Введение к работе
Актуальность работы. Первичными в процессе познания всегда являются результаты наблюдений. Создание абстрактной модели обычно связано со «сжатием» информации, содержащейся в результатах наблюдений. Это объясняется тем, что каждый отдельный результат наблюдений является случайным, поэтому построение адекватной модели реального объекта может быть осуществлено только на основе многократных наблюдений. Случайность каждого результата наблюдений объясняется, с одной стороны, принципиальной невозможностью учесть все многообразие факторов, действующих на данный конкретный объект, каким бы простым он ни казался на первый взгляд, и сложными взаимосвязями этих факторов, а с другой стороны несовершенством естественных или искусственных средств наблюдения.
Задача моделирования формулируется следующим образом: по результатам наблюдений над входными и выходными переменными системы должна быть построена оптимальная в некотором смысле модель, т. е. формализованное представление этой системы.
Построению моделей по результатам наблюдений посвящено необозримое число работ. Большое внимание в этих работах уделяется моделированию линейных динамических объектов, описывающихся разностными уравнениями с неизвестными коэффициентами. Среди разнообразных алгоритмов моделирования, предназначенных для оценивания коэффициентов уравнений по наблюдаемым данным, чаще всего используются рекуррентные алгоритмы, позволяющие осуществить оценивание параметров системы в режиме нормальной работы объекта.
Проблема моделирования динамических систем с помехами во входных и выходных сигналах, несомненно, является более сложной,
чем когда зашумленным является только выходной сигнал. В настоящее время наблюдается активное развитие состоятельных методов моделирования систем с помехами во входных и выходных, при неизвестном распределении помех.
Целью диссертационной работы является разработка новых математических методов построения стохастических параметрических моделей по результатам натурного эксперимента в условиях априорной неопределенности (отсутствии информации о законе распределения помех) на основе метода стохастической аппроксимации, а также создание и тестирование программного обеспечения для рекуррентного алгоритма оценивания параметров моделей многомерных по входу линейных динамических систем, при наличии помех во входных и выходных сигналах.
В соответствии с поставленной целью работы основными задачами исследований являются:
1. Обзор существующих методов состоятельного параметрического оценивания линейных моделей динамических объектов с помехами во входных и выходных сигналах, анализ их достоинств и недостатков;
-
Доказательство сильной состоятельности оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) со стационарными белошумными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм;
-
Доказательство сильной состоятельности оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) с нестационарными автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм;
-
Разработка, обоснование и тестирование численных методов: оптимального выбора значений стягивающего множителя, исследования способов ускорения сходимости;
-
Создание на основе предложенных алгоритмов прикладного программного обеспечения.
Методы исследования. В работе использованы:
теория вероятностей, в том числе теория оценивания;
математическая статистика;
теория оптимизации;
теория матриц,
линейная алгебра;
прикладное программирование.
Достоверность и обоснованность научных положений подтверждается соответствием результатов теоретических исследований, экспериментальным тестам.
Научная новизна. Все основные научные результаты диссертации являются новыми:
1. Доказана сильная состоятельность оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) со стационарными белошумными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм;
-
Доказана сильная состоятельность оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) с нестационарными автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм;
-
Разработаны, обоснованы и тестированы численные методы: оптимальный выбор значений стягивающего множителя, способы ускорения сходимости;
-
На основе разработанных алгоритмов получения состоятельных оценок, создано программное обеспечение для нахождения оценок многомерных по входу линейных динамических систем.
Практическая значимость. Практическая ценность заключается в том, что расширен круг задач, при решении которых обосновано применение рекуррентных алгоритмов оценивания. Полученные в диссертации условия состоятельности могут быть использованы при проектировании инженерных приложений. Создано программное обеспечение, реализующее разработанные алгоритмы параметрической идентификации линейных динамических объектов, позволяющее получать сильно состоятельные оценки параметров. Созданное программное обеспечение может послужить основой создания новых высокоэффективных автоматических систем управления технологическими процессами (АСУТП), а также построение моделей в химии, эконометрике, машиностроении, экологии, геофизических исследованиях.
Реализация и внедрение результатов. Результаты разработки и исследования алгоритмов параметрической идентификации линейных динамических объектов, описываемых с помощью линейных разностных уравнений, внедрены в учебный процесс Самарской государственной академии путей сообщения на кафедре «Мехатроника в автоматизированных производствах». Использование полученных результатов способствует повышению эффективности учебного процесса.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Доказательство сильной состоятельности оценок, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма моделирования многомерной по входу линейной динамической системы (и ее частных случаев) с помехами во входных и выходных сигналах, на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм.
2. Доказательство сильной состоятельности оценок, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма моделирования многомерной по входу линейной динамической системы (и ее частных случаев) с нестационарными автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах, на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм.
3. Численные методы: оптимальный выбор значений стягивающего множителя и исследование способов ускорения сходимости предложенных алгоритмов.
4. Прикладное ПО на основе предложенных алгоритмов.
Апробация работы. Результаты основных положений диссертации доложены, обсуждены и утверждены на: 1) 15-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, январь, 2008 г.); 2) Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-21)» (г. Саратов, май, 2008 г.); 3) 16-й Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (г. Новороссийск, июнь, 2008 г.); 4) 8-й Международной научно-практической конференции «Информационно-вычислительные технологии и их приложения» (г. Пенза, июнь, 2008 г. ) 5) 3-й Научно-практической конференции с международным участием «Математичне та iмiтацийне моделювання систем. МОДС ’2008» (Украина, г. Киев, июнь, 2008г. ). 6) 7-й Российской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (г.Томск, сентябрь, 2008 г.) 7) 11-й международной конференции «Моделирование, идентификация, синтез систем управления» (Украина, г. Алушта, сентябрь, 2009 г.) 8) 9-й Международной конференции по математическому моделированию (Украина, г. Феодосия, сентябрь, 2008 г.) 9) 9-й Международной научно-практической конференции «Информационно-вычислительные технологии и их приложения» (г. Пенза, ноябрь, 2008 г. ) 10) 5-м Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, ноябрь, 2008 г. ). 11) 16-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, январь, 2009 г.); 12) Международной Сибирской конференции «Siberian Conference on Control and Communications» (г. Томск, март, 2009 г.); 13) 6-й Международной конференции «Математическое моделирование в образовании науке и производстве» (Приднестровье, г.Тирасполь, июнь, 2009 г. ) 14) Международной конференции «Информационные технологии и информационная безопасность в науке, технике и образовании “Инфотех-2009”» (Украина, г.Севастополь, сентябрь, 2009 г.) 15) 12-й международной конференции «Моделирование, идентификация, синтез систем управления» (Украина, г. Алушта, сентябрь, 2009 г.) 16) 6-м Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, ноябрь, 2009 г.). 17) 13-й Международной конференции имени академика М. Кравчука (г. Киев, март, 2010). 18) Международной конференции “Automation,Conrol and Information Technology” (г. Новосибирск, июнь, 2010). 19) II Всероссийской конференции с международным участием “Математическое моделирование, численные методы и информационные системы” (г. Самара, 14-15 октября, 2010).
Результаты диссертации были использованы в работе “Рекуррентная параметрическая идентификация многомерных линейных динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах”, которая победила в областном конкурсе “Молодой ученый 2010” в номинации “аспирант".
Публикации. Самостоятельно и в соавторстве по материалам диссертации опубликовано 27 печатных работ (в том числе 6 работ в изданиях, рекомендованных ВАК), получено 2 свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, выводов по главам, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложения. Объем работы: 153 страницы основного машинописного текста, 51 рисунок, 12 таблиц. Библиографический список использованной литературы содержит 112 источников.
