Введение к работе
Актуальность темы. Одна из самых распространенных и важных за-.ч численного анализа —- приближенное вычисление определенных интегралов, .дачи такого рода возникают в многочисленных областях науки, таких, напри-!р, как теория управления, физика высоких энергий, финансовая математика, еретическая астрономия, и т.д. Вопросам разработки, исследования, тести-вания и применения методов численного интегрирования посвящено огромное личество литературы, включая обширные монографии, справочники и мно-?ство журнальных статей. Тем не менее, достаточно полно разработанной іжно считать лишь теорию методов одномерного интегрирования. Задачи приближенного вычисления многомерных интегралов являются зна-тельно более сложными по целому ряду причин, основные из которых — рез-е возрастание трудоемкости традиционных численных методов с ростом раз-рности задачи (так называемое "проклятие размерности'"), а также необхо-мость учета геометрических особенностей возможных областей интегрирова-я. Если вторая из указанных трудностей обычно обходится путем разбиения ласти интегрирования на подобласти, близкие к стандартным (шар. куб, сименс), то первая может оказаться серьезным препятствием при необходимости лисления интеграла достаточно большой размерности с высокой точностью ідачи такого рода очень часто возникают как промежуточные этапы при ре-изации слолшых вычислительных алгоритмов). Наиболее часто в подобных учаях используются статистические методы интегрирования, основанные на тоде Монте-Карло, скорость сходимости которых не зависит от размерности, [нако, эта скорость является весьма низкой и значительное внимание уделя-:я поискам путей ускорения сходимости статистических методов. В связи с ;ш совершенствование и разработка статистических методов многомерного тегрирования, обладающих способностью к адаптации, представляется весь-актуальным направлением исследований.
Цель работы. Целью настоящего исследования является совершенство-тае и обобщение ранее известных статистических алгоритмов вычисления эеделенных интегралов и разработка новых статистических методов много-рного интегрирования, обладающих способностью к адаптации и имеющих зышенные скорости сходимости по сравнению с известными аналогами. Научная новизна. Разработаны новые подходы к решению важнейших за-i численного анализа — интегрированию и приближению функций несколь-<. переменных, основанные на применении механизмов адаптации в процессе числений. Наиболее значимыми новыми результатами являются следующие: Построена теория последовательного метода Монте-Карло, существенно >бщающая ранее известные результаты. Разработана общая методика по-юения адаптивных алгоритмов интегрирования на основе последовательного года Монте-Карло, в рамках которой впервые предложены адаптивный ме-
тод выделения главной части и обобщенные адаптивные методы.
-
Предложенный ранее простейший одномерный адаптивный метод существе. ной выборки обобщен на случай использования кусочных плотностей произвол ного вида. При этом получены более точные оценки скорости сходимости, че ранее известные. Построен и исследован аналогичный адаптивный метод ві деления главной части.
-
Разработан метод последовательной бнсекции построения последовательн стп разбиений единичного гиперкуба, пригодный для использования в адапти ных алгоритмах интегрирования с кусочными аппроксимациями как в оди мерном, так и в многомерном случае, и исследованы его характеристики. I. основе метода последовательной бнсекции впервые построен ряд адаптивнь алгоритмов многомерного интегрирования с кусочными аппроксимациями и и следована их сходимость на различных классах функций.
-
Предложены неизвестные ранее последовательные варианты метода рассл енной выборки.
-
Разработана методика адаптивного построения глобальных аппрокснмащ функции и исследована сходимость такой процедуры. Предложены адаптивнь методы интегрирования с глобальными аппроксимациями и изучена их эффе: тивность на различных классах функций с быстро сходящимися рядами Фурь
Практическая ценность. Предложены адаптивные статистические мет< ды приближения функций и численного интегрирования, имеющие повышенну скорость сходимости по сравнению с традиционными подходами при сохран нии их основных достоинств. Методы не требуют наличия априорной инфо] нации о подынтегральной функции, самостоятельно моделируя ее поведение ходе вычислений, что позволяет применять их для функций с различным cm собом задания и получать результат по возможно меньшему количеству вь числений функции. В частности, такие методы могут быть использованы щ: анализе качества сложных систем. Повышенная скорость сходимости дозволяє использовать предложенные методы вместо ранее известных в многочисленны задачах прикладной математики, теории управления, физики высоких энерги и т.д., где требуется вычислять многомерные интегралы и приближать фуш дни многих переменных с высокой точностью при малых временных затрата: Предложенные методы могут быть также положены в основу некоторых стаї дартных подпрограмм, входящих в состав пакетов математического програм», ного обеспечения.
Публикации и аппробация работы. Содержание работы отражено в печатных трудах. Результаты диссертации докладывались и обсуждались . семинаре кафедры информатики Санкт-Петербургского государственного те: нического университета (СПбГТУ) , на студенческой конференции в рамках 28-Недели Науки СПбГТУ (1999), на Всероссийской научно-технической конфереї
nil "Фундаментальные исследования в технических университетах" (Санкт-етербург, 1998), на международных научных конференциях "3-rd St.Petersburg 'orkshop on Simulation" (Санкт-Петербург, 1998) и "Second MACS Seminar on [onte Carlo Methods" (Варна, Болгария, 1999).