Введение к работе
Актуальность темы. Проблемы управляемости систем, описывающих поведение каких-либо объектов, часто возникают при решении различных задач у инженеров, физиков, экономистов. Развитие методов, использующих математическое моделирование реальных процессов, повлекло за собой создание математической теории управления (см. работы Понтрягина Л.С, Красовского Н.Н., Зубова В.И., Воскресенского Е.В.). Одной из важнейших и малоразрешенных проблем в этой теории остается краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное конечное состояние. При этом особый интерес представляют методы исследования и расчета нелинейных управляемых систем в критических случаях (т. е. в случаях, когда линейное приближение для системы не является вполне управляемым). Настоящая работа посвящена исследованиям именно в этом направлении.
Целью длиной работы является изучение зависимости свойства управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений от малых изменений параметра.
Методика исследования. Решения исследуемой системы рассматриваются в окрестности известного движения. Требуемое управление отыскивается в виде разложеідай в ряд по известным базисным функциям. Задача сводится к определению условий существования решений недифференциальной системы уравнений относительно постоянного вектора. Доказательства теорем основаны на применении метода неподвижной точки нелинейного оператора.
Научная новизна. Исследуется нелинейная система дифференциальных уравнений самого общего вида. В формулировках теорем, определяющих достаточные условия управляемости, отсутствуют предположения о полной управляемости системы линейного приближения. Рассмотрена задача существования нескольких управлений, разрешающих одну и ту же краевую задачу и отличающихся друг от друга лишь на небольшом отрезке времени.
Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные в работе результаты представляют собой развитие методов математической теории управляемости систем обыкновенных дифференциальных
уравнений. Доказанные теоремы имеют прикладное значение и могут быть использованы при исследовании различных задач физики, химии, экологии.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Условия управляемости системы дифференциальных уравнений, получаемые при использовании матриц линейного приближения.
-
Алгоритм исследования задачи в случаях, когда требуется рассмотрение нелинейных по управлению, параметру и фазовым переменным членов изучаемой системы.
-
Критерии существования множества управлений, разрешающих краевую задачу при фиксированном значении параметра.
Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифферешщалышх уравнений в Рязанском государствешюм педагогическом университете, на VII Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в г. Дубне, на XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, на IV Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Саранске, на V Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на заседаниях V Крымской Международной математической школы "Метод функций Ляпунова и его приложения" в г. Алуште, на семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского, на Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и их приложения в математической экономике" в г. Тамбове.
Публикации. Основные результаты работы отражены в десяти публикациях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы (нумерация сквозная), 6 рисунков, заключения и библиографического списка литературы. Общий объем диссертации - 106 страниц машинописного текста. Библиографический список содержит 78 наименований.