Содержание к диссертации
1.1. Метод интегрирования 21
1.2. Условия порядка 26
1.3. Метод второго порядка 30
1.4. Метод третьего порядка 32
1.5. Метод четвертого порядка 37
1.6. Метод пятого порядка 50
1.6.1 Условия порядка 50
1.6.2 Алгоритм построения явного метода пятого порядка. 56
2 ВЫДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ 64
2.1. Постановка задачи 64
2.2. Основные понятия 66
2.3. Алгоритм решения задач 1,2 81
2.4. Пример применения алгоритма выделения структурных особенностей
2.4.1 Равноправные правые части 93
2.4.2 Неравноправные правые части 101
3 МЕТОДЫ КЛАССА 21(2) 104
3.1. Метод интегрирования 104 3.2. Методы третьего порядка 107
3.2.1 Расчетные схемы третьего порядка на базе квадратурных формул Гаусса-Лежандра НО
3.2.2 Двухэтапные расчетные схемы третьего порядка ИЗ
3.3. Методы четвертого порядка 117
3.3.1 Исследование условий порядка разноэтапного метода 117
3.3.2 Построение разноэтапных расчетных схем четвертого порядка с заранее определенными свойствами 123
3.3.3 Трехэтапный метод четвертого порядка на базе квадратур Лобатто 125
3.3.4 Вычислительная схема на базе трёхточечного квадратурного правила Гаусса-Лежандра 129
3.4. Четырехэтапный метод пятого порядка 132
3.4.1 Метод интегрирования 133
3.4.2 Условия порядка 134
3.4.3 Расчетная схема пятого порядка 145
4 МЕТОДЫ КЛАССА 21 (и) 148
4.1. Метод интегрирования 148
4.2. Метод четвертого порядка 1
4.2.1 Исследование условий порядка 149
4.2.2 Расчетные схемы четвертого порядка, коэффициенты которых зависят от размерности системы 172
4.2.3 Расчетные схемы четвертого порядка, коэффициенты которых не зависят от порядка системы 176
4.3. Частное решение 177
5 МЕТОДЫ КЛАССА 05 188 5.1. Метод интегрирования 188
5.2. Условия порядка 193
5.3. Тестирование 201
6 ВЛОЖЕННЫЕ МЕТОДЫ КЛАССОВ 21(2) и 03 206
6.1. Методы типа Дормана-Принса 206
6.2. Вложенный метод класса Щг) 2
6.2.1 Метод четвертого порядка 208
6.2.2 Методы пятого порядка 211
6.2.3 Тестирование 219
6.3. Вложенный метод класса 93 227
6.3.1 Метод пятого порядка 227
6.3.2 Тестирование 235
7 СВЯЗЬ МЕТОДОВ НЮСТРЕМА И СТРУКТУРНОГО ПОДХОДА 239
7.1. Методы интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка 239
7.2. Метод класса 21(2) и его реализация при интегрировании дифференциальных уравнений второго порядка специального вида 242
7.2.1 Методы типа Нюстрёма 242
7.2.2 Вложенные структурные методы типа Нюстрёма-Дормана-Принса 247
7.3. Системы разделяющихся дифференциальных уравнений
второго порядка с перекрестной структурой связей по пер
вым производным 252
7.3.1 Структурные методы типа Нюстрёма интегрирования систем специального вида 252
7.3.2 Вложенные структурные методы типа Нюстрёма интегрирования систем специального вида 253
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 260
ЛИТЕРАТУРА 262
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 281
Введение к работе
Последние пятьдесят лет можно охарактеризовать как период, в течение которого классические методы численного решения ОДУ (методы Адамса, Рунге-Кутты (РК), экстраполяции), приспособленные и развитые для ручного счета, пересматривались в соответствии с требованиями и новыми возможностями, продиктованными бурно развивающимися технологиями машинного счета.
Постоянному наращиванию мощностей ЭВМ соответствовала и общая тенденция расширения классов решаемых задач. Новые возможности решения более трудоемких и сложных задач породили и массу проблем, связанных с устойчивостью и аппроксимацией разрабатываемых высокоэффективных и надежных алгоритмов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ).
В этот период были выполнены фундаментальные исследования по устойчивости численного решения ОДУ , теории конструирования и реализации методов интегрирования [8, 16, 17, 19, 18, 22, 24, 25, 26, 27, 45, 114, 148].
Так в классе одношаговых методов за это время и способ вывода условий порядка [13,104, 137] (с помощью помеченных деревьев), и конструирование [15, 31, 106, 135] (с использованием упрощающих соотношений) расчетных схем эволюционировали в основном под влиянием работ Дж. Батчера, Э. Хайрера, Г. Ваннера [107, 109, 110, 111, 125, 129]. Разработанная Дж. Батчером абстрактная алгебраическая теория методов Рунге-Кутты [12, 14, 105, 108, 110] открыла большие возможности для теоретического исследования их свойств и для конструирования [2, 5, 92, 93, 94, 138, 141] новых высокоэффективных алгоритмов. Следует обратить особое внимание на то, что для предложенного Э. Хайрером составного метода типа Рунге-Кутты интегрирования систем разделяющихся обыкновенных дифференциальных уравнений (СРОДУ) первого порядка была создана [129] теория условий порядка, обобщающая идеи Батчера. Это обеспечило подход к условиям порядка для широкого класса методов. Обобщение теории условий порядка на случай СОДУ высоких порядков произвел Хебзакер [131].
В начале 60-х Дж. Батчером [105, 108] и Г. Шанксом [151] был установлен первый барьер (Батчера [90]): для q 5 не существует явных методов РК порядка q с числом этапов т = q. Следующие два барьера — для методов седьмого и восьмого порядков — также были получены Дж. Батчером [108, 112].
В этот период развивались и способы оценки погрешности численного интегрирования: полной и локальной. [9,11, 28, 42, 77, 99, 103, 123, 152].
Впервые в работах Р. Мерсона, Ф. Ческино, Дж. Зонневельда [ИЗ, 137, 149, 153] была использована идея, которая легла в основу нового семейства одношаговых методов — вложенных. Свое развитие эти методы получили в серии работ Р. Ингланда, Е. Фельберга [78, 118, 119, 120, 145,148]. На сегодняшний день используются два типа вложенных методов. Для первого типа (Фельберга) характерно, что определение главного члена погрешности метода интегрирования на одном щаге осуществляется по двум формулам Рунге-Кутты разных порядков р и q (р q) соот ветственно. Причем в качестве искомого приближения в случае принятия такого решения берется приближение порядка р. Разница приближений разного порядка позволяет оценить локальную погрешность полученного приближения. Для вложенных же методов второго типа (Дормана-Принса) в качестве приближения к решению выбирается приближение старшего порядка q, а разница двух приближений используется лишь в алгоритме выбора шага [115, 116].
