Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математическое моделирование квазистационарных систем 10
1.1. Понятие системы и классификация систем 10
1.2. Методология математического моделирования 11
1.3. Концепции математического моделирования сложных систем 16
1.4. Проблемы математического моделирования сложных систем 19
1.5. Обоснование выбора моделируемой системы 21
1.6. Результаты обзора и постановка задач исследования 24
ГЛАВА 2. Технология построения модели квазистационарной системы 26
2.1. Иерархический подход 26
2.2. Процедура построения системы моделей 27
2.3. Определение границ системы и ее структуризация 28
2.4. Методика оценки параметров 29
2.5. Приложение методики
2.5.1. Модель формирования перспективного межотраслевого баланса 39
2.5.2. Модель формирования структуры цен
2.6. Оценка качества модели 43
2.7. Выводы по второй главе 44
ГЛАВА 3. Реализация технологии 46
3.1. Математическая модель анализа и синтеза надежности топливоснабжения 46
3.1.1. Модельная структура объекта исследования 46
3.1.2. Выбор и согласование параметров системы 49
3.1.3. Формирование автономных моделей 51
3.1.4. Формирование агрегированных взаимодействующих моделей 54
3.2. Пример оценки параметров отдельных объектов моделируемой системы . 57
3.3. Моделирование экосистемы озера Байкал
3.3.1. Структура моделируемой системы 60
3.3.2. Выбор и согласование параметров системы 62
3.3.3. Формирование статических (балансовых) моделей 74
3.3.4. Формирование автономных (динамических) моделей 74
3.3.5. Формирование взаимодействующих моделей 81
3.3.6. Исследования базовых свойств модельной системы 86
3.4. Выводы по третьей главе 92
Заключение 95
Список литературы 99
- Концепции математического моделирования сложных систем
- Определение границ системы и ее структуризация
- Модель формирования перспективного межотраслевого баланса
- Пример оценки параметров отдельных объектов моделируемой системы
Введение к работе
Актуальность работы. Существует большое количество научных работ, посвященных методологическим аспектам математического моделирования сложных динамических систем. Важный вклад в развитие данной области внесли Д. Форрестер, Н.Н. Моисеев, И.А. Полетаев, А.А. Ляпунов, Н.П. Бусленко, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов, Б.Я. Советов, Ю.Н. Павловский. Многие вопросы математического моделирования решались на материалах технических, экологических и экономических систем (В.В. Меншуткин, Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет, Р.А. Полуэктов, А.Б. Горстко. О.В. Кузмин). Одним из важнейших аспектов в математическом моделировании является информационное обеспечение моделей. Этими вопросами занимались Г.И. Марчук, О.Л. Бандман, И.В.Бычков, В.И. Гурман, С.И. Носков, В.А. Батурин, В.А. Дыхта и многие др. ученые.
В литературе, посвященной методологическим вопросам моделирования поведения систем, часто предполагается, что вся необходимая информация о системе уже имеется, либо может быть легко получена с помощью экспериментов или наблюдений. В действительности, имеющаяся информация о системе часто неполна и не каждый параметр доступен непосредственному измерению. Математическое моделирование может служить целям восполнения недостающих данных, исходя из математических уравнений, описывающих данную систему.
В силу погрешностей, различий в моментах и периодах времени измерений, других причин, имеющиеся исходные данные могут оказаться противоречивыми. Для оценки параметров моделей систем могут использоваться различные методы (метод взвешенных наименьших квадратов, минимизации взвешенной суммы модулей отклонений, минимизации взвешенных чебышевских норм и др.). Их использование (в том числе способов формирования весовых коэффициентов в указанных выше методах) может приводить к существенно разным результатам. Исследование свойств и взаимосвязей возможных способов оценки параметров, на основе разных, предложенных к настоящему времени, постановок задачи минимизации расхождений расчетных и располагаемых данных, также одна из недостаточно исследованных проблем математического моделирования сложных систем.
Все это обуславливает актуальность задачи разработки технологии математического моделирования сложных систем, в условиях, как неполноты, так и противоречивости исходных данных и знаний об объекте моделирования. В диссертации излагаются результаты разработки такой технологии применительно к квазистационарным системам, то есть находящимся в относительно постоянных условиях. Это позволяет пользоваться данными разномоментных и разнопериодных наблюдений. Условие квазистационарности позволяет также воспользоваться технологией поэтапного конструирования моделей сложных систем, на основе формирования и отладки сначала моделей отдельных объектов и подсистем при предположениях о неизменности внешних для них условий с последующим введением переменных, характеризующих взаимодействие между собой этих объектов и подсистем.
Целью диссертационного исследования является формирование технологии поэтапного построения и оценки параметров математических моделей квазистационарных систем. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
-
Разработать методику формирования математической модели квазистационарной системы путем поэтапного построения, итеративно усложняемой системы математических моделей отдельных объектов и подсистем.
-
Провести сравнительный анализ возможных способов оценки параметров моделей.
-
Реализовать, в виде комплекса программ, технологию поэтапного формирования моделей и оценки параметров, апробировать ее на примере технической и экологической систем.
Объектами исследования являются сложные динамические квазистационарные системы. Предметом исследования является изучение механизмов их функционирования методами математического моделирования. В качестве приложений рассматриваются экономико-математическая модель формирования межотраслевых балансов, имитационная модель анализа и синтеза надежности топливоснабжения, математическая модель экосистемы озера Байкал.
Методы исследования. Для решения поставленных научных задач применяются математические методы оценки параметров систем на основе экспериментальных данных, методы математического моделирования, качественной теории дифференциальных уравнений, методы вычислительной математики. Для компьютерной реализации модели экосистемы озера Байкал используется система моделирования «DYNAMO».
Научную новизну составляют положения, выносимые на защиту:
-
Сформирована новая технология поэтапного моделирования сложных динамических квазистационарных систем в условиях неполных и противоречивых данных.
-
Проведено исследование свойств и взаимосвязей решений проблемы оценки параметров моделей при различных определениях понятия близости располагаемых экспериментальных и расчетных данных. Получены следующие результаты:
-
доказано, что за счет выбора весовых коэффициентов в методе наименьших квадратов можно получать с любой требуемой точностью решения, вырабатываемые путем минимизации штрафных функций из широкого класса;
-
установлена ограниченность множества решений, образуемого в результате варьирования весовых коэффициентов в методе наименьших квадратов, даны и апробированы на примере правила оценки диапазонов возможных изменений решений, в зависимости от выбора метода оценки параметров;
3) дана расширенная трактовка весовых коэффициентов в методе наимень
ших квадратов, в т.ч. как параметров соизмеряющих разную точность
наблюдений, их информативность, а также как управляющих параметров
для достижения желаемых предпочтений в результатах. Последнее про-
4
иллюстрировано на модели определения параметров перспективного межотраслевого баланса максимально приближенных к желаемым несбалансированным значениям показателей. 3. С применением предложенной технологии построены и программно реализованы оригинальные модели: 1) модель анализа и синтеза надежности топливоснабжения; 2) математическая модель жизнедеятельности и взаимодействия основных пелагических видов организмов озера Байкал.
Достоверность и обоснованность научных результатов, представленных в диссертации, обусловлена корректным применением математических методов и алгоритмов, а также сопоставлением результатов численных экспериментов на построенных моделях с экспертными оценками и поведением моделируемых систем.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены и получили одобрение на международных и российских конференциях и симпозиумах: Конференция молодых ученых (Иркутск, 2006г.); XI Международная конференция «Информационные и математические технологии в научных исследованиях» (Иркутск - Хубсугул, 2006г.); Заседание семинара Научно-образовательного центра «Байкал» (Иркутск, 2007 г.); II летний симпозиум «Научно-образовательный центр «Байкал» - стратегия развития» (пос. Большие Коты, 2007г.); Российская конференция «Дискретная оптимизация и исследование операций» (Владивосток, 2007г.); IX школа-семинар молодых ученых «Математическое моделирование и информационные технологии» (пос. Ангасолка, 2007г.); VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007 г.); XIV Байкальская международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск - Северобайкальск, 2008 г.); Международная школа-семинар молодых ученых «Информационные технологии и моделирование социальных эколого–экономических систем» (Иркутск - Ханх, 2008 г.); Всероссийская конференция «Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях» (Иркутск, 2011 г.); XV Байкальская международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения»-2011 (Иркутск: пос. Листвянка, 2011 г.); VI Международная Верещагинская Байкальская конференция (Иркутск, 2015 г.). Материалы диссертации неоднократно рассматривались на семинарах ЛИН СО РАН, ИСЭМ СО РАН, ИРГУПС, ИДСТУ.
Публикации. Основные положения и результаты диссертационной работы изложены в 14 публикациях, в их число входят 4 статьи из перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ. В работах, опубликованных с соавторами, соискателю принадлежит от 45 до 75% результатов. Положения, выносимые на защиту, получены автором лично.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников, содержащего 125 наименований, и приложений. Общий объем работы составляет 123 страниц, включая 7 рисунков и 15 таблиц.
Концепции математического моделирования сложных систем
Под математическим моделированием будем понимать процесс сопоставления данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, а также, исследование этой модели, позволяющее получать различные характеристики рассматриваемого реального объекта. Существует ряд определений понятия математической модели, так академик А.Н. Тихонов дает следующее определение «Математическая модель - приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики» [106]. Она состоит из следующих компонентов [21]: переменные: входные переменные, отражающие воздействие внешних факторов на состояние системы; переменные состояния, описывающие состояние системы; выходные переменные, характеризующие реакцию системы на внешние воздействия; математические уравнения, описывающие процессы, протекающие в системе; параметры - коэффициенты этих математических уравнений. Рассмотрим кратко методику построения математических моделей и виды моделей сложных систем [103, 105].
Моделирование, как любое другое научное исследование начинается с формулировки проблемы, с анализа и осмысления накопленного материала данной предметной области. Конкретизация проблемы приводит к формулировке цели или системы целей, как ожидаемого результата будущей деятельности по решению проблемы. Рассмотрим более подробно виды целей: 1. Оценка - оценить наиболее важные характеристики моделируемой системы, определить насколько предлагаемая структура моделируемой системы будет соответствовать предъявленным требованиям; 2. Сравнение - произвести сравнение конкурирующих систем одного функционального назначения или составить несколько вариантов построения одной и той же системы; 3. Прогноз - оценить поведение системы при некотором предполагаемом сочетании условий; 4. Анализ чувствительности – выявить из большого числа факторов, действующих на систему, те, которые оказывают наибольшее влияние; 5. Оптимизация – найти или установить такое сочетание действующих факторов и их величин, которое обеспечивает наилучшие показатели эффективности системы в целом.
Цели 1-4 задачи анализа, 5 – задача синтеза. Сопоставление целей с ресурсными возможностями приводит к формулировке задачи исследования. Кроме целей и ресурсов задача включает в себя объект моделирования, поэтому следующим этапом является анализ объекта моделирования в разрезе поставленной задачи и выбор способа формирования модели. В случае если изучаемый объект достаточно изучен и исследуемые свойства и характеристики могут быть выявлены на основе теоретических представлений и эмпирических данных, то возможно аналитическое построение модели. В случае сложного или недостаточно изученного объекта возможен альтернативный вариант – идентификация объекта, т.е. экспериментального определения существенных для решаемой задачи свойств и характеристик объекта, специально ради построения его модели.
Полученная формализованная модель (построенная теоретически или на основе идентификации объекта), оценивается в соответствии с выбранным ранее критерием. В случае если она признается неудовлетворительной, возникает необходимость в её корректировке и итеративном обращении к ранее выполненным этапам. Решение о принятии модели влечет за собой переход к следующему этапу – опытной проверке в условиях той задачи, для решения которой она построена. Попутно возникают дополнительные требования (например, связанные с удобством использования модели) и необходимость в её дополнительной корректировке. Заключительный этап процесса - использование модели по прямому назначению для решения исследовательской или иной задачи (здесь также возможны уточнения и корректировки).
Построение модели - это итеративный процесс последовательных приближений. Он неизбежно связан с введением ряда гипотез, заменяющих собой недостаток информации о свойствах объекта. Если на некотором этапе оказывается, что принятая ранее гипотеза неправомерна, требуется возврат к предыдущим пунктам, в которых она была введена, и соответствующая корректировка всех дальнейших процедур. Подобный рекурсивный характер построения моделей, является принципиальным свойством данного процесса. Главное требование, предъявляемое к процессу математического моделирования, заключается в том, чтобы каждое ошибочное предположение выявлялось как можно ближе к точке его возникновения.
Анализ работ по математическому и имитационному моделированию показывает, что существует разносторонняя классификация моделей: по назначению, по области использования, по характеру учитываемых факторов и т.д. В рамках данного диссертационного исследования наиболее интересна классификация математических моделей сложных систем по степени раскрытия механизма описываемого процесса предложенная в книге [106].
Определение границ системы и ее структуризация
Одним их ярких примеров научной дисциплины, демонстрирующей эффективность построения иерархии моделей, как метода познания сложных систем, является физика. «Совместными усилиями математиков и физиков было создано совершенное здание – современная система моделей физики. Что мне кажется здесь наиболее интересным и важным – это создание не просто совокупности моделей, а именно системы. Современная физика – это логически связанная система математических моделей. Огромную роль в этом процессе сыграло развитие асимптотического анализа. Новые модели, т.е. новые теории, не отвергали старые, а включали их как некоторый частный случай. Модели Навье – Стокса включали в себя как частный случай модель Эйлера. Из модели Больцмана предельным переходом можно получить модель Навье – Стокса и т. д.» Моисеев Н.Н. [93, стр. 32 - 33]
Естественной иерархической структурой обладают некоторые известные классы математических моделей, например, вольтерровские модели математической экологии [23, 24]. Иерархическая структура изначально присуща и более широким классам абстрактных динамических систем. Например, класс автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта иерархия использовалась в работах под руководством А.Д. Базыкина при исследовании экосистемы двух трофических уровней методом развёртывания иерархической сети упрощённых математических моделей [12, 13].
Разработка иерархической системы математических моделей может начинаться с некоторой исходной модели и разветвляться как по направлению вверх, так и вниз. Вверх разветвления могут расходиться в разные стороны к различным более сложным моделям. Необходимость продвижения вниз возникает в связи с потребностью более глубокого исследования исходной модели, например, путём декомпозиции её на более простые модели меньшей размерности [4]. Таким образом, иерархия моделей – это не застывшее, а постоянно развивающаяся конструкция.
Процедура построения системы моделей включает несколько этапов. Этап 1. На данном этапе проводится выделение той части окружающего мира, которую можно назвать системой и которая может рассматриваться без связи с окружением. Формулируются проблемы, производится постановка цели и задач исследования. Формируются основные вопросы о поведении системы и выбирается модельное время. Этап 2. Модельное представление объекта исследования - структуризация системы. Разбиение системы на компоненты и определение основных параметров, их характеризующих. При необходимости данная процедура применяется к полученным компонентам. Этап 3. Оценка и согласование численных значений основных параметров системы. Вывод балансовых соотношений, представляющих собой реализацию законов сохранения. Выбирается, либо формируется методика оценки и согласования выбранных параметров. При недостатке или разнородности данных осуществляются интервальные оценки значений параметров. При избытке данных осуществляется их согласование. Этап 4. Построение автономных динамических моделей подсистем на основе балансовых соотношений. Выявление закономерностей функционирования компонентов системы, без учета внешних воздействий. Этап 5. Поэтапное объединение автономных моделей в единую модель взаимодействующих компонентов, где потоки вещества и энергии между компонентами отражены в коэффициентах обратных связей. Выявление закономерностей функционирования полученной модели. Данная процедура может быть применена к разным наборам компонентов, в результате чего будет получена система моделей. Этап 6. Исследование основных свойств полученной системы моделей аналитическими и численными методами.
Определение границ системы зависит от поставленной задачи [105]. Открытая или закрытая системы определяются в рамках взаимодействия с внешней средой. Предполагается, что внешняя среда стационарна для выбранной системы и её воздействие не разрушает последнюю. Поскольку мы рассматриваем квазистационарные системы, то полагаем, что вопрос стационарности их внешних сред решен положительно.
При построении математических моделей систем эффективной является декомпозиция системы с сохранением связей между выявленными компонентами системы. В общем случае сложная система является многоуровневой иерархической конструкцией из взаимодействующих компонентов, объединяемых в подсистемы различных уровней. Представление моделируемого объекта в виде многоуровневой системы называется его структуризацией. Математическая модель сложной системы образуется композицией (в рамках выделенной структуры) математических моделей элементов и взаимодействий между ними. В ряде случаев структурные свойства могут быть конкретизированы в процессе исследования. Концепция структуризации системы состоит в следующем: среди всего многообразия компонентов системы выделяются наиболее значимые – по массе, по роли в процессе функционирования и т.д. (в соответствии с поставленной целью); из них выбираются такие, для которых есть данные и знания достаточные, чтобы численно определить параметры балансовых соотношений; выделяются наиболее значимые связи-процессы. В соответствии с целью, выделяются основные характеристики этих процессов. Задается пространство состояний системы.
При моделировании сложных систем в различных областях науки, таких как биология, экономика, физика и другие, где проведение исследований напрямую связано с анализом экспериментальных данных существует проблема оценки числовых характеристик и согласования полученных значений (т.е. сведение в единую систему в соответствии с заданным набором условий). Имеющиеся данные, как правило, фрагментарны и неполны, либо противоречивы. Особые затруднения возникают в случае, когда искомые величины не могут быть измерены непосредственно. В качестве примера можно привести задачу определения элементов орбит небесных тел. На первом этапе в результате серии наблюдений получают координаты небесных тел (склонение и прямое восхождение) в заданные моменты времени. Затем решением уравнений, связывающих наблюдаемые координаты с элементами орбиты небесного тела, выводятся сами искомые элементы орбит. Если число неизвестных равняется числу уравнений, то имеет место единственное решение. Если же число уравнений больше числа неизвестных, то, вследствие ошибок наблюдений, результаты решений отдельных групп этих уравнений в различных сочетаниях оказываются не согласованными между собой.
Модель формирования перспективного межотраслевого баланса
Одной из важных задач в проблеме повышения надежности систем энергетики является обеспечение устойчивости топливоснабжения при холодных зимах. Существует ряд факторов непосредственно влияющих на отказоустойчивость ТЭК (топливоэнергетического комплекса) в экстремально холодные зимы. В данной работе основное внимание уделено проблеме повышения потребности в топливе на отопление в результате увеличения длительности отопительного периода и (или) понижении средних зимних температур.
На основании многолетних данных температурных наблюдений можно оценить вероятность наступления теплой или холодной зимы конкретного региона, и, исходя из этого, сформировать оптимальный (по математическому ожиданию ущербов и затрат) план мероприятий предупреждения негативных ситуаций энергоснабжения. В частности, особый интерес представляет исследование возможности маневрирования межрайонным распределением топлива.
В данном разделе представлена реализация технологии моделирования квазистационарной системы, на примере построения математической модели анализа и синтеза надежности топливоснабжения, позволяющая оценить эффективность резервов и запасов котельно-печного топлива по регионам, с учетом межрайонного маневрирования распределением топлива.
В таблице 3.1 представлены данные характеризующие диапазоны и интенсивности возможных отклонений потребностей в топливе на отопление рассчитанные по данным многолетних наблюдений температур по экономическим районам СНГ и пяти укрупненным регионам, каждый из которых содержит до четырех исходных экономических районов. Из этих данных видно, что возможные отклонения потребностей в топливе на отопления варьируются на очень широком диапазоне. Эти отклонения могут составлять, в зависимости от того насколько будет теплая или холодная зима, до 20% от среднеожидаемого уровня, как в сторону снижения (в теплые зимы), так и в сторону повышения (в холодные зимы) потребности. Даже средняя за все годы абсолютная величина отклонений достигает больших значений, по некоторым районам до 8% от среднеожидаемого уровня, что соответствует среднемесячному объему потребления топлива.
Рассматриваются суммарно все виды котельно-печного топлива. Используются данные метеорологических наблюдений, даты начала и окончания отопительных сезонов за период 1881-1980гг. В таблице 3.2 представлены данные о коэффициентах теплопотерь для зданий и результаты количественной оценки интенсивности отклонений расхода топлива на отопление, полученных из указанных исходных данных. Примем следующие допущения:
1. Единица измерения в модели – период от начала одного отопительного периода до начала следующего. Потребность в топливе, объемы поставок и другие параметры учитываются суммарно за год. Таким образом, в модели учитываются только запасы многолетнего регулирования (условная часть из общего объема запасов, не включающая сезонные и текущие страховые запасы).
2. В модели рассматривается условно выделенная часть системы топливоснабжения, обеспечивающая только потребности на отопительные нужды. 3. Не учитываются особенности отдельных видов топлива, рассматривается абстрактный вид котельно-печного топлива.
4. Потребность в топливе задается как случайная величина, функция распределения которой оценивается по данным многолетних наблюдений температуры. В качестве случайной величины рассматриваются также выделяемые на этот год ресурсы топлива У .
5. Все показатели задаются в относительных величинах (% или долевое выражение к математическому ожиданию потребности, принимаемому равным 100%). Этот прием позволяет абстрагироваться от таких моментов, как, например, рост потребности в топливе от года к году.
Оценка ожидаемой потребности в топливе. Ожидаемая потребность в топливе, при реализации метеоусловий прошлых лет оценивается по формуле [20, 121]: QT = V(IBT (З.І) где т = 1,...,Т- номера рассматриваемых отопительных периодов, V -объем отапливаемых помещений, q - коэффициент теплопотерь зданий, отражающий особенности конструкций в рассматриваемом регионе, Вт -показатель интегральной разности температур внутри и вне здания за отопительный период, измеряемый в «градусоднях» BT=Y,(tjT) 7=1 , (3.2) где j - номер суток отопительного периода, пт - продолжительность отопительного периода, tJT - среднесуточная температура наружного воздуха, t - нормативная температура внутри здания (18С). Потребность в топливе на отопление измеряется пропорционально величине потребности в энергии на отопление QT . Возможные отклонения от среднеожидаемого уровня вычисляются следующим образом: Ьт=Вт/В,т = 1,...,Т, (3.3) т - 1 при В тА Вт (3.4) 1 7=1 В таблице 3.1 приведены значения следующих показателей, выраженные в % к среднеожидаемой потребности: наибольшие отклонения в сторону снижения - спад (в теплые зимы) и возрастание потребности -подъем (в холодные зимы) А = mm(bT -1), А = max(Z T -1), г = 1,...,Г. (3.5) Диапазон колебаний - А = А - А. (3.6) т Величина интенсивности колебаний характеризует среднее за многолетний период значение регулируемых отклонений потребности в топливе на отопление. Данные таблицы 3.1 показывают, что разница между потребностью в топливе наиболее теплых и наиболее холодных зим может быть большой. А из этого следует, что ориентироваться только на расходы прошлых лет при выделении ресурсов топлива рискованно.
Функция плотности вероятности потребности в топливе. Для получения функции плотности вероятности потребности в топливе используются результаты расчета за прошлые периоды показателей отклонений расхода топлива на отопление от среднеожидаемого уровня (3.1) – (3.7).
Пример оценки параметров отдельных объектов моделируемой системы
В работе [95] приведен другой, независимый метод оценки коэффициента смертности для популяции макрогектопуса, основанный на данных о размерном составе популяции представленных в работах [19, 100]. Минимальное значение коэффициента смертности оцененное по этим данным равно Яm =6,4729. Эта оценка достаточно близка к результатам предыдущего расчета представленным в таблице 3.4. Это значит по теореме 2 (глава 2 п. 2.4), что мы можем использовать оба метода с различными весами, причем все возможные значения искомой оценки будут варьироваться между полученными в обоих случаях оценками - [5,6 - 6,4].
Примем в качестве модельного параметра hm =6. Отметим, что в работе [6] фактически приведены противоречивые данные относительно продукции макрогектопуса (стр.511-512). Здесь потребление макрогектопуса рыбами (673 тыс.т) в два раза превосходит цифру его продукции (330 тыс.т). В этом же источнике (см. стр.519) приведен общий запас биомассы данной популяции в озере, равный 110 тыс.т., т.е. Р/В-коэффициент, по одной версии имеет значение 6, а по другой равен 3.
Данное противоречие разрешимо в условиях принятой гипотезы о едином коэффициенте смертности для всей популяции макрогектопуса:
Лm =6, тогда продукция будет равна 6 110 тыс.т. = 660 тыс.т., что соответствует количеству макрогектопуса, выедаемого другими рыбами. Данный факт является дополнительным подтверждением правильности оценки коэффициента смертности макрогектопуса равного 6.
Оценка коэффициента смертности для годовиков популяций большой и малой голомянок. Согласно выводам, полученным в работе С.А. Северцова [112] предположим, что коэффициент смертности годовиков голомянок отличен от коэффициента смертности взрослых особей. Мы располагаем численными значениями оценок коэффициентов рождаемости: для малой голомянки рd = 597,6 личинок/год, для большой pb = 500 личинок/год, и коэффициентов смертности для взрослых особей: для малой голомянки = =0,68; для большой = =0,48. Время начала репродуктивного периода и время жизни особи оценивается в работе Г.В. Старикова [115]: для малой голомянки Г/ =2,5 года, =6,5 лет, для большой - Т2Ь =3,5 года, Т3Ь =7,5. Время жизни годовиков можно оценивать по разному - 10 месяцев, 11 месяцев или 12 месяцев.
Для оценки коэффициентов смертности возрастной группы годовиков в популяциях большой и малой голомянок воспользуемся формулой (3.45).
Как видно из таблицы 3.6, значения коэффициентов смертности для возрастной группы годовиков большой и малой голомянок оказались практически равны между собой, несмотря на различные исходные данные для каждого вида.
Этот факт согласуется с нашими представлениями о жизнедеятельности данных видов. Так как годовики обоих видов голомянок относятся к одной размерной группе и разделяют единую среду обитания, а, следовательно, подвержены влиянию одних и тех же факторов (в том числе пресс со стороны хищничающих взрослых рыб), разумно предположить, что они будут обладать одинаковым коэффициентом смертности. Далее значение коэффициента смертности годовиков голомянок будем считать равным \ =\ = 5,69.
Исходя из принадлежности рачков макрогектопуса и годовиков голомянок к одной размерной группе, а также напряженных трофических взаимоотношений в пелагиали мы можем принять гипотезу о едином коэффициенте смертности для этих организмов - \ =\ = /Г = 5,69.
При построении балансовых моделей предполагается, что система находится в устойчивом состоянии, т.е. численность каждой возрастной группы не меняется в течение года (допущение 2).
Каждая из автономных моделей описывает равновесное состояние популяции. Равновесное состояние обеспечивается подбором параметров в рамках полученных ранее оценок. Начальные значения численностей исследуемых популяции (шт./м2) оценивались по имеющимся данным натурных наблюдений. Так, согласно [6] численность малой голомянки в разные годы составляла от 22 до 41 млрд. экз. (от 0,847 до 1,57 взрослых особей/ м2), в то время как численность большой голомянки изменялась от 7 до 10 млрд. экз. (от 0,26 до 0,385 взрослых особей/м2). Численность годовиков голомянок была найдена по формуле, полученной из (3.33): Численность макрогектопуса оценивалась исходя из отношения его продукции к продукции годовиков голомянок. Модель большой голомянки. Согласно (3.21) динамика численности популяции описывается следующей системой:
Исходные параметры для построения модели: коэффициент смертности годовиков \ =5,69; предельный возраст группы годовиков 7 =1 год; коэффициент смертности группы неполовозрелых особей /=0,48; возраст начала половой зрелости Т = 3,5 года; коэффициент смертности группы половозрелых особей А% = 0,48; предельное время жизни особи Г36=7,5лет; коэффициент рождаемости рь =500 личинок; число особей под 1 м2, родившихся за один год (оценено по данным [6]) Nb0 = 59; коэффициенты оттока численностей из одной возрастной группы в другую 6 =0,0209; 6 =0,2068; 6 =0,0825.
Вследствие того, что взрослые особи большой голомянки являются хищниками по отношению к собственной молоди, коэффициент смертности для годовиков уже не может быть константой, а должен находиться в линейной зависимости от численности второй и третьей возрастных групп. Известно, что на долю малой голомянки приходится 69,8 % продукции макрогектопуса, на долю большой - 22,3%, а на долю других рыб - 7,8% [6]. Так как раннее мы приняли гипотезу о едином коэффициенте смертности для годовиков голомянок и для макрогектопуса, то можем распространить эти проценты и на годовиков голомянок. Таким образом, коэффициент смертности для годовиков большой голомянки удовлетворяет следующему соотношению: Nh +Nh 4=4 (0,078 + 0,698 + 0,223 2 3 ) (3.39)
Изменение численности годовиков большой голомянки, влечет изменение рациона рыб старших возрастов. В свою очередь изменение рациона может повлиять на репродуктивность, следовательно, коэффициент рождаемости в модели также уже не может являться константой. Для вывода соотношения модельного коэффициента рождаемости приведем следующие рассуждения. Голомянки поедают 608 тыс.т макрогектопуса и 78 тыс.т рыбной пищи [6]. Рыбной пищей являются годовики голомянок и других рыб. В первую очередь необходимо определить долю годовиков большой голомянки в рационе взрослых особей.