Введение к работе
' Диссертация посвящена изучению спектральных задач, возникающих при численном исследовании устойчивости.
Актуальность. При исследовании устойчивости физических процессов' в механике жидкости и газа , физике плазмы обычно приходят к решению дифференциальных задач на собственные значеній. При этом требуется найти одно или несколько собственных значений и соответствующих собственных функций, характеризующих устойчивость или неустойчивость исследуемого процесса. Дифференциальная задача на собственые значения часто решается разностным методом, что в свою очередь приводит к необходимости исследования спектра . алгебраической. задачи на собственные значения для разреженных матриц большого порядка. При этом требуется найти собственные числа, имеющие максимальную действительную или мнимую часть и собственные векторы, отвечающие этим собственным числам. Обычно такие собственные' числа определяют инкремент и декремент. Аналогичные собственные числа требуются также при рассмотрении чисто математических проблем, например в теории разностных схем и при построении вычислительных алгоритмов. Хорошо известный класс степенных методов позволяет найти экстремальные по модулю собственные числа В случаях, когда спектр задачи комплексный или отсутствуют хорошие начальные приближения для определения инкремента ( декремента ) неустойчивости ( устойчивости) приходится- часто решать полную проблему собствен-
ных значений, что является трудоемким процессом.
В данной диссертации разработаны алгоритмы решени: частичной проблемы для задач на собственные значения когда требуется найти одно или несколько собственных чисел и соответствующих им векторов , отвечающих за устойчивость того или иного процесса . При этом в отличие от большинства существующих методов не требуете; знания хороших приближений к искомым собственным значе-ниям.
В последнее время при изучении устойчивости многге процессов, например в системах с запаздыванием, в физике плазмы все чаще математическая постановка задачи сводится к исследованию спектра алгебраической задачи на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра. При этом обычно требуется определить:
а) область локализации на комплексной плоскости всех
или части собственных чисел ( например собственных'
чисел с
б) количество собственных чисел в заданной части
комплексной плоскости ( например, в правой полу
плоскости); "
в) величины некоторых собственных чисел ( например, собственных чисел с максимальной действительной частью). С математической точки зрения в задачах устойчивости, пожалуй, самым трудным вопросом является вопрос о локализации спектра задач на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра. Поэтому чаще всего нелинейную спектральную задачу решают в заранее заданной области
локализации , которая определяется из' физических соображений. Однако это не всегда удается сделать.
В работе предлагается и обосновывается подход, позволяющий локализовать спектр довольно широкого класса матричных задач на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра.
Цель работы состоит:
- в разработке алгоритма для вычисления граничных точек
комплексного спектра неэрмитовой линейной задачи на
собственные' значения , удовлетворяющего следующим основным
требованиям:
а) Не предполагается задание каких-то специальных началь
ных приближений к искомым собственным значениям.
б) В процессе выполнения алгоритма сохраняется разреженная
. структура матрица
- в разработке алгоритмов численного решения алгебраических
задач на собственные значения с нелинейным вхождением
спектрального параметра, позволяющих ответить на вопрос об
устойчивости того или иного процесса.
Научная новизна и практическая ценность работы. В диссертации предложены алгоритмы., удовлетворяющие изложенным выше требованиям . Методы тестированы на модельных примерах , показано их преимущество перед существующими алгоритмами. На основании предложенных алгоритмов создан комплекс программ для численного исследования устойчивости гидродинамических течений в рамках краевой задачи на собственные значения для уравнения Орра-Зоммерфельда и с его помощью численно исследована устойчивость 'течений Пуазейля и Блазиуса . Предложенные алгоритмы внедрены в
Центральном' аэрогидродинамическом институте им. Е Е. Ву-ковского.
Апробация. Работа частично или полностью докладывалась на: -конференции молодых ученых факультета ВМиК (МГУ, 1988); -на научно-исследовательском семинаре НИС-2 (ЦАГИ,1989); -на научно-исследовательском семинаре факультета аэрофизики и летательной техники (МФТИ, 1989);
-на научно-исследовательском семинаре под руководством академика А. А. Самарского (МГУ,1990).
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1-5]. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Общий обьём работы составляет 106 страниц. Список литературы содержит 6 І наименований.
