Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Москалева Марина Александровна

Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов
<
Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Москалева Марина Александровна. Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 05.13.18 / Москалева Марина Александровна;[Место защиты: ФГБОУ ВО Московский технологический университет], 2017

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1 Свойства решений уравнений электрического поля 17

1.1 Постановка задачи дифракции электромагнитной волны на системе произвольно расположенных тел и экранов 17

1.2 Существование и единственность решения задачи дифракции

1.3 Сведение задачи дифракции электромагнитной волны на системе тел и экранов к системе интегро-дифференциальных уравнений 23

1.4 Фредгольмовость системы интегро-дифференциальных уравнений

Краткие выводы главы 1 28

ГЛАВА 2 Численные методы 29

2.1 Проекционные методы. Метод Галеркина 29

2.2 Базисные функции «rooftop» для экрана 31

2.3 Базисные функции «крышки» для тела 31

2.4 Сходимость метода Галеркина для базисных и тестовых функции «rooftop» 32

2.4.1. Сходимость метода Галеркина в задаче дифракции электромагнитных волн на плоском экране 32

2.4.2. Сходимость метода Галеркина в задаче дифракции электромагнитных волн на системе, состоящей из тела иплоского экрана 46

2.5 Вычислительные алгоритмы 48

2.5.1 Дискретизация задачи на экране 48

2.5.2 Дискретизация задачи на теле 52

2.5.3 Дискретизация задачи на системе произвольно расположенных тел и экранов 53

2.5.4 Субиерархический вычислительный алгоритм 56

Краткие выводы главы 2 57

ГЛАВА 3 Численные результаты решения задачи дифракции 58

3.1 Численные результаты на неплоских экранах сложных форм 58

3.2 Численные результаты на теле 69

3.3 Численные результаты на системе произвольно расположенных тел и экранов 72

3.4 Численные результаты на системе пересекающихся тел и экранов 97

Краткие выводы главы 3 110

Заключение 111

Список использованной литературы

Введение к работе

Актуальность работы

Задачам дифракции электромагнитных волн на телах различных конфигураций посвящено множество трудов, в частности, работы Самохина А.Б.1и M. Costabel2. В данных работах, а также в монографии Д. Колтона и Р. Кресса3, построена теория разрешимости векторных задач дифракции электромагнитных волн на телах, в том числе описана постановка задачи, доказаны существование и единственность решения и описаны численные методы решения поставленных задач. Для решения задач дифракции электромагнитных волн на объемных телах применяются как методы объемных интегральных уравнений, так и другие, например, конечно-разностные методы и методы конечных элементов, основанные на решении систем дифференциальных уравнений. Решение задач дифракции на телах подобными методами представлено, например, в работах Miller E. K.4 и Mittra R.5.

В работах Ильинского А.С. и Смирнова Ю.Г.6 построена теория разрешимости трехмерных векторных электродинамических задач на незамкнутых поверхностях, а именно, доказан ряд теорем, таких как теоремы о существовании и единственности решения краевой задачи и уравнения на экране (в подходящих пространствах), теоремы о представимости решения краевой задачи в виде векторного потенциала, теоремы о «скачках» предельных значений и т.д.

1 Самохин A. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. -М.:
Радио и связь, 1998.

2 Costabel M., Darrigrand E., Kone E. Volume and surface integral equations for electromagnetic scattering by a
dielectric body // J. Comput. Appl. Math. -2010. –Vol. 234. -P. 1817–1825., Costabel M. Boundary integral
operators on lipschitz domains: elementary results/ // SIAM J. Math. Anal. -1988. -Vol. 19. -№ 3. -Р. 613–626.

3 Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния: Пер. с. англ. -М.: Мир, 1987.

4 Miller E. K., Poggio A. J. Moment-Method Techniques in Electromagnetics from an Applications Viewpoint //
Electromagnetic Scattering. Edited by P.L.E. Uslenghi – New York, Academic Press. -1978. -P. 315-358.

5 Mittra R., ed. Numerical and Asymptotic Techniques in Electromagnetics. -New York: Springer Verlag, 1975.

6 Ильинский А. С., Смирнов Ю. Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. -
М.: Радиотехника, 1996.

Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов (в частности, задачи на частично экранированных или пересекающихся телах и экранах) до сих пор являются малоизученными. Основные теоретические результаты, в том числе о разрешимости задачи дифракции представлены в работах Смирнова Ю.Г., Медведика М.Ю, Цупака А.А и Валовика Д.В, однако, отсутствовали результаты о сходимости численных методов, эллиптичности задачи и гладкости решений интегро-дифференциальных уравнений. Поэтому необходима разработка математических методов для их исследования.

Кроме того, решение трехмерных векторных задач дифракции электромагнитной волны на системах тел и экранов различных форм является актуальным с точки зрения приложений в связи с возрастающей потребностью в разработке все более сложных технических устройств. Наиболее сложно решать подобные задачи в резонансном диапазоне частот, когда длина волны соизмерима с размером рассеивателей. Для решения этих задач разрабатываются методы поверхностных и объемных интегральных уравнений, в ходе применения которых исследуемая задача сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений на телах и экранах.

Цели диссертационной работы

  1. Теоретическое исследование задач дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов.

  2. Разработка численных методов решения задач дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов, а также их обоснование.

  3. Программная реализация разработанных методов решения задач дифракции электромагнитных волн, а также проведение расчетов на конкретных системах тел и экранов.

Методы исследования

Проведенные исследования опираются на методы решения краевых задач для уравнений Максвелла, методы теории функций комплексных переменных, теорию аппроксимации, численные методы исследования операторных уравнений и систем линейных уравнений.

Научная новизна

  1. Исследуемые задачи сведены к системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на телах и экранах.

  2. Предложен, разработан и обоснован проекционный метод (схема Галеркина) с выбором финитных базисных функций специального вида для решения задач дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов.

  3. На основе методов поверхностных и объемных интегральных уравнений и дискретизации задачи построены, тестированы и реализованы вычислительные алгоритмы (в виде комплекса программ на языке C++) на несвязанных сетках на экранах и телах для решения задач дифракции электромагнитных волн на системах произвольно расположенных тел и экранов.

Основные результаты диссертации

  1. Сформулирована и исследована система интегро-дифференциальных уравнений для задач дифракции электромагнитных волн на системах произвольно расположенных тел и экранов, доказана эллиптичность системы уравнений при наличии поглощения в среде, а также гладкость решения этой системы.

  2. Предложен и обоснован проекционный метод (схема Галеркина) решения системы интегро-дифференциальных уравнений, отвечающей задаче дифракции электромагнитных волн на системах произвольно расположенных тел и экранов; доказана сходимость метода Галеркина решения системы интегро-дифференциальных уравнений, отвечающей задаче дифракции электромагнитных волн на системе, состоящей из плоского экрана и тела.

  3. Реализован вычислительный алгоритм (в виде комплекса программ на языке C++), позволяющий решать задачи дифракции электромагнитных волн на системах тел и экранов различных конфигураций.

Теоретическая и практическая значимость

С теоретической точки зрения разработаны и обоснованы численные методы и вычислительные алгоритмы решения трехмерных векторных задач

дифракции электромагнитной волны на системе произвольно расположенных тел и экранов.

Предложенные в рассматриваемой работе методы могут быть использованы на практике для изучения поведения отраженного поля от систем произвольно расположенных тел и экранов, в том числе частично экранированных тел или экранов, пересекающих тела. Например, для моделирования поведения электромагнитных волн на уголковых отражателях, которые получили широкое применение в радиолокации или в печатных антеннах, которые являются элементами базовых станций мобильной связи.

Обоснованность и достоверность результатов

Представленные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование, численный метод обоснован и тестирован на модельных задачах. Качественное поведение полей, полученное в результате численных экспериментов, согласуется с известным теоретическим поведением полей в окрестности края экрана.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на российских и международных конференциях:

научно-техническая конференция «Проблемы создания информационно-управляющих и телекоммуникационных систем специального назначения», г. Пенза, Россия, январь 2013;

международная конференция «Days on Diffraction», г. Санкт-Петербург, Россия, май 2015.

международная конференция «Days on Diffraction», г. Санкт-Петербург, Россия, июнь 2016.

Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты грантов РНФ № 14-11-00344, Госзадания РФ № 2.11.02.2014/К (проектная часть).

Личный вклад автора

Постановка задачи принадлежит д.ф.-м.н., профессору Смирнову Ю.Г. Теоретические результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Программная реализация численных методов и расчеты также выполнены автором самостоятельно.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации

Существование и единственность решения задачи дифракции

Выведем систему интегро-дифференциальных уравнений электрического поля для сформулированной задачи дифракции. Представим полное электрическое поле в виде Е = Е0 + Е1 + Е2 (1.11) где Е0 є С(R3 J - падающее поле, E1eC1l(dQ Cl\ РСІ.Р+\50г)Ррп \дОу) - поле, рассеянное экраном Q (см. стр. 17,18); так, что Es=E1 + E2, Е2 поле, рассеянное телом Q . Поле (Е0,Н0) есть решение краевой задачи: в R3 (1.12) rotE0 = гш//еН0 0,-Е 3 (гоМ0=-тєеЕ0 + }0 Поле (E1,H1), рассеянное экраном есть решение краевой задачи [rO H1 = -І(ОЄ 1 3 BR3\Q (1.13) [rotE1 = iCQjU с условиями излучения Сильвера-Мюллера: E1,H1=o(1/r), Imk 0, H1xer-E1=o(1/r), E1xer-H1 = o(1/r) r oo, (1.14) E1,H1=O(1/r), lmk = 0 с условиями сопряжения: ГЕ1Г1 =ГН1 Л =0 (1.15) и граничными условиями: (Е1Г + Е0Г) =0 (1.16) Поле E1 будем искать в виде векторного потенциала (см. [14] стр. 54) E1(x) = (graddivr+ 2)jG(x,j;)u(j;) (1.17) Q Qxv(ik be- y\) где G(x,y) = ; e ,divr- операция поверхностной дивергенции, а 4л" JV — j l u- неизвестная поверхностная плотность тока на Q, представляющая собой касательное векторное поле: и v = 0 на Q; v- единичный вектор нормали к Q. Рассмотрим "новое" падающее поле (E;,H 0) = (EO,H0) + (EI,H1) и перепишем систему (1.2) в виде \rom = -icosK+\F [rofE = w)tien ток ]Е имеет вид: ІЕ=ЇО +ІР,Е где ) 0Е- токи, отвечающие полю (EQ,H 0) а j Е - ток поляризации в области Q є(х)-єеІ)Е. Поле Е представим в Q через векторный потенциал AE(x) = \G(x,y))E(y)dy (1.19) Q по известным формулам (см. [32]) Е = icoju AF — graddivAF (1.20) е ісоєе Из определения полей Е0,Е! и равенств (1.11), (1.18)-(1.20) получим интегро-дифференциальное уравнение электрического поля E(jc)-( e2+graddiv)JG(jc,j) Q I f.(y)dy (1.21) КУ) Єє -( +gmdd\vI)\G(x,y)a(y)dsy=E0(x),xeQ. Q Следующее равенство дает представление поля вне тела и экрана: E(JC) = (k2e + graddiv) JG(JC, y) и b) -I E(y)dy + (1.22) (k2e+&3d6ivr)JG(x,yy(y)dsy + Е0(х),хєй\(биО), І2 Для получения второго уравнения перейдем в (1.22) к пределу, опуская точку JC на Q и взяв касательные компоненты всех членов уравнения: E(y)dy Q -( + graddivr)JG(x,j,)u(j,) =E0r( где E0 r касательная составляющая падающего поля на экране. (1.23) Введем замену м I E = J, є(х) -/ -1 S, и перепишем систему уравнений (1.21), (1.23) в токах, умножив для симметрии второе уравнение системы на минус единицу: j-(e +grMw)JG(x,y)j(y)dy Q -(k;+gvMwT)JG(x,y)u(y)dsy=E0(x), хєд, U f (k;+grM G(x,y)j(y)dy О (1.24) -(%+& & &,,) JG(x,y)u(y)ds І =Е0», хєП Q г В данной системе слагаемые (k + graddi\T)JG(x,y)u(y)dsy и Q (к2е + graddiv) JG(JC,у)j(y)dy являются гладкими и особенностей не имеют, так Q как в случаях Q х Q и Q х Q точки х, у в функции Грина не будут совпадать. В диагональных блоках слагаемые graddivjG(jc )j( )rfj; Q и являются сингулярными интегралами. Q Таким образом, получена система интегро-дифференциальных уравнений задачи дифракции на системе объемных тел и тонких экранов.

Рассмотренная краевая задача сводится к операторному уравнению LV = f. (1.25) Здесь V = (J,u), J (Х) I E– неизвестный вектор тока поляризации в Q. Правая часть есть вектор f = (Еое,Е0г), где Еое- сужение падающего поля на Q. Матричный оператор L имеет вид L=LX+L2 А О v0 Sj + г О к ,К2 0у (1.26) Операторы A, S и Кг определяются равенствами AJ := J(JC) - (е2 + graddiv)p(x,y)J(y)dy, О Su: -{k2e + graddiv) \G(x,y)u(y)ds Kp := {k] + graddiv) jG(x,y)u(y)dsy, Q K2J: { f {k] + graddiv) ]G(x,y)J(y)dy Q и рассматриваются как отображения в следующих пространствах AJ := L2(Q) L2(Q), Su:=W(Q) W (Q), Klu:=W(Q) L2(Q), K2J:=L2(Q) W (Q). Пространство W = W(CL) сечений векторных расслоений было введено в монографии [14] (стр. 47) как замыкание пространства Q (Q) по норме \\w : U = IMI-1/2 + IHZVUl-1/2. Здесь u2 1/2 обозначает норму в пространстве Соболева Я"1/2(Q), пространство W = W (Q)- антидвойственное к W, т.е. пространство антилинейных непрерывных функционалов над W (см. [14] стр. 52). Решение уравнения (1.25) - пара (J,u)eL2(0xPf(Q).

В данной системе интегральные операторы К1 и К2 имеют гладкие ядра, так как в случаях QxQ и QxQ точки х, у в функции Грина не будут совпадать. А и S являются интегро-дифференциальными сингулярными операторами. Теорема 1.2. ([5] стр. 95) Оператор L:L2(Q)xW(Q) L2(Q)xW (Q) является обратимым. Доказательство. В силу ограничений, наложенных на тензор диэлектрической проницаемости оператор А является фредгольмовым в L2(Q) (см. [3] стр. 510). Оператор S:W(Q) W (Q) фредгольмов, так как всюду вне экрана выполнено условие ke Ф 0 (см. [14]). Следовательно, Ц - фредгольмов.

Оператор L2 компактен, так как тело и экран непересекаются и, следовательно, ядра обоих операторов К1 и К2 являются бесконечно дифференцируемыми. Таким образом, Ь = Ц+Ь2- фредгольмов оператор выбранных пространствах. Теорема доказана. Покажем теперь, что решение (1.25) является гладким. По предположению supp(j0E)n\(Q. jQ) = 0; следовательно, Е0Q є С(Q) и Е0гєСда(Г2). Из эллиптичности оператора A:Hscom(Q) Hsloc(Q) (см. [3]) и гладкости и в Q (так как Qng = 0) следует, чтоJeC(0. Аналогично, эллиптичность оператора S (см. [14]) влечет гладкостьи в Q. Таким образом, верно Утверждение 1.1. Если feCx(QxQ) и решение (J,U)GL2(0X (Q) системы (1.25) существует, то J и и бесконечно дифференцируемы во внутренних точках Q и Q; соответственно.

Таким образом, в первой главе была описана постановка задачи дифракции на системе произвольно расположенных тел и экранов. Перечислены основные свойства решений уравнений электрического поля (1.25). Сформулированы и доказаны теорема 1.1 о единственности и теорема 1.2 о существовании решения задачи дифракции на системе произвольно расположенных тел и экранов. Сформулирована и исследована система интегро-дифференциальных уравнений для задач дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов.

Фредгольмовость системы интегро-дифференциальных уравнений

Рассмотрим сходимость метода Галеркина для базисных функций «rooftop» в случае решения системы интегро-дифференциальных уравнений для задачи дифракции электромагнитной волны на плоском экране.

В случае плоского экрана задача дифракции электромагнитной волны сводится к интегро-дифференциальному уравнению [20,23] gradA(divw) + k2Au =/, jcefi, (2.10) где А- интегральный оператор вида Au = J J u(y)ds, (2.11) где u = u(x) = (ul,u2f, x = (xl,x2), а операции «поверхностной дивергенции и градиента» определены по формулам пи пи divM = + дх1 дх2 ех,е2- орты декартовой системы координат в R2. Пусть кфО. Для удобства исследования уравнения выполним преобразование переменных х[ := \к\х,, х2 := \к\ х2, к = \к\1к. Разделим уравнение (2.10) на лг О и, опуская штрих и сохраняя прежние обозначения для переменной и правой части, получим -gra(L4(div«) + кАи = f, х є Q (2.12) к ік\х-у\ Аи = \у My)dy. (2.13) Будем считать, что feC\Q). Это условие выполняется в случае, если источники падающего поля расположены вне поверхности экрана.

Для изучения задачи дифракции на плоском экране Q введем пространство векторных распределений W (см. [14] стр. 47). Для любого вещественного s положим: Я5(0):=[г/0:иєЯ5(Я2)}, Н\й) := \и є Hs [R2):suppwс Q} , где м I - сужение и из і?2 на Q. Скалярное произведение и норма в HS(R2) определяется обычным образом (»,v), = J f) u(()v(S)d{, 2 / 2\1/2 \\u\\s=(u,u)s; ( f):=(1 + f j .

Через и обозначено преобразование Фурье распределения и. Здесь и всюду ниже, где не указана область интегрирования, подразумевается интеграл по R2. Я (П) является (замкнутым) подпространством Я" (і?2) с индуцированными скалярным произведением и нормой. Далее, HS(Q) = HS(R2J/H[Q); в Я5(Г2) вводится скалярное произведение и норма к в факторпространства. Пространства H S(Q) иЯ (п) антидвойственны друг другу при всех s R; HS\Q) можно получить замыканием C"(Q) пространстве HS(R2) (см. [16] стр. 210). В дальнейшем нас будут интересовать главным образом пространства вектор-функций, поэтому через u,v будем обозначать векторы и = {и1,и2) , v = (v1,v2) и т.д. При этом в записи ueHs,HS уже понимается как декартово произведение двух экземпляров пространства Hs со скалярным произведением и нормой (u,v\ =(u1,v1)s +(u2,v2)s = І()2 й()-_____ 1, 2 2 2 Г / r\2s / -\2 If IMI =lkll +\\иЛ =\() \u[)\ d. s 2s J » v Сохраним те же обозначения для пространств в векторном случае, так как во всех ситуациях из контекста ясно, о каком пространстве идет речь. Определим гильбертово пространство W = W(n) как пополнение C0OT(Q) по норме 2 HI = Іш№№+Ш № со скалярным произведением \4 \4\ v J J Норма в W может быть записана в виде IHt=IHti/2+IHv "1-1/2

Умножим уравнение (2.12) на произвольную функцию veC0(Q) и проинтегрируем по Q, получим вариационное соотношение --(A(&vu),diw)w +tc{Au,y)w =(/,v)i2(Q) (2.14) Определение 2.3. Элемент и є W будем называть обобщенным решением уравнения (2.12), если для любых veC0(Q) выполняется вариационное соотношение (2.14) Исследуем уравнение (2.12) в пространстве W :ueW, f єСю(о). Для удобства определим оператор А на Сх(о) в виде Аи = у u(x)dx + Je OIM(JC)JJC + Y — Y Y — Y / Q \ Л Л0 Г 0 J где T](t) = l при diam(Q), т;(ґ) = 0 при t t0 = 2diam(Q) - бесконечно дифференцируемая «функция - срезка». Очевидно, что формулы (2.13) и (2.15) порождают один и тот же оператор (при хєСІ - ограничение А на Q) и его определение не зависит от выбора функции rj. Также будем рассматривать оператор А как псевдодифференциальный оператор (ПДО) Аи = $а(%)й()е1Х хєО. (2.16) с символом a() a(4) 4ё к (2.17) Пусть Ітл: 0. Тогда будем использовать следующую ветвь квадратного корня J\e-K2\ + RQ(e-K2) + isgn(RQK)J\e-K2\ + RQ(e-K2) 4ё г Це-к2 Представим символ ПДО (2.16) как () + s( ) т к2+\, -ъ ік\х\ е м є s{t) = F Ф\) \x\ \x\ к2+\ (2.18) (2.19) (2.20) (2.21) где Fu есть преобразование Фурье элемента и. Для функции g(%)eC(R2) верна следующая оценка (см [14]) g() C()"7/2 (2.22) Следует отметить, что символы а() иа ( ) соответствуют одному и тому же оператору А (на Q). Пусть t(u,v) ограниченная полуторалинейная форма на (комплексном) W:\t(u,v)\ C пространстве и V W W Тогда она однозначно определяет линейный ограниченный оператор T\W W по формуле [16] t(u,v) = (Tu,v)w, \/VGW. (2.23) Ограниченность формы достаточно проверять на C0OT(Q), поскольку С(0.) плотно в W. Саму форму t(u,v) также достаточно определять только на С;(Сї). Очевидно, что полуторалинейная форма (u,v)w порождает единичный оператор I \W W. Рассмотрим полуторалинейную форму

Сходимость метода Галеркина в задаче дифракции электромагнитных волн на плоском экране

Следует отметить, что при реализации метода Галеркина с выбором базисных и тестовых функций «rooftop», нет необходимости знать элемент /0. Можно вычислять (f, P„)L(Ci) вместо {/0,(р„) Также, результат о сходимости остается справедливым для любого плоского ограниченного экрана, построенного на прямоугольной сетке.

Сходимость метода Галеркина в задаче дифракции электромагнитных волн на системе, состоящей из тела и плоского экрана

Рассмотрим сходимость метода Галеркина для решения системы интегро-дифференциальных уравнений, отвечающей задаче дифракции электромагнитных волн системе, состоящей из плоского экрана и тела. Предполагаем, что тело и экран не пересекаются. Постановка задачи описана в пункте 1.1 главы 1. Система интегро-дифференциальных уравнений для данной задачи в операторном виде имеет вид (1.25). В качестве базисных функций на экране и на теле будем использовать базисные функции «rooftop» и базисные функции «крышки», соответственно, описанные выше. Имеет место следующая теорема [30].

Теорема 2.6. Для оператора L = L при 1тке 0 метод Галеркина (2.2) для системы уравнений (1.25) сходится.

1. Покажем сначала, что в выбранных пространствах выполняется условие аппроксимации. Подпространство Хп представимо в виде прямого произведения Хп = span{if/v...,y/n}xspan\pr,...,cpn}. Так как для базисных функций ц/1 и ср условие аппроксимации выполняется в пространствах (б) [17] и W(Q) [22] соответственно, то подпространства Хп являются предельно плотными в X.

Теперь достаточно показать, что оператор L является обратимым эллиптическим оператором.

Рассмотрим оператор S разложения (1.26). Согласно [25], будем называть данный оператор S:X X коэрцитивным, если существует константа С( 0), такая, что выполняется условие: ( фсИ2 для любого среХ. Оператор S:X X будем называть эллиптическим, если сущетсвует компактный оператор К: X - X , такой что S + К - коэрцитивный. В [25, 14] показано, что при 1тке 0 оператор S является эллиптическим обратимым оператором в W(fl), а метод Галеркина для него является сходящимся. Оператор А является эллиптическим в L2(Q) [4] при следующих условиях: det(c-l) 0, хє, A(jc) = det(I + o(e-l))=cos .cosa7. 0, єу=s:j(x), XGQ . Таким образом, оператор Ц.Р -Р является эллиптическим оператором.

Так как тела и экраны не имеют общих точек (точнее, Qr Q = 0), то ядра операторов К1 и К2 являются бесконечно гладкими ограниченными функциями в QxQ. и, следовательно, эти операторы компактны. Имеем, оператор L2:P P компактен. Из эллиптичности Ц и компактности L2 следует эллиптичность оператора L . Более того, он является непрерывно обратимым. Действительно, оператор L фредгольмов. Покажем, что он инъективен. Рассмотрим однородное уравнение LV = 0. Оно имеет лишь тривиальное решение, так как однородное интегро-дифференциальное уравнение (1.25) эквивалентно однородной краевой задаче для системы уравнений Максвелла, а последняя имеет (см. [68]) только трививальное решение.

Окончательно получим, что L:P P - эллиптический непрерывно обратимый оператор, для которого метод Галеркина с выбранными базисными функциями сходится. Теорема доказана.

Разработанный метод позволяет рассчитывать поверхностные токи на плоском ограниченном, бесконечно тонком и идеально проводящем экране и теле. В данном параграфе описывается алгоритм вычисления поверхностных токов. В первом разделе выполнено построение сетки для экрана сложной формы, во втором - для тела вида прямоугольного параллелепипеда.

Разработаем алгоритм численного решения интегрального уравнения. Для удобства будем использовать фигуру канонической формы (при этом на решение уравнения не накладываются дополнительные ограничения). Под фигурой канонической формы мы понимаем фигуру, на которой удобно строить расчетную сетку и которую удобно описывать граничными условиями краевой задачи. В двумерном случае это прямоугольник [19,20]. Для рассматриваемой задачи каноническая фигура - это прямоугольный параллелепипед.

Численные результаты на системе произвольно расположенных тел и экранов

В том случае, если тело частично экранировано или экран пересекает тело, предложенный метод также позволяет получать корректные результаты, поскольку точки интегрирования на экране и на теле выбраны таким образом, что никогда не являются совпадающими. Разнесение точек интегрирования схематично изображено на рисунке 3.68.

Точки интегрирования на теле обозначены кружочками, точки интегрирования на экране - крестиками. На рисунке 3.68а представлено схематичное разнесение точек интегрирования в случае, если тело частично экранировано, на рисунке 3.68б - в случае, если экран пересекает тело. Следует отметить, что расчетные сетки должны быть регулярными.

Выбранный метод дискретизации задачи позволяет строить сетки на экранах и телах с различными шагами.

Рассмотрим систему , в которой экран Q имеет прямоугольную форму размером Ах А, а тело Q является прямоугольным параллелепипедом, размером — х — х —. Экран расположен в плоскости Охх2, х3 = —. Центр тела А совпадает с центром системы координат. Таким образом Q = і х є R 3 : х1,х2 є (--,-); х3 = -1, Q = j x є R 3 : JC,. є (--,-) [,/ = 1,2,3. Система представлена на рисунке 3.69. Рисунок 3.69 Система Пусть падающее поле есть плоская волна, направляющий вектор которой расположен вдоль оси Ox2, относительная диэлектрическая проницаемость тела постоянна и определяется параметром є = 9,45 . В этом случае результат решения задачи представлен на рисунках 3.70-3.75. Рисунок 3.70 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов на экране вдоль оси Ox 1.

Распределение модуля поверхностных токов на экране вдоль оси Ox1 В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ox1 , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ox2 , неограниченно возрастает.

В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ox2, стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ox 1, неограниченно возрастает. На экране на границе соприкосновения экрана и тела, явно выраженных особенностей распределения поверхностных токов не наблюдается.

Рисунок 3.72 иллюстрирует распределение поля внутри тела на первом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ox1, при Я Я x = 1 1 4 32. 100 Рисунок 3.72 Распределение модуля электрического поля внутри тела на первом слое расчетной сетки Рисунок 3.73 иллюстрирует распределение поля внутри тела на пятом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ox1, при

Распределение модуля электрического поля внутри тела на пятом слое расчетной сетки Рисунок 3.74 иллюстрирует распределение поля внутри тела на одиннадцатом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ox 1,

Распределение модуля электрического поля внутри тела на одиннадцатом слое расчетной сетки Рисунок 3.75 иллюстрирует распределение поля внутри тела на пятнадцатом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ox1 , при x л ш 4+32

Распределение модуля электрического поля внутри тела на пятнадцатом слое расчетной сетки На рисунках 3.72-3.75 видно, что модуль электрического поля внутри тела возрастает на границе соприкосновения тела и экрана.

Рассмотрим систему , полученную из системы при помощи субиерархического метода. Система представлена на рисунке 3.76.

Система Пусть падающее поле есть плоская волна, направляющий вектор которой расположен вдоль оси Ox2, относительная диэлектрическая проницаемость тела постоянна и определяется параметром є = 9,45 . В этом случае результат решения задачи представлен на рисунках 3.77-3.82. Рисунок 3.77 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов на экране вдоль оси Ox 1.

Распределение модуля поверхностных токов на экране вдоль оси Ox1 В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ox1 , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ox2 , неограниченно возрастает.