Введение к работе
Актуальность темы. Государственный долг России составляет порядка 1000 долларов США на душу населения [1]. Величина долга Москвы равна примерно 380 долларов США на душу населения, если не считать унаследованный Россией советский долг. С другой стороны, западные страны должны России порядка 300 миллиардов долларов США, на считая вывоза капитала за рубеж. Кроме того, России должны бывшие социалистические страны, развивающиеся страны и страны СНГ. Общая сумма их долга России составляет 2172205 миллионов рублей (76 миллиардов долларов США). Отсюда видна сложность рассматриваемой проблемы. Дикусар В.В. и Абрамов А.П. предложили модель динамики выплаты внешнего долга на базе двусекторной модели (сырьевой и производственный секторы). Рассматриваемая модель сводится к задаче оптимального управления при наличии фазовых и смешанных ограничений типа равенств и неравенств. Единственным инструментом для качественного анализа таких задач являются принцип максимума Л.С. Понтря-гина и схема Дубовицкого-Милютина. Однако при применении указанного математического аппарата возникают принципиальные трудности. Они связаны с неединственностью множителей Лагранжа и определением геометрии оптимальной траектории (множества активных индексов). Известно, что необходимые условия экстремума приводят к краевой задаче. Здесь также возникают определенные трудности при численном решении упомянутой задачи. Отсюда следует важность рассмотрения задач с фазовыми и смешанными ограничениями в практическом и методическом аспектах.
Цель работы. Разработать методы качественного и численного решения задач оптимального управления при наличии ограничений общего вида для систем с линейной структурой. Провести анализ существующих методов решения линейных алгебраических уравнений в плохо обусловленном случае. Проанализировать методы продолжения решений по па-
раметру для численного решения краевых задач. Разработать алгоритмы и процедуры для оценки геометрии оптимальной траектории.
Методы исследования. Используются методы решения линейных алгебраических систем, методы продолжения решений по параметру, метод Ньютона, методы Рунге-Кутта, полиномы Лагранжа и Чебышева, программный комплекс "Баланс-2" (Умнов А.Е., Шомполов И.Г.).
Научная новизна состоит в следующем:
-
Сформулированы и доказаны теоремы о продолжении решений по параметру.
-
Предложена система моделей, зависящая от параметров. Это позволяет получить точное решение задачи Понтрягина Л.С. для случая свободного правого конца. Указанное решение является первым приближением при решении краевой задачи.
-
Получена алгоритмическая оценка решения плохо обусловленной линейной системы.
-
Предложены методы прогноза последующих приближений и элементов матрицы Якоби в некорректных случаях.
Практическая значимость работы. Получена оценка возможных решений в задаче о внешнем долге в зависимости от параметров. Предложенные численные алгоритмы могут применяться при решении некорректных прикладных задач.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научной конференции Московского физико-технического института (Долгопрудный, 1998), на семинарах Института Системного Анализа РАН, ВЦ РАН, ЦЭМИ РАН, Института Проблем Управления РАН.
Публикации. По теме диссертации опубликовано три печатные работы.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав, изложенных на 132 страницах, содержит 4 таблицы, 15 рисунков, список литературы, приложения.