Самоорганизация и гиперболический хаос в автоволновых системах Купцов, Павел Владимирович

Введение к работе

Актуальность работы. Нелинейные системы со сложной динамикой возникают в самых разных предметных областях, и зачастую им отвечают одни и те же универсальные математическое модели. При этом так как реальные системы почти всегда включают в себя большое количество взаимодействующих элементов, для их исследования наиболее адекватными являются математические модели с большим числом степеней свободы. Несмотря на значительный многолетний интерес исследователей к таким системам, количество не решённых задач по-прежнему велико из-за их высокой сложности и ресурсоёмкости. В этой связи актуальными являются разработка новых универсальных математических моделей нелинейных систем высокой размерности и их исследование, в том числе с привлечением новых методов.

Одним из главных инструментов моделирования и изучения хаотической динамики является ляпуновский анализ. В его основе лежат классическая теория устойчивости Ляпунова, мультипликативная эргодическая теорема, а также алгоритм вычисления этих показателей ^[3'^4]. Действуя формально, методы ляпуновского анализа можно воспроизвести без изменений к системам с любой размерностью фазового пространства: низкой или высокой. По этой причине специфика и тонкости применения ляпуновского анализа к системам высокой размерности остались по большей части не изученными.

В последнее время интерес к ляпуновскому анализу существенно вырос в связи с открытием эффективных алгоритмов вычисления так называемых ковариантных ляпуновских векторов ^[5'^6], которые открывают новые возможности для изучения хаоса в системах высокой размерности. Соображения о существовании ковариантных ляпуновских векторов высказывались уже много лет назад ^[7'^8]. Тем не менее до сих пор не было проведено систематическое теоретическое изучение этих векторов и их связей с другими объектами ляпуновского анализа.

Система называется грубой или структурно устойчивой, если качественный характер её динамики не меняется при небольших вариациях парамет- ров. Эта концепция очень важна для физических и технических приложений теории динамических систем, так как, имея дело с грубой системой, можно быть уверенным, что математическая модель адекватно описывает систему, несмотря на допущения, сделанные при построении модели, на отклонения от заданных значений параметров, неизбежные при конструировании, а также на наличие разного рода шумов. Именно грубые системы представляют наибольший интерес и подлежат первостепенному изучению ^[9]. Среди хаотических систем свойством грубости обладают системы с однородной гиперболичностью. Гиперболические аттракторы отвечают динамике с сильными хаотическими свойствами и допускают далеко идущий математический анализ. Однако только сравнительно недавно была сформулирована идея создания простых, реализуемых экспериментально систем с гиперболичностью. На основе этого возникло новое направление актуальных исследований. В частности, появилась возможность решать задачи о пространственно-временном гиперболическом хаосе в физически реализуемых автоволновых системах, которые ранее не рассматривались.

Механизм неустойчивости Тьюринга в автоволновых системах с момента его открытия в 1952 году широко используется для объяснения структуро- образования в системах разной природы. Однако часто анализ ограничивается проведением качественной аналогии, тогда как записать реалистичные модельные уравнения оказывается затруднительно^[13,14]. Проблема состоит в том, что в основе механизма Тьюринга лежат разные скорости диффузии компонент системы. С одной стороны, не ясно, насколько часто такое явление встречается в природе, а с другой — выяснилось, что его трудно реализовать в эксперименте. Например, по этой причине первое экспериментальное наблюдение тьюринговской неустойчивости состоялось только через 40 лет после теоретической работы Тьюринга. Ещё одна проблема состоит в том, что для многих автоволновых систем область неустойчивости Тьюринга занимает на плоскости параметров относительно небольшую площадь^[16,17], что затрудняет подбор параметров для наблюдения этого эффекта. В этой связи актуальным является исследование новых, нетьюринговских механизмов самоорганизации в автоволновых системах.

Существенный прогресс в этом направлении был достигнут сравнительно недавно благодаря включению в рассмотрение не только диффузионного, но и конвективного переноса. В частности, это привело к открытию эффекта потоково-диффузионной развёртки колебаний (существует два англоязычных варианта названия: «Flow and diffusion distributed structures», FDS и «Flow distributed oscillations», FDO). Большой интерес к этому эффекту как экспериментаторов ^[19'²⁰'²¹'^22], так и теоретиков^[23,24,25] обусловлен тем, что он представляет собой новый универсальный механизм структурообразования. При этом не требуются сложные в технической реализации разностные поток или диффузия ^[26,27]. Кроме того, на плоскости параметров область развёртки обычно значительно обширнее области Тьюринга^[17]. Важно также, что, как показывают эксперименты, структура развёртки нечувствительна к широкому набору внешних воздействий . Предполагается, что новый, легко реализуемый механизм самоорганизации будет выявлен во многих природных процессах. Например, имеются работы, объясняющие с его помощью явление осевой сегментации растущего организма^[29,30]. Однако имеющийся теоретический анализ выполнен только в линейном приближении и только для одномерных систем. Такой ограниченный подход, в частности, не позволяет объяснить результаты некоторых экспериментальных исследований.

Таким образом, в диссертации решаются актуальные задачи по исследованию сложной динамики, демонстрируемой универсальными модельными системами с высокой размерностью фазового пространства.

Цель диссертационной работы состоит в выявлении новых феноменов нетьюринговской самоорганизации и гиперболического хаоса в автоволновых модельных системах, а также в разработке новых численных методов анализа хаоса в системах высокой размерности. Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

1. Разработка новых алгоритмов ляпуновского анализа хаотических систем высокой размерности и реализация их в виде комплекса программ.

2. Выявление специфики применения известных численных методов ля- пуновского анализа к хаотическим системам высокой размерности.

3. Математическое моделирование стационарных структур в автоволновых системах с открытым потоком и выявление условий их существования и устойчивости.

4. Создание и выявление ключевых свойств автоволновых модельных систем, генерирующих пространственно-временной гиперболический хаос.

Научная новизна:

1. Разработан и реализован в виде комплекса программ быстрый и экономичный численный метод определения углов между касательными подпространствами динамической системы. Этот метод может быть использован в вычислительных экспериментах для проверки свойства гиперболичности хаотических диссипативных систем высокой размерности.

4. 1. Разработан новый численный метод нахождения ковариантных ляпу- новских векторов. Метод реализован в виде комплекса программ для проведения вычислительного эксперимента. Его преимуществами являются высокая эффективность и нечувствительность к плохо обусловленным задачам.

   2. Впервые систематически изложены теоретические обоснования существования ковариантных ляпуновских векторов и их взаимосвязей с другими типами ляпуновских векторов и показателей.

   3. Впервые выполнен подробный анализ известных из литературы численных методов нахождения ковариантных ляпуновских векторов, выявлены их сильные и слабые стороны.

   4. Применительно к системам с высокой размерностью детально изучен стандартный численный метод нахождения ляпуновских показателей. Выявлены специфические для таких систем источники погрешностей и грубых ошибок, предложены способы, позволяющие их диагностировать и избежать.

   5. Предложен новый математический метод исследования характера динамики моделей систем высокой размерности, в основе которого лежит статистический анализ флуктуаций локальных показателей Ляпунова с применением теории больших уклонений. Метод реализуется в форме вычислительного эксперимента и позволяет выявлять присущие системе симметрии, анализировать пространственные корреляции и переход к термодинамическому пределу.

   6. Выполнено комплексное исследование математических моделей эффекта потоково-диффузионной развёртки колебаний с использованием аналитических методов и технологий вычислительного эксперимента. Проанализированы условия её возникновения в зависимости от наличия в системе других типов неустойчивостей. Выявлены условия устойчивости структуры потоко- во-диффузионной развёртки колебаний к малому шуму на входе системы. Обнаружен режим, когда структура линейно неустойчива и, следовательно, нена- блюдаема в эксперименте, выявлены два сценария её стабилизации. Показана возможность формирования структуры потоково-диффузионной развёртки в системах с абсолютной неустойчивостью. Проанализировано взаимодействие структуры развёртки и колебательного решения, выявлены условия преобладания одного из них и их сосуществования. Доказана возможность наблюдать потоково-диффузионную развёртку в системах с течением Пуазёйля, а также выявлены сочетания параметров, при которых потоково-диффузионная развёртка в таких системах не возникает. Изучено влияние на структуру развёртки подвижного возмущения в виде частицы, увлекаемой потоком. Выявлены возможные виды отклика системы на такое возмущение.

   7. Выполнено математическое моделирование автоволновой системы с открытым потоком, имеющим коническую геометрию. Продемонстрирована возможность определения критической скорости перехода от конвективной неустойчивости к абсолютной при помощи такой системы.

   8. С привлечением методов вычислительного эксперимента произведено комплексное исследование математической модели с гиперболическим хаосом, построенной на основе двух связанных неавтономных амплитудных уравнений. Выполнено качественное описание динамики, проанализирована структура аттрактора, проведена проверка свойства гиперболичности. Исследована полная синхронизация двух таких систем. Показано, как в этом случае проявляются закономерности, характерные для хаотической синхронизации, такие как изрешеченный бассейн притяжения симметричного аттрактора и пузырящийся аттрактор.

   9. Предложена новая математическая модель распределённой системы с диффузией и локальной гиперболической динамикой, демонстрирующая режим низкоразмерного гиперболического гиперхаоса. Этот режим возникает при уменьшении величины пространственной связи, с появлением второго положительного показателя Ляпунова, что сопровождается разрушением пространственно-однородных колебаний. Гиперболичность разрушается при появлении третьего положительного показателя Ляпунова. Предложенная модель обладает универсальностью, но при этом не является абстрактной, как многие другие модели гиперболического хаоса, а отвечает натурным системам.

   10. Предложена новая математическая модель распределённой системы, осуществляющая генерацию гиперболического хаоса. В основе механизма генерации лежит попеременное возбуждение двух пространственных мод с разными волновыми числами, сопровождающееся поочерёдной передачей возбуждения от одной моды к другой. Предложенная модель является универсальной и отвечает натурным системам разной природы.

   Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанные и усовершенствованные в диссертации методы, применяемые при математическом моделировании сложных динамических систем,— это вклад в развитие аналитического и численного исследовательского инструментария.

   Выполненный в диссертации анализ свойств гиперболического хаоса в автоволновых системах способствует дальнейшему продвижению на пути понимания фундаментальных основ пространственно-временного хаоса. Однако, несмотря на универсальность и фундаментальность изученных математических моделей, их специфика такова, что имеется ясное понимание связей моделей с реальными системами. Это открывает перспективы приложений для хорошо развитой математиками гиперболической теории, а также ставит на повестку дня проведение сравнительных исследований гиперболического и негиперболического хаоса в теории и эксперименте. Также большое значение имеют результаты анализа эффектов нетьюринговской самоорганизации в модельных системах с открытым потоком. Такие системы широко изучаются экспериментально, но только после детального теоретического исследования, выполненного в диссертации, удалось объяснить некоторые из их наблюдаемых свойств.

   Предложенные и исследованные в работе автоволновые модели с регулярной и хаотической динамикой могут быть реализованы в виде систем разной природы, например электронных, оптических, спиновых, химических, биологических. Одно из возможных применений систем с гиперболическим хаосом—высоконадёжные генераторы хаоса, применяемые в устройствах защиты информации. Оптические системы, воплощающие изученные в диссертации математические модели могут найти применение при разработке широкополосных лазеров и новых устройств создания изображений. Обсуждаемые в диссертации эффекты самоорганизации используются при моделировании процессов биологического морфогенеза. Также они могут быть применены в промышленности для динамической сегрегации компонентов осциллирующих реакций. Реализация исследованных моделей на основе спиновых автоволновых систем создаёт интересные перспективы по созданию новых твердотельных электронных устройств.

   Полученные в диссертации результаты могут быть полезны для научных групп, занимающихся моделированием нелинейной динамики сложных систем разной природы, использованы в работе инженерных коллективов при конструировании новых систем со сложной динамикой, а также в учебном процессе университетов, осуществляющих обучение по физическим, математическим и техническим направлениям.

   Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием выводов теоретических исследований и численного моделирования, совпадением реализуемого в численном эксперименте поведения с предсказанным на основе качественных рассуждений, использованием тщательно проработанных численных методов, согласованностью наблюдаемых эффектов с известными из литературы экспериментами, а также отсутствием противоречий с известными из литературы результатами. Все результаты, представленные в диссертации, опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах и прошли проверку при рецензировании.

   На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

   4. 10. 1. Обоснован теоретически и реализован в виде комплекса программ быстрый и экономичный численный метод определения угла между двумя касательными подпространствами динамической системы с размерностями к и m - к, где m - размерность всего касательного пространства. Идея метода в том, чтобы вместо второго подпространства рассматривать его к-мерное ортогональное дополнение. Так как обычно интерес представляют ситуации, когда к ^ m, достигается значительная экономия времени счёта и машинной памяти по сравнению с существующими методами, в которых рассматривается непосредственно исходное подпространство с высокой размерностью m - к.

          2. Обоснован теоретически и реализован в виде комплекса программ эффективный численный метод нахождения ковариантных ляпуновских векторов. В основе метода лежит нахождение минус- и плюс-предельных ляпунов- ских векторов и разложение матрицы их скалярных произведений на верхнюю и нижнюю треугольные матрицы. Преимущество метода по сравнению с одним из двух ранее известных методов в том, что требуется на одно матричное умножение меньше, а по сравнению с другим - отсутствие необходимости

          выполнять обращение плохо обусловленных матриц.

          4. 10. 3. Вычисляя полный спектр показателей Ляпунова для автоволновой системы и используя для решения уравнений смешанную (полунеявную) схему численного метода конечных разностей, требуется выбирать шаги дискретизации, исходя из оценки At < 0.5Аx²/|d|, где d - максимальное по модулю собственное число матрицы диффузии системы. Ограничение не противоречит известному из учебников свойству абсолютной устойчивости этой численной схемы, а обусловлено спецификой работы алгоритма вычисления показателей Ляпунова. При нарушении неравенства происходит паразитная генерация коротковолновых мод в касательном пространстве, что приводит к грубой ошибке в значениях показателей из правой (отрицательной) части спектра. Паразитная генерация не возникает независимо от величины шагов, только когда используется полностью неявная схема.

                 4. Предложена математическая модель генерации низкоразмерного (один положительный показатель Ляпунова) пространственно-временного гиперболического хаоса на основе взаимодействия двух возбуждаемых поочерёдно пространственных мод. Модель обладает универсальностью и не зависит от природы системы, на основе которой реализуется. Существенные компоненты модели: моды должны иметь целочисленное отношение волновых чисел, в системе должна присутствовать нелинейность порядка этого отношения, а также должна иметься пространственная неоднородность с волновым числом, разность которого с волновым числом коротковолновой моды по абсолютной величине должна быть равна волновому числу длинноволновой.

                 5. Предложена математическая модель автоволновой системы, построенная из локальных элементов с гиперболической динамикой, которая может демонстрировать режим низкоразмерного пространственно-временного гиперболического гиперхаоса: система, сохраняя гиперболичность, имеет два положительных показателя Ляпунова. Этот режим характеризуется степенной зависимостью энтропии Колмогорова-Синая от длины системы. Он разрушается при увеличении длины (что соответствует уменьшению пространственной связи), когда третий показатель становится положительным. Так как модель построена на основе универсальных амплитудных уравнений, она отвечает широкому классу реальных систем разной природы.

                 6. Структура потоково-диффузионной развёртки колебаний в автоволновых системах, существующая, как следует из линейного анализа, при превышении скоростью потока критического значения, в окрестности этого значения линейно неустойчива и, следовательно, ненаблюдаема экспериментально. Этим объясняются известные, например из [Taylor, Bamforth, Bardsley, PCCP 4, 5640 (2002)], завышенные экспериментальные значения критической скорости. Стабилизация происходит при увеличении скорости потока.

                 7. Структура потоково-диффузионной развёртки существует не только при конвективной неустойчивости, но и в условиях абсолютной неустойчивости в системе. В последнем случае имеет место жёсткий переход: структура развёртки возникает, когда постоянное входное возмущение превышает пороговое значение.

                 8. Структура потоково-диффузионной развёртки колебаний может существовать в автоволновых системах с течением Пуазёйля (параболический профиль скорости потока). Тем не менее существуют диапазоны значений параметров, при которых развёртка не развивается. Попаданием параметров в запрещённую область объясняется неудачный эксперимент с развёрткой в такой системе [Кжгп, Menzinger, Phys. Rev. E 60, R3471 (1999)]. Является ошибочным основанный на этом эксперименте вывод, что для развёртки необходимым условием является поток с плоским профилем.

                 9. Для измерения критической скорости перехода от конвективной неустойчивости к абсолютной в автоволновых системах с открытым потоком можно использовать конструкцию в форме тонкого длинного расширяющегося конуса, т. е. у которого радиус выходного отверстия много меньше продольной длины. Скорость потока убывает по мере удаления от входа, и поэтому убегающий вниз по течению граничный слой развивающейся неустойчивости останавливается так, что точка, где скорость потока равна критической, оказывается в пределах этого слоя. Определив положение точки остановки и зная зависимость скорости потока от координаты, можно определить критическую скорость перехода от конвективной неустойчивости к абсолютной.

                 10. Из-за присущей однородно гиперболическим аттракторам весьма низкой (множество меры нуль) плотности вложенных неустойчивых инвариантных множеств полная хаотическая синхронизация двух таких аттракторов проявляется специфическим образом. (а) В изрешеченном («riddling») бассейне притяжения симметричного аттрактора точки, не принадлежащие бассейну, не образуют сколько-нибудь крупных связанных фрактальных областей, как это имеет место для негиперболических систем. (б) При наблюдении эффекта пузырящегося аттрактора («bubbling») интервалы между всплесками поперечных отклонений от аттрактора чрезвычайно велики (на много порядков больше единицы). (в) Эти эффекты можно наблюдать только в очень узком диапазоне параметра связи (Ad ^ d_syn) вблизи точки синхронизации d_syn.

                 Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и школах: Nonlinear science festival III (Kongens Lyngby, Denmark, 2001), 6-th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS, Saratov, 2001 и 2010), PANDA Meeting (Surrey, United Kingdom, 2004), Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика (Саратов, 2008 и 2009), Sommerschule in Drittes Physikalisches Institut, Georg-August-Universitat Gottingen (Braunlage im Harz, Germany, 2009), Статистическая физика и информационные технологии (StatInfo, Саратов, 2009), Exploring Complex Dynamics in High-Dimensional Chaotic Systems (EC0DYC10, Dresden, Germany, 2010), The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications (Dresden, Germany, 2010), XXXI Dynamics Days Europe (Oldenburg, Germany, 2011), 5th International Scientific Conference on Physics and Control (Leon, Spain, 2011), Нелинейные Волны (Нижний Новгород, 2012).

                 Результаты диссертации использовались при выполнении работ, финансируемых грантами Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 00-02-17509-а, и 03-02-16192-а), совместно Российского фонда фундаментальных исследований и Немецкого научно-исследовательского общества (гранты 04-02-04011-ННИО_а, 08-02-91963-ННИ0_а, 11-02-91334-ННГО_а), Королевского научного общества Великобритании (NATO and British FCO Chevening Programme), совместно Минобрануки РФ и Германской службы академических обменов DAAD (программа «Михаил Ломоносов II»).

                 Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 33 работах, из них 17 статей в рецензируемых журналах [1-17], 1 статья в международном сборнике [18], 13 материалов конференций [19-31], 1 депонированный отчёт [32] и 1 свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ [33].

                 Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причём вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

                 Структура и объем диссертации: введение, 7 глав, заключение и библиография, общим объёмом 337 страниц. Диссертация содержит 131 рисунок. Библиография включает 247 наименований на 19 страницах.

                 Похожие диссертации на Самоорганизация и гиперболический хаос в автоволновых системах

                 Диффузионный хаос в системах уравнений реакция-диффузияКарамышева, Таисия Владимировна

                 

                 Математическое моделирование и численное исследование динамического хаоса в диссипативных системах нелинейных дифференциальных уравненийСидоров Сергей Васильевич

                 

                 Математическое моделирование процессов самоорганизации в широкополосных системахКирпач Евгений Николаевич

                 

                 Разработка ассоциативной памяти для систем автономного адаптивного управления на основе систем детерминированного хаосаУстюжанин Андрей Евгеньевич

                 

                 Методы и средства анализа, диагностики и стабилизации многомодовых нелинейных радиоэлектронных и квантовых систем с динамическим хаосом и фрактальными процессами Афанасьев Вадим Владимирович

                 

                 Разработка и исследование генераторов детерминированного хаоса для телекоммуникационных системБеляев Николай Васильевич

                 

                 ФОРМИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ЭНТРОПИЙНЫХ МОДЕЛЕЙ РЕЖИМОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ВКЛЮЧАЯ РЕЖИМЫ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСАФедоров Игорь Владимирович

                 Идентификация нелинейных динамических систем методами теории детерминированного хаоса : На примере исследования вариабельности сердечного ритмаПыко, Светлана Анатольевна

                 

                 Повышение помехоустойчивости широкополосных систем связи на основе динамического хаосаЛеонов, Кирилл Николаевич

                 

                 Анализ режимов детерминированного хаоса в переходных процессах электроэнергетических системСвешникова Елена Юрьевна