Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Литературный обзор математческих методов, применяемых для моделирования труднофомализуемых объектов 13
1.1 Анализ существующих теорий и математических методов описания некоторых трудноформализуемых объектов (на примере оценки кредитоспособности предприятий) 13
1.2 Среднеквадратичное приближение 20
1.2.1 Метрические и линейные нормированные пространства 21
1.2.2 Норма матриц 26
1.2.3 Наилучшие приближения в линейном нормированном и гильбертовом пространстве 27
1.3 Выпуклые множества 30
1.4 Выпуклые функции
1.4.1 Выпуклые функции одной переменной 30
1.4.2 Выпуклые функции многих переменных 31
1.4.3 Сильно выпуклые функции 32
1.5 Метод Ньютона для оптимизации функций 33
1.5.1 Метод Ньютона для нахождения экстремумов 34
1.5.1 О решении систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах с помощью метода Ньютона 37
1.6 Математический аппарат для оценки меры нечёткость множеств, порождаемых математической моделью Альтмана 41
1.7 Однокритериальные и многокритериальные задачи (принятия решения) оптимизации о возможности выдачи кредита 46
1.7.1 Задачи однокритериальной оптимизации 46
1.7.2 Задачи многокритериальной оптимизации 47
1.8 Выводы к первой главе
ГЛАВА 2 Разработка оптимизационного метода моделирования трудноформализуемых объектов на основетеории альтмана 52
2.1. Оптимизационный метод на основе теории Альтмана 52
2.1.1 Задача интегрального среднеквадратичного приближения множеств Альтмана полиномом достаточно высокой п-й степени 54
2.1.2 Функция принадлежности 61
2.1.3 Меры нечёткости множеств 63
2.1.4 Примеры использования метода 67
2.1.5 Имитационное моделирование 70
2.2 Метод Ньютона для нахождения экстремумов функционалов 75
2.2.1 Теорема о сходимости метода Ньютона 75
2.2.2 Тестовые примеры для анализа сходимости модификаций метода Ньютона
2.2.3 Влияние параметра регуляризации 82
2.2.4 Минимизация функционала 89
2.3 Выводы ко второй главе 91
ГЛАВА 3 Разработка математического метода принятия решения для трудноформализуемых объектов на основе теории бивера 93
3.1 Значимость показателей и рисков в теории Бивера оценки эффективности портфеля с помощью моделей математической оптимизации 93
3.2 Принятия решения в многокритериальных условиях оптимизации 99
3.3 Численный алгоритм принятия решения на основе модели Маркова при ограниченном горизонте планирования 109
3.4 Теория системы прогнозирования с помощью нейросетевых технологий с обучающими параметрами Бивера
3.4.1 Функции активации нейронной сети 120
3.4.2 Архитектура (типы) нейронных сетей: Многослойный персептрон 122
3.4.3 Алгоритм обратного распространения (back propagation) 124
3.5 Реализация программных комплексов для анализа финансового состояния при оценке кредитоспособности предприятия о возможности принятия решения выдавать кредита 132
3.5.1 Программный комплекс (Sini-Don) 133
3.5.2 Программный продукт (PDMSC) 135
3.5.3 Программный продукт (PVRisk) 138
3.6 Выводы ктретьей главе 140
Заключение 142
Список литературы
- Выпуклые функции одной переменной
- Меры нечёткости множеств
- Принятия решения в многокритериальных условиях оптимизации
- Реализация программных комплексов для анализа финансового состояния при оценке кредитоспособности предприятия о возможности принятия решения выдавать кредита
Введение к работе
Актуальность и степень разработанности темы. В настоящее время математическое моделирование является интеллектуальным ядром информационных технологий и встраивается в структуры глобального информационного пространства. Математическое моделирование призвано дать надёжные способы переработки обширной информации об объекте (процессе, явлении) в точное знание. В современных условиях, только совершенствование методов математического моделирования позволяет получить качественные научные результаты.
Трудноформализуемые объекты и проблема их математического моделирования, не поддаются исследованиям в нужной глубине, полноте и точности, обычными теоретическими методами. Для подобных объектов фундаментальные законы природы, классические подходы к моделированию не могут быть применимы в полной мере. Такие объекты встречаются в экономике, экологии, политике, где системы функционируют с решающим вмешательством людей. Трудноформализуемой проблемой, не имеющей чёткого алгоритма, является проблема надёжной оценки кредитоспособности предприятия.
Надёжная оценка кредитоспособности предприятия представляет собой сложную, ответственную и рисковую задачу для кредитующей организации (банка). Абсолютно надёжных качественных или приближённых аналитических методов, для таких проблем, не существует, но распространение получили относительно надёжные вероятностные математические модели Альтмана и Бивера, которые допускают дальнейшее совершенствование и повышение достоверности даваемых ими оценок.
С целью повышения надёжности оценок, перспективными представляются разработка методов оптимизации, дальнейшая разработка новых математических подходов к моделированию абстрактных объектов и явлений, возникающих в области кредитования. Эти фундаментальные объекты относятся к сложным системам, которые возможно совершенствовать только разрабатывая новые эффективные вычислительные методы и алгоритмы с применением современных компьютерных технологий, оптимизационных и других математических методов.
Решению указанных проблем способствуют вычислительные эксперименты, основанные на применении математических моделей, численных методов и алгоритмов, оформленных в виде комплексов проблемно-ориентированных программ.
Анализ, построение и разработка математических методов моделирования в данном направлении достаточно представлены во многих исследованиях зарубежных и российских учёных. Среди западных учёных выделяют таких как: Харриган Д., Альтман Э., Бивер В., Голдер М., Смитир Р., Таффлер Р., Лис Р., Спрингейт Г., Чессер Р., Тишоу Г., Дюран Д., Хикман В. и др. Среди работ данной тематики большой вклад внесли работы и российских исследователей: Бердникова Т.Б., Давыдовой Г.В., Грачева А.В., Ендовицкого Д.А., Донцовой Л.В., Беликова А.Ю., Зайцевой О.П., Ендовицкой А.В., Ковалева В.В., Кадыкова Г.Г., Коваленко А.В,
Никифоровой Н.А., Савицкой Г.В., Патласова О.Ю., Сайфулина Р.С, Сергиенко О.В., Федотовой М.А., Стояновой Е.С., Фомина П.А., Калайдина Е.Н., Недосекина А.О., Давниса В.В., Булгоковы И.Н. и др.
Актуальность указанной научной проблемы состоит в недостаточной математической разработанности методологии математического моделирования абстрактных объектов и явлений, возникающих в области кредитования. Следовательно, тему диссертационной работы, направленную на разработку фундаментальных математических основ теории кредитования, следует признать актуальной и практически значимой.
Целью диссертационной работы является разработка математических, оптимизационных, численных методов и алгоритмов, применяемых для исследования трудноформализуемьгх объектов на примере математических моделей Альтмана и Бивера.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1. В области математического моделирования:
Разработан и исследован новый математический метод моделирования трудноформализуемьгх объектов, основанный на известной пятифакторной модели Альтмана, с использованием оптимизации, среднеквадратичного интегрального приближения, теории нечётких множеств и имитационного моделирования.
Предложен и исследован новый математический метод моделирования трудноформализуемьгх объектов, основанный на многокритериальных моделях оптимизации Бивера и теории однокритериального портфеля.
2. В области численных методов:
Построена оптимальная аппроксимация функции Альтмана с помощью численного метода среднеквадратичного приближения в конечномерных линейных нормированных пространствах.
Для оптимизации целевых функций решена задача оптимизации функционалов предложенным регуляризованным методом Ньютона. Обоснованы оптимальные параметры для постоянного шага и параметра регуляризации.
Обобщён модифицированный классический метод Ньютона, известный из литературы, для решения систем нелинейных уравнений на класс задач отыскания экстремума функционалов и доказана теорема сходимости.
3. Разработаны комплексы программ, реализующих численные решения
впервые поставленных оптимизационных задач: «Программный комплекс для про
гноза кредитоспособности предприятия-заемщика (Sini-Don)», предназначенный для
прогноза будущего финансового состояния рассматриваемого предприятия; «Про
грамма для принятия решений по оценке кредитоспособности предприятий
(PDMSC)», предназначенная для оценки кредитоспособности предприятий при ис
пользовании методики предсказания банкротства на основе нечётких множеств и ма
тематического имитационного моделирования; «Программа оценки финансового со-
стояния предприятия (PVRisK)», предназначенная для определения доли (значимости) показателей Бивера и меру рисков в портфеле, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля (риск).
Объектом исследования являются математические модели, описывающие теории Альтмана и Бивера.
Предметом исследования является аппарат математического моделирования, методы оптимизации, численные методы, теория нечётких множеств, применённые к разработке математических методов, основанных на моделях Альтмана и Бивера.
Методологией и методом диссертационного исследования являются фундаментальные методы математического и имитационного моделирования, теория математической оптимизации и принятия решений, теория нечётких множеств, современные численные методы, нейросетевые технологии. Для численных расчётов использованы прикладные программные пакеты: Mathcad, Statistica (STATISTICA Automated Neural Networks).
Научная новизна диссертационного исследования состоит в разработке математического оптимизационного аппарата, который применяется к методам Альтмана и Бивера. Разработка эффективных численных методов и алгоритмов для реализации предложенных новых оптимизационных методов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента и обладающих новыми возможностями по сравнению с существующими.
Научная новизна реализована в следующих результатах, полученных автором:
В области математического моделирования:
Разработан и исследован новый математический метод моделирования труд-ноформализуемых объектов, основанный на известной пятифакторной модели Альтмана, научная новизна которого проявляется в следующем: 1) дискретные значения вероятностей банкротства в модели Альтмана заменены на непрерывные путём привнесения в новый метод функции наилучшего интегрального приближения; 2) для оценки степени принадлежности вероятностей к множествам Альтмана применена теория нечётких множеств; 3) для тестирования новых методов использовано имитационное моделирование и тестовые примеры. Показана универсальность математического моделирования трудноформализуемых объектов на модели Альтмана. (С. 52 -70)
Предложен и исследован новый математический метод моделирования трудноформализуемых объектов, основанный на многокритериальных методах оптимизации Бивера и теории однокритериального портфеля: 1) для однокритериальной модели Бивера разработаны новые оптимизационные подходы для минимизации рисков путём определения долей показателей Бивера; 2) для многокритериальной модели Бивера предложен новый оптимизационный подход для минимизации рисков, основанный на свёртке критериев. Показана универсальность математического моделирования трудноформализуемых объектов на модели Бивера. (С. 93 - 109)
В области численных методов:
Для реализации численных оптимизационных методов построены целевые функции для моделей на основе метода внешних штрафных функций. Для оптимизации целевых функций используется метод Ньютона и его регуляризованные модификации. Предлагаются оптимальные параметры шага и регуляризации, полученные с помощью численных экспериментов, выполненных на тестовых примерах. Разработанные методы оптимизации тестировались на математических усовершенствованных моделях Альтмана и Бивера. (С. 75-91)
Обобщён известный модифицированный метод классического метода Ньютона для решения систем уравнений на класс задач отыскания экстремума путём специального выбора итерационного параметра на каждом итерационном шаге для расширения области сходимости для оптимизации целевых функций. Обобщение достигалось путём специального выбора итерационного параметра на каждом итерационном шаге для расширения области сходимости. Доказана теорема сходимости. (С. 75 - 80)
В области создания комплексов программ:
В результате теоретического исследования и численных экспериментов
разработана оригинальная структура в виде комплекса программ, позволяющая осу
ществить адаптацию, обоснование и тестирование разработанных оптимизационных
методов, основанных на теориях Альтмана и Бивера: разработаны комплексы про
грамм «(Sini-Don)», «(PDMSC)», «(PVRisK)», реализующие новые численные реше
ния вышеуказанных проблем. (С. 133 - 140)
Научная и практическая значимость заключается в возможности применения организациями (коммерческими банками) и предприятиями разработанных новых математических методов для повышения обоснованности принятия решения о возможности выдачи кредита. Результаты, представленные в диссертационной работе, могут быть базой для дальнейших научных исследований в области математического моделирования экономических процессов. Изложенный в диссертации материал по применению оптимизационных методов может служить частью спецкурсов по построению математических моделей реальных процессов в данной предметной области. Программный комплекс зарегистрирован в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам и доступен другим пользователям.
Результаты диссертации используются в организации «Kondo Djiguima» Республики Мали.
Результаты диссертации используются в учебном процессе ФГБОУ ВПО «КубГУ» факультета математики и компьютерных наук на кафедре вьшислительной математики и информатики в лекционных курсах для студентов магистратуры направления «Вычислительная математика» в курсах «Компьютерные и вычислительные методы», «Экономико-математические методы и вычислительные алгоритмы» и в курсе «Методы оптимизации» для бакалавриата.
Достоверность и обоснованность полученных теоретических и практических результатов обоснованы строгой математической постановкой проблемы, применением точных методов современных информационных технологий (математических пакетов программ), правильным использованием численных и приближённых методов. Результаты расчётов коррелируют с результатами вычислительных экспериментов других авторов.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Новый математический оптимизационный метод моделирования трудно-формализуемых объектов, основанный на пятифакторной модели Альтмана.
-
Имитационный метод компьютерного моделирования для усовершенствованной трудноформализуемой теории Альтмана.
-
Новый оптимизационный математический метод моделирования трудно-формализуемых объектов, основанный на модели Бивера и теории однокритериально-го портфеля.
-
Новый метод построения и алгоритм принятия решений, основанные на теории свёртки критериев.
-
Регуляризованные модификации метода Ньютона и его оптимальные параметры.
-
Теорема о сходимости модифицированного метода Ньютона со специальным выбором итерационного параметра.
-
Комплексы проблемно-ориентированных программ, реализующих математические вычислительные методы для моделирования трудноформализуемых объектов, на примерах моделей Альтмана и Бивера.
Апробация диссертационного исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования были доложены и обсуждены на следующих конференциях: международной научной конференций «Экономика и менеджмент» (г. Паттайа, Бангкок, 2012 г.); международной научно-практической конференции «Экономическое развитие России в условиях глобальной нестабильности: тенденции и перспективы» (г. Сочи, Краснодар, 2013 г.); IV международной конференции «Современные концепции научных исследований» (г. Москва, 2014 г.); конференции International Research Journal Conference VII ( г. Екатеринбург, 2015 г.).
Публикации и свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. По теме диссертации опубликовано 17 научных трудов, в том числе 14 статьей из них 6 - в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ. 1 - в иностранном журнале с высоким импакт-фактором. Получены три (3) свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.
Структура работы. Диссертационная работа включает в себя следующие перечисленные части: введение, три главы, заключение, список использованной литературы и приложение. Основная часть диссертационной работы изложена на 164 стра-
Выпуклые функции одной переменной
Математическое моделирование представляет собой неизбежную составляющую научно-технического прогресса. Так как любые системы (экономические, технические, и т.д.), изучаемые современной наукой, не останавливаются только на теоретических методах, а переходят из теории на практику, зачастую через математическое моделирование, то современную науку нельзя себе представить без широкого применения математических методов и связанных с ней численного и компьютерного моделирования [46, 49, 79].
Сегодняшний день математическое моделирование вступает в свой новый принципиальный важный этап развития, выстраиваясь в структуры информа ционного общества. Без владения информацией невозможно решать все более сложные и крупные проблемы, стоящие перед человеческим сообществом. Однако, информация как таковая мало что даёт для исследования, прогноза, анализа, принятия решений и контроля за их исполнением. Необходимы надёжные способы переработки информационных ресурсов в точное научное знание, что достигается с помощью математического моделирования [56, 79, 98].
Термин «трудноформализуемый» объект, обычно, обозначает систему, взаимодействующую с человеком, где важен «человеческий фактор». Например, такие системы как социальные и экономические системы. Оценка кредитоспособности представляет собой комплексную проблему математического моделирования [79, 91]. Оценка кредитоспособности может рассматриваться как одна из важных теоретических и практических научных проблем экономики. Она занимает важное место среди проблем математического моделирования «трудноформализуемых» объектов [56, 91].
На различных этапах жизненного цикла, предприятия часто сталкиваются с необходимостью финансирования своей деятельности. Необходимость в финансировании связана с процессами их развития и инвестиционным финансированием. Поэтому они вынуждены обратиться к рынкам капитала и/или использованию банковского финансирования в краткосрочной, среднесрочной или долгосрочной перспективе. Однако большинство предприятий не имеют доступа к рынкам капитала. Поэтому они вынуждены прибегать к кредитам и банковским услугам для финансирования своей деятельности [31, 47, 74, 115].
Принятие решения о выдаче кредита всегда несёт определённый риск для организации (банка). Поэтому ему необходимо иметь полную информацию о степени своего риска, а также необходимо, оценить способность заёмщика вернуть полученные денежные средства с предоставленными процентами [31, 32, 45, 47].
Чтобы уменьшить влияние «человеческий фактор» для оценки кредитоспособности предприятия, стремится использовать количественные, объектив ные оценки, дополненные качественными показателями или суждениями экспертов.
В научной литературе имеется ряд количественных методик, математических методов, которые моделируют состояние предприятия, как трудноформа-лизуемого объекта. Среди этого ряда существуют два основных подхода моделирования: -первый подход основан на финансовых данных и включает ключевые количественные показатели. Такой подход представляет собой дискриминант-ные регрессионные методы. -второй относится к прогнозированию банкротства, основанный на статистических изменениях показателей обанкротившихся предприятий и сравнении с данными исследуемых компаний.
В этих основных подходах ключевым является выбор оптимально значимых финансовых показателей, обеспечивающих требуемую достоверность и надёжность даваемых оценок кредитоспособности [47, 73, 76].
С целью повышения достоверности надёжности оценки в последнее время многими учёными было разработано значительное количество различных математических моделей, дающих количественные оценки. Среди учёных выделяются некоторые зарубежные, такие как: У. Бивер, Э.Альтман, Р. Таффлер, Д. Фулмер, Г. Тишоу, Ж. Коннан, М. Гольдер, Г. Дж. Ольсон, Стрингейт, Р. Лисе, А. Стрикленд и другие [86, 87, 100, ПО, 121, 126, 134]. В России учёные Р.С. Сайфуллин и Г.Г. Кадыков адаптировали теория «Х-счет» Э. Альтмана к российским реалиям. О.П. Зайцева, Р.С. Сайфуллин и Г.Г. Кадыков разработали новые методы для российских предприятий [28, 31, 32, 40, 84, 85].
В работах М.А. Федоровой [85], В.Е. Гаврилова, Л.Т. Гиляровской и А.А. Вехоревой [31, 32], В.В. Витрянского, С. Зинценко, Н. Лившица, В. Лопача, О. Никитина, Ю. Свита и др. [28, 31, 84] подробно рассматриваются основные критерии и методы моделирования оценки кредитоспособности и вероятности банкротства предприятий, а также анализируются количественные и качественные показатели, влияющие на финансовую устойчивость предприятий. Основными моделями (зарубежными и российскими), моделирующими оценки кредитоспособности, являются: модель R-счёт [96], модели Альтмана [100, 101], модель системы Бивера [ПО], модель Фулмера [121], модель скорин-га Credit-Men Депаляна, модель Спрингейта, модель Z-счета Лисса [76, 122], модель Тоффлера-Тисшоу [136], модель Чессера [112], модель Сайфуллина и Кадыкова [85], модель Зайцевой [40], теория учёных Иркутской экономической академии, методика оценки Савицкой [78], теория учёных Московского университета печати, методы учёных Нижегородского Национального исследовательского университета, векторная теория, и другие [47].
Несмотря на наличие многочисленных моделей, существуют разные точки зрения на оптимальное использование количества показателей для оценки кредитоспособности. Например, существуют двухфакторная, четырёхфактор-ная, пятифакторная модели и т.д. При этом многие учёные согласны с тем, что можно выделить следующие основные модели: модель Альтмана, модель Бивера, рейтинговые методы, оптимизационные методы [86, 100, 101, ПО].
Оптимизационные методы основываются на методах математического программирования, позволяющих уменьшить вероятность ошибки кредитующей организации при принятии решения о возможности выдачи кредита и максимизировать прибыль (ожидаемые доходы) с учётом различных ограничений при представлении кредита [76, 77, 86, 134].
Теория Альтмана. Американский учёный Эдварда Альтмана разработал впервые в 1968 г. Z-теория Альтмана [86, 100, 101]. Данная теория была предназначена для анализа крупнейших предприятий, акции которых котируются на бирже. Теория Альтмана является линейной функцией от основных финансовых показателей предприятий.
Меры нечёткости множеств
Рассмотрим конкретный пример применения метода Альтмана с применением разработанных полиномов п-и степени Ln(a,z), « = {3,5,6,7,9}, как метод оценки вероятности банкротства при оценке кредитоспособности.
Используя бухгалтерский баланс предприятия ОАО «Ленмо-локо» [71] за 2010-й г., вычислим значения коэффициентов fa и величины z-Альтмана (2.1) с применением разработанных n-й полиномов степени Ln(a,z),
С применением среднеквадратического приближения полинома п-и степени Ln (a, z) є [0;lj 5 « = {3,5,6,7,9}, полученные результаты показывают, что именно расчёты полинома 6 или 7 степени достаточно хорошо аппроксимируют функцию Альтмана без излишних условий налагаемых на аппроксимирующую функцию L„(z). Аппроксимирующие полиномы степени меньшей пяти не дают возможности однозначно оценить область, в которую попадают значения вероятности р при различных z.
Пример 2.2. Используя бухгалтерский баланс предприятия ОАО «Концерн Росэнергоатом» за три года (2009 - 2011 и 2013 гг.) [70], вычислим значения коэффициентов h и величины z-Альтмана (1) (см. таб. 2.2). банкротства маленькая», поэтому малость величины р вероятности банкротства с наибольшей возможной, в рамках данного метода, достоверностью. Это означает что, что предприятию не грозило банкротство и прогноз его кредитоспособности надёжен с максимально возможной степенью надёжности.
Пример 2.3: Рассчитаем различные коэффициенты Альтмана при использовании статистических бухгалтерского баланса данных предприятия ОАО «Теплосеть» [72] за три года (2009 - 2011 г.). Полученные результаты представлены в таблице 2.3. Таблица 2.3. Значения показателей z - Альтмана и вероятность банкротства предприятия ОАО «Теплосеть»
За весь период рассмотрения (то есть 2009 - 2011 и 2013 гг.) значение параметра Альтмана оказалось z з. Это означает, что оно относится к множеству х4 (возможность банкротства маленькая), следовательно, мера нечеткости относящейся к этому же подмножеству х4 по разработанному методу наименее нечетко задано по сравнению с другими и данное суждение наиболее достоверно (Х2 - Хх - Хъ - Х4), как и в предыдущем случае.
Из таблицы видно, что из трёх лет, исследуемое предприятие два раза от носится к х2 (возможность банкротства средняя) и один раз к х4 (возможность банкротства маленькая), причём первые два вывода за 2009 и 2010 г. заслуживают меньшего доверия, чем последний третий случай, относящийся к 2011 г., так как располагаются слева в упорядоченном ряду Х2 - Хх - Хъ - Х4, тогда как множество Х4 является наиболее чётким. Можно сделать вывод о том, что проделанные расчёты показали, что предприятию не грозит банкротство, причём и в данном случае с достаточной степенью достоверности. К сожалению сведения о предприятии за последующие года отсутствуют.
В последнее время все большую популярность среди математических подходов, для воспроизведения исследуемых процессов или явлений приобретает имитационное моделирование [92]. Имитационная теория - это раздел математического моделирования, которая позволяет имитировать деятельность какого-либо сложного объекта и помогает в интерпретации результатов. Особым классом математических моделей являются имитационные модели. Такие модели представляют собой компьютерную программу, которая воспроизводит события, происходящие в реальной системе. Преимуществом имитационных моделей является возможность подмены процесса смены событий в исследуемой системе в реальном масштабе времени на ускоренный процесс смены событий. Результатом работы имитационной модели являются собранные в ходе наблюдения за протекающими событиями статистические данные о наиболее важных характеристиках модели: временах реакции, параметрах модели и т.п. [92].
Особенно эффективно при проведении экспериментов с дискретно непрерывными моделями сложных экономических процессов для получения и отслеживания их динамики в экстремальных ситуациях, связанных с рисками [92].
В модели Альтмана исходные параметры kt, образуют входы системы (входные переменные), позволяющие получить значение параметра z-Альтмана. Система может переходить из одного состояния в другое под действием слу чайных входных переменных kt. Величина z будет случайной, так как зависит от случайных показателей кі. Величины кі задаются случайным образом в пакете MathCAD. Функция вырабатывает случайные входные переменные системы, затем последовательно с помощью метода Альтмана, аппроксимирующей функции Ьь, функции принятия решения 1{р) и алгоритма вычисления предпочтения /л получаем номер множества / того, которое принадлежит ряду множеств упорядоченных по мере нечёткости Х2 - Х1 - Хъ - ХА
Имитационное моделирование позволяет имитировать во времени различные ситуации как для одного испытания, так и заданного их количества. Результаты испытаний будут определяться случайным имитационным характером выбора входных параметров. По выбранным имитационным параметрам можно получить устойчивую статистику. Теория Альтмана с применением вычислительной функции pj =L6(zj) позволяет действительные реальные значения входных параметров предприятий заменить на случайные значения имитационного метода.
Разыгрывалась имитация случайной величины z, которая отвечает некоторому набору случайных величин ki. Параметр z задавался случайным образом с применением функции, порождающей случайно равномерно распределённую величину на отрезке [0, 3.5] области определения функции pJ = L6(zJ). Каждому входному значению случайного скаляра zj находилась вероятность р3 =L6(zJ) и с помощью функции принадлежности 1{р) находился индекс и следовательно, множество Хг, к которому принадлежит предприятие, причем вычисляется мера принадлежности Мх\Р/ отнесения предприятия к полученному множеству Хі в системе упорядоченных по степени нечёткости (доверия) Х2 ХХ ХЪ ХА.
Пример 2.5. Пусть генерируются случайные входные переменные с помощью функции random. Например, конкретная единичная реализация случайной равномерно распределённой величины на промежутке [0, 3.5] оказалась равной z = 2.710. С помощью метода Альтмана и аппроксимирующей функции L6 (z) получим p = L6 (z) = 0.266. На основе полученного значения данной функции, выбирается индекс / с помощью функция принятия решения i = I(p) = 2. Функция принятия решения 1(р) позволяет выбрать в данном случае индекс i = 2, отвечающий множеству Х2 то есть рассматриваемый случай относится к Х2 (возможность банкротства средняя). Мера предпочтения множества Х2 занимает в упорядочении множеств Х2 - Хх - Х3 - Х4 первое место справа, причем вычисляется доверительная мера принадлежности /л2 (p) = JuI (0.266) = 0.56 отнесения предприятия к полученному множеству Х2 в системе упорядоченных по степени нечёткости.
Принятия решения в многокритериальных условиях оптимизации
Путём решения задачи среднеквадратичного программирования различными методами оптимизации, изложенными в главе 1. В качестве заданных точек Xt, выбор которых необходим в методике [35] естественно выбрать столбцы матрицы Хт . Получились значения ах =0,83, а2 =0,17 которые, очевидно описывают значимости критерий. Они после вычисления равны ах = 0,83; а2 = 0,17. Вычисляем хг - Н1= 95,02; при х2 - Н2 = 18,21; х3 - Н3 = 0. Таким образом Hl = 95,02 является максимальным фактором и указанием лицу принимающего решение о том, что банку рекомендуется придерживаться второй стратегии х2, т.е. выдавать кредит исследуемому предприятию, исходя из максимальности средневзвешенного линейного критерия доходности и риска.
Численный алгоритм принятия решения на основе модели Маркова при ограниченном горизонте планирования
Решение задач построения моделей принятие решений остаётся в настоящее время слабо-формализованной областью математики, где качество получаемых решений значительно зависит от собственной интуиции и опыта ЛПР [62]. Сегодняшний день существует значительно много различных методов принятий решения, подходящих для решения задач, и одновременно с другой отсутствуют единые формализованные рекомендованные методы для решения задачи о возможности выдачи кредита. Поэтому, предложена в этом параграфе методика построения количественной математической модели, основанной на моделях Марковы принятия решения о возможности выдачи кредитором кредита исследуемому предприятию-заёмщику с принципом оптимизации, которой состоит в максимизации предполагаемого ожидаемого дохода.
Предположим, что лицо принимающее решения (ЛПР) со стороны кредитующей организации (банка) рассматривает две возможности принятий решения (стратегии): Хх - выдавать, Х2 - не выдавать предприятию кредит. Так же предлагается, что в зависимости от состояний предприятия S., j = 1,2,3 (групп 1, 2, 3) (см. п. 3.2), в которых последовательно оказывается предприятие, может быть вычислен доход, приносимый кредитующей организации (банку). Если, например, в момент времени JV", предприятие находилось в состоянии и в момент (iV + l) это состояние сохранилось, то, доход будет считаться максимальным. Данные вычисленные коэффициенты системы Бивера за N лет любого предприятия имеют следующий общий вид матрицы К: где строка матрицы соответствует количеству наблюдаемых N лет, а столбцы -коэффициенты Бивера (на пример элемент К32 - коэффициент Кз за второй наблюдаемый год).
В этой матрице любой коэффициент в любой год принадлежит одной из трёх групп. Поэтому можно с помощью этой матрицы находить вероятности каждого коэффициента Бивера находиться в одной из трёх групп где S=5 - количество показателей Бивера, п! - количество случаев принадлежности / коэффициента kt ку-ой группе; N — количество наблюдаемых лет (в рассматриваемом случае N =3).
Пусть известны статистические данные исследуемого предприятия на протяжении трех предшествующих лет i = \,N (выбор произвольно, то он связан с количеством имеющиеся состояния S (і)). С помощью этих данных, вычисляем коэффициенты ,/ = 1,---,5, системы У. Бивера и вероятности р\ того, что исследуемое предприятие в момент i = \,N находится В S (І) состоянии, будут составлять матрицу переходных вероятностей [93].
Имея матрицы Р и R прогнозируются результаты функционирования системы в конечном ограниченном горизонте планирования. В рассматриваемом случае множество допустимых решений G = {Xl,X2], где Хх - решение выдавать кредит предприятию, а Хх - не выдавать. Следовательно, матрица вероятностей равна [27]. определяет ожидаемый доход за і -й этап, если после (i -1)-ого этапа предприятие находилось в состоянии Sj и решение Xs е G было принято.
Предлагается, что ЛПР может интересоваться максимизации ожидаемого дохода при определённом изменении состояния предприятия S . Так, например, ЛПР может считать, что если после (і -і)-ого этапа предприятия находится в состоянии S , то к конкретному значению / -ой стратегии необходимо принимать решение X Е G.
При конечном ограниченном горизонте планирования, т.е. (N оо) задачу принятия решений Марковы с целью оптимизации дохода, состоящая в максимизации предполагаемого ожидаемого дохода за N этапов, представляется как задачу динамического программирования.
Предположим, что ft (j) - это оптимальный доход за весь период планирования т.е. более максимальный доход в принципе оптимизации за этапы с номерами i, (i + \),---,N, при условии, что после і-то этапа исследуемое предприятие находится в состоянии S , j = 1,2,3. Так как горизонт планирования ограничен, то для оптимизации ожидаемых доходов выполняются следующие условия fN+1(jhO,j = 1,2,3. Оптимальный предполагаемый возможный доход ft(j) на этапах планирования с номерами i, (i + l),---,N складывается из двух соотношений. Первое соотношение является оптимальным доходом на (N + \)-м этапе планирования, обусловленный переходом исследуемое предприятие из S состояния, в котором оно находилось на і -ом этапе планирования, в любое другое допустимое состояние [50], j = \,m, вероятность того, что исследуемое предприятие после (і-і)-го этапа планирования будет в состоянии S и допустимое Xs решение было принято; r?( + lXj - доход предприятия в состояния Sj, в котором оно находилось после N-ото этапов в результате принятия Xt, из множеств допустимых решений G. Второе соотношение оптимального дохода ft (j) определяется совокупностью оптимальных доходов fi+l{j), с переходных вероятностей
Предположим, что в рассматриваемом примере кредитующая организация (банк), рассматривает возможность предоставить рассматриваемому предприятию кредит. Для этого банку необходимо рассматривать его оптимальную стратегию поведения, то есть максимизировать суммарный ожидаемый доход, который банк получит за предоставление кредита. Известно, что рассматриваемое предприятие имеет три возможных определяемых состояния S: состояние 1 - благополучные компании, состояние 2 - финансовое состояние таково, что предприятие в «5 лет до банкротства», состояние 3 - «год до банкротства». Множество допустимых решений G = {Х1,Х2}, где Хх - решение выдавать кредит предприятию, а Х2 - не выдавать. С помощью (3.3.1) составляется матрица Р переходных вероятностей данного исследуемого предприятия [27].
Реализация программных комплексов для анализа финансового состояния при оценке кредитоспособности предприятия о возможности принятия решения выдавать кредита
STATISTICA предлагает широкий спектр инструментов статистического анализа, управления и представления данных. От импорта базы данных или таблиц, полученных из исследований и опросов, с которыми можно установить описательную статистику, просчитать вероятности, провести типологии с помощью средств интеллектуального многофакторного анализа [90]. Кроме того, в пакете STATISTICA входит множество инструментов для моделирования и широкого круга инструментов диаграммами. В составе прикладных программ пакета STATISTICA входит программа Neural Network (Искусственные нейронные сети), предназначен для моделирования и прогнозирования связей между данными или комплексными функциями.
Искусственные нейронные сети, широко известный под аббревиатурой ИНС [23] (искусственная нейронная сеть) являются нелинейными математическими моделями типа «черный ящик», способные устанавливать отношения между системой входов и выходов. Эффективность их работы в области нелинейного моделирования было доказано в нескольких областях техники и науки.
Можно с помощью пакета определить сети частично, подключенные в некоторых конкретных сетях предыдущего слоя. Тем не менее, в большинстве приложений, сетей полностью подключены являются предпочтительными, и это тип сети, который предлагается в STATISTICA Нейронные Сети Автоматизированных.
Как и большинство статистических моделей, нейронные сети способны выполнять различные типы задач, в том числе регрессии, классификации и прогноза на основе входных набора значений [90].
MathCAD [75, 99] - это математический и технический редактор, позволяющий провести разнообразные научные и инженерные расчеты, от элементарной арифметики до реализации сложных задач численными методами. Благодаря легкому применению, структурированием функций и методов в библиотеке, наглядности математических действий, а также аппарату представления результатов, MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением для решения технических задач. Также MathCAD является программным обеспечением для решения, анализа и совместного использования наиболее важных инженерных и технических задач. Он предлагает удобный интерфейс, выполняет мгновенный пересчет и базируется на открытой архитектуре, которая поддерживает .NET и собственный формат XML [75, 99].
Данная программа под названием «Программный комплекс для прогноза кредитоспособности предприятия-заемщика (Sini-Don)» предназначена для прогноза будущего финансового состояния рассматриваемого предприятия. Она позволяет кредитующей организацией (ЛПР) на основе имеющегося бухгалтерского (статистического) данных, выделить три класса кредитоспособности предприятия. Но, в отличие от известных (обычных) методик, он позволяет получить не только атрибутивную оценку прогноза финансового состояния заемщика, но и ускорить принятие решения о возможности выдачи данному предприятию требуемого кредита. С помощью (Sini-Don) можно выделить три класса кредитоспособности предприятия.
Программа «Программа для принятия решений по оценке кредитоспособности предприятий (PDMSC)» предназначена для оценки кредитоспособности предприятий при использовании методики предсказания банкротства предприятия (модель Альтмана) на основе нечётких множеств и математического имитационного моделирования. Она позволяет по заданным значениям метода Альтмана провести ранжирование рассматриваемых нечетких подмножеств, порождающих данной теории и вычисляет меру принадлежности отнесения предприятия к полученному упорядоченному нечеткому множеству по степени нечеткости (доверия). В отличие от известных методик, она позволяет принимать обоснованное решение об оценке кредитоспособности предприятия и ускорить принятие решения о возможности выдачи требуемого кредита.
Диалоговое окно вычисления значения значимости показателей и рисков предприятия. С помощью программной среды Mathcad четырьмя способами оптимизации (аналитическим методом, с помощью встроенной функции минимизации и блока Given, методом штрафных функций и методом градиентов), находим минимальные значения а , г = 1,...,5 и минимальную дисперсию (минимальные значения меры риска ошибки).