Введение к работе
Актуальность тематики связана со следующими обстоятельствами.
Во-первых, для современного состояния технологий МКО/КЭ, МКО/Э, методов ^объемов на сим инициальных сетках характерно отсутствие универсальных тех-мюгий учета кусочно-полиномиальной интерполяции решений, коэффициентов :реноса, тешюфизических характеристик и источниковых членов, что ограничива-
возможности исследователя при выборе конечноэлемешных пространств для эедставления решения и коэффициентов уравнений и существенно усложняет іавнение результатов расчета но различным схемам. Для перечисленных МТСО-:тодов дискретизации законов сохранения, использующих конечноэлементные )остранства, тщательный выбор этих пространств для решения, коэффициентов іавненнй и источниковых членов отчасти теряет смысл; результаты расчетов по >строенным схемам должны рассматриваться с точки зрения эффектов численного
интегрирования, с учетом различных способов их реализации. Таким образом, создание новых технологий для данных классов методов, использующих симплици-альные разбиения и барицентрические множества в качестве двойственных, является важным направлением исследований.
Во-вторых, существующие противопотоковые схемы на неструктурированных сетках в большинстве своем имеют одномерную природу и характеризуются чрезмерной численной диффузией, оценивание которой представляет собой самостоя-телыгую проблему. Для построения протавопотоковых схем второго порядка аппроксимации необходимо существенное расширение шаблона, что в неструктурированном случае приводит к значительному усложнению соответствующих структур данных. Таким образом, построение и сравнительный анализ многомерных протавопотоковых схем МКО/КЭ на компактных шаблонах триангуляции, предполагающий экспериментальное оценивание скорости сходимости исследуемых схем, приобретают особое значение.
В-третьих, построение схем аппроксимации конвективно-диффузионных уравнений должно выполняться с учетом свойств нелинейной взаимосвязанной системы уравнений, основу дискретизации которых они должны составить впоследствии. В частности, использование построенных схем МКО-аппроксимации для адекватного моделирования несжимаемых вязких іеченнй сред с переменными теплофизиче-скими характеристиками, в естественных переменных скорость-давление представляет значительный практический интерес.
Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 98-02-17810.
Целью работы является разработка вычислительных технологий методов конечных объемов, использующих конечноэлементные пространства, для аппроксимации задач конвективно-диффузионного типа. Для достижения поставленной: цели были сформулированы следующие задачи исследования:
усовершенствование технологий дискретизации систем законов сохранения методом конечных объемов/конечных элементов на симплициальных сетках, использующим барицентрические разбиения в качестве двойственных;
разработка технологий аппроксимации задач конвективно-диффузионного типа с существенными первыми производными; построение, реализация н сравнительный анализ противопотоковых схем на неструктурированных сетках, в частности, проведение вычислительных экспериментов для оценки порядка ап-
проксимации предлагаемых и наиболее точных известных схем, а также сравнение характеристик противопотоковьгх схем на базе МКО/КЭ и МКЭ; создание на основе разработанных технологий комплексов программ, позволяющих адекватно моделировать вязкие несжимаемые течения жидкостей и газов в геометрически сложных областях, в стационарном и нестационарном случаях. Методы исследования. Методы вычислительной математики. Сравнительный іализ технологий точного интегрирования полиномов в методах конечных эле-ентов, конечных объемов/элементов, распределенных невязок. Эксперименталь-эе оценивание скорости сходимости противопотоковых схем для задач, имеющих іалнтическое решение. Расчеты на множестве сгущающихся конечиоэлементных ізбиений, с последующим анализом сходимости к экспериментальным данным. Научная новизна работы состоит в следующем.
Предлагается новая технология учета кусочно-полиномиального представления решения, коэффициентов переноса и источниковых членов при дискретизации начально-краевых задач методами конечных объемов/элементов, конечных объемов/конечных элементов и подобъемов. Технология основана на использовании разложения по базису конечиоэлементных пространств в терминах барицентрических симплициальных координат, с дальнейшим точным интегрированием их одночленов. Для схем МКО/КЭ, МКО/Э с расчетом переменных в узлах триангуляции предложены три класса формул точного интегрирования одночленов бариценгрических координат: по отрезкам двойственной сетки в элементе, по барицентрическим подобластям и отрезкам граничных ребер. Для методов подобъемов, использующих несогласованные конечноэлементные пространства, предлагается использовать принцип точного интегрирования локальных базисных функций и получены соответствующие интегральные формулы. Предложен способ построения противопотоковых схем МКО/КЭ на симплициальных сетках, основанный на раздельной аппроксимации потоков массы и значений скалярной субстанции на отрезках двойственной сетки. Введены понятия локальной матрицы весовых коэффициентов противопотоковой схемы, внутренних но отношению к элементам схем, локальной положительности схем. Предложена противопотоковая схема экспоненциального класса, построен ее аналог для МКО с расчетом неизвестных в барицентрах симплексов. Получены экспериментальные оценки порядка аппроксимации противопотоковой схемы со взвешиванием потоков масс и предлагаемой схемы экспоненци-
ального класса. На решениях погранслойного типа проведен анализ устойчивости построенных схем и их сравнение с нротивопотоковыми схемами МКЭ. 4. С использованием предложенных МКО/КЭ-схем аппроксимации задач конвективно-диффузионного типа создан комплекс программ для моделирования вязких несжимаемых течений в естественных переменных скорость-давление и проведен ряд вычислительных экспериментов, подтверждающих возможность использования разработанных алгоритмов для решения прикладных задач. Практическая ценность работы определяется возможностью использования разработанных вычислительных технологий для дискретизации широкого класса начально-краевых задач в областях со сложной геометрией границ. Основные результаты работы находят свое применение при моделировании вязких несжимаемых течений газа с быстро меняющимися тешюфкзкческими характеристиками, внутренних течений и свободного истечения струй.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Третьем сибирском конгрессе по индустриальной и прикладной математике (ИМПРИМ-98), г. Новосибирск; Международной конференции по вычислительным методам в задачах волновой гидродинамики, г. Новосибирск, 1998; Втором Международном симпозиуме "Методы конечных объемов в сложных приложениях", Германия, 1999 г.; Пятой научной конференции "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф", г. Красноярск, 1999 г.; на научных семинарах ИВТ СО РАН, ИВМиМГ СО РАН.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных математических моделей изучаемых явлений и подтверждается сравнением с материалами лабораторных экспериментов и результатами расчетов других авторов. Публикации. По теме диссертации опубликовано семь работ. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений и содержит 173 страницы, включая 8 таблиц и 51 рисунок. Список литературы содержит 125 наименований.
