Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Нечеткие множества как инструмент для разработки и исследования моделей систем в условиях неопределенности
1.1 Основные понятия нечеткой математики 10
1.2 Формальное понятие нечеткой системы 22
1.3 Обзор подходов к исследованию формальных нечетких систем 31
1.4 Цели и задачи исследования 37
ГЛАВА 2. Исследование нечетких систем, определяемых с помощью нечеткого отношения
2.1 Исследование различных типов согласованности нечетких систем продукционного типа
2.2 Алгоритмы для определения типа согласованности и построения соответствующих множеств согласованности
2.3 Программная реализация алгоритмов исследования нечетких систем продукционного типа
2.4 Исследование устойчивости дискретных динамических систем на основе понятия плотности нечеткого множества 76
Выводы и результаты второй главы 90
ГЛАВА 3. Исследование устойчивости нечетких непрерывных систем
3.1 Теоретическое обоснование определения различных типов устойчивости нечеткой непрерывной системы
3.2 Алгоритм определения типа устойчивости нечеткой непрерывной системы
3.3 Устойчивость интегро-дифференциального уравнения с нечеткими коэффициентами
Выводы и результаты третьей главы 129
Заключение 131
Список использованных источников 133
- Формальное понятие нечеткой системы
- Обзор подходов к исследованию формальных нечетких систем
- Алгоритмы для определения типа согласованности и построения соответствующих множеств согласованности
- Алгоритм определения типа устойчивости нечеткой непрерывной системы
Формальное понятие нечеткой системы
С середины 80-х гг. началось активное применение теории нечетких множеств на практике, результатами этого применения стали устройства, полученные на основе моделей, использующих аппарат нечеткой логики, как аппарат решения задач управления данных устройств. Важнейший вклад в такие исследования внесли М. Sugeno, Е. Sanchez, Е. Н. Mamdani, Т. Takagi [96, 97, 98].
Концептуальная схема, в рамках которой формулируется любая задача управления, содержит объект управления, функционирующий в некоторой среде и систему управления, которая в свою очередь, содержит: модель среды, модель объекта управления, цель, блок принятия решения и блок реализации решения. Выделяют различные типы задач, решаемых системой управления [36, 37, 38]: задача стабилизации, задача выполнения программы, задача оптимизации. В классических постановках задач управления предполагается, что цель задается в виде некоторой функции (например, задача слежения или выполнения программ), некоторой области заданных значений контролируемого параметра, вероятности наступления некоторого события. Оперируя таким представлением цели, можно сравнивать состояние объекта управления и цели и принимать решение относительно управляющего воздействия [36]. В задачах принятия решений по управлению считается, что на основе модели среды и модели объекта управления можно сформировать множество вариантов управляющих воздействий на объект и для каждого из них определить, насколько данное воздействие «приблизит» объект управления к цели [1, 18, 23, 30, 31]. Справедливость данного предположения во многом зависит от качества соответствующих моделей. В классических задачах для определения вероятности наступления некоторого события используется аппарат теории вероятности и статистики. Существенный недостаток данного подхода заключается в невозможности получения аналитических выражений для распределений вероятностей, поскольку классическая вероятность аксиоматически определена как характеристика генеральной совокупности статистически однородных случайных событий. В том случае, если статистической однородности нет, то применение классических вероятностей в анализе оказывается незаконным [33, 34]. Другими словами подход, использующий теорию вероятностей, не может быть применим к системам, где неопределенность заключается в неизвестности некоторых детерминированных характеристиках или их умышленном опускании в данной математической модели. Поэтому возникает необходимость в такой структуре модели системы, в которой учитывается неопределенность, возникающая из-за наличия разного рода нечеткости, таких как входных-выходных параметров системы, различных коэффициентов системы. Таким известным способом учета неопределенности выступает теория нечетких множеств, позволяющая построить аналитически характеристические зависимости, основываясь на оценки экспертов, представленных в виде нечетких чисел [73, 100, 101, 102].
Определение 1.22 [28, 33, 34, 36, 37, 40, 55, 61]. Нечеткая система (НС) -это система, для описания которой используется аппарат теории нечетких множеств и нечеткая логика, при этом различают следующие способы такого описания: - нечеткая спецификация параметров системы (функционирование системы может быть описано алгебраическим или дифференциальным уравнением, в котором параметры являются нечеткими числами); - нечеткое (лингвистическое) описание входных и выходных переменных системы, которое обусловлено неточной информацией, получаемой от ненадежных датчиков, или качественной информацией, получаемой от эксперта; - нечеткое описание системы в виде совокупности если-то - правил, отражающих особенности функционирования на качественном уровне.
Нечеткая система может обладать одновременно всеми перечисленными атрибутами. Обобщая изложенное, введем следующие определения.
Определение 1.23. Пусть Х- множество значений входной переменной, Y - множество значений выходной переменной; х, Зг - семейства
нечетких подмножеств множеств X и Y соответственно. Под нечеткой системой в широком смысле подразумевается система, на вход которой поступает некоторое нечеткое множество UG3X, а на выходе по определенным правилам формируется нечеткое множество V є Зг .
Определение 1.24. Нечеткой системой в узком смысле или формальной нечеткой системой называется выражение вида UoR = V, (1.28) где о - операция композиции, отображение R (четкое или нечеткое) может иметь достаточно сложную структуру, обусловленную его интерпретацией.
В общем случае формальная НС представляет собой абстрактную модель, интерпретация которой зависит от определения и свойств отображения R. Специальный класс образуют НС, в которых R - нечеткое отношение, определяемое совокупностью если-то-праъия (продукций), описывающих на качественном уровне зависимость выходной переменной от входов. В этом случае НС представляет собой модель вычислений, имеет определенную структуру и называется нечеткой моделью, причем различают несколько типов нечетких моделей, отличающихся форматом если-то-щашт (Мамдани, Такаги-Сугено, реляционная) [36]. К НС (1.28) можно отнести некоторые классические модели, например, оптимизационные или в форме систем алгебраических или дифференциальных уравнений, в которых параметры представляются нечеткими числами.
Определение 1.25 [23, 36, 67, 86]. Под нечеткой системой управления (НСУ) понимается интеллектуальная система, использующая нечеткое описание управляемого процесса и системы его управления в виде базы нечетких правил для генерации последовательности управляющих решений, обеспечивающих достижение целей управления.
Обзор подходов к исследованию формальных нечетких систем
Пусть X,Y - конечные множества, \Х\ = n,\Y\ = m. Рассматривая их в качестве универсальных, определим нечеткие подмножества А и В, тогда их декартово произведение Ах В представляет собой нечеткое отношение. Кроме того, его произвольное подмножество R AxB также является нечетким отношением. В прикладных задачах нечеткое отношение R может иметь достаточно сложную структуру, обусловленную его интерпретацией. Например, в рамках методики нечеткого моделирования [36] нечеткое отношение R формализует базу правил, при этом если в базе содержится единственное правило, то R = A B; если правил несколько ((Д. - Вк)\ __, то R является результатом их агрегирования, т.е. R = Agg{A1 B1,...,As Bs). Под нечеткой системой подразумевается система U= R V, База правші на вход которой поступает некоторое нечеткое множество U, а на выходе на основе базы правил формируется нечеткое множество V. Формально нечеткая система представляется выражением вида UoR = V (2.2) где U,V- нечеткие подмножества некоторых универсальных множеств, R нечеткое отношение, о - операция композиции. Всевозможные варианты композиции подробно рассматриваются в [25]. Наиболее известной является операция {max- min) -композиции, в терминах которой формула (2.2) для у є 7 записывается в виде max min uiv (х), juR {х, у)\ = /uv (_у). (2-3) Однако возможны и более сложные конструкции, основанные на использовании треугольных норм и конорм. Обозначая треугольную норму символом л, а соответствующую ей конорму символом v, получим обобщение формулы (2.3)
Выражение (2.2) при известных U(R),V И неизвестном R(U) также называется реляционным уравнением. В настоящее время существует значительное количество точных и приближенных методов решения реляционных уравнений [60].
Большое значение для приложений имеет понятие устойчивости выражения (2.2), которое позволяет говорить об устойчивости соответствующей нечеткой системы. Рассмотрим устойчивость нечеткого уравнения (2.2) на основе обобщения четкого варианта [78]. Пусть P(xyp(Y - семейства четких подмножеств X и Y соответственно, F(F) - множество осуществимых выходов Y для нечеткой системы (2.2). Рассмотрим множества UeP(X}, VGP(Y} И отношение R: Р(Х} - P(Y}. Будем считать, что система (2.2) устойчива по отношению к семейству входов Р(Х), если для каждого множества U єР(Х} выполняется соотношение
Иными словами, система (2.2) обладает свойством устойчивости по отношению к Р(Х), если для каждого входного значения ІІєР(Х} множество U о R не содержит неосуществимых выходов.
Рассмотрим следующую задачу: пусть для НС продукционного типа задано множество допустимых выходов F(Y}czJY, требуется во множестве входов Зх определить такое подмножество К, что для всякого /єК с функцией принадлежности ци{х) выход V с функцией принадлежности fjy{y) принадлежит F(Y). Определение 2.1. Пусть К - множество нечетких подмножеств множества X. Нечеткая система (2.2) является а-согласованной по отношению к некоторому семейству ЗсК и некоторому подмножеству допустимых выходов F(y) z7, если для каждого нечеткого множества /єЗ множество V = UR таково, что для всякого yJ є Y-F(7) выполнено juv(уу ) а.
Заметим, что если НС не является а-согласованной по отношению к семейству 3 и множеству F(Y), ТО ЭТО не исключает согласованности для некоторого другого значения а7 {ака . Может случиться, что существует другое множество W є 3, такое что max juWoR (у) аг Из этого следует, что система (2.2) не является согласованной относительно семейства 3 и множества допустимых выходов F(r).
В случае, если (2.2) - четкая система, очевидно, что из ее согласованности следует а-согласованность для любого а є [0,1].
Рассмотрим необходимые и достаточные условия а-согласованности НС (2.2). Пусть нечеткое отношение R = А В = Ах В, т.е.
МЯ{ХІ УУ) = МА(ХІ)ЛМВ{УУ)
где х. є X, у є Y , i = l,n, j = l,m.
Тогда функция принадлежности выходного нечеткого множества V, соответствующего входному множеству U, определяется формулой
Зададим множество допустимых выходов F(j} Y. Условие juv(y.) a для у.є Y -F(Y) запишем следующим образом: у. v_ Ми (xt)) Л МА (ХІ )лМв(Уу) а- (2- 8) Если неравенство / (v ) а выполняется для всех _у. eF-F(F), то неравенство (2.8) всегда имеет место. Справедливо следующее утверждение. Теорема 2.1. Пусть для системы (2.2) R = A— B, тогда \/_//л (x.) а или juB (к) « для всех у є Y - F(7) если и только если система (2.2) является а согласованной относительно некоторого семейства К всех нечетких множеств, определенных на X.
Если база правил содержит s правил и применяется агрегирование с помощью связки or (у}, тогда отношение R имеет следующий вид = (4- )v...v(4 -+вя). Определение 2.2. Пусть і? = (Д —»2?/)v...v(4s —»2 ). Будем говорить, что отношение R обладает свойством хорошего отображения, если для каждого і = l,s выполняется AioR = Bi. Заметим, что свойство хорошего отображения матрицы R зависит от вида нечетких множеств Аг и Вг. Выясним, какими свойствами должны обладать множества Д. и Вг для того, чтобы отношение R обладало свойством хорошего отображения.
Алгоритмы для определения типа согласованности и построения соответствующих множеств согласованности
Исследование теории устойчивости нечётких систем полностью оправдано использованием нечётких регуляторов [36, 95]. Поскольку все результаты основывались на практическом применении нечеткой логики к моделям регуляторов, необходимость теоретической базы становится очень важной. Подобная теория может быть основана на идеях, появившихся как результат исторического исследования теории динамических систем.
Исследование обыкновенных дифференциальных уравнений претерпело значительные изменения. Сначала все исследования сводились к нахождению методов решения уравнений. В своих работах Д. Пеано [36, 74, 75] представил строгие доказательства теоремы существования для обыкновенных дифференциальных уравнений. В то же время Р. Липшиц [36, 75] и Э. Пикар [36, 75, 81] показали, что метод последовательных приближений ведёт к доказательству существования и единственности решений задач с начальными значениями. В то время как работы Пеано, Липшица и Пикара завершали одну главу в истории исследования дифференциальных уравнений, результаты исследований А.А. Ляпунова А.А. [6, 11, 13, 22] и А. Пуанкаре [36] открывали вторую. Эти исследования были основаны на абсолютно ином подходе, в рамках которого исследователи пытались не найти решения, а скорее использовать их топологические свойства. В своём знаменитом труде [59, 75] А. Пуанкаре первым исследовал обыкновенные дифференциальные уравнения с точки зрения характера хода кривых, тем самым создав топологическую теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Практически в это же время теория устойчивости, созданная А.А. Ляпуновым [57, 58, 82, 83], подчеркнула важность некоторых топологических свойств обыкновенных дифференциальных уравнений. В течение 50 лет после Ляпунова и Пуанкаре в исследовании этой области наблюдалось заметное продвижение. Благодаря работам Д. Биркхофа [67, 84], В.В. Немыцкого и В.В. Степанова [84], а так же
С. Смейла [75] стало очевидным, что суть этой теории заключалась в самом понятии динамической системы. Согласно исследованиям Ляпунова, «классическая» теория устойчивости рассматривает точки равновесия систем и динамическое поведение системы в окрестности этих точек. Однако характерным для этих понятий устойчивости является их принадлежность к конкретной модели рассматриваемой системы. Несмотря на важность такого подхода для инженерно-технической области, его практичность по отношению к системам, существующим в биологии, экономике и социологии трудноосуществима. Основная проблема заключается в том, что динамические системы практически всегда находится вне состояния равновесия, и претерпевают множество изменений, ведущих к отклонению точки равновесия. Более того, даже если система является детерминированной, определение устойчивости не будет гарантировать максимальную точность, поскольку от реального процесса её отделяет отсутствие неопределенности.
Как управлять неопределенностью, возникшую из-за нечеткости, а именно как выявлять устойчивость нечетких непрерывных динамических систем, основываясь не только на эмпирических результатах, но и на хорошо поставленной теории четких динамических систем, является целеполагающим вопросом в данной главе.
Нечеткие непрерывные системы, как правило, представляются в виде нечетких дифференциальных уравнений.
Определение 3.1 [77]. Под нечетким дифференциальным уравнением будем понимать дифференциальное уравнение с нечеткими коэффициентами. Определение 3.2 [63]. Под нечетким интегро-дифференциалъным уравнением будем понимать интегро-дифференциальное уравнение с нечеткими коэффициентами.
Методы решения нечетких дифференциальных уравнений были получены в работах [68, 70, 72, 75, 91]. Наша задача заключается в исследовании применимости метода нахождения решений нечетких динамических систем [75] к решению нечетких интегро-дифференциальных уравнений.
В работе [75] сформулирован подход к исследованию устойчивости нечетких динамических систем в виде линейных нечетких дифференциальных уравнений, основанный на четкой теории динамических систем, однако, способы нахождения нечетких производной и интеграла не приводятся. Нашей задачей является обобщение и расширение этого метода применительно к нечетким нелинейным динамическим системам, а также разработка алгоритма для выявления типов устойчивости и метода нахождения области устойчивости для нечеткого интегро дифференциального уравнения.
В главе 3.1 дано теоретическое обоснование устойчивости на основе четкой теории устойчивости динамических систем и принципе инвариантности Крассовского-Лассаля [32]. В главе 3.2 приводится алгоритм определения типов устойчивости ННДС [43, 50, 51]. Далее, в главе 3.3 вводится нечеткое интегро-дифференциальное уравнение, приводится метод для определения устойчивости решений нечеткой непрерывной интегро-дифференциальной системы, позволяющий избежать прямого нахождения решений нечеткого интегро-дифференциального уравнения средствами нечетких производной и интеграла. Глава 3.4 содержит полученные результаты исследования.
Алгоритм определения типа устойчивости нечеткой непрерывной системы
Таким образом, множество, содержащееся в носителе [iV, TV], a-устойчивое по теореме 3.8 для решений нечеткой динамической системы (3.26). Представим графически множество решений (3.26), взятое как сечения по a-уровням, для а = О, а = 0,95 соответственно на рис. 3.4 средствами MathCad 15.0.
На рис. 3.4 при a = 0 множество, содержащее решения системы (3.26), совпадает с носителем, а по мере увеличения а-срезов содержит все последующие множества, и эти множества являются «-устойчивыми, при а = 0,95 множество решений fa(u,t) с М — «-устойчиво и асимптотически «-устойчиво. является а-точкой равновесия системы (3.26), а по теореме 3.20 точка ие — а устойчивая. Таким образом, применив алгоритм определения устойчивости динамической системы из главы 3.2 к нечеткой нелинейной системе интегро дифференциальных уравнений, можно определить ее множество устойчивости и точку равновесия. Средствами математического пакета MathCad 15.0 достоверность исследования подтверждена визуально.
В результате исследования, проведенного в данной главе, получены следующие результаты: - сформулирован метод нахождения решений нечетких динамических систем; - сформулирован алгоритм определения а-устойчивости, асимптотической а-устойчивости, частичной а-устойчивости в зависимости от задания функции V(и); - введена модель нечеткого интегро-дифференциального уравнения, получено решение методом, определенным в главе 3.2; - определен тип устойчивости множества решений нечеткого интегро-дифференциального уравнения в соответствии с алгоритмом, представленным в виде блок-схемы на рис. 3.1, по теореме 3.8; - найдена точка равновесия системы, задаваемой нечетким интегро-дифференциальным уравнением по определению 3.17, и выявлена ее устойчивость в соответствии с алгоритмом, представленном в виде блок-схемы на рис. 3.2 по теореме 3.20.
В ходе выполнения данной работы были исследованы нечеткие непрерывные и дискретные динамические системы, разработаны алгоритмы и методы для определения разных типов устойчивости. Получены следующие результаты:
Исследованы существующие подходы к определению устойчивости дискретных и непрерывных НС, определены их недостатки или незавершенность исследований. На этой основе сформулированы цель и задачи исследования.
Исследован подход к определению типа устойчивости и нахождению соответствующего множества устойчивости дискретных нечетких систем продукционного типа и на этой основе предложены комплекс методов, позволяющих поэтапно выявить различные типы устойчивости заданной НС.
Разработан программный комплекс, в котором реализованы алгоритм определения свойств нечеткого отношения, заданного импликацией определенного вида, алгоритм определения различных типов устойчивости для дискретных НС. В рамках вычислительно эксперимента установлено соответствие полученных и теоретических результатов, а также показана вложенность нечетких устойчивых множеств по степеням а.
Введено обобщенное понятие плотности нечеткого множества и разработан алгоритм для определения состояния системы (устойчивость, неустойчивость, периодичность), который позволяет оценить устойчивость динамической дискретной НС и обеспечивает широкую применимость данного подхода.
Проанализированы существующие подходы к исследованию устойчивости непрерывных динамических НС. В качестве примера рассмотрена НС, описываемая интегро-дифференциальным уравнением с нечеткими коэффициентами, которая представима в виде совокупности а-срезов - интегро-дифференциальных уравнений с интервальными коэффициентами. Разработан метод решения четкого интегро-дифференциального уравнения и адаптирован к нечеткой модели. Алгоритм определения устойчивости нечеткой непрерывной динамической системы может быть расширен для исследования нечетких особых точек системы. Приведены примеры определения особых точек нечеткого интегро-дифференциального уравнения