аппроксимация на ударных волнах (УВ) и волнах разрежения (ВР). Такие схемы в области гладкого течения: аппроксимируют уравнения газодинамики, а на разрывах - условия Гюгонио. Диссипация энергии учитывается при расчете вспомогательного давления. Применение специальных разностных уравнений в ячейках сетки, содержащих сильный разрыв, приводит к конечной дистракции, т.е к замене сильного разрыва ударным слоем, шириной в несколько счетных интервалов. Таким образом, рассчитываемая ударная волна заменяется конечным числом ударных волн меньшей интенсивности. Этот метод, также не имеющий эмпирических констант, был реализован в разностных схемах, в которых давление, плотность и энергия определялись, как правило, в серединах интервалов, а скорость в узлах разностной сетки (недивергентные схемы). Предпринимались также попытки создания дивергентных разностных схем расчета ударных волн, реализующих этот метод, например [15]. Однако во всех реализациях немонотонность зависела от числа Куранта и при произвольном соотношении шагов по времени и по пространству наблюдались осцилляции за фронтом УВ.
Введение диссипативных членов в разностные уравнения приводит с одной стороны к дистракции разрывов, ас другой стороны, к осцилляциям в решении. Как правило, рост дистракции сопровождается уменьшением амплитуды осцилляции и наоборот. Все разностные методы обладают различными дистракцией и осцилляционными свойствами; Так, например, метод Неймана-Рихтмайера дает сильные осцилляции как за фронтом УВ, так; и в окрестности слабого разрыва на волне разрежения. Метод С.К. Годунова, являющийся монотонным, обладает сильной дистракцией слабых разрывов. При сложной картине течения, взаимодействии сильных и слабых разрывов друг с другом, а также с контактными разрывами влияние этих свойств разностного метода может накапливаться, что может быть причиной значительного отличия параметров численного решения от характеристик реального физического процесса. Особенно существенным это влияние становится при описании таких тонких эффектов, как откольное разрушение и зарождение фазовых переходов. При применении подавляющего большинства существующих разностных методов для расчета откольного разрушения масса и начальный импульс отколов определяются с низкой точностью.. Поэтому представляется актуальной задача построения разностного метода, сочетающего в себе малые амплитуды осцилляции и малую дистракцию разрывов. В диссертации излагается разностный метод расчета неустановившихся течений сжимаемой жидкости, который на волне сжатия в акустическом приближении удовлетворяет условиям теоремы С.К. Годунова и обеспечивает монотонность профилей, обладает небольшой дистракцией разрывов, имеет нулевую диссипацию в области, где справедливы законы сохранения в дифференциальной форме, и практически не дает энтропийных следов при выходе УВ на свободную поверхность.
Созданный метод излагается в одномерной постановке в случае плоской симметрии. Уравнения в случае сферической и цилиндрической симметрии не обсуждаются в данной работе, так как для описания подавляющего большинства экспериментов по откольному разрушению достаточно рассмотреть плоский случай. В [16] показана принципиальная возможность обобщения метода на двух- или трехмерный случай, однако это выходит за рамки данной работы.
Метод исследования диссипативных свойств разностной схемы
Каждый из четырех упомянутых выше методов описания диссипации энергии приводит к замене сильного разрыва переходным слоем, в котором все величины изменяются непрерывно . от величин перед разрывом до величин за разрывом. Естественно ожидать, что толщина такого переходного слоя связана с применяемым методом. Для их сравнения введем безразмерную величину, равную отношению толщины переходного слоя к размеру сеточной ячейки D = m+ -nv где га. - значение т, при котором все величины описывают состояние перед разрывом, ГП+ - за разрывом. Безразмерную толщину D переходного слоя будем называть дистракцией. Вообще говоря, величина D является характеристикой разностной схемы.
По-видимому, впервые дистракцию применительно к своей разностной схеме рассмотрели Нейман и Рихтмайер в [9]. Кратко повторим их метод. Предполагается, что в дифференциальных уравнениях (1.2)-(1.4) псевдовязкость q имеет вид = kVvgJ (1.34)
Рассматривается стационарная ударная волна, распространяющаяся со скоростью W=const. После перехода к автомодельной переменной = m - Wt дифференциальные законы сохранения принимают вид WV + U = 0, (1.35) WU -(P + q) =0, (1.36) E + (P + q)V = 0, (1.37) где штрих означает дифференцирование по . Для идеального газа PV = (y-l)E и конкретного выражения (1.34) для q система (1.35)-(1.37) сводится одному уравнению для определения V 2kV avv W +(Y+I)(V-V0)2+V0(V-V0)=O. (1.38) Решение (1.38) имеет вид Е = -kh, / arcsin Vr.+i Т-(ї + 1)тг oy При V = V0 = 4o = MITT I 2 2 Vy+17 при V = V і, соответственно V, = E, = -kh, I—- arcswi г-(г+і)тг о J На бесконечно сильной ударной волне с у-1 Ро = 0 достигается предельное сжатие V = Vj =-—V0. В этом случае у + 1 kh7i ,= 2 у + 1
Т.о. ширина ударного слоя Д и дистракция D сильной ударной волны в методе Неймана-Рихтмайера равны -«.-«.- N . b„-f-W Обратим внимание, что, по существу, рассматривается дистракция, вызванная введением псевдовязкости в дифференциальной форме в дифференциальные законы сохранения. Тем самым не учитывается зависимость дистракции от погрешностей аппроксимации, имеющих тот же порядок малости, что и q. Кроме того, величина D находится для бесконечно сильной ударной волны в идеальном газе, при которой достигается предельное сжатие. Тем самым теряется возможность провести исследование зависимости D от силы ударной волны.
Рассмотрим метод определения дистракции D, основанный на рассмотрении разностных законов сохранения в дифференциальной форме. По существу этот метод является развитием метода Неймана-Рихтмайера. Перейдем в (1.7)-(1-9) к автомодельной переменной . В результате получим WV +U + 0)(=0, (1.39) WU -P + c =0, (1.40) w(E + 0.5U2) +(PU) +co;=0. (1.41) В общем случае со, имеют вид v=i k-o,i-o & dm где fv - функции, входящие в v-e уравнение. Переход к дифференцированию ПО % В (О; ПРОВОДЯТ ПО формулам
В результате выражение для ом содержит только производные по , и шаги сетки т и h. Далее рассматривается либо первое, либо второе дифференциальное приближение. При этом важно, чтобы во всех уравнениях оставались члены одного порядка малости.
Разностная схема С.КХодунова
Рассмотрим систему законов сохранения массы, количества движения и энергии в одномерном случае для идеальной среды в Лагранжевых координатах в следующем виде: Д-Зі-о. (3-D dt dm + = 0, (3.2) dt dm + Н=о, (3.3) dt dm P = f(V,E), (3.4) = U. (3.5) a
Разобьем область интегрирования системы (3.1)-(3.5) на слои (интервалы) с массой hi+o.s = гпі+і - m;. " Будем определять скорость U, давление Р, удельный объем V и удельную внутреннюю энергию Е в центрах интервалов (в точках с половинными индексами). В точках с целыми индексами введем вспомогательные величины значения скорости и давления Uj, Pj, для расчета которых будут использоваться вспомогательные интервалы, концы которых находятся в центрах основных интервалов.
Разностные уравнения, дающие удовлетворительные результаты для гладкого решения, часто оказываются непригодными для расчета разрывных решений. Здесь требуется либо изменить имеющиеся разностные уравнения, либо использовать другие. В связи с этим возникает необходимость отличать ячейки сетки, содержащие сильный разрыв, от ячеек с гладким решением. Условием такого разделения ячеек будет знак величины AUj+o.5= Uj+j-U{ для основных интервалов сетки и AUi= U"+05-UL0j для вспомогательных интервалов. Величины AUj-m.sj AUJ после деления на h являются разностными аналогами производной—. Подобные условия успешно применялись рядом дх авторов [9], [14] для введения диссипативных членов в разностные уравнения.
Приближенное решение в ячейке сетки, в которой выполнено условие AU 0 будем называть по аналогии с [14] R - волной, а в ячейке сетки, в которой AU 0 - волной. В результате такого разделения в класс R - волн попадают: a) непрерывные решения (волны разрежения); b) разрывные решения, когда величины перед фронтом ударной волны меняются столь быстро, что средняя плотность в ячейке уменьшается. Поскольку в этом случае вклад ударной волны в осредненный процесс является малым, то мы будем им. пренебрегать и будем считать осредненный процесс в данной ячейке непрерывным.
К классу S - волн относятся: а)разрывные решения, когда величины перед фронтом УВ и за фронтом; меняются слабее, чем на фронте; Ъ) непрерывные решения (волны сжатия).
Все решения, относящиеся к S - волнам, будут рассчитываться как ударные волны еще до момента пересечения характеристик и образования . разрыва. Таким образом, приведенный критерий не является абсолютно строгим.
Аппроксимируем уравнения (3.1), (3.2) и (3.5) разностными уравнениями vi"as - vias = U +i-Ul (3.6) 1 hi+US иГй5-иіи5= РГ+І-РГ (3,7) Т hi+u5 xf+l =x;+x-U . (3.8) Здесь т - шаг по времени.
Рассмотрим вспомогательные интервалы разностной сетки (х" , х ) с массой hi = гПі+о,5 - Щ-о.5- Разобьем их на два класса, К первому классу отнесем интервалы, характеризующиеся условием U"+ftS-U"4i5 0, а ко второму - интервалы, характеризующиеся условием U?+tt5 - Uj1 0. Разностные уравнения для определения вспомогательных значений U , Р зависят от класса интервала. Для интервалов первого класса, в которых находится УВ: и;=vu5, р;=р - w(u:+u5 - UJU,) , если р ps:a5, (3.9) U; =1 5 ,Р =Pin_us-W(u s-Ur_u5) -еслиР Р;"+а5 .
Значение W определяется из соотношений Гюгонио (0.21)-(0.23) по известному значению AU = Uf_u5 - U"+(Xs - U+ - U_ . Величины перед разрывом выбираются следующим образом: (Р, V, Е)_ =(Р, V, E)j+ft5 , если P s Р , (Р, V,Е)_=(Р, V,Е) ,еслиРй5 Р-5 . Поскольку всегда AU 0, то W 0.
Рассмотрим основные интервалы разностной сетки (т , mj+1). Новые значения удельного внутреннего объема и скорости V j, U s находятся по известным значениям U , Р из уравнений (3.6), (3.7). Удельная внутренняя энергия Е" находится следующим образом. Аппроксимируем уравнение (3.3) следующим разностным уравнением: рп+) _-п р тт _р тт i+US i+Q.j _ гі+1ці+1 гі ці /-з 1Q\ т K xs
С помощью (3.6), (3.7) преобразуем уравнение (3.10) и выделим удельную внутреннюю энергию ;«+1 Т7П 1 ЛГв+І 1+U5 Е ±м = _л/р І р-.м і+й5 і+й5 T , (З.П) і ї тп+i _ __L(Utt+1 +TjD -U -U ) i+as ч Un+1 _TTn Новое значение давления находится по уравнению состояния (3.4).
Анализ устойчивости разностной схемы для ударной волны
Перейдем к новым переменным: ... = Р,...+а11.л„. (3.49) Умножив уравнение (3.43) на а, прибавим и вычтем из уравнения (3.44) и, имея в виду, чтоРі+аі = ———і } Ui+U5 = —і —ЬІМ. t получим 2 2a aS=(l-3e )С+га -ї (РГ+..5-2РГ+а5+РГ-о.5). (3.50) PUs O-aeJ .+ eP . (3.51)
Рассмотрим волну сжатия, распространяющуюся в положительном направлении по постоянному фону. Постоянство фона, в частности, означает, что все В в момент времени tn равны. (Имеется в виду, что на "п" шаге известно точное решение).
В этом случае уравнения (3.50), (3.51) принимают вид: [5 = (1-ж ) „ + « _as, (3.52) PEL-Pba,- (3-53) Таким образом, для определения а мы получили разностное уравнение, не . п+1 +0.5 содержащее значений Р, причем все коэффициенты в разложении а[ неотрицательны при ае 1, следовательно, согласно теореме Годунова [13], разностное уравнение (3.52) переводит монотонные функции в монотонные с тем же направлением роста. При этом р остается строго постоянным, то есть S3 функции аир монотонны. В случае ударной волны с W = - а уравнения для инвариантов ai+a,5 = ai+ajj Pi+as = (1 /Pi+as + Pn-us показывают, что а инвариант (фон) остается невозмущенным, а р инвариант остается монотонным.
Для исследования дистракции ударной волны в разностной схеме (3.6)-(3.8) в выражениях для погрешностей аппроксимации (3.21)-(3.23) перейдем к автомодельной переменной J; = m- Wt и запишем полученные уравнения с ТОЧНОСТЬЮ до второго порядка малости. WV + U -—V--IT + O(t2,ha) = 0, (3.54) WU -P -I -U --P + hWU + O(T2,h2) = 0J (3.55) Ws -(PU) -—PU --(UP ) +-(PU ) -hW(UU ) + o(T2,h2) = 0. (3.56) JL . Здесь штрих обозначает дифференцирование по ,. Проинтегрировав эти уравнения по , получим WV+U-—V --U = WV0 + U0 + o(T2,h2), (3.57) WU-P- Lur--P, + hWU = W0U0-P0+o(x2,h2), (3.58) Ws-PU-—(PU) --UP + -PU -hWUU = WS0-P0U0+O(T2,h2). (3.59)
С помощью (3.54)-(3.56) заменим в (3.57)-(3-59) U H Р наУ. Затем с помощью (3.57)-(3.59) заменим U и Р на V. В результате для идеального газа получим уравнение, описывающее профиль V( ). Это уравнение совпадает с аналогичным уравнением в разностной схеме С.К.Годунова (2.114). Следовательно, дистракция и эффективная дистракция этой разностной схемы совпадают с Дг и Дг схемы СК.Годунова.
Разностные уравнения для волны разрежения
Для интервалов второго класса, в которых решение непрерывно, вспомогательные величины Ut, Р определяются на ребрах сеточных ячеек в х момент времени t=tn+- аппроксимацией дифференциальных уравнений (3.2) и (0.20) при а= 1 в несколько этапов. Рассмотрим сначала промежуточные вспомогательные величины в виде 0,=иГ-- (Р{;а5-Р.-а5) , (3.60) 2h: Значения U", Р , а" определяются в узлах сеточных ячеек (пі;, tn) следующим образом. Хотя давление и скорость непрерывны в точке п\{, в ней может находиться контактный разрыв, где — и а могут быть разрывны.
Поэтому рассмотрим одностороннюю разностную аппроксимацию уравнения (0.20) при а = 1 Р. =Р" -гЧаГ 5)2(и -иГ) (3.62) Pi = tf -Г (аГ-а5)2(иГ-и а5). (3.63) "i-0.5 Вычтем (3.63) из (3.62) и выразим U": 1Т„ (awts) 1 5 5 + a s) UJ shj j у, _ n 2 n , . (3.64) (ai+as) "i-as + (ai-u5 J ni+a5 Подставим (3.64) в (3.62) ч-ч J- Г2 7 а—7г наз-Ц-ов]- (3.65) ґ \2 Из (3.61) и (3.65) следует выражение для —(а" 1 i+as Значение Р" в случае hi_o.5 h\+os определим по формуле і 77 7Т Г—- (3-66) (hi-as + +usj Такое определение величин U", Р" и (а?) ранее использовал А.И.Жуков [46].
Рассмотрим основные интервалы разностной сетки (т„ nij+j). В случае, когда U = Ц, Р = Pj новые значения удельного внутреннего объема и скорости У 5, U" s находятся по известным значениям U4, Pi из уравнений (3.6), (3.7). Удельная внутренняя энергия Ejj5 для интервалов второго класса (непрерывное течение) определяется интегрированием уравнения En+,-En + Jp(V,E)dV«0. (3.67) v где опущен индекс і + 0.5, т.к. у всех величин он одинаков. Новое значение давления находится по уравнению состояния (3.4).
Выход стационарной ударной волны на свободную поверхность. Аналитическое решение и результаты расчетов
Для тестирования разностной схемы и сравнения ее с другими схемами были рассчитаны задачи о распространении стационарной ударной волны и стационарной волны разрежения.
Задача 1. В области с координатами [0,14] находится идеальный газ с уравнением состояния Р = (у-1)рЕ и следующими начальными параметрами: Y = %,Po = L Ео=0, Po=0,U0=0. На левой границе системы задана постоянная скорость U = 3. Для данной задачи получим следующие параметры за фронтом УВ: р,=7, =4.5, =10.5,1 =3, и скорость распространения УВ W=3.5 .
На Рис. 3.3, Рис. 3.4 приведены полные профили скорости и давления, полученные в численном решении, в сравнении с аналитическим решением и расчетом по недивергентной разностной схеме В.Ф. Куропатенко. Наблюдается хорошее согласие расчетных данных с аналитическим решением, но в этом масштабе отличий между расчетами практически не видно. Для анализа различий между численными методами на Рис. 3.5-Рис. ЗЛО приведены фрагменты решения в малой окрестности за фронтом ударной волны. На этих рисунках новая разностная схема сравнивается с методами Неймана-Рихтмайера, Лакса-Вендрофа и с недивергентной разностной схемой В.Ф. Куропатенко [14]. Видно, что предложенная разностная схема дает значительно меньшие осцилляции за фронтом ударной волны.
На Рис. 3.11,Рис. 3,12 приведены полные профили скорости и давления, полученные в численном решении, в сравнении с аналитическим решением и расчетом по недивергентной разностной схеме В.Ф. Куропатенко [14]. Наблюдается хорошее согласие расчетных данных с аналитическим решением, но в этом масштабе отличий.между расчетами практически не видно. Далее на Рис. 3.13 — Рис. 3.20 приведены фрагменты решения в окрестности слабого разрыва типа 3, На этих рисунках результаты, полученные по программе "КАМА", в которой реализована изложенная выше разностная схема, сравниваются с результатами расчетов по разностным схемам из [9], [13], [14,] [44]. Видно, что предлагаемый метод дает меньшие осцилляции по сравнению с методами [9], [14,] [44], а по сравнению с методом [13] значительно меньше "размазывает" слабый разрыв.
Разностные методы для расчета как непрерывных, так и разрывных решений уравнений механики сплошных сред обладают различными: дистракцией и осцилляционными свойствами. Например, метод Неймана-Рихтмайера [9], в котором для расчета диссипации энергии на фронте ударной волны применяется специально вводимая псевдо вязкость, дает решение с осцилляциями как за фронтом УВ, так и на волне разрежения. Амплитуда этих осцилляции затухает со временем. Метод Годунова [13], в котором для; определения вспомогательных величин на гранях сеточной ячейки используется соотношения для распада произвольного разрыва, является монотонным, но обладает сильной; дистракцией. Чем выше немонотонность или дистракция разностного метода, тем с. большей погрешностью этот метод определяет места зарождения трещин или фазовых переходов. При расчете взаимодействия ударных волн и волн разрежения; друг с другом или с контактными границами происходит необратимое накопление погрешностей, порождаемых осцилляционными свойствами и дистракцией разностного метода. Это еще больше увеличивает различие между характеристиками реально протекающего физического процесса и его математического образа..
Таким образом, одним из важных путей уменьшения погрешности численного решения задач с взаимодействующими разрывами является сочетание в численном: методе малых амплитуд осцилляции и малой дистракции разрывов.
Рассмотрим задачу о выходе стационарной УВ на свободную поверхность конденсированного вещества.
Пусть в области с координатами [0,1] находится конденсированное вещество с уравнением состояния Р = (у-1)рЕ + С4(р-рок). (4.1) Перейдем к безразмерным величинам р— -.. в= -, Р--Є-. с--?-. u=iL. Рок Ок 0к Рок Ок Ок
Тогда уравнение состояния. примет вид зависимости Р от р и Е с одним безразмерным параметром у Р = (у-1)рЕ + р-1. (4.2) Пусть при t = 0 вещество характеризуется следующими начальными параметрами Ро=1, Ео = 0, Uo = 0, Р0 = 0, Y = 3. На левой границе системы задана постоянная скорость U = 0.75, на правой границе задано давление Р = 0. При таких начальных и граничных условиях получим следующие параметры за фронтом УВ:
U, = 0.75, Р, = 1.5, р, = 1.6, Е, = 0.28125, W = 2. При выходе УВ на свободную (Р = 0) правую границу образуется произвольный разрыв, который распадается за время At = 0. При этом вещество должно сначала нагрузиться вдоль ударной адиабаты до состояния за; фронтом ударной волны, а затем разгрузиться: вдоль изэнтропы до давления Р = 0. После выхода УВ на свободную поверхность и распада разрыва получаются следующие параметры течения у правой границы системы
Unr = 1.5537, Рпг = 0, рпг = 0.906426, Епг = 0.051617. На Рис. 4.1 приведена (Р,и)-диаграмма для данной задачи. При расчете этой задачи по однородным разностным методикам, которые размазывают по сильные и слабые разрывы, распад разрыва происходит за время At 0. При этом свободная граница начинает двигаться, как только в последний интервал сетки приходит "носик" размазанной УВ. Поэтому вещество начинает разгружаться, не успев достигнуть состояния за фронтом УВ. Это приводит к образованию энтропийных следов в последних интервалах разной сетки.
Похожие диссертации на Разностный метод расчета уравнений гидродинамики и его применение для моделирования разрушения
