Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. О связи кинетической теории газов с макроуравнениями газовой динамики 19
1. О методах описания физико-химических процессов в газовой динамике 19
2. О связи уравнения больцмана с макроуравнениями классической гидроаэромеханики 27
3. Интегральные скобки и их свойства 37
4. Преобразование интегральных скобок и -интегр алов 42
5. О решениях интегральных уравнений, встречающихся в кинетической теории газов 48
6. Коэффициенты переноса для простого газа 51
Теплопроводность простого газа 51
7. Коэффициенты переноса многокомпонентных газовых смесей 59
Вязкость и теплопроводность многокомпонентных газовых смесей 59
Коэффициенты диффузии многокомпонентных газовых смесей 63
Коэффициенты термодиффузии многокомпонентных газовых смесей 66
8. Выражения коэффициентов слау, используемой для определения коэффициентов диффузии и вязкости, через разложения по полиномам сонина и -интегралам 69
Выражения для коэффициентов СЛАУ через разложение по полиномам Сонина и Выражения коэффициентов СЛАУ через разложение по полиномам Сонина и интегралам для вязкости 76
9. ВЫВОДЫ 83
ГЛАВА II. Математические модели потенциалов взаимодействия
1. Об анализе сил действующих между молекулами 85
2. Потенциал (2(п + 3),б), описывающий взаимодействие молекул в газовых средах 89
3.математические модели третьего уровня. квантово-механические модели по
4. выводы 117
ГЛАВА III. Асимптотические и численные методы определения величины - нижнего предела в несобственном интеграле выражения угла mill рассеяния взаимодействующих молекул 118
1. О динамике соударения двух тел (молекул) 120
2. Асимптотические методы определения значения величины
3. Об алгоритме решения нелинейного алгебраического уравнения 126
4. Выводы 136
ГЛАВА IV. Равномерная непрерывность функции угла рассеяния. Асимптотические и вычислительные технологии определения её
1.Анализ равномерной ограниченности (непрерывности) функции угла рассеяния 139
2. Асимптотический анализ функции угла рассеяния 146
3.О вычислительных технологиях определения значений функции
4.Вычислительные технологии определения значений функции угла
5.Выводы 167
ГЛАВА V. О квадратурных формулах и их приложениях в кинетической
1. Квадратуры гаусса-кристоффеля. Численный алгоритм Вычисления узлов и весов 169
2. О решении системы уравнений для определения координат узлов и весов квадратуры гаусса-кристоффеля 176
3. Результаты численных расчетов 182
4. Выводы 187
Глава VI. Вычислительные технологии определения значения многократного несобственного о), -интеграла, описывающего взаимодействие молекул в газах 188
1. Об алгоритме вычисления несобственных интегралов (vi.1)- (vi.2), Основанном на кубатурной формуле гаусса-кристоффеля 189
2. Сплайн-кубатурная формула для определения значения интеграла 192
3. О вычислительных технологиях решения слау, используемых при вычислении коэффициентов переноса в моделях газовых смесей 198
4. Выводы 205
ГЛАВА VII. Сравнительный анализ значений коэффициентов переноса для некоторых моделей газовых сред с экспериментальными данными
1. Анализ значений функции угла рассеяния x (g ,b ), транспортных сечений оір и эффективного сечения рассеяния of/ 207
2. Анализ расчетных и экспериментальных значений коэффициента вязкости для модели газовой смеси ne–ar–he 215
3. Расчет коэффициентов переноса для моделей газов n2, o2, и газовых смесей n2 – o2, o – co 217
4. Выводы 222
Заключение 223
Список основных обозначений 225
Список литературы 227
- Интегральные скобки и их свойства
- Потенциал (2(п + 3),б), описывающий взаимодействие молекул в газовых средах
- Асимптотические методы определения значения величины
- О вычислительных технологиях решения слау, используемых при вычислении коэффициентов переноса в моделях газовых смесей
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Проблема корректного описания процессов переноса при математическом моделировании задач механики жидкости и газа является чрезвычайно актуальной. Сегодня она привлекает внимание большого круга ученых в связи с перспективами использования в приоритетных направлениях развития науки, технологий и техники в Российской Федерации.
Моделирование газодинамических процессов, происходящих в природе и технике, на основе макроуравнений тепломассопереноса занимает одно из значимых мест в технологиях создания энергосберегающих систем транспортировки, распределения и использования энергии, энергоэффективного производства, создания ракетно-космической и транспортной техники нового поколения. При этом возникают проблемы: одна из них – создание физико-математически обоснованных положений определения коэффициентов переноса, а другая – создание математически обоснованных вычислительных технологий решения возникающих при этом задач. Переносные характеристики сред обусловлены, в основном, внутренней микроструктурой. В настоящее время для определения коэффициентов переноса многокомпонентных сред не существует надёжных данных, полученных опытным путём или методами численного моделирования. Существующие методы суперпозиции дают приблизительные результаты и не всегда адекватны для многокомпонентных смесей (например, для газовых смесей, используемых в химической промышленности и ракетостроении). Поэтому данная тематика актуальна и востребована.
В связи с этим для решения проблемы определения коэффициентов переноса в макроуравнениях тепломассопереноса соискатель исходит согласно первому положению молекулярно-кинетической теории.
Представленная диссертационная работа направлена на разработку математической модели многокомпонентных смесей и создание вычислительных и компьютерных технологий определения транспортных характеристик в ней.
Степень разработанности темы исследования. Одной из первых публикаций, обозначившей проблему изучения и влияния микропроцессов на переносные характеристики сред, была работа Дж. К. Максвелла, вклад которого в кинетическую теорию газов общепризнан. Он заложил математические основы кинетической теории газов и впервые предложил конкретный вид функции распределения для описания равновесного состояния газа, называемой максвелловское распределение по скоростям. Им впервые была предложена схема вывода из уравнения Больцмана системы уравнений газовой динамики типа Навье-Стокса для случая максвелловских молекул. В дальнейшем, схема вывода усовершенствовалась благодаря работам С. Чепмена и Д. Энскога. В середине и конце XX века развитие данного направления значительно расширилось благодаря работам В. В. Струминского, В.Е. Алемасова, А.Ф. Дрегалина, Г.А. Тирского, И.В. Соколовой, В.М. Кузнецова, С.А. Лосева, В.Я. Рудяка.
Значительный вклад в теорию определения переносных характеристик в моделях многокомпонентных сред внесли работы А. Эйнштейна, С. К. Годунова и
У. М. Султангазина, С.В. Валландера, Е. А. Нагнибеды и М. А. Рыдалевской, С. З. Аджаева и В. В. Веденяпина, Ф.Г. Черемисина, Л.Р. Фокина и А.Н. Калашникова, В.Н. Монахова, Р.Р. Нигматуллина.
Большая часть задач «математической теории процессов переноса в газах» направления «гидраэромеханика» связана с численным решением интегрально-дифференциальных уравнений механики жидкости и газа. Среди работ, относящихся к данному направлению, особое место занимают труды Б. Л. Рождественского и Н. Н. Яненко, В. М. Ковени, Ю. И. Шокина, А. А. Самарского, Г.И. Марчука, О. М. Белоцерковского, С.Г. Черного, А.М. Ильина, А.М. Липанова, В.М. Фомина, А.И. Задорина и др.
При определении переносных характеристик в моделях газовых средах, в соответствии с кинетической теории газов, в столкновительном члене уравнения Больцмана используются кратные несобственные интегралы с осциллирующей подынтегральной функцией. Здесь надо отметить, во-первых, необходимость анализа равномерной сходимости подобных интегралов, а во-вторых – создание и математическое обоснование квадратурных и кубатурных формул для определения их значений. К этой вычислительной проблематике можно отнести труды Н. С. Бахвалова, Н.С. Никольского, С. Л. Соболева, Н. Н. Калиткина, Дж. Филона.
По состоянию на первое десятилетие XXI века исследования в области определения коэффициентов переноса в макроуравнениях, описывающих процессы в многокомпонентных газовых смесях, включают в себя следующие основные направления:
-
Фундаментальные проблемы определения транспортных характеристик в математических моделях для описания процессов в многокомпонентных газовых смесей согласно первому положению молекулярно кинетической теории.
-
Математическое обоснование равномерной сходимости несобственных интегралов, используемых в столкновительном члене уравнения Больцмана для описания процессов взаимодействия молекул в газах.
-
Создание и математическое обоснование квадратурных и кубатурных формул для определения значений несобственных интегралов с осциллирующей подынтегральной функцией, используемых в столкновительном члене уравнения Больцмана.
4. Создание комплекса программ для определения переносных
характеристик в моделях многокомпонентных сред на базе разработанных
алгоритмов.
Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является развитие аппарата математического моделирования задач гидроаэромеханики на основе макроуравнений тепломассопереноса, в которых коэффициенты переноса (вязкость, диффузия и т.д.) определяются согласно первому положению кинетической теории газов. Для достижения данной цели в настоящем диссертационном исследовании были сформулированы следующие задачи:
а) создание корректной математической модели потенциала, описывающего
процесс взаимодействия молекул в многокомпонентных средах;
б) математическое обоснование равномерной ограниченности
несобственных интегралов, используемых в кинетической теории газов для
определения переносных характеристик сред;
в) создание эффективных квадратурных и кубатурных формул, основанных
на теории ортогональных многочленов и сплайн-функций, для определения
значений несобственных интегралов в столкновительном члене уравнения
Больцмана, используемых для определения значений коэффициентов переноса;
г) создание комплекса программ по вычислению величин для определения
переносных характеристик в многокомпонентных газовых средах;
д) применение разработанных методов и комплекса программ для
определения коэффициентов переноса в многокомпонентных средах и
сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными.
Объекты и методы исследования. Объектом диссертационного исследования являются микропроцессы, протекающие в газовых средах. На основе анализа этих процессов методами кинетической теории газов и прикладной математики в главе II предложено математическое выражение для потенциала, описывающего процесс взаимодействия молекул в многокомпонентных газовых средах. Для определения параметров в предложенном соискателем двухпараметрическом потенциале используется и обосновывается метод наименьших квадратов. Точность определения значений переносных характеристик сред зависит от точности определения значений
/ * * \
функции угла рассеяния молекул %\п,А1,Ъ ,g І. В её выражение входит
несобственный интеграл, в котором нижний предел интегрирования определяется значением наименьшего положительного корня нелинейного алгебраического уравнения. В связи с этим в главе III предлагаются и обосновываются асимптотические и численные алгоритмы определения требуемого корня. Глава IV посвящена анализу равномерной сходимости несобственного интеграла и
равномерной непрерывности функции х\п,А1,Ъ ,g I, асимптотическим и
вычислительным технологиям определения её значений. Для определения «критической» поверхности (линии), в точках которой нарушается свойство равномерной сходимости одного из несобственных интегралов в столкновительном члене уравнения Больцмана, предложена нелинейная система уравнений и численный алгоритм определения координат точек поверхности. Поскольку при определении переносных характеристик в многокомпонентных средах в столкновительном члене уравнения Больцмана используются несобственные интегралы с осциллирующими подынтегральными функциями, то в этой главе приведен анализ эффективности различных квадратур для определения значений подобных интегралов. В главе V для вычисления значений несобственных интегралов с осциллирующими подынтегральными функциями предлагается квадратурная формула Гаусса-Кристоффеля, основанная на ортогональных многочленах. Проведено качественное математическое
обоснование данной квадратуры, предложены вычислительные алгоритмы определения весов и узлов разбиения отрезка интегрирования из условия минимизации погрешности квадратуры. Глава VI посвящена качественному анализу вычислительных технологий для определения значения двукратного
несобственного Q>j' ' - интеграла, описывающего эффективное сечение
рассеяния в кинетической теории газов. Надо отметить, что точность определения его значения с учетом осциллирующего характера подынтегральной функцией влияет на точность определения переносных характеристик исследуемых сред. В
связи с этим, для определения значений Ґ2>-' ' -интеграла соискателем
предлагаются и математически обосновываются кубатурные формулы, основанные на теории ортогональных многочленов и сплайн-функций. Следуя методу Чепмена-Энскога, переносные характеристики в многокомпонентных газах определяются из решений систем линейных алгебраических уравнений в
которых коэффициенты зависят от значений /2>' '-интегралов. Вследствие этого,
в данной главе проведен анализ алгоритмов решения СЛАУ, возникающих при определении коэффициентов переноса в многокомпонентных средах. Предложен комплекс программ для однопроцессорных ЭВМ, реализующий рассматриваемый метод решения СЛАУ с учетом анализа обусловленности матриц СЛАУ. Проведен анализ использования данного комплекса программ на многопроцессорных кластерах с параллельными вычислительными системами. Глава VII посвящена сравнительному анализу результатов, полученных с помощью вычислительных технологий и комплекса программ определения коэффициентов переноса, предлагаемых в данной работе, и экспериментальных данных, как для моделей простых газов, так и для многокомпонентных газовых смесей. Разработанный в настоящей работе комплекс программ был реализован с использованием лицензированного математического пакета Mathematica, подходящим для программирования сложных математических исследований, как в символьной, так и численной форме. Все программы ЭВМ зарегистрированы в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (Роспатент).
Положения, выносимые на защиту
На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие пяти пунктам паспорта специальности 05.13.18-математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам. Пункт 1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.
1. Новый математический метод описания взаимодействия молекул в многокомпонентных газовых средах. Его важной особенностью является определение коэффициентов переноса в макроуравнениях тепломассопереноса, исходя из первого положения кинетической теории газов с учетом микропроцессов на молекулярном уровне.
Пункт 2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.
-
Развитие приближенных и аналитических методов для определения значений потенциала взаимодействия молекул и функции угла рассеяния взаимодействующих молекул.
-
Качественный анализ равномерной непрерывности ключевой функции из кинетической теории - функции угла рассеяния молекул. Анализ позволяет корректно определять её численные значения.
Пункт 3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.
-
Методы построения и качественного обоснования вычислительных технологий определения значений однократных и кратных несобственных интегралов с осциллирующей подынтегральной функцией, использующихся для определения переносных характеристик при описании процессов в многокомпонентных газовых средах.
-
Вычислительные технологии определения значения нижнего предела в несобственном интеграле, входящем в выражение для функции угла рассеяния взаимодействующих молекул.
Пункт 4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.
6. Комплекс программ, ориентированный для решения задач в области
определения коэффициентов переноса в моделях многокомпонентных
смесей, зарегистрированный в Федеральной службе по интеллектуальной
собственности (Роспатент). «Определение минимального положительного
корня нелинейного уравнения из кинетической теории газа,
применяющегося при вычислении коэффициентов переноса в реагирующих
газовых потоках», «Вычисление значений функции угла рассеивания
молекул в газах при их взаимодействии», «Вычисление значений
приведенных интегралов столкновений молекул в многокомпонентной
газовой среде».
Пункт 5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.
7. Результаты численных исследований с применением разработанных
вычислительных технологий и комплекса программ для определения
коэффициентов переноса, как для моделей простых газов, так и для
многокомпонентных газовых смесей.
Таким образом, в соответствии с формулой специальности 05.13.18 в
диссертации представлены оригинальные результаты одновременно из трех областей: математического моделирования, численных методов и комплексов программ.
Научная новизна результатов проведенных исследований по трем областям специальности 05.13.18, заключается в следующих положениях: Математическое моделирование:
1. На основе описания механизма столкновения молекул, базирующегося на
кинетической теории газов, предложено физико-математически обоснованное
выражение для потенциала взаимодействия молекул в моделях
многокомпонентных газовых средах, учитывающее упругие и геометрические
характеристики взаимодействующих молекул.
Численные методы:
-
Получены и математически обоснованы асимптотические решения и вычислительные технологии определения значения нижнего предела в несобственном интеграле, входящим в выражение для функции угла рассеяния. Это позволит увеличить точность определения коэффициентов переноса в моделях газовых сред.
-
Разработаны и математически обоснованы асимптотические методы и вычислительные технологии определения значений функции угла рассеяния взаимодействующих молекул. Проведен численный анализ эффективности различных квадратурных формул определения значения несобственного интеграла, входящего в выражение для функции угла рассеяния молекул.
-
Проведено математическое обоснование равномерной сходимости несобственных интегралов, входящих в столкновительный член уравнения Больцмана, и равномерной непрерывности подынтегральных функций в них.
-
Предложена квадратурная формула и математически обоснован численный алгоритм определения значения несобственного интеграла с осциллирующей подынтегральной функцией, используемого в кинетической теории газов.
6. Разработаны и качественно обоснованы вычислительные технологии
определения значения двукратного несобственного интеграла с осциллирующей
подынтегральной функцией.
Комплексы программ:
7. Разработанный в рамках настоящего исследования комплекс программ
характеризуется тем, что он представляет собой взаимосвязанный набор модулей,
объединённых общими исходными данными и общим интерфейсом
взаимодействия. Представляет собой законченную кибернетическую систему,
имеющую на входе параметры молекул, входящих в смесь, а на выходе
переносные свойства смеси в целом. Отдельные составляющие модули комплекса
зарегистрированы в Федеральной службе по интеллектуальной собственности
(Роспатент).
Теоретическая значимость работы. Разработанные в диссертационном исследовании:
а) построение математических моделей механики сплошной среды для описания физико-химических процессов в многокомпонентных газовых средах, в которых переносные характеристики учитывают микроструктуру среды, в частности, упругие и геометрические характеристики молекул;
б) анализ равномерной сходимости несобственных интегралов, входящих в
столкновительный член уравнения Больцмана, и равномерной непрерывности
подынтегральной функции в них;
в) математическое обоснование квадратурных и кубатурных формул для
определения значений несобственных интегралов, входящих в интеграл
столкновения в уравнении Больцмана;
г) алгоритмизация и реализация предложенных вычислительных технологий
определения переносных характеристик в многокомпонентных средах на
однопроцессорных ЭВМ и на многопроцессорных кластерах с параллельными
вычислительными системами;
д) вычислительные технологии определения значений некоторых
характеристик кинетической теории газов
вносят существенный вклад в развитие математического моделирования задач гидроаэромеханики на основе макроуравнений в которых переносные характеристики определяются исходя из первого положения кинетической теории газов.
Практическая значимость диссертационной работы заключается в возможности применения её результатов (алгоритмов, их программной реализации, результатов расчетов) для развития критических технологий Российской Федерации, поскольку целый ряд практических задач требуют знаний транспортных характеристик в многокомпонентных системах. Здесь можно упомянуть численное моделирование физико-химических процессов на основе макроуравнений тепломассопереноса, которые имеют место в технологии создания энергосберегающих систем транспортировки, распределения и использования энергии, технологии энергоэффективного производства, технологии создания ракетно-космической и транспортной техники нового поколения. Полученные результаты могут также применяться при обучении студентов по направлениям «Прикладная математика», «Прикладная информатика», «Теплоэнергетика и теплотехника», «Проектирование авиационных и ракетных двигателей», «Авиастроение», «Материаловедение и технологии материалов» и др.
Достоверность результатов, приведённых в настоящей диссертационной работе, достигается за счет построения корректных математических моделей, в которых коэффициенты переноса определяются согласно первому положению кинетической теории, сравнением с известными теоретическими результатами, тестированием разработанных численных алгоритмов и комплекса программ на модельных задачах, решения которых ранее были опубликованы другими авторами, сопоставлением результатов с экспериментальными данными. Представленные в настоящем диссертационном исследовании результаты обсуждались на научных, научно-технических семинарах и конференциях, а также получили положительные отзывы рецензентов при публикации в ведущих российских журналах и научных фондов.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на 31 международной и всероссийской конференциях и симпозиумах: VIII
Четаевская международная конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань, 2002; XVII Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий», Казань, 2005; Международная научно-техническая конференция, посвященная 1000-летию Казани, Казань, 2005; Вторая международная научно-практическая конференция «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности», Санкт-Петербург, 2006; Международная научно-практическая конференция «Авиакосмические технологии и оборудование», Казань, 2006; Национальная конференция по теплоэнергетике НКТЭ, Исследовательский центр проблем энергетики КазНЦ РАН, РФФИ, Казань, 2006; Международная молодёжная научная конференция «Туполевские чтения», Казань, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011; XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды, Саратов, 2007; 2-я Всероссийская конференция ученых, молодых специалистов и студентов «Информационные технологии в авиационной и космической технике-2009», Москва, 2009; 8-я международная конференция «Авиация и космонавтика - 2009», посвященная 80-летию МАИ, Москва, 2009; VII школа-семинар молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении», Казань, 2010; девятая Всероссийская конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения», Казань, 2012; Международная научно-техническая конференция «Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики «АНТЭ-2013», Казань, 2013; Симпозиум по физико-техническим проблемам создания двигателей и энергоэффективных установок, посвященный 90-летию со дня рождения академика РАН В.Е. Алемасова, Казань,2013; IX Международный симпозиум, посвященный 90-летию со дня рождения академика В.П. Макеева, Челябинск, 2014; V международная научно-практическая конференция «21 century: fundamental science and technology V», North Charleston, USA, 2014; XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Казань,2015; международная научно-практическая конференция «Science in the modern information society X», North Charleston, USA, 2016.
Публикации по теме диссертации. По материалам работы опубликованы 68 научных работ, в том числе 16 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов докторской диссертации []), пять свидетельств о государственной регистрации программы ЭВМ [-, зарегистрированных в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (Роспатент), две монографии [22] и 56 материалов докладов в сборниках научных, научно-технических и научно-методических конференций и семинаров [].
Диссертация выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики и математики (ранее высшей математики) Казанского национального
исследовательского технического университета им. А. Н. Туполева (КНИТУ-КАИ) в период 2000 по 2017 г.
Личный вклад автора. Все результаты, представленные в диссертационной работе, были получены соискателем лично. Обсуждение и публикация научных результатов проводилась вместе с соавторами и научным консультантом, но основное содержание настоящего исследования и положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в выполненную работу.
Связь с научными проектами. Результаты, полученные в ходе выполнения диссертации, вошли в материалы научно – исследовательских работ:
проект МК-8150.2006.8 «Компьютерное моделирование инженерных задач на базе уравнений тепломассопереноса в газотурбинных двигателях (ГТД) и энергетических установках» Федеральной целевой программы Президента Российской Федерации для государственной поддержке молодых российских ученых 2006-2007 г.;
проект № 2.1.1/984 «Компьютерное вычисление коэффициентов переноса в задачах механики сплошной среды» аналитической ведомственной целевой программы “Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)”;
госбюджетная НИР № 1.19.10 «»;
проект № 14.B37.21.0386 «Компьютерные технологии для определения транспортных характеристик в многофазных средах» федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы;
- проект № 01201365737 «Компьютерные технологии определения
коэффициентов переноса в средах газоперекачивающих агрегатов» РФФИ 2013-
2014 годы.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка цитируемой литературы на 323 наименования, списка основных обозначений и одного приложения. Полный объём диссертации составляет 279 страниц, включая 39 рисунков и 15 таблиц.
Интегральные скобки и их свойства
В данной диссертационной работе основное внимание уделяется неравновесной статистической механике, а именно, исследованию процессов переноса в газах, состояние которых отклоняется от равновесного.
Наиболее общая неравновесная ситуация наблюдается, например, в обычных газовых потоках, когда плотность, гидродинамическая скорость, температура изменяются от точки к точке. При переходе системы в равновесное состояние имеет место тенденция к выравниванию неоднородностей, которая осуществляется переносом массы, импульса и энергии одних частей газа к другим. Подобные явления обычно называются процессами переноса [1-24].
Кинетическая теория газов объясняет микроскопически наблюдаемые явления в газе, находящиеся в состоянии теплового равновесия или вблизи него, на основе свойств отдельных молекул, т.е. на основе закона межмолекулярного взаимодействия [1-10]. Макроскопически наблюдаемыми являются различные моменты функции распределения. Чтобы е найти, необходимо решить уравнение Больцмана. В настоящее время точное решение этого уравнения найдено только в том случае, если газ находится в состоянии теплового равновесия [1,2,8,9]. Если же состояние газа слабо отличается от равновесного, то можно определить приближенное решение уравнения Больцмана.
Из математической физики хорошо известно, что для описания процессов, протекающих в газах и жидкостях, используются макро уравнения [15-25]. Так, уравнения Эйлера и Навье – Стокса, являющиеся нелинейными уравнениями в частных производных, описывают изменения макроскопически наблюдаемых величин: плотность, гидродинамические скорости и температуру в зависимости от координат и времени. Эти уравнения с успехом применяются для изучения свойств газовых потоков и привлекаются для решения различных инженерных задач. В соответствии с этим, одна из важнейших задач кинетической теории газов состоит в выявлении условий, при которых макроскопические уравнения тепломассопереноса можно рассматривать как аппроксимацию кинетического уравнения Больцмана.
В классической гидроаэродинамике основные уравнения выводятся из законов сохранения [15-24] и определенных гипотез, устанавливающих связь между переносом массы, импульса и энергии в жидкости или газе и градиентами макроскопических переменных. Такими гипотезами являются закон вязкого трения Ньютона, а также закон теплопроводности Фурье. Эти гипотезы вводят в уравнение гидродинамики неизвестные коэффициенты - так называемые коэффициенты переноса (кинетические коэффициенты вязкости, теплопроводности, диффузии и др.).
Если кинетическая теория газов замкнута, т.е. закон межмолекулярного взаимодействия определен, то макроскопическое описание, построенное на основе кинетической теории, не должно содержать неизвестных коэффициентов переноса. Следовательно, сравнивая полученное кинетическое уравнение с уравнениями классической гидродинамики, можно вывести формулы, связывающие коэффициенты переноса с законом межмолекулярного взаимодействия. Эти формулы представляют собой особенно важный результат кинетической теории. Они позволяют вычислять транспортные характеристики среды на основе известных законов межмолекулярного взаимодействия. Исследование различных проблем этой теории является объектом интереса данной работы.
Используя гипотезу о законе распределения скоростей молекул, как это сделал первоначально Максвелл [1] (независимость вероятностей значений различных составляющих скорости одной молекулы), Больцман [26] для нахождения значений коэффициентов переноса: теплопроводности X, вязкости /л , диффузии D первоначально воспользовался подходами, развитыми Максвеллом [1]. Он показал, что найденные им коэффициенты переноса можно получить, используя его больцмановское кинетическое уравнение.
В своих работах [26] Больцман, исследуя при каких условиях состояния газ может приближаться к равновесию и пребывать в нем, вывел свое знаменитое кинетическое уравнение [2-6]. При выводе этого уравнения ему пришлось сделать ряд ограничительных и упрощающих предположений, которые разделим на две группы: 1) ограничения применимости; 2) принципиальные допущения [6]. Несмотря на ограничивающие предположения п.1), область применимости уравнения Больцмана очень широка. Принципиальные допущения п.2), сделанные им, были слдующими. При выводе выражений для интегралов столкновений предполагалось, что средние числа столкновений пропорциональны произведениям функций распределения состояний сталкивающихся частиц. Тем самым корреляции считаются несущественными. Это предположение называется гипотезой молекулярного хаоса. Такое предположение противоречит классической механике. Поясним это на простом примере. Пусть две частицы первоначально находятся далеко друг от друга. Они не чувствуют друг друга и ведут себя так, как если бы они были независимы. Приближаясь друг к другу по прямым траекториям, частицы, в конце концов, попадают в сферу взаимодействия. В это время они (их траектории) влияют друг на друга и частицы уже не ведут себя как независимые. При отталкивательном взаимодействии они разлетаются. Поэтому вероятность обнаружить две частицы очень близко друг к другу меньше произведения вероятностей обнаружения одной частицы где-либо внутри системы — взаимодействие приводит к корреляциям, которые возникают под действием движения. Число пар частиц, локализованных одновременно в двух различных точках фазового пространства, определяется двухчастичной функцией распределения f2(q,v;q,v1;t). В общем случае f2(q,v;q,v1;t) f1(q,v;t)f1(q,v1,t). Предположение, что f2=f1-f1, было названо Больцманом «Stossanzahlsatz» (гипотезой о числе столкновений) или гипотезой молекулярного хаоса (ввиду статистической независимости молекул). Это предположение со времен Больцмана вызвало дискуссии и на протяжении уже более столетия стимулировало громадное число работ.
С другой стороны, это предположение позволило получить уравнение Больцмана как замкнутое уравнение для одночастичной функции распределения. Больцмановская гипотеза молекулярного хаоса позволяет оборвать бесконечную цепочку уравнений для функции распределения, возникающую из обобщенного уравнения Лиувилля [11], в котором скорость изменения /1 зависит от значения двухчастичной функции /2, которая в свою очередь зависит от /3, и т. д. (цепочка ББГКИ: Боголюбова - Борна - Грина - Куквуда - Ивона). Как отмечают многие авторы [9-11], приведение цепочки ББГКИ к единственному уравнению Больцмана обходится дорого - уравнение Больцмана нелинейно.
Надо отметить, что в больцмановском подходе не является необходимым прослеживать явно эволюцию отдельных молекул, исходя из точных значений их начальных координат и скоростей. Практически необходимо, чтобы прийти к полезным формулам, допустить, что состояние газа в начальный момент времени является неорганизованным, неупорядоченным с молекулярной точки зрения (молекулярный хаос) и остается таким с течением времени.
Потенциал (2(п + 3),б), описывающий взаимодействие молекул в газовых средах
Потенциал Леннарда–Джонса получил довольно широкое распространение, поскольку удовлетворительно описывает переносные свойства реальных газов при низких температурах (до 10000 К).
В настоящее время расчеты кинетических коэффициентов переноса в инертных и полярных газах, в основном, строятся на индивидуальных многопараметрических потенциалах, описывающих процессы взаимодействия молекул в этих средах. На основе анализа, приведенного в работах [65,66,70,76,121], надо отметить, что используемый сейчас двухпараметрический потенциал Леннарда-Джонса (12,6) является недостаточно гибким, так как не передает «мягкого» отталкивания частиц газов [90-91] и не обеспечивает высокую «жсткость», которая иногда требуется для описания свойств взаимодействия глобулярных молекул, например, типа SF6 и WF0 [91]. В связи с этим, для описания процессов взаимодействия молекул в многокомпонентных инертных газовых смесях предлагается двухпараметрический потенциал (2(и + 3),6), в котором параметр п In є -2,102 I описывает поведение отталкивающей силы. Вариация показателей степеней п в потенциале (2(и + 3),6) позволяет описать более широкий класс транспортных свойств газов с «мягким» (и є [1,2]) и «жстким» (пє(2,102]) процессом отталкивания взаимодействующих молекул. Так, при п = 2 минимум потенциала (2(и + 3),6) равен 60 [263] и находится ближе к экспериментальным данным для инертных газов, чем значение этой величины, равной 72, полученной из анализа экстремума для потенциала (12,6). ж) Потенциал (2(и + 3),6). Среди других математических моделей, использующихся для описания процессов взаимодействия молекул в двумолекулярных инертных газах, следует отметить потенциал (т,6) [92-94]. Хотя потенциалы (2(и + 3),6) и (т,6) близки по форме записи, но (2(и + 3),6) является физически более корректным при описании процессов взаимодействия молекул в многокомпонентных средах. В отличие от потенциала (т,6), который получен на основе теории описания взаимодействия молекул в инертных двумолекулярных газовых средах, математическая модель (2(и + 3),6) описывает процессы не только для указанных, но и многокомпонентных газовых сред с учетом геометрических характеристик молекул. Следует отметить работы [96,97], посвященные использованию потенциала (т,6). Так в работе [96] выполнена аппроксимация основных интегралов столкновения во всей области определения показателя /we[8,o] в интервале приведенных температур Т = [0.4;200]. В [97] рассмотрены принципы организации работы информационно-вычислительной базы данных «ЭПИДИФ» на основе потенциала (т,6). Для бинарной смеси разряженных газов N2 - Н2 проведена обработка опытных данных вязкости чистых композитов и взаимной диффузии молекул N2 и Н2. Наряду с теоретическими исследованиями в этой области кинетической теории газов проводились также экспериментальные изыскания некоторых характеристик, используемых при математическом описании процессов взаимодействия молекул в этих средах [5,98-122]. В работе [5] приведены значения вторых вириальных коэффициентов. Авторы научных трудов [98-99], основываясь на результатах спектроскопического анализа и теории валентных связей, использовали их для пересчета результатов, полученных методами рассеивания пучков частиц. Эксперименты по рассеиванию пучков частиц дают возможность моделировать парные столкновения. Так в работах [100-102], где использовались установки с тепловыми и быстрыми пучками, были получены данные о потенциалах взаимодействия тяжелых частиц. В работе [103] приводятся потенциалы атом-ионного взаимодействия, представляющие собой аппроксимацию потенциала Морзе и добавленной к нему функции поляризационного взаимодействия. Для описания процесса столкновения атомов и молекул по нескольким поверхностям потенциальной энергии в [104-105] вводится понятие эффективного потенциала, и количественно анализируется возможность его использования для расчета высокотемпературных свойств диссоциированных газов. Отметим также важность результатов, полученных в работах [106-122], по математическому описанию и экспериментальному анализу взаимодействия молекул, как в двумолекулярных, так и многокомпонентных газовых смесях.
Проводя анализ влияния сил действующих на молекулы, как в простых, так и многокомпонентных средах, можно предположить, что сила притяжения взаимодействующих молекул обладает «автомодельностью» которая удовлетворительно аппроксимируется зависимостью (II.4). В отличие от силы притяжения, сила отталкивания зависит от геометрических параметров молекул среды, их упругих характеристик, многокомпонентности. Так, при значении параметра S 12 в модели (II.5), как отмечено в работе [263], удается достичь лучшей согласованности с экспериментом переносных характеристик для ряда реальных газов. С учетом более широкого диапазона свойств молекул, рассмотрим математическую модель потенциала их взаимодействия в виде разности следующих степенных функций:
Асимптотические методы определения значения величины
В этом параграфе предлагается численный алгоритм определения значения требуемого некратного корня у нелинейного алгебраического уравнения (III. 15). Задачи определения одного нужного корня (решения) встречаются при математическом моделировании различных процессов в естествознании, которые описываются как нелинейными алгебраическими, так и интегрально-дифференциальными уравнениями. Например, при анализе устойчивости физико-химических процессов, поиск точек экстремумов функций. Как правило, для определения решений в таких задачах используются численные алгоритмы, основанные на итерационном методе Ньютона или его модификациях [129-132]. При реализации численных алгоритмов на ЭВМ возникают следующие вопросы: а) определение подобласти, в которой находится искомый единственный корень (решение); в) обоснование выбора начального приближения для итерационного процесса.
Надо отметить, что сложность решения вопросов а) и в) сопоставима со сложностью выбора самого итерационного процесса, используемого для нахождения корня (решения).
Сначала рассмотрим алгоритм выделения подобласти, в которой находится единственный требуемый действительный корень нелинейного уравнения f(r) = 0, гє[а,Ь\ (Ш.20) Отрезок [а,Ъ] разобьм на N элементарных отрезков [ak,bk], (к = 1,2,...,N) , в которых корень исходного уравнения либо содержится, либо не содержится. Пусть в [ak,bk] содержится единственный корень. Для определения его значения воспользуемся итерационным методом Ньютона [105-108]: { где [ak,bk], (к = 1,1)-элементарный отрезок разбиения исходного интервала интегрирования, rk0- начальное значение. Для анализа существования корня в элементарном отрезке [ак,Ьк] сформулируем и докажем теорему, которая в отличие от теоремы Больцано [133-135] не требует у функции f(r) свойства монотонности на [ак,Ьк].
Теорема III. 1. Если функция f{r) непрерывна \/гє[ак,Ьк] и существует точка d є (ак,Ьк) такая, что для \/є 0 и Vr є [ak,d - є] функция f(r) имеет только положительные (отрицательные) экстремумы, а для \/re[d + s,bk] функция f(r) имеет только отрицательные (положительные) экстремумы, тогда выполняется / (d) = 0.
Доказательство. По условию теоремы о расположении экстремумов функция f(r) должна иметь на концах отрезка [ % А] значения разных знаков. Это дает возможность использовать в доказательстве теорему о стягивающихся отрезках. Пусть для определенности,/ ) 0 f(bk). Разделим отрезок [ak,bk] пополам. Если в точке de(ak,bk) f(d) = 0, то теорема доказана. Если же /(d) 0 и /( /) 0, то для дальнейшего рассмотрения берем отрезок [ak,d], на концах которого знаки функции противоположны. В случае же f(d) 0 берем отрезок [d,bk], на концах которого знаки функции снова противоположны: f(d) 0,f(bk) 0. Обозначим через \ выбранный нами отрезок, длина которого равна половине отрезка [ak,bk] и в котором выполнены все условия теоремы. Далее отрезок А1 делим пополам. Если в точке деления функция равна нулю, то теорема доказана. В противном случае, как и прежде, выбираем ту из половин, на которой выполнены условия теоремы. Выбранную половину обозначим через А2. Продолжаем процесс деления и выбора отрезков по такому признаку неограниченно. Если же ни в одной из точек деления функция не равна нулю, то в результате такого деления получаем стягивающую последовательность отрезков Ап, на которых выполнены условия исходной теоремы, т.е. на этих отрезках функция непрерывна, а на концах имеет противоположные знаки. Далее на основании теоремы о стягивающей последовательности отрезков [261] существует единственная точка d, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности. Возьмем окрестность этой точки (d-S,d + S) и выберем отрезок Ат, лежащий в ней. У непрерывной функции, принимающей на концах отрезка Ат значения противоположных знаков, существует точка сІєАт, в которой она равна нулю, т.е. f(d) = 0. Утверждение о том, что de[ak,bk] - единственная точка, следует из условия получения на отрезке [ %А] только одной стягивающей последовательности отрезков, у которых существует только одна точка d, принадлежащая всем отрезкам, в которой f(d) = 0. Теорема доказана.
Поскольку при решении прикладных задач возникает вопрос определения не всех корней нелинейного уравнения, а только одного, удовлетворяющего определенным условиям, то полезна будет следующая теорема.
Теорема III.2. Если функция f(r) непрерывна на отрезке [ак,Ък] и для \/re(ak,bk) имеет только положительные (отрицательные) экстремумы, то f(r) 0Vre(ak,bk).
Доказательство. Доказательство этой теоремы будем проводить от противного. Пусть имеется такая точка de(ak,bk), в которой f(d) = 0. В соответствие с теоремой о стягивающихся отрезках для У є О в окрестности точки d должно выполняться неравенство f(d-s)-f(d + s) 0. Однако, по утверждению теоремы Ш.2 \/re(ak,bk) функция f{r) имеет только положительные (отрицательные) экстремумы f(d-e)-f(d + e) 0. Следовательно, в соответствии с теоремой о стягивающихся отрезках получим, что Vr є (ak,bk) должно быть f(r) Ф О . Теорема доказана.
Надо отметить, что приведенная теорема III.1 обобщает известную классическую теорему Больцано [133-137], позволяет провести анализ существования единственного корня у нелинейных уравнений в рассматриваемой подобласти и использовать численный алгоритм по его определению.
Перейдем к вопросу об алгоритме определения корня (решения) у нелинейного уравнения (III.20), построенного на основе приведенных теорем. Сначала исходная область делится на элементарные подобласти, т.е. исходный отрезок [а,Ь\ разбивается на множество элементарных отрезков [ak,bk] (k = \,2,...,N). Далее в каждом элементарном отрезке проверяется выполнение условия теоремы Ш.2. Если в каком-либо из элементарных отрезков [ %А] условия теоремы Ш.2 не выполнены, то, используя дополнительную информацию о корне, выбирается нужный элементарный отрезок и проверяется выполнение условия теоремы III.I.
О вычислительных технологиях решения слау, используемых при вычислении коэффициентов переноса в моделях газовых смесей
В четвертой главе соискателем показано, что если приведнная кинетическая энергия превышает приведенную потенциальную энергию взаимодействующих молекул, то значения функции угла рассеяния определяются на множестве действительных чисел Ш. Если приведенная потенциальная энергия превышает приведенную кинетическую, то необходимо привлекать аппарат функции комплексного переменного С. Впервые для функции z(b\g") доказана непрерывность по переменной г и равномерная ограниченность (непрерывность) относительно параметров Ъ и g на множестве действительных чисел Ш. В диссертационной работе предложен алгоритм определения критической линии (поверхности), разделяющей множества Ш и С. Впервые получены явные асимптотические выражения для некоторых предельных случаев функции %(b ,g ), которые могут служить как оценкой корректности определения е значения численными методами, так и быть использованы при решении практических задач. Для определения значений функции z(b ,g ) предложены эффективные вычислительные технологии, базирующиеся на адаптивных квадратурах, а также квадратурах, использующих сплайн - функции, cоздана программа для ЭВМ, и получены расчетные значения функции угла рассеяния на основе предложенных вычислительных и компьютерных технологий, проведено сравнение с асимптотическими выражениями для некоторых предельных случаев.
Численный алгоритм определения значений несобственных интегралов с осциллирующими подынтегральными функциями является одним из сложных разделов вычислительной математики. Подобного типа интегралы встречаются при математическом моделировании волновых процессов (теория волн), в кинетической теории газов при определении транспортных характеристик сред [1-5].
В настоящее время для определения значений такого типа интегралов разработаны несколько численных алгоритмов. К ним относятся метод Филона [150], адаптивный метод и метод, основанный на сплайн – квадратурах [151]. Все они требуют задания числа узлов разбиения исходного отрезка интегрирования. Поскольку осцилляционный характер подынтегральной функции требует контроль погрешности квадратуры, то рассмотрим квадратурную формулу Гаусса-Кристоффеля, в которой используются ортогональные многочлены. Узлы разбиения интервала интегрирования в этом случае распределяются, исходя из минимизации погрешности аппроксимации подынтегральной функции ортогональными многочленами. Такой подход в отличие от других позволяет качественнее и эффективнее определять значения интегралов с осциллирующими подынтегральными функциями, и не содержит «итерационную» процедуру увеличения узлов разбиения отрезка интегрирования для достижения заданной точности как метод адаптивной квадратуры. Однако использование квадратур Гаусса-Кристоффеля, основанных на ортогональных многочленах, требует дополнительных вычислений для определения значений координат узлов разбиения и весов в этих квадратурных формулах. Данная глава посвящена построению квадратурных формул, основанных на ортогональных многочленах для вычисления несобственных интегралов с осциллирующими функциями.
В кинетической теории газов интегралом с осциллирующей подынтегральной функцией является несобственный интеграл (Q - интеграл), описывающий среднее сечение рассеяния взаимодействующих молекул [5]. Для определения значений подобного типа интегралов используются алгоритмы, приводящие их к определенным интегралам. Рассмотрим определенный интеграл с осциллирующей подынтегральной функцией вида где со- параметр, характеризующий частоту осцилляций подынтегральной функции. Для определения значений такого типа интегралов в работе [150] рассмотрен метод, основанный на многочленной аппроксимации подынтегральной функции /(х)єС{[а,Ь]}. Отрезок [а,Ь] при этом делится на
2N элементарных отрезков, и в каждом двойном элементарном отрезке функция f(x) аппроксимируется квадратным трехчленом. В итоге получается квадратурная формула, которая напоминает квадратурную формулу Ньютона-Котеса, в частности формулу Симпсона.
Для вычисления значениий такого типа интегралов рассмотрим квадратурную формулу, основанную на ортогональных многочленах [70,152-153,70]. С помощью минимизации погрешности предложенной квадратуры осуществляется вычисление значений узлов и весов в зависимости от характера поведения осциллирующей подынтегральной функции. Для определения узлов, их координат, а также значений весов квадратуры предлагается метод, основанный на расщеплении исходной системы алгебраических уравнений на две. В связи с этим диссертантом приведено доказательство сходимости численного решения по предложенному алгоритму к решению нерасщеплнной (исходной) системы алгебраических уравнений.
Поскольку далее будет использоваться метод отображения полубесконечной прямой в отрезок, то рассмотрим интеграл вида: ь ip(x)f(x)dx, (V.1) а где /?(х)є С{[#,]}- весовой множитель (р(х) 0\/хє[ я,6]), а /(х) є С{[#,]} некоторая заданная осциллирующая функция. Для вычисления значения интеграла (V.1) будем использовать квадратуры, основанные на ортогональных многочленах, т.е. квадратуры Гаусса-Кристоффеля. Гауссовы методы интегрирования, в которых исключается весовой множитель, являются эффективными при вычислении интеграла по нескольким узловым точкам при условии, что подынтегральная функция может быть максимально точно аппроксимирована выбранным ортогональным многочленом. Рассматриваемый случай имеет общий характер, поскольку в подынтегральной функции присутствует весовой множитель р(х).