Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Физические и математические основы динамики разреженного газа 5
1.1. Кинетическое уравнение Больцмана. Функция распределения молекул по скоростям 5
1.2. Равновесное состояние газа. Макроскопические величины 7
1.3. Взаимодействие газа с твердой поверхностью. Потенциалы взаимодействия молекул газа 9
1.4. Уравнение Больцмана для смеси газа. Обобщенное уравнение Больцмана 10
ГЛАВА 2. Консервативный проекционный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана 13
2.1. Численные методы решения уравнения Больцмана. Консервативный проекционный метод решения уравнения Больцмана 13
2.2. Консервативный проекционный метод для смеси газов 19
2.3. Многоточечные консервативные проекционные методы для смеси газов 21
2.4. Консервативный проекционный метод при наличии цилиндрической симметрии в пространстве скоростей 31
2.5. Консервативный проекционный метод вычисления интеграла столкновений на неравномерной сетке скоростей 36
ГЛАВА 3. Алгоритмы и программная реализация численных методов 42
3.1. Проблеммно-моделирующая среда. Солвер вычисления переноса молекул 42
3.2. Солвер интеграла столкновений 45
3.3. Методика параллельных вычислений при численном решении уравнения Больцмана. Векторизация вычислений 47
3.4. Пре- и постобработка результатов моделирования. Средства визуализации 51
ГЛАВА 4. Моделирование и анализ задач кинетической теории газов 54
4.1. Классические задачи кинетической теории газов: течение Куэтта, задача теплопроводности 54
4.2. Задача нахождения структуры ударной волны 63
4.3. Взаимодействие ударной волны с преградой 80
4.4. Структура ударной волны в смеси газов с сильно различающимися массами молекул 93
4.5. Моделирование устройств на основе эффекта теплового скольжения. Разделение смесей газов 107
Заключение 117
Список литературы
- Равновесное состояние газа. Макроскопические величины
- Консервативный проекционный метод для смеси газов
- Солвер интеграла столкновений
- Взаимодействие ударной волны с преградой
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Разработка микроэлектромеханических систем, микронасосов, газовых разделителей на основе пористых мембран, а также задачи аэрокосмической области: обтекания газа в верхних слоях атмосферы и исследование физико-химических процессов во фронте ударной волны, - требуют кинетического подхода для описания газа. Основой такого описания является кинетическое уравнение Больцмана. Экспериментальное исследование упомянутых задач является сложной задачей, в связи с чем актуально построение прямых методов решения уравнения Больцмана и проведение численного моделирования течений разреженного газа.
Цели диссертации. Целями диссертации являлись развитие проекционного метода вычисления интеграла столкновений Больцмана, алгоритмической и программной реализации предложенных новых методов и их использование для анализа неравновесных течений однокомпонентного газа и смесей газов, в том числе, применительно к проблеме разделения газов.
Научная новизна. Разработаны многоточечные консервативные проекционные методы вычисления интеграла столкновений Больцмана для смесей газов, обобщенные на случай произвольного потенциала взаимодействия молекул. Построен метод вычисления интеграла столкновений Больцмана на неравномерной сетке в пространстве скоростей.
Проведены прецизионные расчеты структуры фронта ударной волны в однокомпонентном газе и в смеси газов. Осуществлен анализ неравновесных течений смеси газов с большим отношением молекулярных масс. Выполнены моделирования смеси газов в устройствах, основанных на эффекте теплового скольжения. Показана возможность разделения смеси газов в устройствах такого типа. Проведено моделирование сильнонеравновесных течений и течений при числе Кнудсена > 1.
Теоретическая и практическая значимость работы. На основе построенных методов вычисления интеграла столкновений Больцмана разработан программный
модуль для проблемно-моделирующей среды, предназначенной для анализа явлений в разреженном газе. Численные методы, техника моделирования и программная среда могут применяться при разработке микроэлектромеханических систем, газовых фильтров и разделителей смесей, проектировании вакуумных систем, в аэрокосмической области и в задачах теплопереноса.
Методология и методы исследования. При работе над диссертацией использовалась методология математического моделирования, методы вычислительной математики, решения дифференциальных и интегральных уравнений, методы проектирования программных систем и методы кинетической теории газов.
Положения, выносимые на защиту, отражены в основных результатах и выводах диссертации, приведенных в конце автореферата.
Степень достоверности и апробация работы. Материалы диссертации опубликованы в 18 работах, из них 7 - статьи в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ [1-7]. Личный вклад соискателя в работы с соавторами соответствует результатам диссертации, вынесенным на защиту.
Научные результаты были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на научных конференциях: Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях, Алушта, 2010, 2012, 2014; Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Алушта, 2011, 2013; Nano-Tech Conference & Expo, Santa-Clara, 2012; 28th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Zaragoza, 2012; 13th International Conference on Mathematical Methods in Science and Engineering, Almeria, Spain, 2013; XXXVII Академические чтения по космонавтике, Москва, 2013.
В рамках работы были получены свидетельства на программы для ЭВМ [16-18].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 126 страниц. Список литературы содержит 109 наименований.
Равновесное состояние газа. Макроскопические величины
Здесь fi - функции распределения по импульсам молекул / -го сорта, і = 1... TV. В случае взаимодействия различных молекул параметры потенциала межкомпонентного взаимодействия определяются из комбинационных соотношений [17] по параметрам потенциалов внутрикомпонентного взаимодействия.
Описанный выше консервативный проекционный метод справедлив и для решения уравнения Больцмана для смеси газа. Единственным требованием в случае двухточечного проецирования для обеспечения консервативности является необходимость того, чтобы сеточные шаги в импульсном пространстве для каждой из компонент смеси газов были равны hi = h, і = 1 ...N.
Тогда, так же как и в случае простого газа, каждый импульс после столкновений проецируется на два узла на сетке, за счет чего достигается консервативность метода по энергии. Консервативность по импульсу достигается симметричным выбором узлов на сетке.
Метод хорошо работает при умеренном отношении молекулярных масс компонент смеси (см. работы [47], [48], [49]).
В импульсном пространстве для каждой из компонент газовой смеси выбирается область flj объема Vj, в которой строится сетка из Nf равноотстоящих импульсных узлов Е = {ру}. Периоды сеток должны совпадать ht = Л, это необходимо для консервативности численной схемы по импульсу. В качестве областей flj в большинстве задач разумнее выбирать шары некого радиуса, который определяется тем, чтобы функция распределения вне шара была пренебрежимо мала.
На введенной импульсной сетке функция распределения и интеграл столкновений определяются следующим образом:
Полученный интеграл является 8-ми мерным, что усложняет его численное вычисление. Одним из подходов интегрирования является метод Монте-Карло. Но данный метод обладает плохой сходимостью при увеличении числа интегрирующих узлов - 0(l/vJV). В связи с этим, применяется метод интегрирования, основанный регулярных сетках - сетки Коробова [46], ошибка интегрирования при их применении в среднем падает как 0(1/JV).
В данном случае интегрирующая сетка Коробова строится для р , ppv, bv, ev из Nv узлов в области flj X fly X [0,2л"] X [0, bm] так, что р , ppv совпадают с узлами импульсных сеток где узлы pxv, PAV+SV Pfiy, Pfiy-Sy и коэффициент rv выбираются так, чтобы выполнялись закон сохранения импульса и энергии (закон сохранения вещества при данной замене уже выполняется). Коэффициент rv находится из сохранения энергии - Е0 = (1 — rv )Ei + rvE2. Откуда En — Ел
В главе представлены модификации оригинального проекционного метода, получившие название многоточечных консервативных проекционных методов для смеси газов. Применение таких методов возможно в случае различного импульсного шага для каждой из компонент смеси. Представлены возможные вариации многоточечных методов. Приводится сравнение точности получаемых результатов.
В методе, описанном в предыдущем разделе, равенство импульсных шагов было обязательным условием за счет чего выполнялось автоматическое сохранение импульса. В данном методе сохранение импульса обеспечивается специальным многоточечным проецирование, то есть, число точек проецирование увеличено.
Требование равенства шагов в импульсных сетках приводит к вынужденному увеличению числа узлов в сетках тяжелых компонент смеси. Нетрудно показать, что число узлов растет согласно зависимости JVj (.пц/пітіп)3 2- Расчет смеси гелия и аргона (отношение масс тНе/тАг « 1/10) приводит к увеличению сетки в 30 раз, что в свою очередь сказывается на производительности.
Рассмотрим случай, когда импульсные сетки обладают равномерным, но различным для каждой компоненты, шагом Apj. Тогда соответствующий выбор шагов Apj позволяет избежать вынужденного увеличения числа узлов в сетках тяжелых компонент смеси.
После разложения функции распределения и интеграла столкновений по базису 5-функций, приведения интеграла столкновений к симметричному виду и применения кубатурной сетки Коробова {pav, ppv, bv, ev] выражение для вычисления интеграла столкновений приобретает вид
Сохранение импульса обеспечивается симметричным выбором узлов, что, в свою очередь, возможно при условии, что импульсные сетки строятся с равномерным шагом Ар одинаковым для всех компонент газа.
Рассмотрим схему аппроксимации для величин (2.3.2) в случае, когда импульсные сетки обладают равномерным, но различным для каждой компоненты, шагом Apj. Сначала будет представлена схема интерполяции функции распределения. Далее, получим разложение 5-функций. Для обеспечения равенства нулю интеграла столкновений от маквелловской функции необходимо, чтобы интерполяция давала точное значение при применении к Данная функция зависит от 5-ти параметров: множителя перед экспонентой, 3-вектора скорости и и температуры Т. Поэтому её точную интерполяцию можно построить по 5-ти точкам.
Консервативный проекционный метод для смеси газов
Однако, для смесей со значительным отношением масс требование одинакового шага для всех компонент смеси приводит к значительному вынужденному увеличению сетки для тяжелой компоненты газа. Нетрудно показать, что для трёхмерного пространства импульсов число узлов растет согласно зависимости JVj (wii/wim in )3//2 а Ддя рассматриваемого здесь случая цилиндрической симметрии как JVj (.щ/тптіп) .
Поэтому рассмотрим схему проецирования для случая, когда импульсные сетки обладают равномерным, но различным для каждой компоненты, шагом (ApjiX, Apjr). Построим схему
В проецирования для импульса (pxv,prv), для импульса (Рх Рг) рассуждения аналогичны. Для обеспечения сохранения массы, продольной и радиальной компоненты импульса и энергии минимальное количество узлов проецирования равно четырем. Используемый Непосредственной подстановкой коэффициентов вкладов в приведенные ниже выражения можно убедиться в том, что приведенная схема обладает свойством консервативности
Значения функций распределения fav, f@v находятся путем интерполяции функции распределения. Для обеспечения равенства нулю интеграла столкновений от максвелловской функции распределения применяется интерполяция следующего вида: Более подробное описание многоточечной схемы проецирование дано в работе [53]. В ней также даны расширенные шаблоны, дополнительно сохраняющие при проецировании тензор потока импульса и вектор потока энергии.
Консервативный проекционный метод вычисления интеграла столкновений на неравномерной сетке скоростей.
В настоящем разделе разрабатывается метод вычисления интеграла столкновений в случае неравномерной прямоугольной сетки в пространстве скоростей. Метод является расширением оригинального проекционного метода. Во многом метод основан на идеях метода многоточечного проецирования, разработанного для смесей газов [53].
При моделировании течений разреженного газа на основе уравнения Больцмана при больших числах Кнудсена или Маха для функции распределения частиц газа по скоростям свойственно наличие больших градиентов. В таком случае для хорошего сеточного разрешения особенностей функции распределения необходимо использование сеток с малым шагом дискретизации. Но построение мелкой сетки во всей скоростной области неэффективно, так как ведет к увеличению необходимых вычислительных ресурсов. Оптимальным образом скоростную сетку для таких задач можно построить путем сгущения узлов в областях особенностей функции распределения и разрежения в областях, где нет надобности в хорошем разрешении.
Однако во всех предыдущих модификациях проекционного метода функция распределения по скоростям рассматривается на равномерной сетке. Равномерность скоростной сетки в оригинальном проекционном методе является необходимым требованием в силу особой техники консервативного проектирования скоростей молекул после столкновения на ближайшие узлы скоростной сетки. В ней сохранение импульса обеспечивается «автоматически», это позволяет проектировать каждую скорость после столкновения на два узла на сетке.
Стоит отметить работы других научных групп, посвященных решению уравнения Больцмана на неравномерной сетке в пространстве скоростей. В работе [54] группой из университета Техаса предложен схожий метод дискретных ординат. Одним отличием этого подхода от представленного здесь является применение техники уменьшения колебаний (variance reduction technique) [55] для увеличения точности моделирования течений близких к равновесным. Нами эта задача разрешается благодаря степенной интерполяции функции распределения для скоростей после столкновения. Спектральный метод также был расширен на случай неравномерной сетки скоростей [56]. В этой работе представлены аккуратные решения пространственно однородных задач. Метод вычислительно затратный и пока не применяется для неоднородных задач.
При численном решении уравнения методом дискретных ординат в скоростном пространстве вводится сетка из узлов S = { у}, у = 1... N. На сетке функция распределения и интеграл столкновений правая часть уравнения Больцмана представимы в базисе 8-функций в виде N N
В случае равномерной прямоугольной скоростной сетки для определения данных величин применяется двухточечное проецирование, при котором каждая скорость после столкновения аппроксимируется двумя узлами на сетке. Двух узлов достаточно для обеспечения консервативности, так как равномерная скоростная сетка позволяет выбирать вспомогательные узлы симметричным образом для каждой из скоростей после столкновения, что в свою очередь, приводит к автоматическому обеспечению консервативности по импульсу.
Построим схему аппроксимации для величин (2.5.1) в случае, когда скоростная сетка S = { у} является прямоугольной, но шаг сетки неравномерный.
Тогда для обеспечения сохранения массы, вектора импульса и энергии минимальное необходимое количество узлов проецирования равно пяти. Так же как и в случае многоточечного проецирования, применительно к вычислению интеграла столкновений для смеси газов, здесь могут быть использованы различные шаблоны проецирования. На рис. 2.5.1 показан симметричный шаблон, состоящий из 7-ти точек. На рисунке отмечены: hv, %iiv - ближайшие к , скорости на сетке, sXy = %Ху - , s = - %Ру - их смещения, h\, hy, hi - расстояния между узлами сетки в направлениях осей х, у, z, /i, hy, h\ - расстояния в противоположных направлениях.
Солвер интеграла столкновений
В данной главе приводится описание проблеммно-моделирующей среды, основанной на консервативном проекционном методе вычисления интеграла столкновений Больцмана. Приводится описание всех этапов численного решения уравнения Больцмана от задания граничных и начальных условий до обработки результатов. Особое внимание уделяется ядру проблемно моделирующей среды - солверу вычисления интеграла столкновений.
В параграфе приводится общее описание структуры проблеммно-моделирующей среды и её составных подмодулей. Дается описание солверов уравнения переноса. Рассматриваются особенности связанные с аппроксимацией на неструктурированных сетках и инструмент построения неструктурированных сеток GMSH.
На основе консервативного проекционного метода была разработана и продолжает разрабатываться проблемно-моделирующая среда (ПМС), предназначенная для проведения расчетов течений разреженного газа. Изначально ПМС позволяла проводить расчеты однокомпонентного газа в областях, заполнить которые можно структурированными сетками [57]. Затем ПМС была улучшена, стало возможным проводить расчеты устройств со сложной геометрией, благодаря применению неструктурированных сеток [58]. Далее получила развитие часть ПМС, ответственная за вычисление интеграла столкновений, появилась возможность моделировать течения смеси газов [4] и газы с внутренними степенями свободы на основе упрошенной двухуровневой модели [59]. Затем метод вычисления интеграла столкновений для смеси газов был обобщен [7], это позволило эффективно проводить расчеты смесей газов с сильно различающимися массами молекул. В настоящий момент ведется интеграция метода решения обобщенного уравнения Больцмана [18]. На программные коды проблемно-моделирующей среды получены свидетельства о регистрации [9], [8], [10].
Стоит отметить, что на сегодняшний день широко распространены два других подхода к моделированию течений разреженного газа: это применение метода прямого статистического моделирования (метод Монте-Карло) и использование модельных уравнений, где сложный интеграл столкновений заменяется релаксационными формами. Первый подход применяется для расчетов сверхзвуковых течений и, с недавнего времени, микротечений. Однако для относительно медленных дозвуковых процессов данный метод требует очень больших вычислений из-за значительной статистической погрешности 0(N" 5). Пример программной среды, основанной на методе статистического моделирования дан в [60]. Второй подход плох тем, что в связи с применением упрошенных моделей достоверность получаемых с помощью них результатов не известна. Описание другого солвера, предназначенного для расчета течений разреженного газа дано в работе [61].
Проблемно-моделирующая среда разработана с использованием открытых технологий. Для расчетных солверов ПМС в качестве языка программирования был выбран C++, благодаря этому совмещается высокое быстродействие с объектно-ориентированным программированием, это немаловажно для дальнейшего перспективного развития ПМС. Части ПМС, ответственные за пре- и постобработку данных, написаны на высокоуровневом языке программирования Python.
ПМС позволяет проводить расчеты на персональном компьютере так и на многопроцессорных кластерах.
На рис. 3.1.1 представлена схема потока данных от входных параметров, предоставляемых пользователем, и генерации расчётной сетки до визуализации результатов с использованием специализированных пакетов. Центральное место на рисунке занимает солвер — программа, выполняющая все необходимые для решения уравнения Больцмана вычисления. Расчёт представляет собой итерационный процесс эволюции функции распределения f(t,x, ). Макропараметры газа получаются интегрированием функции распределения с соответствующими функциями от скорости . Для простого газа уравнение Больцмана и формулы для вычисления плотности, скорости и температуры газа имеют следующий вид:
В силу того, что при решении уравнения Больцмана используется схема расщепления по физическим процессам, то есть поочередно моделируется перенос молекул и столкновения, то и сам солвер состоит из отдельных решателей, ответственных за решение уравнения переноса и вычисление интеграла столкновений. Input data
LTMC включает в себя два решателя уравнения переноса: решатель на структурированной сетке и решатель на неструктурированной сетке. В обоих решателях реализованы схемы аппроксимации 1-го и 2-го порядка. Используемые схемы 2-го порядка являются монотонными, неподверженными возникновению осцилляции. Решатель на структурированной сетке значительно проще, обладает большим быстродействием и может выполняться на графическом процессоре, но его применимость ограничена только задачами, геометрия которых состоит из прямоугольных сеток. «Неструктурированный» решатель данным недостатком не обладает и является универсальным инструментом, пригодным для моделирования сложных устройств.
Для генерации неструктурированных сеток используется пакет GMSH [62] с открытым исходным кодом. Пакет GMSH позволяет заполнять расчетную область сеткой, удовлетворяющей следующим двум важным требованиям:
Сетка должна обладать высоким качество, в случае тетраэдральной сетки каждая ячейка должна быть как можно ближе к правильному тетраэдру [63]. Это связано с тем, что используются явные численные схемы, на которых максимальный допустимый шаг по времени ограничен условием Фридрихса - Куранта - Леви.
Сетка должна сгущаться в тех областях, где движение газа представляет наибольший интерес, и быть менее подробной там, где параметры газа меняется незначительно. Этим достигается оптимальное соотношение между производительностью и точностью результатов. Также GMSH позволяет учитывать специфику задачи и подбирать соответствующий вид элементарных ячеек. Так, например, для трехмерных задач, в которых расчетная область может быть получена «растяжением» (extrude) двухмерной области, в использовании неструктурированных тетраэдрических сеток нет необходимости. Для таких задач лучше применять призматические сетки, построенные с помощью сдвигов неструктурированной треугольной сетки для двухмерной области. Использование призматических сеток также позволяет легче проводить декомпозицию расчетной области и добиваться равномерного распределения нагрузки между процессами. Подробнее об этом написано в последующем параграфе.
Параграф описывает ядро проблеммно-моделирующей среды - главную часть, ответственную за вычисление интеграла столкновений. Приводятся блок схемы ключевых алгоритмов солвера.
Ключевая часть ПМС расположена в решателе, ответственном за вычисление интеграла столкновений. Согласно заложенному методу, интеграл столкновений рассчитывается по квадратурной формуле, обладающей свойствами консервативности по массе, импульсу и энергии. Ввиду многомерности интеграла для повышения точности вычисления подынтегральной функции применяются сетки Коробова. Общий расчет интеграла столкновений происходит согласно схеме «непрерывного счета», в которой изменение функции распределения происходит непрерывно в процессе суммирования.
В решатель интеграла столкновений заложена возможность использовать различные потенциалы межмолекулярного взаимодействия. Например, может использоваться реалистичный потенциал Леннард-Джонса.
Взаимодействие ударной волны с преградой
Структура ударной волны для газа твердых сфер изучена в диапазоне чисел Маха от М = 1.1 до М = 20. Получены графики макропараметров газа и дано сравнение с другими решениями уравнения Больцмана. Расчёты выполнены сточностью в 3% по обратной ширине ударной волны и 1% по локальным значениям плотности и температуры. Для малых чисел Маха проведено сравнение вычисленной в ударной волне молекулярной функции распределения по скоростям с асимптотическим разложением Энскога-Чепмена. Точность вычисления функции распределения можно оценить в слабой норме по точности вычисления её низших моментов - плотности и температуры. Обнаружено, что уже для М = 1.6 вычисленная функция распределения существенно отличается от функции Энскога-Чепмена. Для больших значений числа Маха вид функции распределения качественно совпадает с функцией распределения в ударной волне бесконечной интенсивности. На примере аргона проведены расчеты структуры ударной волны до числа Маха М = 8 для реальных газов, описываемых молекулярным потенциалом Леннарда-Джонса, и дано сравнение с экспериментальными данными по плотности газа. Для газа твердых сфер и газа Леннарда-Джонса получены зависимости ширины ударной волны, асимметрии графика плотности и величины локального максимума на графике температуры от числа Маха. Из сравнения с экспериментальными данными можно заключить, что потенциал Леннарда-Джонса достаточно хорошо описывает взаимодействия между атомами аргона. Результаты работы могут быть применены для тестирования новых численных методов решения уравнения Больцмана и проверки приближенных кинетических уравнений.
Использованный численный метод позволяет получать надежные результаты с указанной выше точностью для чисел Маха М 10 на персональном компьютере с частотой ЗГГц за время порядка 1 часа. Расчеты для чисел Маха М 10 требуют большего времени и были выполнены на кластере МФТИ-60 кафедры информатики Московского физико-технического института (ГУ).
Моделируемое течение соответствует экспериментальной установке, заявленной в [85], где высота, ширина и глубина прямоугольного канала составляют, соответственно, 17, 2000 и 2000 микрон, а сам канал помещен в торцевую часть измерительной секции ударной трубы. При атмосферном давлении длина свободного пробега молекул газа составляет приблизительно 0.1 микрона. При типичных режимах работы ударной трубы давление в измерительной секции на 1-3 порядка меньше атмосферного, что дает число Кнудсена, определяемое по минимальному размеру канала в диапазоне от 0.05 до 5. Геометрия задачи изображена на рис. 4.3.1. Рассматривается падение плоской ударной волны (УВ) на периодическую структуру, состоящую из щелей. В вычислительном отношении такая постановка задачи несколько проще, чем рассмотрение одной щели. Ввиду симметрии задачи расчет проводился в области, показанной на рис. 4.3.1, где CDE - стенка щели с диффузным отражением. Длина отрезка CD вдвое больше полуширины щели D. Температура стенки равна температуре невозмущенного газа, АС и HF - линии симметрии с зеркальными граничными условиями. На АН задано граничное условие, являющееся максвелловской функцией с параметрами за УВ, на EF - максвелловская функция с параметрами невозмущенного газа, BG - начальное положение УВ. Начальная структура падающей УВ в виде функции распределения молекулярных скоростей рассчитывается предварительно по решению одномерной задачи и помещается в область счета с центром на линии BG. Более подробное описание постановки задачи приведено в [1], [86].
На рис. 4.3.2, 4.3.3, 4.3.4, 4.3.5 изображены результаты вычислений для газа из молекул -твердых сфер для Кп = 0.2 и времен t = 9.6,38.4,86.4,123.6 соответственно. Вверху каждого рисунка показаны значения основных параметров газа - плотности, температуры, продольной компоненты скорости и локального числа Маха - вдоль центра щели. Рассмотрим течение при t = 9.6. Здесь на верхнем графике видна ударная волна, в которой происходит возрастание плотности и температуры, причем возрастание температуры предшествует возрастанию плотности. За фронтом УВ следует область контактного газа, где в отличие от случая невязкого газа, плотность и температура не постоянные и растут по направлению к входу в щель. Этот рост можно объяснить двумя причинами: торможением и охлаждением потока газа у стенок щели, и втеканием в нее горячего и плотного газа из области перед щелью, где формируется отраженная УВ. В отраженной УВ максимум плотности лежит у стенок преграды, а максимум температуры напротив входа в щель, что объясняется наличием потоков газа, направленных к линии симметрии. Скорость газа за отраженной УВ положительна и направлена в сторону щели. На рисунках полей температуры, скорости и плотности видно охлаждение и торможение потока газа у стенок, что приводит к возрастанию там плотности газа. При t = 38.4 процессы торможения и охлаждения газа продолжаются, и намечается локальный максимум плотности. В следующие моменты времени этот максимум усиливается и намного превышает значение плотности за отраженной УВ. При t = 123.6 локальное число Маха в центре канала уже не превышает 1. Течение переходит в дозвуковое и УВ исчезает.
На рис. 4.3.6, 4.3.7, 4.3.8, 4.3.9 изображены аналогичные распределения для Кп = 0.04. Здесь трение на стенках и охлаждение газа играют сравнительно меньшую роль. В начале процесса, при t = 9.6, скорость газа на линии симметрии течения за входом в щель превышает ее значение за падающей УВ. Происходит небольшое усиление УВ. На полях течения видно, что максимумы скорости и температуры в этот момент находятся не в центре щели, а на некотором расстоянии от линии симметрии. Структура УВ вблизи линии симметрии близка к структуре плоской УВ. В дальнейшем течение замедляется, максимумы температуры и скорости перемещаются на центральную линию, но локального максимума плотности, превышающего значение за отраженной УВ не наблюдается. Слева от входа в щель прослеживается формирование отраженной УВ. Ее интенсивность может быть определена по отношению плотностей в падающей волне п1 и отраженной волне п2 из соотношений Ренкина-Гюгонио для показателя адиабаты 7 = 5/3 получаем число Маха отраженной волны М = 1.69.
Было вычислено замедление УВ в щели по перемещению точки, где вторая производная графика продольной скорости равна нулю. Интересно отметить выпуклость вверх графика для Кп = 0.04 после t = 20.
Для контроля точности был проведен расчет для более мелкой скоростной сетки состоящей из 32 X 32 X 16 узлов в сравнении с расчетом для сетки из 26 X 26 X 13 узлов. Было выполнено сравнение распределений температуры и плотности на линии симметрии. Из сравнения можно заключить, что основной расчет выполнен с достаточной точностью.
Аналогично было выполнено сравнение распределений при использовании потенциала твердых сфер и потенциала Ленарда-Джонса для аргона с параметрами, взятыми при температуре 300К из [14]. Значительных отличий не наблюдается, что говорит о том, что модель твердых сфер хорошо описывает изучаемые процессы.