Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Аналитический обзор 10
1.1. Астрономические сведения 10
1.2. Математические модели движения небесных тел
1.2.1. Классическая интерпретация 13
1.2.2. Модель на основе гипотезы о взаимодействии движущегося материального тела с окружающим пространством 16
1.3. Негравитационные эффекты в моделях движения небесных тел 18
1.3.1. Эффект Ярковского 19
1.3.2. Аппроксимация эффекта Ярковского 22
1.3.3. YORP–эффект 24
1.3.4. Световое давление и эффект Пойнтинга-Робертсона 24
1.4. Численные методы решения уравнений движения небесных тел 25
1.4.1. Методы разложения в ряд Тейлора 27
1.4.2. Многошаговые методы Адамса 28
1.4.3. Метод Коуэлла 29
1.4.4. Метод Эверхарта 30
1.4.5. Сходимость и устойчивость численных методов 30
1.4.6. Оценка погрешности численных методов 33
1.5. Обзор математических моделей для оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй 35
1.5.1. Минимальные расстояния между орбитами небесных тел 36
1.5.2. Моделирование случайных величин 38
1.5.3. Оценка вероятности столкновения небесных тел с Землёй 41
1.6. Постановка задачи 51
Глава 2 Обоснование выбора методов, используемых для оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй 52
2.1. Численное интегрирование уравнений движения 56
2.1.1. Выбор оптимального метода численного интегрирования 57
2.2. Выбор математической модели движения 66
2.2.1. Сравнение математических моделей 67
2.2.2. Учёт негравитационных эффектов в модели 77
2.3. Оптимизация расчётов траектории движения для астероидов, имеющих тесные сближения с планетами 80
2.4. Оптимизация расчётов с использованием банка данных координат больших планет 82
2.5. Оценка минимального расстояния между орбитами небесных тел на конфокальных орбитах 84
2.5.1. Сравнительные испытания метода быстрой оценки 90
2.6. Метод оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй 93
2.7. Выводы по главе 95
Глава 3 Оценка вероятности столкновения с Землёй астероидов групп Аполлона, Амура и Атона 97
3.1. Информация о потенциально опасных астероидах 97
3.1.1. Влияние тесных сближений на траекторию движения астероидов 97
3.1.2. Определение значимых элементов орбиты 101
3.2. Метод оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй 104
3.2.1 Метод, основанный на определении опасных областей 104
3.2.2. Метод Монте-Карло 107
3.2.3. Модифицированный метод Монте-Карло 108
3.3. Проведение исследований 110
3.3.1. Выявление потенциально опасных астероидов 110
3.3.2. Генерация облака виртуальных астероидов 111
3.3.3. Исследование вероятности столкновения астероида 99942 Apopohis с Землёй 117
3.3.4. Оценка вероятности столкновения астероидов с Землёй 123
3.3.5. Сравнение результатов 128
3.3.6. Размещение на сайте SmallBodies.ru 131
3.4. Выводы по главе 132
Глава 4 Программный комплекс для оценки вероятности столкновения . небесных тел с Землёй 134
Заключение 144
Список использованных источников и литературы
- Модель на основе гипотезы о взаимодействии движущегося материального тела с окружающим пространством
- Обзор математических моделей для оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй
- Оптимизация расчётов траектории движения для астероидов, имеющих тесные сближения с планетами
- Метод, основанный на определении опасных областей
Введение к работе
Актуальность работы
Проблема астероидной опасности носит комплексный характер и подразделяется на несколько составляющих. Среди наиболее значимых задач можно выделить такие, как обнаружение потенциально опасных астероидов, сближающихся с Землёй, и определение вероятности столкновения с ними. Для оценки вероятности столкновения астероидов с Землёй требуется создание математических моделей, позволяющих учесть стохастическую составляющую процесса эволюции орбит астероидов.
Проблеме создания эффективных математических моделей для оценки вероятности столкновения астероидов с Землёй в последнее время уделяется довольно много внимания. Связанными с этой проблемой являются задачи по разработке математических моделей, описывающих движение малых тел Солнечной системы и созданию численных методов, позволяющих увеличить скорость расчётов и точность получаемых результатов.
На текущий момент известно более 12000 астероидов, принадлежащих к группам Аполлона, Амура и Атона. Орбиты этих астероидов могут пересекать орбиту Земли, а значит, существует необходимость в оценке уровня их опасности. Данные по астероидам обновляются регулярно (не реже, чем раз в 100 дней), после чего необходимо пересчитывать эволюцию орбит и оценки вероятности столкновения потенциально опасных астероидов с Землёй.
Разработка математических моделей и программного комплекса, позволяющего проводить такие исследования, является актуальной задачей.
Объект исследования
В качестве объекта исследования выступают математические модели движения небесных тел для оценки вероятности столкновения астероидов с Землёй и численные методы интегрирования уравнений движения.
Предмет исследования
Предметом исследования являются математические модели для оценки вероятности столкновения астероидов групп Аполлона, Амура и Атона с Землёй, математические модели движения астероидов этих групп, метод Эверхарта численного интегрирования, реализация математических моделей и численных методов в виде автоматизированного программного комплекса.
Цель и задачи работы
Целью данной работы является разработка математических моделей для оценки вероятности столкновения астероидов групп Аполлона, Амура и Атона с Землёй.
Достижение этой цели связано с решением следующих задач:
-
Разработка математических моделей, позволяющих производить отбор потенциально опасных астероидов, имеющих сближения с Землёй, и оценивать степень угрозы столкновения.
-
Проведение исследования с целью выбора наиболее эффективного метода численного интегрирования уравнения движения астероидов групп Аполлона, Амура и Атона для оценки вероятности столкновения с Землёй.
-
Создание алгоритмов и программ, использующих разработанные математические модели и численные методы для обнаружения и мониторинга потенциально опасных для Земли астероидов. Автоматизация работы программного комплекса с целью непрерывной обработки информации о потенциально опасных астероидах.
-
Создание банка данных эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура и Атона, являющихся потенциально опасными для Земли, на основе разработанного программного комплекса.
Методы исследования
-
Методы имитационного моделирования.
-
Численные методы решения дифференциальных уравнений.
-
Методы теории вероятностей и математической статистики.
-
Методы объектно-ориентированного программирования.
Научная новизна
-
Разработаны новые математические модели для оценки величины вероятности столкновения астероидов с Землёй, позволяющие по сравнению с известными методами (такими, как классический метод Монте-Карло) уменьшить время, требуемое для расчётов и повысить точность получаемых оценок вероятности столкновения.
-
Проведено исследование эффективности существующих численных методов для решения дифференциальных уравнений движения небесных тел (многошаговые методы Адамса, метод Коуэлла, методы, основанные на разложении в ряд Тейлора, метод Эверхарта) с целью выбора наиболее подходящего метода для использования при получении оценки величины вероятности столкновения астероидов групп Аполлона, Амура и Атона с Землёй.
-
Предложен новый алгоритм автоматического выбора шага для модифицированного метода Эверхарта численного интегрирования уравнений движения небесных тел, имеющих тесные сближения с большими планетами, который, в отличие от ранее используемых методов, позволяет проводить численное интегрирование на участках сближения с большей точностью и даёт преимущество в уменьшении времени расчётов.
-
Создан программный комплекс, реализующий модели и методы, представленные в диссертационной работе, позволяющие выявлять потенциально опасные астероиды и оценивать вероятность их столкновения с Землей. Данная информация публикуется в новых
разделах научно-информационного ресурса SmallBodies.ru. Получено свидетельство на электронный ресурс № 20710 от 26.12.2014. ИНИПИ РАО ОФЭРНиО «Автоматизированный программный комплекс для оценки вероятности столкновения астероидов с Землёй». 5. На основе программного комплекса создан динамически изменяющийся банк данных орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы, представляющих потенциальную опасность для Земли, содержащий информацию о вероятности столкновения.
Основные положения, выносимые на защиту
На защиту выносятся следующие положения:
-
Новые математические модели для оценки величины вероятности столкновения астероидов групп Аполлона, Амура и Атона с Землёй.
-
Вычислительные алгоритмы для исследования эволюции орбит астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй, и получения оценок угрозы столкновения потенциально опасных небесных тел.
-
Автоматизированный программный комплекс для исследования эволюции движения малых тел Солнечной системы, обработки получаемых результатов и получения оценок величины вероятности столкновения с Землёй.
-
Результаты расчетов и информационный динамически изменяющийся банк данных орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы на основе программного комплекса с использованием новых математических моделей оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй и численных методов интегрирования уравнений движения.
Теоретическая и практическая значимость.
-
Разработанные математические модели и алгоритмы позволяют оценить потенциальную опасность астероида и получить оценку величины вероятности столкновения Земли с небесным объектом.
-
Предложена модификация алгоритма метода Эверхарта для интегрирования уравнений движения астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй. Использование алгоритма позволяет уменьшить время расчётов в среднем в 2,4 раза по сравнению с применением метода с постоянным шагом интегрирования и получить более высокую точность результатов, чем при использовании классического переменного шага интегрирования.
-
Программный комплекс, созданный на основе предложенных математических моделей и численных методов, позволяет в автономном режиме осуществлять мониторинг небесных объектов, представляющих потенциальную опасность для Земли. Создан регулярно обновляемый банк данных потенциально опасных для Земли астероидов, содержащий информацию об оценке величины вероятности столкновения. Результаты расчётов доступны на сайте SmallBodies.гu для научных и образовательных целей.
Достоверность полученных результатов достигается:
-
сравнением численных и аналитических решений рассматриваемых задач с результатами наблюдений, данными других исследователей, а также с известными результатами в частных случаях;
-
cравнением полученных результатов с данными, публикуемыми в рамках работы международных проектов по проблемам астероидной опасности: NearEarth Object Program Лаборатории реактивного движения NASA (), Центр малых планет Международного астрономического союза ( planetcenter.net/iau/Dangerous.html) и NEODyS-2 (. dm.unipi.it/neodys/) Европейского космического агентства.
Связь диссертационной работы с планами научных исследований.
Работа выполнялась в рамках плана НИР СамГТУ (тема: «Разработка методов математического моделирования, динамики и деградации процессов в механике сплошных сред, технических, экономических, биологических и социальных системах и методов решения неклассических краевых задач и их приложений».); проекта Министерства образования и науки РФ (проект РНП 2.1.1.745): «Создание научно-информационной базы данных эволюции орбит малых тел Солнечной системы, представляющих потенциальную опасность для Земли» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2010 гг)»; проекта Министерства образования и науки РФ (проект РНП 2.534.2011): «Разработка математического и программного обеспечения для исследования эволюции орбит главных метеорных потоков», а также при поддержке грантов НИР для аспирантов СамГТУ (2015).
Апробация работы.
Основные результаты диссертации были представлены на следующих конференциях: Десятая международная конференция молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, СамГТУ, 2010 г.); Восьмая всероссийская научная конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара. СамГТУ, 2011 г.); IX всероссийская научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара. СамГТУ, 2013 г.); Международная конференции «Околоземная астрономия-2013» (Терскол. КубГУ, 2013 г.); «Научному прогрессу – творчество молодых» Международная молодёжная научная конференция по естественнонаучным и техническим дисциплинам (Йошкар-Ола, 2010 г.); Международная молодёжная научно-техническая конференция по естественнонаучным и техническим дисциплинам «Научному прогрессу - творчество молодых» (Йошкар-Ола, МарГТУ. 2011, 2012 гг.); Международная научно-техническая молодёжная конференции «Научному прогрессу – творчество молодых» (Йошкар-Ола, Волгатех, 2013 г.); Всероссийская научная Интернет-конференция с международным участием «Современное понимание Солнечной системы и открытые вопросы» (Казань, 2013 г.); Международная конференция «V
Бредихинские чтения» (Заволжск, 2014 г.); II международная научно-практическая конференция «Метеориты, астероиды, кометы. Падения на Землю, исследования и экологические последствия» (Челябинск, 2014 г.); VI международная конференция по астрономии «CAMMAC - 2014». (Украина, Винница, 2014 г.); Международная научно-практическая конференция «Перспективы развития современных математических и естественных наук» (Воронеж, 2014 г); Международная научно-практическая конференция «Наука 2014: итоги, перспективы» (Москва, 2015 г.); III международная научно-практическая конференция «Метеориты, астероиды, кометы» «Чебаркуль 2015» (Челябинск, 2015 г.); II международная научно-практическая конференция «О вопросах и проблемах современных математических и естественных наук» (Челябинск, 2015 г.); Научный семинар «Механика и прикладная математика» Самарского государственного технического университета (руководитель профессор Радченко В.П., 2013-2015 гг.); семинар «Проблемы происхождения и эволюции кометно-астероидного вещества в Солнечной системе и проблема астероидной опасности» Института астрономии Российской Академии наук (г. Москва, 2015 г.)
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 20 печатных работ [1-20], 5 из которых [1-5] входят в список изданий, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ. Список публикаций приведен в конце автореферата. Для созданного программного комплекса получено свидетельство на электронный ресурс [20], отвечающий требованиям новизны и приоритетности № 20710 от 26.12.2014 г. ИНИПИ РАО ОФЭРНиО.
Личный вклад автора.
Работы [3-20] выполнены самостоятельно, в работах [1-2] диссертанту принадлежит совместная постановка задачи, программная реализация математических моделей и методов, а так же анализ результатов.
Структура и объем диссертации.
Модель на основе гипотезы о взаимодействии движущегося материального тела с окружающим пространством
Форму орбиты определяют большая полуось а и эксцентриситет е. Наклонение / , аргумент перигелия со и долгота восходящего узла Q - ориентацию по отношению к базовой системе координат.
Астероиды представляют собой небесные тела, обращающиеся вокруг Солнца и имеющие значинельно меньшие (в сравнении с планетами) массу и размеры. В основном астероиды располагаются в так называемом поясе астероидов между орбитами Марса и Юпитера. По оценкам Лаборатории реактивного движения NASA, на сегодня открыто уже более 600 000 астероидов (http://neo.jpl.nasa.gov/stats/).
Астероид относится к классу потенциально опасных для Земли, если его орбита пересекает орбиту Земли на расстоянии менее 0,05 а.е. (астрономических единиц) и его диаметр больше 150 метров (т.е. абсолютная звёздная величина Н 22) [66].
На основе характеристик орбит астероидов можно выделить определенные группы астероидов, имеющие сходные элементы орбиты. В данной работе рассматриваются астероиды, принадлежащие к трём группам: Аполлоны, Амуры и Атоны. На данный момент, согласно информации Лаборатории реактивного движения NASA, известно более 12000 астероидов, принадлежащих к этим группам (http://neo.jpl.nasa.gov/stats/). При этом, из более чем 1500 известных потенциально опасных астероидов только 5 не принадлежат ни к одной из трёх групп. Таким образом, почти все потенциально опасные астероиды принадлежат к астероидам групп: Аполлоны, Амуры, Атоны.
Астероиды этих групп испытывают опасные сближения с большими планетами. Такие сближения могут провоцировать значительные изменения орбиты астероида, либо могут приводить к столкновению с планетой. Под тесным сближением понимается вхождение астероида в сферу действия планеты, то есть в область вокруг небесного тела, внутри которой главное гравитационное действие на астероид исходит от этой планеты, несмотря на присутствие Солнца (более массивного, но в то же время и более отдалённого) [63].
Математической моделью, описывающей движение небесных тел, является задача п тел, которая представляет собой систему дифференциальных уравнений. Для применения в задаче оценки вероятности столкновения небесных тел с Землей к математической модели движения представляются повышенные требования. Математическая модель, кроме точности отражения физического процесса движения небесных объектов, должна быть относительно простой для того, чтобы уменьшить объём вычислений и повысить скорость расчётов без значительного снижения точности результатов.
Такие требования выдвигаются по причине того, что начальные данные по астероидам Аполлона, Амура и Атона обновляются каждые 100 дней. До истечения этого срока необходимо просчитать эволюцию орбит этих астероидов по полученным данным, обнаружить потенциально опасные и рассчитать оценку вероятности столкновения с ними. При получении нового набора начальных данных расчёты производятся повторно.
Наиболее простой вид задача п тел принимает при использовании барицентрической системы координат (прямоугольная система координат с центром, совпадающим с центром масс системы п материальных точек). Модель (1.1) была предложена Исааком Ньютоном и считается классической. В векторной форме классическая задача имеет вид [7]: где = (х, у, z) - вектор координат исследуемого небесного объекта в барицентрических координатах; r =(xj,yj,zj) - векторы координат объектов, возмущения от которых учитываются (включая Солнце); mj - их массы; \j\ - т\ = J(xj - х)2 + (у, - у)2 + (z. - z)2 - модуль разности векторов координат; к - постоянная Гаусса.
Использование уравнений (1.1), несмотря на их простой вид, требует учета теории движения Солнца, так как (1.1) записано для барицентрических координат. В связи с этим часто используют гелиоцентрическую систему координат, помещая Солнце в центр системы. Система дифференциальных уравнений для задачи n тел в векторной форме запишется в форме [57]: где r = (x, y, z) - радиус-вектор исследуемого объекта в гелиоцентрической системе координат; г=(х, y,z) - радиус-векторы тел, возмущения от которых учитываются; т, - массы возмущающих тел в долях массы Солнца (масса Солнца считается равной 1); модуль разности векторов координат; 73 следует 1 понимать как куб модуля вектора, И ; к - постоянная Г аусса.
Уравнения (1.1) и (1.2) учитывают только ньютоновские силы. Для более точного прогнозирования необходимо учитывать множество факторов, к которым относится несферичность возмущающих тел, негравитационный и релятивистские эффекты, возмущения и т.д. Чем большее число дополнительных факторов нужно учесть в модели, тем более сложными становятся уравнения движения.
Обзор математических моделей для оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй
На сегодняшний день открыто более 12000 астероидов, которые принадлежат группам Аполлона, Амура и Атона. Свыше 1500 из них проходят через сферу действия Земли на интервале времени с 1800 по 2200 гг. Вследствие тесного сближения с Землёй возможно изменение траектории движения астероида, что может привести к столкновению в будущем. Задача оценки вероятности столкновения распадается на две связанные задачи: - обнаружение возможности столкновения с астероидом; - оценка вероятности столкновения. Кроме того, стоит различать задачу об оценке вероятности столкновения с обнаруженным и наблюдаемым астероидом и задачу об оценке вероятности столкновения с ещё не обнаруженными объектами. В рамках данной работы рассматривается только проблема оценки вероятности столкновения с известными или вновь обнаруженными астероидами. 1.5.1. Минимальные расстояния между орбитами небесных тел
Для того, чтобы отнести астероид к классу потенциально опасных для Земли, необходимо выполнение нескольких условий. Во-первых, астероид должен пересекать орбиту Земли на расстоянии менее 0,05 а.е. (астрономических единиц) [70, 92], а во-вторых, диаметр астероида должен превышать 150 метров (это условие эквивалентно тому, что абсолютная звёздная величина Н 22) [66]. Таким образом, необходимо знать минимальное расстояние между двумя орбитами. Что и приводит к задаче поиска и оценки минимального расстояния между орбитами (параметр MOID: Minimum Orbital Intersection Distance).
При получении новых данных об элементах орбит астероидов необходимо произвести расчеты для выявления потенциально опасных. Так как расчеты необходимо проводить для значительного числа астероидов, время расчетов становится важным критерием при выборе метода оценки MOID. Кроме того, важна и точность получаемых оценок.
По данным Лаборатории реактивного движения NASA (http://neo.jpl.nasa.gov/orbits) и Центра малых планет (http://www.minorplanetcenter.net/iau/Dangerous.html), на сегодняшний день насчитывается более 1500 потенциально опасных астероидов.
Разработан широкий спектр различных методов для определения MOID, которые условно можно подразделить на три группы: аналитические, численные, и численно-аналитические. Характерными представителями аналитической группы методов являются методы, изложенные в работах [86, 95]. Существуют аналитические методы, учитывающие стохастические взаимосвязи в элементах орбиты [71]. Кроме того, весьма широкое развитие получили методы, опирающиеся на численные алгоритмы [65, 69, 85, 100, 123, 126], которые предоставляют высокую скорость работы и настраиваемую точностью расчётов.
Наиболее часто используемыми подходами в аналитических методах определения MOID являются предложенные в работах Холшевникова [95, 67] и Gronchi [85 - 87].
Стоит отметить значительный вклад в разработку методов решения задачи определения минимального расстояния между орбитами таких учёных как К. В. Холшевников и Н. Н. Васильев, которые в работе [95] свели задачу отыскания минимального расстояния между двумя эллиптическими орбитами к решению тригонометрического уравнения восьмой степени. В той же работе ими показано, что дальнейшее упрощение задачи в общем случае невозможно. Важным результатом работы [95] является то, что предложенный в ней метод нечувствителен к наличию кратных или близко расположенных корней исследуемой функции, в отличие от большинства итеративных методов, которые могут пропустить такие корни. Кроме того, представленный в работе Холшевникова и Васильева метод позволяет определять не только минимальное расстояние между орбитами, но и получать информацию о всех критических точках функции расстояния. Существует более поздняя модификация метода, описанная в статье [67].
Наряду с методом Холшевникова, одним из самых распространённых является метод, предложенный Giovanni F. Gronchi [85 - 87]. Данный метод считается стандартом при решении задачи оценки величины MOID. Исходный код метода находится в общем доступе по адресу http://adams.dm.unipi.it/ gronchi/kepdist/. Метод является эффективным, он предоставляет высокую точность расчётов (порядка 1СГ14а.е.), надёжные оценки и отличается от других методов своей группы высоким быстродействием [85, 86]. Так же, как и метод, предложенный Холшевниковым, метод Gronchi позволяет получать информацию не только о точках минимума функции расстояния, но и о других критических точках. Данная информация может быть использована при оценке вероятности столкновения потенциально опасного астероида с Землёй. В основе алгоритма - использование быстрого преобразования Фурье и сведение задачи к алгебраическому полиному 16-ой степени, чьи действительные корни затем используются для отыскания критических точек функции расстояния между орбитами [85, 87].
Весьма большая группа методов имеет в своей основе итерационные алгоритмы, то есть задача оценки минимального расстояния между орбитами в них решается посредством последовательных уточнений значения MOID. К достоинствам таких методов относится простота реализации, а также возможность контроля точности и скорости расчётов. Общую структуру методов этой группы можно представить в следующем виде. Производится расчёт расстояний между каждыми двумя точками на орбитах исследуемых тел, а затем полученное дискретное представление функции расстояния между орбитами анализируется различными методами для получения оценки параметра MOID.
Однако методы, использующие исключительно численный подход к решению задачи, требуют значительных объёмов вычислений. Поэтому на практике предпочтение отдаётся гибридным методам, то есть численно-аналитическим, сочетающим в себе преимущества двух основных подходов. Идея численно-аналитических подходов к решению задачи оценки MOID состоит в том, что сначала аналитическими методами производится сведение исходной задачи к более простому виду, а затем используются численные методы для получения результата. Такой подход к решению задачи использован, к примеру, в работах [70, 100, 105, 116, 126]. Существуют также модификации различных методов (к примеру, работы [71, 87] ), учитывающих стохастическую составляющую в оценке параметра MOID.
Особо следует отметить работу [126], так как метод, предложенный в ней, предполагает простую геометрическую интерпретацию, и является наиболее эффективным с точки зрения быстродействия и вычислительных затрат по сравнению с классическими методами [86, 95]. В программном комплексе, созданном в рамках данной диссертационной работы используется модификация приближенного метода из работы [126], выбранная по причине высокой эффективности и контролируемой точности алгоритма нахождения MOID.
Для задачи оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй вопрос об использовании случайных чисел в расчётах весьма важен. При определении элементов орбиты посредством наблюдений небесных объектов полученные значения элементов неизбежно содержат в себе погрешности, обусловленные множеством различных факторов. В силу действия центральной предельной теоремы теории вероятностей, эти величины можно считать подчиняющимися нормальному закону распределения, что является широко используемым на практике упрощением [11, 19, 23, 33, 36-38, 56, 63, 85, 92]. Элементы орбиты астероидов, рассматриваемых в задачах небесной механики, считаются зависимыми нормально распределенными случайными величинами и рассматриваются как 6-и мерный вектор с определенными математическими ожиданиями и ковариационной матрицей, задающей дисперсии и связи между элементами [11, 36-38, 92].
Оптимизация расчётов траектории движения для астероидов, имеющих тесные сближения с планетами
Как можно установить из сопоставления результатов интегрирования астероидов с тесными сближениями и без тесных сближений, длительность интервала интегрирования не имела значительного влияния на точность получаемых результатов в случае отсутствия тесных сближений. Так, максимальная погрешность в значении средней аномалии M при интегрировании уравнений движения до 2200 года была получена для астероида 2000 GX127 и составила около 1,5 градуса (таблица 2.17). Высокая (относительно других астероидов без тесных сближений) погрешность может быть обусловлена тем, что астероид в 2065 году имеет сближение с Землёй, равное 0,29 а.е.
Ещё один вывод, который можно сделать из приведённых таблиц, состоит в том, что наличие тесного сближения значительно влияет на результаты расчётов. Причём, чем более тесное сближение происходит, тем существеннее расхождение значений с каталогом.
Особенно явно это можно проследить по результатам интегрирования уравнений движения астероида 99942 Apophis (таблица 2.16). Тесное сближение астероида Апофис с Землёй состоится 13 апреля 2029 г. Расчётная величина сближения составит 0,000253690 а.е. (астрономических единиц), что является одним из наиболее тесных сближений с потенциально опасным астероидом. Из результатов численного интегрирования уравнений движения видно, что орбита астероида после сближения претерпевает существенные изменения. Значительно отличается величина средней аномалии M, которая отвечает за положение тела на орбите, а также величина большой полуоси a, определяющей форму орбиты, и параметры со и i, определяющие положение орбиты небесного тела в пространстве.
Можно заметить, что выбор метода не сильно влияет на величину расхождений результатов с данными каталога. Для астроида 99942 Apophis задача после тесного сближения становится неустойчивой. Хотя использование постоянного шага даёт несколько более близкие к значениям каталога орбитальной эволюции астероида Апофис результаты.
Учитывая всё вышеизложенное, вернёмся к оценке результатов интегрирования уравнений движения методом Эверхарта с переменным и постоянным шагом. Исходя из полученных результатов, можно установить, что использование постоянного шага в методе Эверхарта для интегрирования уравнений движения астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй, предоставляет результаты, более близкие к данным каталога орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы по сравнению с использованием переменного шага.
В то же время, для каждого конкретного астероида предварительно требуется определить величину шага интегрирования. То есть, необходимо провести серию испытаний, в ходе которых требуемое значение шага будет определено в результате итеративного процесса деления шага и сравнения результатов интегрирования, получаемых с полным и половинным шагом. При достижении желаемой точности процесс деления шага останавливается и шаг, использованный на последней итерации, применяется в дальнейшем.
При использовании метода Эверхарта с переменным шагом интегрирования, в случае регистрации тесного сближения астероида во время расчётов шаг интегрирования автоматически уменьшается. Такое изменение чревато уменьшением скорости расчётов и увеличением погрешности в получаемых результатах. При использовании постоянного шага интегрирования расчёты (в зависимости от выбранного шага) могут идти как быстрее, чем с переменным (т.к. отсутствует необходимость уменьшения шага и, соответственно, увеличения количества итераций), так и медленнее по причине выбора малого значения шага интегрирования. В случае отсутствия тесных сближений интегрирование уравнений движения может проводиться как с постоянным, так и с переменным шагом без значительных различий в точности получаемых результатов.
Таким образом, для интегрирования уравнений движения астероидов, обладающих тесными сближениями, метод Эверхарта с постоянным шагом является более предпочтительным, чем метод с переменным шагом, так как он выигрывает в точности при наличии тесных сближений у астероидов. Для астероидов, не имеющих тесных сближений с Зёмлёй, предпочтительным является метод Эверхарта с переменным шагом интегрирования в силу более высокой скорости работы.
Основные математические модели движения небесных тел, применяемые в задачах небесной механики, рассмотрены в первой главе данной работы. Из представленных моделей необходимо выбрать ту, использование которой в задаче оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй было бы оптимальным с точки зрения точности получаемых результатов и скорости расчётов.
Классическая модель (1.1) не подходит для использования в силу того, что является недостаточно точной для применения к малым небесным телам. Данная модель не учитывает форму планет, дополнительные смещения долгот перигелия внутренних планет, релятивистские эффекты и многое другое. Модели (1.2) и (1.3) также исключаются из рассмотрения, так как данные уравнения движения рассматриваются в неинерциальных системах отсчёта.
Модель, учитывающая релятивистские эффекты (1.4), использовалась для создания численной теории движения больших планет, Луны и Солнца DE405. Однако для учёта фигуры небесных тел при тесных сближениях при использовании модели (1.4) необходимо решение дополнительных уравнений. Таким образом, модель (1.4) предоставляет данные с высокой точностью, но в то же время требует значительных вычислений при реализации.
Модель (1.6), основанная на гипотезе о взаимодействии движущегося материального тела с окружающим пространством, была опробирована для расчётов движения планет в работах [37, 40]. Полученные результаты показали согласованность с данными теории DE405. В настоящем исследовании принято решение проверить согласованность с данными каталога орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы результатов, получаемых при применении модели (1.6), к исследованию эволюции орбиты астероидов. Также было решено сравнить модели (1.4) и (1.6) на основе результатов, получаемых при их использовании в задаче исследования эволюции орбиты астероидов.
Проведены сравнительные испытания математических моделей движения небесных тел (1.4) и (1.6) с целью выбора модели для использования в задаче оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй. Такая задача требует больших вычислительных мощностей, поэтому кроме точности отражения физического процесса, желательно, чтобы модель была относительно простой в плане объёма вычислений, то есть, снижала бы длительность вычислений эволюции орбит астероидов.
В качестве объектов для исследования по различным моделям движения были взяты пять астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй, и пять астероидов, не имеющих тесных сближений с Землёй, описанных в начале главы 2 и использовавшихся при определении предпочтительного метода численного интегрирования.
С учетом полученных в части 2.1 результатов, в качестве метода численного интегрирования был выбран метод Эверхарта 27 порядка с постоянным шагом. Методика определения величины шага интегрирования также описана в части 2.1 и состоит в последовательном уменьшении начального шага h до момента, пока результаты, полученные с шагом h и h/2 не совпадут с требуемой точностью (метод Рунге).
Начальные данные для пяти астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй (1999 AN10 (137108), 2001 WN5 (153814), 99942 Apophis, 2004 FU4, 2007 YV56) и пяти астероидов, не имеющих тесных сближений (2000 GX127, 2004 XM14, 2005 DD, 2003 UY12, 2006 UQ17) приведены в таблицах 2.2 - 2.6 и 2.7 - 2.11 соответственно. Источник начальных данных -каталог орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы, (научно-информационный сайт SmallBodies.ru (http://smallbodies.ru)).
В таблицах, представленных ниже, отражены результаты интегрирования построенных по различным математическим моделям уравнений движения астероидов. Использовался метод Эверхарта с постоянным шагом. Данные по астероидам, имеющим тесные сближения с Землёй, отражены в таблицах 2.22 - 2.26. Сравнение элементов орбит производилось с шагом в 100 дней на различные даты до и после сближения. В представленных таблицах Л - это модуль разности значений элементов орбит, полученных по различным моделям движения.
Метод, основанный на определении опасных областей
Алгоритм численного интегрирования, используемый для интегрирования уравнений движения небесных объектов, рассматриваемых в данной работе, должен предоставлять результаты с высокой точностью. Для того чтобы выбрать алгоритм численного интегрирования для реализации в данной работе, проведён анализ современных численных методов с целью выбора наиболее эффективного из них. Критерием эффективности выступала в первую очередь точность, а затем – длительность вычислений эволюции орбиты астероида с использованием выбранного численного метода. Таким образом, из двух сопоставимых по точности методов был бы выбран тот, который позволял бы проводить интегрирование уравнений движения с меньшими затратами времени.
Три наиболее распространённых метода, используемых в задачах небесной механики, были рассмотрены в настоящем исследовании: метод Эверхарта, методы Адамса (многошаговые методы) и метод Коуэлла. Все упомянутые методы являются устойчивыми и сходящимися. Метод разложения в ряд Тейлора (при всех его достоинствах) был исключен из рассмотрения по причине того, что не является универсальным и требует пересчёта формул в случае учета в правой части уравнения движения дополнительных возмущений.
Наиболее высоким быстродействием среди трёх рассмотренных методов обладает неявный многошаговый метод Адамса. Однако, несмотря на быстродействие, многошаговые методы проигрывают в точности методу Эверхарта. Перспективным в плане использования в задачах небесной механики является метод Коуэлла, так как он сочетает в себе высокую скорость и точность. Но этот метод разработан лишь до 12 порядка точности относительно шага интегрирования h [51]. Отметим, что метод Коуэлла является весьма перспективным методом численного интегрирования при условии его развития до более высоких порядков точности. Метод Эверхарта разработан до 33 порядка точности включительно [40].
При современном уровне развития ЭВМ проблема повышения быстродействия является менее критичной, чем проблема повышения точности вычислений. Она может быть решена как с помощью увеличения вычислительных мощностей, так и с привлечением технологий параллельных вычислений (к примеру, использование вычислений на графических процессорах GPU), позволяющих ускорить расчёты в десятки раз [111].
Кроме того, следует учитывать специфику поставленных в работе задач. При интегрировании уравнений движения астероида на длительных интервалах времени точность является определяющим фактором, так как накопленные погрешности могут существенно сказаться на конечном результате. С учётом того, что задача Коши для некоторых астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй, является неустойчивой (к примеру, для астероида 99942 Apophis [19]), крайне важно максимально снизить влияние погрешностей на этапе интегрирования уравнений движения.
Учитывая вышеприведенные замечания, выбор был сделан в пользу метода Эверхарта как метода, удачно сочетающего в себе наибольшую точность и высокое быстродействие.
В качестве метода для интегрирования уравнений движения небесных объектов в данной работе был выбран метод Эверхарта 27 порядка. В ходе сравнительного анализа расчётов эволюции орбит астероидов методом Эверхарта различных порядков, было установлено, что при увеличении порядка метода свыше 27-го, точность расчётов эволюции орбит астероидов не возрастает, так как значительную роль начинают играть всевозможные погрешности, возникающие при расчетах [40, 42, 45].
Расчёты можно проводить как с постоянным, так и с переменным шагом. Необходимо установить, какой вариант более предпочтителен для интегрирования уравнений движения потенциально опасных для Земли астероидов. Для решения этой задачи были проведены сравнительные испытания, в ходе которых уравнения движения небесных тел проинтегрированы методом Эверхарта с переменным и с постоянным шагом. В качестве математической модели движения использовалась модель (1.4).
При интегрировании с постоянным шагом величина шага определялась согласно правилу Рунге. Проводилось интегрирование с шагом N, а затем с шагом N/2. Далее производилось сравнение значений элементов орбиты, полученных с разными шагами на конечную дату. Если
различие было значительным, то деление шага интегрирования повторялось. В итоге, на какой-то итерации процесс становился сходящимся и шаг интегрирования закреплялся.
Ниже приводятся результаты интегрирования уравнений движения астероидов методом Эверхарта с постоянным и переменным шагом по начальным данным от 23.05.2014. Для более ранних начальных данных результаты приведены в приложении А.