Устойчивые численные методы математического моделирования задачи восстановления искаженных изображений Экземпляров Роман Алексеевич

Введение к работе

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию и численной реализации моделей процессов формирования искаженных изображений, разработке новых устойчивых методов и алгоритмов решения интегральных уравнений, описывающих модели, и созданию комплекса программ для реализации новых подходов.

Восстановление изображений является актуальной задачей прикладной математики. Процессы формирования изображений объектов, полученных с помощью устройств регистрации изображений, могут сопровождаться искажениями из-за смещений и дефокусировки, а также под влиянием шума. Эти искажения можно устранить не только технически, но и путем математико-компьютерной обработки изображений.

Математическое устранение смазывания или дефокусирования (СД) изображений (обратная задача) сводится в работе к решению ИУ Фредгольма I рода, одномерных и 2-мерных в зависимости от модели процесса формирования СД. Задача решения таких уравнений является некорректной, а именно, малым погрешностям измерений и неточностям знания параметров искажений (величины смаза и др.) могут соответствовать сколь угодно большие погрешности восстановления изображений. Поэтому для численного решения уравнений в работе используются устойчивые методы – регуляризации Тихонова (МРТ), параметрической фильтрации Винера (МПФВ). При этом СД-изображения обычно зашумлены, причем шумы могут быть различных типов (гауссов, импульсный и др.) и природы (внешние шумы, аппаратурные шумы и др.), в связи с чем в диссертации рассматриваются методы их устранения (подавления) в рамках соответствующих моделей (типов) шумов.

Однако методы восстановления изображений, даже устойчивые, весьма чувствительны к погрешностям знания параметров искажений, поэтому необходима разработка эффективного метода оценки параметров искажений. Кроме того, такая модель шума, как биполярный импульсный шум, неадекватно (слишком упрощенно) описывает реальный импульсный шум и необходимо преобразовать модель биполярного шума в более адекватную модель. Наконец, необходимо выяснить, какой порядок подавления шума (до или после устранения СД) дает меньшую погрешность восстановления изображения. Перечисленные вопросы недостаточно проработаны в мировой литературе (не получены численные оценки параметров искажений, не использован шум, более адекватный, чем биполярный импульсный шум, не рассмотрен вопрос о порядке устранения СД и шума и т.д.), и диссертация посвящена их разработке.

В разработку методов решения ИУ, в том числе, применительно к задаче восстановления изображений в условиях их зашумлений внесли большой вклад А. Л. Агеев, Т. В. Антонова, А. С. Апарцин, М. В. Арефьева, Д. Г. Арсеньев, А. Б. Бакушинский, Р. Бейтс, И. В. Бойков, Г. И. Василенко, В. В. Васин, П. Вендайкер, А. Ф. Верлань, Ю. Е. Воскобойников, Р. Вудс, Р. Гонсалес, А. В. Гончарский, А. В. Горшков, И. С. Груз-ман, И. П. Гуров, М. Донателли, В. Дьяконов, И. М. Журавель, А. Г. Коробейников, М. Кристиансен, А. С. Леонов, Д. С. Лим, М. Мак-Доннелл, В. В. Манойлов, А. В. Меженин, В. А. Морозов, Д. Наги, А. Нюбауер, В. Н. Остриков, С. Ошер, Ю. П. Петров, К. Т. Протасов, У. Прэтт, Ю. П. Пытьев, Л. Рудин, Д. Русс, Д. Н. Сидоров, А. А. Сирота, В. А. Сойфер, Г. Н. Солопченко, В. М. Старков, А. Н. Тихонов, А. Ю. Троп-ченко, Е. Фатеми, С. Фарсиу, Т. Ю. Фисенко, М. Ханке, П. Хансен, Г. Хермен, Т. Ху-анг, А. К. Цыцулин, Г. Ю. Шлихт, С. Эддинс, Г. В. Энгл, Г. Эндрюс, А. Г. Ягола, Л. Ян, Б. Яне, Л. П. Ярославский и другие.

Целью диссертационной работы является исследование и численная реализации моделей процессов формирования искаженных изображений, разработка новых устойчивых методов и алгоритмов решения интегральных уравнений для восстановления изображений и создание комплекса программ для реализации новых подходов.

Задачи исследования. Решались следующие задачи:

1. Разработка математического описания моделей процессов формирования изображений с учетом их смазывания/дефокусирования (СД) и влияния мультиполярного импульсного шума для повышения адекватности моделирования процесса формирования изображений в реальных условиях наблюдений.

2. Разработка численных методов устойчивого решения интегральных уравнений (ИУ). Разработка методики оценки параметров искажений изображений по Фурье-спектру искаженного изображения (спектральный метод определения функции рассеяния точки и ядр ИУ) с целью повышения устойчивости решения ИУ и понижения погрешности восстановления изображения; разработка методики выбора параметра регуляризации с целью понижения погрешности восстановления и получения ее оценки.

3. Проведение вычислительных экспериментов по определению последовательности устранения СД и шума на изображении с целью снижения погрешностей решения ИУ.

4. Создание комплекса программ, реализующего новые подходы, предложенные в диссертационной работе, повышающие адекватность моделирования процесса формирования изображений и понижающие погрешность численного решения интегральных уравнений.

Методы исследования. В работе использованы методы математического и численного моделирования, методы вычислительного эксперимента, методы решения ИУ с регуляризацией, методы статистического и спектрального анализа.

Основные положения, выносимые на защиту:

5. Модель процесса формирования изображений с учетом влияния мультиполяр-ного шума, адекватно учитывающая особенности регистрируемых реальных изображений в условиях помех.

6. Повышение точности¹ и устойчивости² решения 1- и 2-мерных ИУ I рода при наличии дестабилизирующего фактора в виде мультиполярного импульсного шума, импульсного биполярного или гауссова шума достигается на СД-изображении при комбинировании методов решения ИУ с регуляризацией (МРТ, МПФВ) и специального адаптивного метода подавления мультиполярного импульсного шума (модификация АМФГ), АМФГ и МАФВ соответственно.

7. Численная методика решения 1- и 2-мерных ИУ I рода включающая оценку яд-р ИУ по форме линий на Фурье-спектре СД-изображения (спектральный метод), а также выбор параметра регуляризации и получение оценки погрешности восстановления изображения без знания точного изображения по серии модельных примеров (способ обучающих изображений).

Научная новизна работы:

1. Разработаны математические описания моделей процессов формирования изображений с учетом их смазывания/дефокусирования (СД) при наличии на них ранее не учитываемых видов шума. Описаны модели смазывания изображения, а также

¹ Повышение точности в смысле уменьшения СКО от точного решения.

² Под повышением устойчивости понимается снижение чувствительности к неточности в исходных данных
в окрестностях оптимального значения с точки зрения СКО.

модели дефокусирования изображения. Исследована и реализована новая модель процесса формирования изображений с учетом влияния мультиполярного импульсного шума, более адекватно описывающая реальный процесс формирования изображений.

2. Разработаны новые устойчивые методы и алгоритмы численного решения интегральных уравнений (ИУ) I рода (некорректная задача) в математических моделях смаза, дефокусирования и зашумления изображений. Разработана новая методика использования спектрального метода для численной оценки параметров искажения изображения (оценки ФРТ, или ядр ИУ). Спектральный метод существенно повышает точность восстановления изображений при решении ИУ. Разработана новая методика выбора параметра регуляризации и оценки погрешности регуляризованного решения без знания точного решения (способ обучающих изображений), что ранее считалось невозможным при решении некорректных задач.

3. Предложен новый алгоритм «предшествующего» и «последующего» подавления шумов на СД-изображениях, показывающий, что «правильный» порядок (последовательность) устранения СД и подавления шума может существенно (до 2–3 раз) понизить погрешность восстановления изображений по сравнению с «неправильным» порядком³ путем решения интегральных уравнений.

Достоверность научных результатов диссертации подтверждается адекватностью использованных математических моделей описания процессов искажения изображений (смазывания, дефокусирования и зашумления), применением устойчивых методов при решении ИУ в задаче восстановления изображений, соответствием разработанных теоретических положений и результатов численных экспериментов.

Теоретическая и практическая ценность работы заключается в разработке методики восстановления изображений по искаженным изображениям. Предложенные в работе устойчивые усовершенствованные методы и алгоритмы реконструкции изображений применимы в задаче повышения разрешающей способности различных устройств регистрации изображений, что подтверждено практическим использованием методики при обработке ряда как модельных, так и реальных изображений.

Реализация работы. Результаты исследований в рамках данной диссертации и ее материалы были использованы при написании двух учебных пособий, в учебном процессе при проведении лабораторных работ и лекций по дисциплинам «Прикладная математика», «Системы компьютерной обработки изображений», «Теория интегральных уравнений», «Обратные прикладные задачи», а также в научно-исследовательских работах в НИУ ИТМО по теме № 33481 под грант РФФИ № 13-08-00442 и в НИР № 617026 по гранту МФ КТУ ИТМО. Об этом свидетельствует акт использования результатов диссертации.

Апробация работы. Положения диссертации были представлены на нижеперечисленных конференциях: международных научно-практических конференциях «ХХХIX Неделя науки СПбГПУ», «ХL Неделя науки СПбГПУ» и «ХLI Неделя науки СПбГПУ (диплом 2-й степени)» (2010, 2011 и 2012 гг.); XL, XLI, XLII, XLIII и XLVII научных и учебно-методических конференциях СПб НИУ ИТМО (2011, 2012, 2013, 2014, 2018 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, 2 из них – в журнале, индексируемом в Scopus и WoS, 2 – в журналах из перечня ВАК. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

³ Под «правильным» порядком устранения шума и СД подразумевается решение обратной задачи в последовательности, противоположной прямой задаче (подробности – в гл. 4).

Личный вклад соискателя. В публикациях [1-8] Экземплярову Р.А. принадлежит участие в постановках задач, их математическом описании, разработке методов моделирования и численных алгоритмов, разработке программного обеспечения, выполнении численных (компьютерных) экспериментов и интерпретации результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 86 наименований. Объем работы составляет 125 страниц, 3 таблицы и 48 рисунков.