Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Галдина Дарья Денисовна

Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды
<
Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Галдина Дарья Денисовна. Тепловой взрыв частиц в случайном поле температуры среды: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 05.13.18 / Галдина Дарья Денисовна;[Место защиты: ФГБОУ ВПО Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана], 2016.- 95 с.

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Обзор и анализ литературных источников по теме исследования 8

1.1. Цель и задачи исследования 18

1.2. Основные положения, выносимые на защиту 21

Глава 2. Влияние временной структуры флуктуаций температуры газа на воспламенение мелкодисперсных частиц 23

2.1. Критическая температура 26

2.2. Уравнение для ФПВ температуры частиц 30

2.3. Стационарное решение уравнения для ФПВ 37

2.4. Уравнения для моментов 39

2.5. Безразмерная форма уравнений для моментов 42

2.6. Результаты расчетов 44

2.7. Выводы по главе 2 46

Глава 3. Спектральный анализ случайных флуктуаций температуры частиц 48

3.1. Спектральное представление 48

3.2. Корреляционные функции 50

3.3. Выводы по главе 3 58

Глава 4. Время ожидания воспламенения мелкодисперсных частиц при случайной температуре газа 59

4.1. Уравнение для времени ожидания теплового взрыва 61

4.2. Метод прямого численного моделирования 65

4.3. Результаты расчетов 67

4.4. Выводы по главе 4 75

Заключение и выводы по диссертационной работе 76 Стр.

Литература

Введение к работе

Актуальность темы. Во многих технических приложениях, например,
камеры сгорания авиационных двигателей, тепловые энергетические станции,
каталитические химические реакторы и в природных явлениях, например,
лесных пожарах, встречаются дисперсные системы химически реагирующих
частиц в условиях существенных случайных флуктуаций температуры,
концентрации реагентов, скорости потока. По сравнению с детерминированным
значением параметров наличие флуктуаций характеристик среды вносит
принципиально новые эффекты в физику процессов горения и теплового
взрыва. Основополагающий вклад в развитие современной теории горения и
взрыва внесли целый ряд российских и зарубежных ученых: Н. Н. Семёнов,
Я.Б. Зельдович, Г.И. Баренблатт, В.Б. Либрович, А.Г. Мержанов, В.Р.

Кузнецов, В.А. Сабельников, F. A. Williams, P. A. Libby, S. B. Pope и др.

Детерминированная теория горения разработана достаточно полно. В связи с широким использованием турбулентных реагирующих течений возникает проблема учета влияния флуктуаций скорости потока, концентраций реагентов и температуры на интенсивность химических экзотермических реакций. В случае гомогенного горения разработаны различные модели турбулентного смешения газообразных реагентов. В то же время вопрос о влиянии флуктуаций температуры на скорость химических превращений исследован недостаточно. В модели химической реакции Аррениуса скорость реакции экспоненциальным образом зависит от температуры. Поэтому следует ожидать существенного влияния флуктуаций температуры среды на интенсивность химических превращений.

Флуктуации температуры характерны не только для турбулентных течений, но и появляются в аппаратах химической технологии. Например, в реакторах синтеза искусственной нефти по технологии Фишера-Тропша (GTL, gas to liquid). В этой технологии из синтез-газа (СО+Н2) на кристаллитах кобальта, внедренных в пористую поверхность гранул катализатора, происходит образование высокомолекулярных органических соединений. Синтез сопровождается экзотермическими реакциями, мощность которых достаточна, чтобы вызвать существенные перегревы гранул катализатора. Флуктуации температуры в реакторах возникают при выключении реактора, при пуске и переходе на другие условия эксплуатации. Флуктуации температуры могут возникать и в системе охлаждения реактора. Охлаждение реактора осуществляется потоком кипящей воды при повышенном давлении. Известно, что в двухфазной среде могут появляться флуктуации температуры с заметной амплитудой.

Существенные флуктуации температуры характерны при обтекании гиперзвуковых летательных аппаратов в высоких слоях атмосферы. При обтекании обшивки летательного аппарата возможно возникновение экзотермических химических реакций.

Воспламенение дисперсного топлива и тепловой взрыв дисперсных гранул – быстрый рост температуры – являются важными явлениями, определяющими

компоновку камер сгорания и технологические условия эксплуатации каталитических реакторов.

В детерминированной теории горения и взрыва условия теплового взрыва определяются критической температурой, величина которой зависит от геометрии объекта и химической кинетики. Существенная зависимость скорости химической реакции от температуры и экстремальное свойство случайных процессов приводят к принципиально новым эффектам, изучение которых представляет интерес с научной и практической точек зрения.

В диссертации рассматривается влияние флуктуаций температуры среды на тепловую стабильность одиночных частиц с гетерогенными химическими реакциями, проходящими на внутренней пористой поверхности или на внешней поверхности частиц. Под тепловой стабильностью понимаются условия, когда частица не переходит в область высокой температуры, соответствующей диффузионной стадии горения.

Постановка задачи диссертационной работы близка к современному бурно развивающемуся направлению исследований о влиянии случайных флуктуаций параметров среды на поведение систем с резко меняющимися параметрами. Этот класс задач актуален для микробиологии, генетики, передачи информации, экономики.

Современная теория случайных процессов создана трудами советских, российских и зарубежных ученых: А.А. Марков, А.Н. Колмогоров, И.И. Гихман, А.В. Скороход, В.И. Тихонов, Р.Л. Стратонович, P. P. Lvy, K. It, H. Risken, N.G. Kampen, W. Feller, H.A. Kramers и др.

Исследование диссертации ограничивается статистически стационарными случайными процессами, для которых справедлива эргодическая теорема: осреднение по ансамблю случайных реализаций процесса совпадает с осреднением по времени.

Выделяют два класса случайных процессов, свойства которых принципиально различаются. Критерием принадлежности к этим классам служит поведение автокорреляционной функции. Выделяют белый шум с дельта-коррелированной во времени автокорреляционной функцией и цветной шум с конечным временем затухания автокорреляционной функции. Приближение белого шума справедливо, когда временной интегральный масштаб автокорреляционной функции существенно меньше характерного времени релаксации системы. С математической точки зрения исследования с участием дельта-коррелированного во времени случайного процесса существенно более просты, чем с цветным шумом.

В литературе отмечается, что под воздействием цветного шума в поведении динамической системы появляются принципиально новые эффекты, исчезающие для белого шума.

В теоретических работах, выполненных в двухтысячных годах в России, были проведены исследования влияния белого шума на процесс воспламенения при гетерогенной химической реакции на поверхности частиц. Полученные результаты иллюстрируют ряд необычных эффектов, обусловленных экстремальными свойствами случайных процессов. Результаты, полученные в

этих исследованиях для дельта-коррелированного во времени процесса, некорректно использовать в случае, когда время релаксации системы сопоставимо с интегральным временным масштабом флуктуаций температуры среды. Это существенно сужает область практического использования выводов проделанных ранее исследований, кроме того пропадает ряд принципиальных эффектов, характерных для цветного шума. Следует также отметить, что аналитические формулы ранних исследований не подкреплялись ни экспериментом, ни данными прямого численного моделирования.

Актуальность диссертации следует из недостаточной разработанности методов аналитического и численного моделирования поведения частиц с гетерогенными экзотермическими химическими реакциями в условиях существенных флуктуаций температуры среды.

Основной целью диссертационной работы является изучение влияния
флуктуаций температуры среды, моделируемых случайным процессом с
конечным временем затухания автокорреляционной функции, на границу
возникновения теплового взрыва. Скорость химической реакции

аппроксимируется зависимостью Аррениуса. Исследования диссертации
реализованы на основе двух принципиально различных подходов.

Аналитический подход использует аппарат функции плотности распределения
вероятности флуктуаций температуры частиц с учетом экзотермической
химической реакции. В отличие от случая дельта-коррелированного во времени
процесса для цветного шума необходима специальная процедура при
получении замкнутого уравнения для функции плотности вероятности
распределения температуры частиц. При замыкании уравнения для функции
плотности вероятности используется эффективный современный

математический аппарат, разработанный в трудах российского математика В.И. Кляцкина и основанный на методе функционального дифференцирования.

В диссертации предложен также метод прямого численного

моделирования динамики изменения температуры частиц с химической экзотермической реакцией в случайном поле температуры среды. На основе решения системы стохастических дифференциальных уравнений моделируется как цветной шум флуктуаций температуры среды, так и случайное поведение температуры тепловыделяющих частиц в условиях возникновения теплового взрыва.

Полученные в диссертации оригинальные результаты представляют научный и практический интерес для развития теории дисперсных турбулентных потоков с химическими превращениями, а также при конструировании и выработке рекомендаций по выбору конструкторских решений и режимных параметров работы каталитических реакторов для синтеза искусственной нефти.

Для достижения поставленных целей потребовалось решение следующих основных задач:

- Переход от уравнений Лагранжа теплообмена одиночных частиц к континуальному описанию на основе функции плотности вероятности

распределения актуальной температуры частиц с гетерогенными химическими реакциями в случайном поле температуры среды.

Получение замкнутого уравнения для функции плотности вероятности распределения актуальной температуры частиц. Исследование на основе системы уравнений для осредненной температуры и дисперсии температуры частиц взрывного поведения частиц с внутренним тепловыделением.

Расчет времени ожидания теплового взрыва на основе уравнения Понтрягина для среднего времени первого пересечения случайным процессом границ заданного интервала.

Получение аналитических решений для осредненных параметров случайной температуры частиц без тепловыделения, которые используются для тестирования метода прямого численного моделирования.

Разработка метода прямого численного моделирования актуальной температуры частиц с внутренним тепловыделением в случайном поле температуры среды. Тестирование метода численного моделирование. Сопоставление результатов аналитического и численного методов исследования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты, которые выносятся на защиту:

Впервые получено замкнутое уравнение для функции плотности вероятности распределения температуры частиц с внутренними экзотермической реакцией при температуре среды, моделируемом случайным процессом Гаусса с конечным временем вырождения автокорреляционной функции (цветной шум).

Впервые на основе системы сопряженных уравнений для средней температуры и дисперсии температуры проведен анализ взрывного поведения частиц с тепловыделением в случайном поле температуры среды.

Впервые на основе решения уравнения Понтрягина для среднего значения перового времени пересечения случайным процессом заданных границ интервала проведены расчеты времени задержки теплового взрыва.

Впервые на основе решения системы стохастических дифференциальных уравнений предложен метод прямого численного моделирования актуальной температуры частиц с внутренним тепловыделением в среде с температурой моделируемой цветным шумом. Проведен анализ результатов, полученных аналитическими методами и прямым численным моделированием.

Практическая значимость диссертационной работы связана с ее прикладной ориентацией. Результаты работы использованы в ФГБНУ ТИСНУМ (г. Троицк, Россия) при разработке промышленного реактора Фишера-Тропша с неподвижным слоем катализатора мощностью 5000 нм3/ч с продуктивностью 500 кг/ч стабильных жидких углеводородов.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории
горения, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений
математической физики, теории случайных процессов и методы

функционального анализа, методы численного анализа математических моделей и вычислительной математики.

Достоверность и обоснованность полученных результатов и выводов

гарантируется строгостью используемого математического аппарата и
подтверждается сравнением результатов, полученных с использованием
вычислительных экспериментов с аналитическим решением.

Сформулированные в работе допущения обоснованы как путем их содержательного анализа, так и методами математического моделирования.

Апробация результатов работы. Результаты работы докладывались на 8-
ом Международном симпозиуме по турбулентности, тепло- и массопереносу
(Сараево, Босния и Герцеговина, 2015), Всероссийской конференции
«Авиадвигатели XXI века» (Москва, 2015), 6-ой Российской национальной
конференции по теплообмену (Москва, 2014), Всероссийской конференции
XXXI «Сибирский теплофизический семинар» (Новосибирск, 2014), XIX
Школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством РАН
А.И.Леонтьева (Орехово-Зуево, Россия, 2013), 7-ой Всероссийской

конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2013), Международной конференции «Математические модели технических наук» (Париж, Франция, 2012), XVII Школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством РАН А.И.Леонтьева (Зеленоград, Россия, 2011).

Результаты использованы при выполнении проектов, поддержанных РФФИ: 11-08-00645-а (Численное и экспериментальное исследование процессов тепло и массопереноса в реакторах с неподвижным слоем катализатора для синтеза высокомолекулярных углеводородов), 14-08-00970-а (Теоретическое и экспериментальное исследование влияния флуктуаций тепловых и гидродинамических параметров на тепловую стабильность каталитического реактора синтеза Фишера-Тропша).

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, в том числе в 5 статьях из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий и 5 трудах Международных и Российских конференций.

Личный вклад соискателя. В диссертацию включены лишь результаты, полученные лично соискателем и результаты, в получении которых соискатель принимал непосредственное активное участие. Заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, трех приложений и списка обозначений. Диссертационная работа изложена на 93 страницах, содержит 15 иллюстраций. Библиография включает в себя 116 наименований.

Основные положения, выносимые на защиту

Уравнение (2.13) – прямое уравнение Колмогорова и является аналогом уравнения Фоккера-Планка [Гардинер, 1986], [Risken, 1989] для случайной температуры частиц с тепловыделением. Слагаемые в левой части уравнения (2.13) описывают эффекты нестационарности и дрейфа ФПВ температуры частиц в фазовом пространстве. Слагаемое в правой части уравнения (2.13) представляет диффузию плотности вероятности с неоднородным нестационарным коэффициентом диффузии в фазовом пространстве температур. В уравнении (2.13) f@(& ,t) - функция отклика температуры частиц на флуктуации температуры газа /4М=±К(Ф4- )Ф в о (2.14) Анализ функции отклика проводится при экспоненциальной аппроксимации автокорреляционной функции флуктуаций температуры газа х/( ) = ещ (- /Т&). Экспоненциальное затухание корреляционной функции соответствует поведению флуктуаций на энергоемких масштабах [Wetchagaruna, Riley, 2010]. Для частиц без химической реакции ц(0р) = т0 для достаточно большого времени наблюдения ґ»(т0,Г0) из формулы (2.14) вытекает выражение для функции отклика y =(l + Q@) , зависящей только от параметра тепловой инерции частиц (см., например, [24]). При выполнении неравенства т& Т& функция отклика f& =Т&/т& = Q0 cl соответствует дельта-коррелированному во времени процессу флуктуаций температуры газа. Отметим также, что при аппроксимации флуктуаций температуры газа белым шумом функция отклика (2.14) даже с экзотермической реакцией не зависит от мощности тепловыделения.

Временная структура корреляции случайной температуры газа качественно меняет ситуацию. Для экспоненциального затухания корреляции температуры газа функция отклика (2.14) равна

Выделяются два случая. В первом случае, когда рассчитывается только динамика пересечения температурой частиц критического значения 0/7, выполняется неравенство 1 + т0/70(і-Г0/те) О, и в выражении (2.15) можно перейти к пределу t Х)

Из формулы (2.16) следует, что для частиц с малой тепловой инерцией Q0 —» 0 влияние флуктуаций температуры газа на тепловые параметры частиц исчезает. Для частиц со значительной тепловой инерцией Q0»1 влияние флуктуаций температуры газа также ослабевает. Для медленной химической реакции, когда характерное время роста температуры частиц вследствие химической реакции больше интегрального временного масштаба TQ T& интенсивность флуктуаций температуры частиц определяется их тепловой инерцией. Во втором случае быстрой химической реакции 7@»те показатель экспоненты в формуле (2.15) может принимать отрицательные значения 1 + t/T(1/tQ) 0. Это свидетельствует об интенсивной дополнительной генерации флуктуаций температуры частиц вследствие колебаний скорости химической реакции. В этом случае необходимо учитывать зависимость функции отклика от времени. Второй случай, как правило, реализуется при исследовании динамики изменения температуры частиц вплоть до температуры горения 0Ш.

В ПРИЛОЖЕНИИ (П.3) представлен классический вывод замкнутого уравнения для ФПВ температуры частиц, если флуктуации температуры среды моделируются белым шумом. Обсуждается также принципиальная разница в физических результатах, получаемых при различной аппроксимации флуктуаций температуры среды.

Эффект потери тепловой стабильности частицей во флуктуирующем поле температуры подтверждается стационарным решением замкнутого уравнения для ФПВ (2.13) f exp d d0 (Q/)-Q, QA E V R PJ ф-К) /в(0„Оф-Ю ФПВ Ф Є2г d x0 d2 Стационарное распределение ФПВ 4 st имеет ярко выраженную бимодальную структуру (Рис. 2.3). Максимумы стационарного распределения ФПВ сосредоточены вблизи устойчивых корней I и III на диаграмме Семенова (Рис. 2.4). С ростом параметра тепловой инерции частицы максимум, расположенный в области высоких температур, увеличивается по сравнению с максимумом в области низких температур. На основе Рис. 1.3 можно сделать заключение, что во флуктуирующем поле температуры несущей фазы независимо от начальной температуры частицы всегда произойдет тепловой взрыв.

Стационарное решение уравнения для ФПВ

Расчеты проведены при следующих значениях безразмерной энергии активации и тепловыделении Е =7, Q =3\. Исследуется зависимость от параметра тепловой инерции Q0 и безразмерной амплитуды флуктуаций / \V2 температуры среды {у Л . Функция отклика частиц (2.15) немонотонным образом зависит от температуры (см. Рис. 2.5). Функция отклика имеет максимум при температуре, находящейся в районе критической. Вблизи критической температуры функция отклика может быть существенно выше единицы, что свидетельствует о дополнительной генерации флуктуаций температуры частиц вследствие колебаний скорости химической реакции.

При аппроксимации флуктуаций температуры газа белым шумом функция отклика всегда меньше единицы. Функция отклика также немонотонным образом зависит от параметра тепловой инерции (см. Рис. 2.6). Для частиц с малой тепловой инерцией Q0 - 0 функция отклика стремится к единице. С ростом параметра тепловой инерции после прохождения максимального значения, величина которого зависит от температуры частицы, функция отклика монотонно снижается.

Флуктуации температуры по сравнению с детерминированными условиями качественно меняют динамику воспламенения частиц. Корреляция флуктуации температуры и скорости химической реакции частиц приводит к дополнительной генерации флуктуаций температуры частиц. Реализуется дрейф температуры частиц к условию возникновения теплового взрыва. Рис. 2.7 иллюстрирует динамику изменения осредненной температуры и дисперсии температуры частиц. Начальная температура частиц совпадает с температурой газа. Видно, что с течением времени осредненная температура частиц пересчет критическое значение и произойдет их воспламенение (Рис. 2.7(а)). Вблизи температуры воспламенения наблюдается существенный / о \ 1/2 рост амплитуды флуктуаций температуры частиц (у2) (Рис. 2.7(б)). Отметим, что с точки зрения детерминированной теории воспламенение при начальной температуре, показанной на Рис. 2.7(а), - невозможно (см. для сравнения Рис. 2.3). Рис. 2.5. Зависимость функции отклика частиц от безразмерной температуры при = 5, Q0 =: 1 -0.5; 2 - 1; 3 - 1.3. Штриховые линии - без учета тепловыделения

Зависимость функции отклика частиц от параметра тепловой инерции при различных значениях безразмерной температуры: Г : 1 - 2; 2 - 4; 3 - 5; 4 8; 5 - 12. Штриховая кривая - без учета тепловыделения. Остальные подписи как на Рис. 1.5

Исследовано влияние цветного шума, моделирующего флуктуации температуры газа вдоль траектории частиц, на тепловую стабильность мелких частиц с гетерогенной экзотермической химической реакции. Современными методами функционального анализа получено замкнутое уравнение для ФПВ флуктуации температуры частиц. Динамика воспламенения исследуется на основе системы обыкновенных дифференциальных уравнений для осредненной температуры и дисперсии температуры частиц. Показано, что при использовании приближения белого шума для моделирования флуктуации температуры газа исчезает ряд принципиальных эффектов, связанных с развитием теплового взрыва. Временная структура корреляции флуктуации температуры газа обуславливает самоускоряющийся дрейф температуры частиц к критическому значению, после которого частицы воспламеняются. Критический уровень температуры устанавливается на основе классической диаграммы Семенова. В стационарном состоянии ФПВ случайной температуры частицы имеет бимодальную структуру. Максимумы стационарной ФПВ температуры частицы расположены вблизи устойчивых стационарных температур диаграммы Семенова. Бимодальная структура ФПВ свидетельствует о безусловном переходе частицы с внутренним тепловыделением к режиму теплового взрыва.

Корреляционные функции

Численное интегрирование системы СОДУ (4.7) и (4.8) осуществляется методом Эйлера-Маруямы). Сбор и обработка актуальной информации, получаемой в результате решения системы СОДУ, начинается после достаточно больших времен интегрирования »(TO,Q0,1). Для таких времен устанавливается статистически стационарное состояние флуктуаций температуры газа и частиц без тепловыделения. В связи с этим начальное значение для уравнения (4.7) выбирается произвольным образом, например, у, (О) = 0. Начальное значение температуры частиц в уравнении (4.8) Г (0) = Г Тестирование предложенного алгоритма осуществляется путем сравнения с аналитическими решениями системы СОДУ для частиц без тепловыделения. В этом случае уравнение для безразмерной флуктуаций температуры частиц ур() = Qp(0/(@/) ((УР(0) = ) имеет вид dy,(S) УЛЇ)-УР& = . (4.9)

Начальное условие для уравнения (4.9), например, отсутствие флуктуаций температуры у (0) = 0.

В главе 3 на основе спектрального анализа случайных процессов из уравнений (4.7) и (4.9) были получены осредненные характеристики случайных флуктуаций температуры газа и частиц. Автокорреляционная функция флуктуаций температуры газа имеет вид

Квадратный корень из отношения дисперсий флуктуаций температуры частиц и газа равен р, Д/1 + QQ (4.11) Автокорреляционная функция Ч ) флуктуаций температуры частиц определяется следующим образом Для частиц без тепловыделения автокорреляционная функция p( ) имеет вид, 0 Ч (,)= У } V } . (4.12) p 1-О0 Из выражений (4.11) и (4.12) видно, что для частиц с малой тепловой инерцией Q0 «1 интенсивности флуктуаций температуры газа и частиц близки, а автокорреляционная функция (4.12) стремится к автокорреляционной функции газа (4.10). Для частиц с большой тепловой инерцией Q0»l дисперсия флуктуаций температуры частиц снижается (Yp/\Yf) V , а автокорреляционная функция стремится к Ч p () ехр(-/О0).

На Рис. 4.1 показаны рассчитанные по уравнениям (4.7) и (4.9) актуальные температуры газа и частиц с различной тепловой инерцией. Видно, что с ростом параметра тепловой инерции амплитуда тепловых колебаний частиц снижается. Этот вывод подтверждается также Рис. 4.2, на котором представлено сравнение аналитического результата (4.11) с данными численного моделирования на основе решения системы СОДУ (4.7), (4.9). Расчеты интегральных параметров флуктуаций температуры осуществляются по 104 реализациям актуальных температур газа и частиц. Рис. 3 иллюстрирует автокорреляционные функции флуктуаций температуры газа и частиц. С ростом тепловой инерции автокорреляционные функции частиц затухают медленнее, чем газа. Из Рис. 4.2 и 4.3 видно удовлетворительное согласие между аналитическими результатами и данными прямого численного моделирования.

Влияние экзотермической химической реакции на температуру частиц в газе с флуктуациями температуры исследуется на основе решения системы СОДУ (4.7) и (4.8). Все расчеты проведены при фиксированных значениях безразмерного тепловыделения и энергии активации Е = 7, Q = 31. На рис. 4.4 (а, б) представлены фрагменты результатов численного расчета актуальных температур частиц для двух параметров тепловой релаксации. / о \ 1/2 Диапазон рисунка по оси абсцисс равен ±3( у У . С ростом параметра тепловой релаксации тепловой взрыв происходит при более ранних временах. Начальные температуры частиц равны температуре газа. Видно, что вследствие случайных флуктуаций температуры газа температура частиц может стать даже ниже осредненной температуры среды. Однако с течением времени корреляция случайных флуктуаций температуры частиц и скорости химической реакции выведет температуру частиц к критическому значению. Следует заметить, что сравнительно долгие высокие «экскурсии» температуры газа обусловлены временной структурой флуктуаций температуры [10].

На Рис 4.5 представлены результаты расчетов среднего времени воспламенения в зависимости от начальной температуры частиц. Расчеты проведены путем численного решения задачи (4.5), (4.6) и путем осреднения по 103-104 траекториям случайного времени первого пересечения температурой частиц критического уровня. Видно, что независимо от начальной температуры частиц тепловой взрыв всегда произойдет. По мере приближения начальной температуры частиц к критическому значению Гсг =0сгД0/\ время ожидания воспламенения резко сокращается.

Начальная температура частиц совпадает с температурой среды Г =1. С точки зрения детерминированной теории для подобной начальной температуры стационарная температура частиц будет совпадать с первым корнем на диаграмме Семенова [Мержанов, Дубовицкий, 1966] и теплового взрыва не произойдет [Франк-Каменецкий, 1987], [Зельдович и др., 1980], [Худяев, 2003]. Ситуация кардинально меняется в случайном поле температуры газа. До момента пересечения случайной температурой частиц критического уровня ГД ) Гсг колебания скорости химической реакции вносят существенный вклад в дисперсию флуктуаций температуры частиц. В случайной поле температуры газа температура частиц монотонно дрейфует к критическому уровню, превышение которого приводит к развитию теплового взрыва (Рис. 4.4). Из Рис. 4.5 также видно, что моделирование флуктуаций температуры газа белым шумом на порядок завышает время ожидания воспламенения частиц. Следует также отметить существенную зависимость времени воспламенения от амплитуды флуктуаций температуры газа.

Метод прямого численного моделирования

В этом приложении представлен подробный переход от уравнения в частных производных, описывающего перенос тепла в сферической частице к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Рассматривается сферическая частица в жидкой среде. Внутреннее тепловыделение является результатом экзотермической химической реакции и теплопроводности внутри объема частицы. Уравнения распределения температуры в частице имеет следующий вид: (АЛ) РрсРQt = dlvL srad0P (r 0J+PPQAQXP Е ЯнДг,ґ) Здесь рр, ср, Хр плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности материала частицы, соответственно; А скорость химической реакции; Q тепловой эффект реакции; Ru универсальная газовая постоянная; Е энергия активации химической реакции. Граничные условия, описывающие теплоотдачу с поверхности частицы в окружающую среду: а{0Дг,ОЦ/2-0/(о}. (А.2) -Xр р дг 8Qp(r,t) r=dp/2 Здесь d диаметр частицы, а коэффициент теплоотдачи, f(t) нестационарная температуры окружающей жидкости. Для аналитического исследования, мы переходим к температуре, осредненной по объему частицы pJt) = — jp(r,t)dr . (А.З) р VP Здесь Vp объем частицы. После применения операции осреднения (А.З) к уравнению (АЛ), мы получаем следующее выражение: { янДго dдо , л , . і mpcp dt = (J)AV0 (r,n ds + mOA— exp dt Y p рУ Jr=dp/2 p V J Здесь 5і площадь поверхности частицы; т = р V масса частицы. Учитывая граничные условия (А.2) записываем

Чтобы получить обыкновенное дифференциальное уравнение, мы принимаем гипотезу о том, что температура частицы изменяется незначительно по всему его объему Исходя из предположения о малых изменениях температуры внутри частицы, мы имеем В результате, из выражения (A.4) получаем уравнение для осредненной температуры частицы с внутренним тепловыделением и теплоотдачей с поверхности частицы

Здесь ар=Хр/ррср коэффициент теплопроводности материала частицы. Уравнение (А. 5) корректно, если предположить, что время диффузии тепла в объеме частицы меньше, чем характерное время роста температуры за счет химических реакций ха «с xQ. Запишем уравнение для температуры частицы (А.5) в окончательной форме:

Приведем некоторые оценки соотношений между характерными временами процессов. Без химической реакции температура частиц будет однородна по объему, если время диффузии тепла внутри частицы существенно меньше времени тепловой релаксации L = -Nup —«:1 . х0 2 Хр Например, при ламинарном обтекании частиц из корунда Nu = 2 воздухом при 600К отношение времен порядка ха В дальнейшем рассматривается процесс теплового взрыва, когда температура частицы пересекает некоторый критический уровень. В этом случае скорость химической реакции невелика, по сравнению со скоростью устойчивого горения.

Температуру частицы в объеме можно считать постоянными, если характерное время диффузии тепла внутри частицы существенно меньше, чем характерное время изменения температуры за счет химических реакций 1Q I&1Q 2 P 4 Q Скорость гетерогенных реакций внутри частиц в кинетическом режиме невелика. Поэтому в дальнейшем считаем, что распределение температуры в объеме частиц однородно.

В этом приложении приводятся некоторые сведения о функциональных производных из монографии [Кляцкин, 1980]. Функциональная производная определяется как дифференциал Гато [Колмогоров, Фомин, 1976] функционала Ф[(р()] с особым видом возмущающей функции 8ср() = 5( - s) 5Ф[ф()] d , v , Ч 5ф( ) dp LWJ + P KS s)l . Существует основное правило функционального дифференцирования 8cp(5) 8ф(т) -» 8($-т) Формула Фурутсу-Новикова представляет расщепление для случайного процесса Гаусса z(t) ((z(t)) = 0) и функционала от него F[z()] z(t)F[z()])= \ds(z(t)z(s)) bz(s) При дифференцировании функционала, описывающего отклик системы на случайное воздействие, необходимо использовать принцип физической причинности. Актуальная температура частицы есть функционал случайного процесса температуры окружающей среды. При расчете функциональной производной от актуальной температуры частицы следует рассматривать значения случайных колебаний температуры среды только на ранних моментах времени

Для объяснения методики работы с функциональными производными представим подробный вывод формулы (2.2). Применяя оператор функциональной производной к фактической температуре частицы (2.8), находим