Содержание к диссертации
Введение
1 Взаимодействие импульсов 14
1.1 Импульсы с перемен гюй фазой и энергией 14
1.1.1 Одиночный импульс 15
1.1.2 Дпа импульса 19
1.1.3 Преобразование скобки Пуассона 20
1.1.4 Гамильтониан 24
1.1.5 Физическая модель 2G
1.1.6 Точное решение 27
1.1.7 Результаты сравнения 28
1.1.8 Приближенные решения 38
1.1.9 Заключение 41
1.2 Импульсы с положением и скоростью 43
1.2.1 Взаимодействие двух импульсов 44
1.2.2 Скобка Пуассона 47
1.2.3 Вычисление гамильтониана 47
1.2.4 Результаты численного моделирования 52
1.2.5 Заключение
2 Влияние усилителей на распространение сигнала 64
2.1 Параболические импульсы їусиливающей среде
2.1.1 Основные уравнения параболического приближения
2.1.2 Результаты численного моделирования
2.1.3 Заключение 78
2.2 Временные и амплитудные блуждания 80
2.2.1 Математическая модель
2.2.2 Метод решения 84
2.2.3 Основные уравнения 85
2.2.4 Численные расчеты 97
2.2.5 Заключение 98
3 Квазилинейная модель 102
3.1 Аналитические результаты 102
3.1.1 Квазилинейное решение 104
3.1.2 Аналитическое решение для гауееовских импульсов .106
3.1.3 Оценки числа взаимодействующих импульсов 108
3.2 Результаты численного моделирования 112
3.2.1 Численный алгоритм 112
3.2.2 Временные и амплитудные сдвиги 112
3.2.3 Заключение 118
Заключение 120
- Преобразование скобки Пуассона
- Результаты численного моделирования
- Временные и амплитудные блуждания
- Оценки числа взаимодействующих импульсов
Введение к работе
Распространение спета в оптических волокнах происходит благодаря явлению полного внутреннего отражения. Первые стеклянные волокна без оболочки [lj были изготовлены в 20-х годах нашего столетия, однако, развитие волоконной оптики начинается только в 50-е годы, когда использование оболочечного слоя [2] привело к значительному улучшению характеристик световодов. Изобретение лазеров решило проблему когерентных оптических источников. Одновременное наличие сосредоточенных источников света и оптических световодов с низким уровнем потерь способствовало широкому применению волоконно-оптических линий связи.
Применение оптической коммуникации возможно в любой области, которая требует передачу информации из одного места в другое. В последнее время оптические коммуникационные системы становятся одним из основных средств передачи информации. В качестве бита передаваемой информации в современных оптоволоконных системах используются, так называемые, сол и тоны с дисперсионным управлением (ДУ-шлитоны). Здесь под полигоном подразумевается устойчивое локализованное решение, а не традиционный (фундаментальный) солитон из теории полностью интегрируемых систем. При распространении солитопов в оптоволоконной линии эффекты нелинейности и хроматической дисперсии уравновешивают друг друга, поэтому такие импульсы хорошо подходят для передачи информации па даль-
Введаниа Ь
пие расстояния. Актуальность
В реальных волоконных линиях при распространении солитопов происходит затухание. Для компенсации потерь внутри линии периодически размещаются оптические усилители, которые восстанавливают амплитуду сигнала. Определенные физические эффекты, например такие как случайные амплитудные и временные сдвиги, приводят к взаимодействию импульсов, распространяющихся в оптоволокне, и таким обралом ограничивают применимость солитопмых систем. Для уменьшения таких эффектов были предложены дисперсиошю-упрашшемые системи, т.е. линии состоящие из кусков оптоволокна с разными знаками и значениями дисперсии, периодически повторяющиеся внутри оптоволоконной линии. Распространение солитопов в таких линиях описывается обобщенным нелинейным уравнением Шрсдип-гера с периодическими коэффициентами, которые отражают периодичность конфигурации линии. Описание распространения солитопов в оптических линиях является фундаментальной математической проблемой, и одновременно является ключевым моментом для развитие коммуникационных систем. Для практических приложений важны две основные задачи: развитие новых оптических линий передачи данных, действующих па большие расстояния, и модернизация существующих оптоволоконных сетей. Моделирование процессов в лабораторных условиях для построения оптимальных линий обычно является дорогостоящей задачей. Аналитическое многосолитопиое решение нелинейного уравнения Шредингсра с периодическими коэффициентами не известно, поэтому теоретическое исследование также невозможно. Следовательно, основным средством исследования подобных задач является математическое моделирование. Однако, использование прямого численного модели-
Введение G
рования для практических целей в рамках данного уравнения, например для оптимизации оптоволоконных сетей, приводит к значительным вычислительным затратам. Поэтому актуальной является проблема разработки моделей и методов для быстрых расчетов динамики оптических сигналов на больших расстояниях, а также расчетов параметров и характеристик, необходимых для построения оптимальных конфигураций (с точки зрения минимизации коэффициента ошибки) оптоволоконных линий связи.
Основной научной проблемой, решению которой посвящена диссертационная работа, является разработка упрощенных моделей, позволяющих проводить аналитические и численные исследования эволюции и взаимодействия оптических импульсов в системах с периодически меняющимися коэффициентами дисперсии,затухания/усиления и нелинейности. Цель исследования
Построение и анализ математической модели, описывающей взаимное влияние соседних импульсов, одновременно распространяющихся в оптоволокне в приближении постоянства формы и положения импульсов.
Построение и анализ математической модели, описывающей взаимодействие двух импульсов с постоянной формой и переменными положениями центров.
Исследование методами численного моделирования областей параметров оптической линии при которых сигнал приобретает параболическую форму. Изучение зависимостей параметров образующегося асимптотического импульса от параметров входного си піші а гауссовой формы.
Исследование влияния внешних игу мои на распространение солитопов с помощью изучения случайных временных и амплитудных сдвигов.
Построение квазилинейной теории для задачи Копій нелинейного уравне-
Введение 7
пия Шрсдипгера с периодическими коэффициентами и сравнение с результатами расчетов полученных в рамках прямого численного моделирования данного уравнения.
Структура и общая характеристика диссертации Диссертационная работа посвящена построению и исследованию различных моделей описания распространения оптических импульсов в нелинейной среде. Особое внимание уделяется сопоставлению полученных теоретических результатов с результатами численного эксперимента. Численное моделирование проводилось и рамках обобщенного нелинейного уравнения Шредингера. В главе 1 предложена модель, описывающая взаимодействие импульсов. Для построения модели используется вариационный подход. Получены динамические уравнения на параметры импульсов. Выполнение законов сохранения позволило упростить исходную систему. В предположении постоянства ширины и формы сигнала найдено точное решение полученной системы. Проведено сравнение теоретической модели с результатами численного моделирования. Во втором параграфе первой главы также используется вариационный подход для исследования взаимодействия импульсов. Однако, теперь предполагается, что положение центра каждого из импульсов меняется с течением времени. В аппроксимации бесконечномерной системы учитывается дополнительный член в разложении фазы по сравнению с предыдущим параграфом. В главе 2 изучается влияние усилителей на эволюцию оптического сигнала. Первый параграф рассматривает процесс образования импульсов параболической формы при их прохождении в усиливающей среде. Приведены результаты численного моделирования динамики оптических сигналов в усилителях различных типов, и установлены области характерных параметров входного сигнала и усиливающей среды, при которых обобщенное нелинейное урав-
Впадение 8
нения Шредипгера имеет автомодельные решения в виде импульсов параболической формы. Во втором параграфе второй главы для анализа качества передачи сигнала в оптоволоконной линии используется меггод линеаризации исходного нелинейного уравнения Шредипгера вблизи произвольного, численно-определенного решения в отсутствии шума. Используя статистические
свойства шума, получены уравнения для дисперсии центрального времени импульса и дисперсии энергии. Для оценки областей применимости метода линеаризации результаты вычисления временных и амплитудных флуктуации, полученных этим методом, сравниваются с результатами вычисления тех же параметров, полученных с помощью метода расщепления для решения исходного уравнения Шредипгера с моделью Монте-Карло для генерации шума.
В главе 3 построена модель, описывающая процесс возмущения исходного распределения поля под влиянием четырехволнового взаимодействия. Получено уравнение, позволяющее вычислять распределение оптического ноля в любой точке временного интервала. Предложен эффективный численный алгоритм для вычисления возмущений поля, основанный на быстром пребразова-іши Фурье. Получены оценки минимального числа соседних импульсов, которые влияют на решение в заданной точке для широкого ряда параметров волоконно-оптической линии связи. Проведены сравнения с численным решением уравнения Шредипгера. Для сравнения вычислены отклонения центрального времени импульса и пиковой мощности для различных параметров линии.
Научная новизна 1. В работе впервые построена математическая моделі», описывающая взаимо-
Втщенне 9
действие оптических импульсов, распространяющихся в нелинейной среде в предположении изменяющихся амплитуды и фазового множителя импульсов. Получено точное решение предложенной системы уравнений для начальных импульсов с одинаковой формой и амплитудой. Установлены условия существования периодических решений.
Построена приближенная модель для случая импульсов с переменными положением и скоростью, распространяющихся в волоконных световодах. Найдены численные решения полученной системы. Исследовано взаимодействие импульсов па основе предложенной модели. Исследовано влияние начального расстояния между импульсами па взаимодействие сигналов. Найдены два режима эволюции импульсов в зависимости от разности фаз между ними.
Исследован процесс генерации параболических импульсов при их распространении в волоконно-оптических усилителях. Для распределенного (рама-повского) усиления исследованы области параметров оптической линии и параметров входного сигнала гауссовой формы, при которых передаваемый сигнал приобретает параболическую форму. Вычислена величина относительной ошибки для различных параметров линии и входного сигнала. Установлено, что увеличение значений мощности накачки приводит к расширению области применимости параболической модели в плоскости пиковой амплитуды и фазового коэффициента. Показано, что при фиксированной ширине импульса отклонение фазового коэффициента от нулевого значения существенно влияет па величину относительной ошибки. Для сосредоточенного усиления определены области наименьшего отклонения решения в рамках параболической модели от численного решения уравнения Шрсдипгера с периодическими коэффициентами в плоскости параметров входная энергия и длительность входного сигнала.
Введение 10
4. Предложена квазилинейная модель, описывающая процесс взаимодействия последовательности оптических импульсов гауссовой формы. Проведено численное моделирование на основе предложенной квазилинейной модели и выполнено сравнение с численным моделированием, использующим нелинейное уравнение Шрсдингсра с периодическими коэффициентами. Основные положения, выносимые на защиту
Предложена модель, описывающая взаимодействие двух оптических импульсов с переменпой амплитудой и фазовым множителем. Найдены точные решения предложенной системы уравнений для начальных импульсов с одинаковой формой и амплитудой.
Построена модель для изучения взаимодействии двух импульсов с изменяющимися положением и скоростью. Показано хорошее согласование с основной моделью, что позволяет использовать ее для численных расчетов вместо нелинейного уравнения Шредипгера с периодическими коэффициентами.
Изучены области применимости параболической модели. Для распределенного (рамановского) усиления установлено, что увеличение значений мощности накачки приводит к расширению области применимости параболической модели в плоскости пиковой амплитуды и фазового коэффициента. Установлено, что при фиксированной ширине импульса отклонение фазового коэффициента от нулевого значения влияет па величину относительной ошибки пропорционально значениям входной пиковой амплитуды сигнала. Для сосредоточенного усиления в плоскости параметров входная энергия и длительность импульса определены области наименьшего отклонения решения в рамках параболической модели от численного решения уравнения Шрсдингера.
Предложена квазилинейная модель обобщенного нелинейного уравнения
Введение 11
Шредингера с периодическими коэффициентами, которая позволяет получить распределение оптического поля в любой точке временного интервала. Показано, что применение полученной модели к моделированию конкретных линий связи позволяет значительно сократить вычислительные затраты благодаря эффективному численному алгоритму.
Достоверность результатов подтверждена сравнением результатов решения полученных приближенных моделей с результатами прямого численного моделирования нелинейного уравнения Шредингера, выполненного с помощью метода расщепления но физическим процессам. Решения, полученные в рамках предложенных моделей, хорошо согласуются с результатами, найденными с помощью прямого численного моделирования. Теоретическая значимость работы
Предложены упрощенные модели, описывающие различные процессы, происходящие при распространении световых импульсов в нелинейной среде. Практическая ценность
Полученные модели могут быть использованы для анализа качества передачи информации с помощью оптических импульсов, для совершенствования параметров существующих линий передачи и конструирования новых линий связи.
Личный вклад
Результаты аналитических исследований и численных экспериментов, включенные в дисертацию, получены автором лично. Апробация работы Научные результаты диссертации докладывались на
— Международных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2001, 2002);
Введение 12
— Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2004); Публикации
Основные результаты диссертации с достаточной полнотой опубликованы в центральных рецензируемых журналах-"Вычислительные технологии", "Вест-пик НГУ", а также трудах международных конференций:
Курикалова М.А., Медведев СБ. Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов: энергия и фаза// Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. -2003. -Т.З. -Вып.2. -С.37-54.
Курикалова М.А., Медведев СБ., Федорук М.П. Использование вариационного подхода для описания взаимодействия оптических импульсов в волоконных линиях связи// Вычислительные технологии. -2003. -Т.8. -Спец.вып. -С.77-85.
Курикалова М.А., Медведев СБ. Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов: положение и скорость// Вестник ИГУ. -2004. -Т.4. -Вып.1. -С.30-46.
Курикалова М.А., Нурсеитов Д.Б., Федорук М.П. Численное моделирование генерации параболических импульсов в усиливающей среде.// Вычислительные технологии. -2004. -Т.О. -Вып.З -С50-57.
Курикалова М.А. Конечномерная модель взаимодействия двух импульсов в оптоволоконных линиях связи// Сборник трудов Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". (15-19 апреля 2002г., Новосибирск, Россия) -2002. -Новосибирск: Математика -С. 165-166.
Курикалова М.А., Медведев СБ., Федорук М.П. Квазилинейная теория нелинейного уравнения Шредиигера для волоконно-оптических линий
Введение 13
слязн с периодическими параметрами // Сборник трудов Международной конференции по вычислительной математике МКВМ - 2()()4.(21-2.3 июня 2004г., Академгородок, Новосибирск, Россия) . -С.537-543.
Преобразование скобки Пуассона
Структура и общая характеристика диссертации Диссертационная работа посвящена построению и исследованию различных моделей описания распространения оптических импульсов в нелинейной среде. Особое внимание уделяется сопоставлению полученных теоретических результатов с результатами численного эксперимента. Численное моделирование проводилось и рамках обобщенного нелинейного уравнения Шредингера. В главе 1 предложена модель, описывающая взаимодействие импульсов. Для построения модели используется вариационный подход. Получены динамические уравнения на параметры импульсов. Выполнение законов сохранения позволило упростить исходную систему. В предположении постоянства ширины и формы сигнала найдено точное решение полученной системы. Проведено сравнение теоретической модели с результатами численного моделирования. Во втором параграфе первой главы также используется вариационный подход для исследования взаимодействия импульсов. Однако, теперь предполагается, что положение центра каждого из импульсов меняется с течением времени. В аппроксимации бесконечномерной системы учитывается дополнительный член в разложении фазы по сравнению с предыдущим параграфом. В главе 2 изучается влияние усилителей на эволюцию оптического сигнала. Первый параграф рассматривает процесс образования импульсов параболической формы при их прохождении в усиливающей среде. Приведены результаты численного моделирования динамики оптических сигналов в усилителях различных типов, и установлены области характерных параметров входного сигнала и усиливающей среды, при которых обобщенное нелинейное уравнения Шредипгера имеет автомодельные решения в виде импульсов параболической формы. Во втором параграфе второй главы для анализа качества передачи сигнала в оптоволоконной линии используется меггод линеаризации исходного нелинейного уравнения Шредипгера вблизи произвольного, численно-определенного решения в отсутствии шума. Используя статистические свойства шума, получены уравнения для дисперсии центрального времени импульса и дисперсии энергии. Для оценки областей применимости метода линеаризации результаты вычисления временных и амплитудных флуктуации, полученных этим методом, сравниваются с результатами вычисления тех же параметров, полученных с помощью метода расщепления для решения исходного уравнения Шредипгера с моделью Монте-Карло для генерации шума.
В главе 3 построена модель, описывающая процесс возмущения исходного распределения поля под влиянием четырехволнового взаимодействия. Получено уравнение, позволяющее вычислять распределение оптического ноля в любой точке временного интервала. Предложен эффективный численный алгоритм для вычисления возмущений поля, основанный на быстром пребразова-іши Фурье. Получены оценки минимального числа соседних импульсов, которые влияют на решение в заданной точке для широкого ряда параметров волоконно-оптической линии связи. Проведены сравнения с численным решением уравнения Шредипгера. Для сравнения вычислены отклонения центрального времени импульса и пиковой мощности для различных параметров линии.
Научная новизна 1. В работе впервые построена математическая моделі», описывающая взаимодействие оптических импульсов, распространяющихся в нелинейной среде в предположении изменяющихся амплитуды и фазового множителя импульсов. Получено точное решение предложенной системы уравнений для начальных импульсов с одинаковой формой и амплитудой. Установлены условия существования периодических решений.
Построена приближенная модель для случая импульсов с переменными положением и скоростью, распространяющихся в волоконных световодах. Найдены численные решения полученной системы. Исследовано взаимодействие импульсов па основе предложенной модели. Исследовано влияние начального расстояния между импульсами па взаимодействие сигналов. Найдены два режима эволюции импульсов в зависимости от разности фаз между ними.
Исследован процесс генерации параболических импульсов при их распространении в волоконно-оптических усилителях. Для распределенного (рама-повского) усиления исследованы области параметров оптической линии и параметров входного сигнала гауссовой формы, при которых передаваемый сигнал приобретает параболическую форму. Вычислена величина относительной ошибки для различных параметров линии и входного сигнала. Установлено, что увеличение значений мощности накачки приводит к расширению области применимости параболической модели в плоскости пиковой амплитуды и фазового коэффициента. Показано, что при фиксированной ширине импульса отклонение фазового коэффициента от нулевого значения существенно влияет па величину относительной ошибки. Для сосредоточенного усиления определены области наименьшего отклонения решения в рамках параболической модели от численного решения уравнения Шрсдипгера с периодическими коэффициентами в плоскости параметров входная энергия и длительность входного сигнала.
Результаты численного моделирования
Одной из основных компонент современных волоконно-оптических систем передачи являются волоконно-оптические усилители, которые позволяют компенсировать затухание оптических импульсов в волоконных световодах и увеличить длину безрегенерационных участков до расстояний в несколько сотен километров. В настоящее время в волоконных линиях связи применяются два типа усилителей: эрбиевые волоконные [21] и рамаповские волоконные (ВКР) усилители [22. Эрбиевые волоконно-оптические усилители (erbium-doped fiber amplifiers, ED FA) получили название сосредоточенных (lumped) усилителей, поскольку длина па которой происходит усиление сигнала (несколько десятков метров) значительно меньше расстояния между усилителями. Принцип действия рамановских волоконных усилителей (distributed Raman amplifiers - DRAs) основан на использовании стимулированного рама-новского рассеяния, обеспечивающего усиление слабого оптического сигнала путем преобразования части энергии мощной волны накачки.
В связи с очень активным использованием оптических усилителей вХ волоконно-оптических линиях передачи представляется что весьма актуальной является задача развития адекватных математических моделей, описывающих динамику оптических импульсов в усиливающей среде. Основной математической моделью для описания распространения оптических сигналов в волоконных усилителях является обобщенное нелинейное уравнение Шредипгера (ОГІУШ), которое здесь мы запишем в виде [1С]: где ф(г, t) — медленно изменяющаяся комплексная амплитуда огибающей импульса в движущейся системе координат, / — дисперсия групповых скоростей (/?2 = — Ац /(27гс/), D — коэффициент дисперсии, с/ скорость света, До — длина волны ), а — коэффициент нелинейности, g(z) — коэффициент усиления сигнала.
В работе [23] было показано, что в предположении малости линейного дисперсионного члена по сравнению с нелинейным членом автомодельные решения ОНУШ для импульсов достаточно большой амплитуды имеют параболическую форму. Эти результаты были подтверждены экспериментально в работе [24]. В [25] проведен детальный математический анализ квазиклассического параболического решения ОНУШ в волоконном световоде с постоянным коэффициентом усиления, и показано, что результаты развитой аналитической теории хорошо согласуются с данными прямого численного моделирования.
В данном параграфе проведены численные расчеты, показывающие что автомодельные решения ОНУШ для импульсов достаточно большой амплитуды имеют параболическую форму и для распределенного типа усиления. Приведены результаты численного моделирования динамики оптических сигналов в усилителях различных типов и установлены области характерных параметров входного сигнала и усиливающей среды при которых обобщенное нелинейное уравнения Шредннгера имеет автомодельные решения ЇЇ виде импульсов параболической формы. В плоскостях различных 11 арам строи исследованы границы области применимости параболической модели.
В этом разделе сравниваются результаты расчетов в рамках параболического приближения (2.16) — (2.20) с прямым численным моделированием исходного уравнения (2.1) для проверки применимости параболической модели в случае рамановского усиления и для определения границ областей применимости данной модели для случаев точечного и распределенного усиления. При этом основное внимание будет уделено расчетам усиливающей среды с распределенным усилением.
Предположим, что имеет место обратная накачка в волоконном световоде длины L, который характеризуется следующими параметрами: коэффициентом дисперсии групповой скорости / — 5.098 10 пс м , коэффициентом затухания сигнала as = 0.24 дБ/км, эффективной площадью моды Ae/f = 55 мкм2, нелинейным показателем преломления П2 — 2.67-10-20 м2/Вт. Поли-пейпьій коэффициент a = {2ттп2}/(\)Acff)7 где, До несущая длина волны.
Временные и амплитудные блуждания
Шредингера с уютом статистических свойств шума, хорошо согласуется с определением дисперсии амплитуды, получаемым статистической обработкой данных решения уравнения Шродипгера. В то время как точность вычисления стандартного отклонения центрального времени импульса зависит от величины напряжспия(силы) карты. Для так называемых сильных карт применение упрощенной модели для вычисления случайных отклонений импульса дает некоторую ошибку по временному сдвигу по сравнению с результатами, выполненными с помощью численного решения уравнения Шреди и гора. Для слабых карт расчеты показывают хорошее согласование результатов. Таким образом, численные эксперименты показывают, что применение данного метода при расчетах стандартных отклонений центральной позиции и максимальной амплитуды импульса ограничено величиной, так называемой, силы дисперсионной карты.
Интерес к исследованию оптических солитонов в рамках нелинейного уравнения Шредиигера с периодическими коэффициентами значительно возрос в последнее десятилетие в связи с практическими достижениями использования солитонов в современных волоконно-оптических линиях связи. В качестве носителей информации в коммуникационных системах используются, так называемые, солитопы с дисперсионным управлением (dispersion managed soli tons) (ДУ-солитопы) (см., например [37j). Отмстим, что здесь под соли-тоном подразумевается устойчивое локализованное решение, а не традиционный (фундаментальный) солитон из теории полностью интегрируемых систем 5], Периодическое изменение дисперсии системы позволяет увеличить амплитуду солитона по сравнению с аналогичным импульсом в системах с дисперсией и, как следствие, повысить коэффициент отношения мощности сигнала к шуму.
Одними из главных факторов, ограничивающими передачу данных па большие расстояния с низким коэффициентом ошибки в линиях и скоростью передачи данных 40 Гб/с и выше, являются паразитные возмущения поля, возникающие на исходно пустых местах в последовательности оптических импульсов за счет нелинейного четырех вол нового взаимодействия 38. В последнее время предпринято несколько попыток построения упрощенной квазилинейной теории данного явления. В работе [39 для вычисления паразитных возмущений поля и энергии в "пробпоммбите рассматриплось его взаимодействие с ближайшими соседями. В [-40, 411 среднее возмущение энергии (amplitude jitter) для случайной битовой последовательности находилось суммированием всех возможных комбинаций с учетом резонансного условия. Аналогичный подход использовался в работе [42] и для вычисления среднего временного сдвига (timing jitter) за счет кросс-фазовой модуляции, для этого рассматривалось попарное взаимодействие "проби ого "им пульса с каждым из импульсов последовательности, а затем производилось суммирование по всем возможным комбинациям битов.
В данном параграфе получено уравнение, позволяющее вычислить нелинейную поправку к произвольному начальному распределению оптического поля в любой точке временного интервала t, а не в отдельных точках ,пробпых"би-тов. Предложен эффективный численный алгоритм для вычисления паразитных возмущений поля, основанный па быстром пребразовапии Фурье. Этот алгоритм дает значительный выигрыш во времени по сравнению с алгоритмами прямого вычисления сумм, рассмотренными в [42, 41].
Кроме того, получены оценки минимального числа соседних импульсов, которые влияют па решение в заданной точке "пробного"бита для широкого ряда параметров волоконно-оптической линии.
Оценки числа взаимодействующих импульсов
Основные результаты исследований, представленных в диссертации, состоят в следующем:
Предложен аналитический метод изучения взаимодействия оптических импульсов, распространяющихся в нелинейной среде. Основываясь па вариационном подходе, получена система дифференциальных уравнений, предполагающая изменение амплитуды и фазы импульсои. Получены аналитические решения данной системы уравнений. Найдены условия периодичности полученных решений. В данной модели учитывались члены, содержащие разность фаз взаимодействующих импульсов. Полученные формулы могут быть использованы для гамильтогювеких систем с произвольным гамильтонианом. Для данной модели обнаружены два режима распространения двух соседних импульсов в зависимости от начальных значений разности фаз. Первый режим характеризуется периодическим слиянием их в один импульс и последующим расщеплением па два импульса. Второй режим соответствует четкому разделению импульсов на протяжении всей длины периодической секции оптоволокна.
Предложена физико-математическая модель взаимодействия оптических импульсов, с изменяющимися положением и скоростью. Численно найдено периодическое решение полученной системы уравнений. Данная система сохраняет величину которая является аппроксимацией интеграла импульса исходного уравнения. Результаты расчетов основных характеристик сигнала, полученные на основе этой модели, находятся в хорошем согласии с результатами, полученными на основе численного моделирования нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами, являющегося классической моделью для описания распространения оптических импульсов в нелинейной среде. Также как и для случая импульсов с изменяющимися амплитудой и фазой для полученной модели реализуются два режима распространения в зависимости от начальных условий. Принципиальную роль в формировании такого механизма играет значение фазового коэффициента па входе оптической линии.
Исследован процесс генерации параболических импульсов при их прохождении в усиливающей среде. Проведены сравнения величины относительной ошибки между решениями в параболическом приближении и решением в рамках уравнения Шредингера для различных параметров оптической линии. Установлены области параметров начального импульса для которых величина относительной ошибки минимальна. Создан программный пакет, позволяющий определять области параметров оптоволоконного усилителя, необходимых для генерации параболических импульсов. Изучены зависимости параметров образующегося асимптотического импульса от параметров входного сигнала гауссовой формы. Обнаружены следующие особенности и закономерности процесса образования импульсов параболической формы в усиливающей среде: а) установлено, что в предположении малости линейного дисперсионного члена по сравнению с нелинейным членом автомодельные решения уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами для импульсов достаточно большой амплитуды имеют параболическую форму не только для эрбиевых усилителей, но и для распределенного типа усиления. б) обнаружено, что увеличение значений мощности накачки пршюдит к рас ширению области применимости параболической модели в плоскости пиконом амплитуды и фазового коэффициента. в) при фиксированной ширине импульса с ростом пиковой амплитуды наблю дается увеличение интервала допустимых значений фазового коэффициента при котором параболическая модель хороню описывает эволюцию сигнала в оптическом усилителе. г) определены области наименьшего отклонения решения в рамках парабо лической модели от численного решения уравнения Шредиигера в плоскости параметров входттая энергия и длительность сигнала. д) установлено, что в области малых значений входной пиковой амплитуды сигнала при фиксированной ширине импульса величина относительной ошиб ки минимальна в случае наименьшего отклонение фазового коэффициента от нулевого значения. 4. Выполнено численное моделирование упрощенной, системы уравнений гидродинамического типа, описывающей влияние шумов усиленной спонтанной эмиссии, на эволюцию оптического сигнала. Проведено сравнение между решениями в данном приближении и решением нелинейного уравнения Шредиигера с периодическими коэффициентами. Создан программный пакет, позволяющий определять эволюцию дисперсии центрального времени и дисперсию пиковой амплитуды импульса. Обнаружены следующие особенности процесса влияния усиливающих устройств на последовательность оптических импульсов:
