Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Приближения многомерных функций в задачах автоматизации проектирования, управления и математической физики Аникин, Владимир Семенович

Диссертация, - 480 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Аникин, Владимир Семенович. Приближения многомерных функций в задачах автоматизации проектирования, управления и математической физики : диссертация ... доктора технических наук : 05.13.11.- Рязань, 1998.- 531 с.: ил. РГБ ОД, 71 99-5/145-5

Введение к работе

-3-

Актуальность проблемы. Важность изучения и создания систем, связанных с проблемой приближения «-мерных функций, следует из необходимости исследования многих естественных явлений. Решение задач технического прогресса способствовало развитию теории приближения функций, берущей начало в работах П.Л. Чебышева. С появлением ЭВМ проблема исследования эффективных методов приближения функций стала одной из наиболее интенсивно разрабатываемых, поскольку ЭВМ и специфика исследуемых явлений предъявляют определенные требования к методам. Тесно взаимосвязаны приближения «-мерных функций с задачами математической физики, проектирования поверхностей с заданными геометрическими свойствами и некоторыми алгоритмами систем обработки информации в реальном времени. Поэтому помимо теоретического интереса исследование проблемы приближения функций актуально для решения практических задач.

Круг вопросов приближения «-мерных функций и автоматизации решения задач математической физики относится к одному из наи.менее изученных в алгоритмизации. Объективная причина - сложность самой проблемы. Большинство имеющихся программ решения задач математической физики, как правило, освещают достаточно узкую проблему, поэтому создание программных средств, настраивающихся на структуру оператора, например дифференциального, вполне закономерно.

В алгоритмах построения «-мерных приближений п является степенью числа операций, поэтому алгоритмические вопросы являются главными вместе с использованием все более мощных компьютеров для решения таких задач. Эффективные методы аппроксимаций многомерных функций можно построить с помощью кусочных приближений. Однако формальные результаты построения моделей многомерных приближений не отвечают на многие прикладные вопросы. Фактор размерности задачи является наиболее сложным препятствием решения многомерных задач, и становятся наиболее важными алгоритмические решения всех этапов численного моделирования. Разработка методов приближения функций в данной работе направлена на построение эффективных алгоритмов и программ решения многомерных задач.

Целью диссертационной работы является построение методов, алгоритмов и программ кусочных приближений многомерных функций с заданными свойствами, необходимыми для решения задач построения п-мерньгх поверхностей и создания систем математического моделирования (СММ).

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

разработкой теории построения многомерных кусочных С-гладких приближений;

разработкой теории метода подвижного элемента - разновидностью метода конечного элемента;

разработкой алгоритмов и программ на основе разработанных методов приближения функций.

Методы исследования. Исследования выполнены на основе координатной системы Бернштейна, выделенной в результате длительных численных экспериментов и альтернативных сравнений, решения вариационных задач методом наименьших квадратов, алгоритмизации и программирования поставленных задач, проведения и анализа большого количества вычислительных проектов.

Задачами исследования являются:

исследование и создание методов С-гладких многомерных приближений на основе полиномов Бернштейна и связанных с этим алгоритмических процессов при решении задач на реальных вычислительных средствах;

разработка математических моделей, алгоритмов и программ автоматизации решения и-мерных задач математической физики как основы создания систем математического моделирования;

исследование и создание итерационных алгоритмов для решения задач построения многомерных функций на основе полиномов Бернштейна;

разработка математических моделей, алгоритмов и программ проектирования поверхностей с заданными свойствами;

разработка математических моделей, алгоритмов и программ для систем реального времени.

Научная новизна диссертации заключается в решении проблемы С-гладкого кусочного приближения многомерной функции на основе координатных функций Бернштейна, метода понижения размерности решаемых вариационных задач, разработке метода регуляризации и аппроксимации конечных элементов, алгоритмах многомерных приближений, в результате чего возможно решение ряда актуальных теоретических и практических задач в различных областях науки и техники. Принципиальный вклад в развитие теории состоит в следующем:

1. В результате исследования базисных функций с необходимыми
свойствами для алгоритмов многомерных аппроксимаций получены удоб
ные в алгоритмизации и-мерные построения на основе полиномов
Бернштейна и разрабатываются процедуры СММ.

2. Построен алгоритм вычисления уравнений, обеспечивающий для кусоч
ных приближений С-гладкие условия в многомерном пространстве. Дока-

-5-заны теоремы о Сг-гладкости полученных кусочных многомерных приближений.

3. Разработан метод аппроксимации конечного элемента с регуляризацией,
приводящей к устойчивым итерационным схемам решения задач на основе
вариационных методов.

4. Для произвольного «-мерного линейного дифференциального оператора
найдены в квадратурах формулы коэффициентов матрицы, получаемой в

результате решения вариационной задачи математической физики на основе координатной системы Бернштейна, - один из основных алгоритмов

смм.

  1. Исследованы алгоритмические процессы в вариациоітьгх задачах построения /7-мерных приближений и найдены эффективные алгоритмы их решения.

  2. Для решения вариационной задачи проектирования поверхности земли построены алгоритмы на основе полученных кусочных аппроксимаций и эвристик, приводящих к вычислению наилучшего плана целевой функции.

  3. На основе исследуемых многомерных аппроксимаций построены алгоритмы решения задач математической физики для произвольного линейного дифференциального оператора, что формулируется как направление автоматизации решения таких задач и создания систем математического моделирования.

Получены также решения следующих задач:

  1. Построен алгоритм решения обратной задачи - вычисление коэффициентов линейного оператора на основе кусочных многомерных аппроксимаций.

  2. Построен алгоритм вычисления в квадратурах многомерных интегралов кусочных аппроксимаций решения вариационной задачи.

  3. Разработана методика решения системы линейных уравнений, получаемой при решении вариационной задачи.

  4. Предложена методика распознавания (классификации) образов на основе разработанных методов построения многомерных функций.

  5. Для решения вариационных задач предложена методика "развития" целевой функции - многоэтапная оптимизация, приводящая к вычислению глобального экстремума.

  6. Построен алгоритм решения обратной задачи - вычисление поверхности концентратора лучистой энергии на основе полученных кусочных аппроксимаций.

  7. Разработаны алгоритмы преобразования и хранения информации для систем реального времени - контроля производственных процессов.

8. Разработан способ организации программного обеспечения системы
реального времени, позволяющий использовать немультипрограммную си-

стему с непрерывным обслуживанием каналов обмена информации и связанных с ними технологических задач. 9. Построены алгоритмы аппроксимаций для систем реального времени.

Практическая ценность работы следует из решения теоретических и прикладных задач на основе разработанных методов аппроксимации функций. Построенные в работе технологии решения многомерных задач разрабатывались прежде всего как элементы решения практических задач. Разработанные математические модели и алгоритмы построения С-гладких приближений многомерных функций позволили решать многие прикладные задачи.

Наибольшее распространение получила разработанная автором система проектирования поверхности земли (вертикальная планировка), начало развития которой положено в 1975 году в проектном и научно-исследовательском институте Узгипроводхоз г. Ташкент. В последующие годы эта задача развивалась на многих вычислительных системах и получила распрастронение во многих республиках. Последние версии этой системы были разработаны и внедрены в начале 90-х годов в системе проектных институтов "Гипроводхоз" в городах Владивосток, Улан-Удэ, Йошкар-Ола, Воронеж, Махачкала, Кишинев, Ташкент, Чимкент, Фергана, Ашхабад и других.

Разработанные алгоритмы построения гладких приближений на основе координатной системы Бернштейна были использованы при проектировании концентраторов лучистой энергии в ЦПКТБ научного приборостроения АН Узбекистана.

Система сбора и обработки информации технологических процессов разрабатывалась автором в рамках хозяйственного договора с горнометаллургическим комбинатом г. Балхаш (Казахстан). Начало развития этой системы было положено хозяйственным договором с ТашГРЭС г. Ташкент. В этой системе реального времени используются эффективные алгоритмы аппроксимаций в задачах масштабирования параметров и распознавания образов.

Разрабатываемая в [2],[4] система автоматизации решения многомерных задач математической физики "Кварк-3" рассматривается автором как пробная версия системы математического моделирования. Система находит применение во многих прикладных задачах. Автором на кафедре ЭП РГРТА с помощью системы решались задачи электростатики и электродинамики. Эта система находит развитие в разработке метода "сшивания" я-мерных конечных элементов, который назван методом подвижного элемента, и позволяет решать задачи методом наименьших квадратов на основе схем с регуляризацией.

В приложении к работе помещены три программных комплекса:

система автоматизации решения задач математической физики "Кварк-3" - пробная версия СММ;

система проектирования поверхности земли "Шостье 2.90-диалог";

- система сбора и обработки информации для промышленных предприя
тий.

Достоверность полученных в диссертации теоретических выводов подтверждена:

корректным использованием математического аппарата;

апробацией разработанных методик в алгоритмах и программах;

сравнением с альтернативными методиками;

результатами эксплуатации внедренных в промышленность разработок.

Научные положения, выносимые на защиту:

  1. Координатные функции Бернштейна дают возможность построения метода кусочного С-гладкого приближения многомерных функций. В отличие от существующих подходов построения кусочных приближений, кроме общих алгоритмов достижения Сг-гладкости и-мерной функции, разработан метод понижения размерности вариационной задачи на число линейно независимых урпвнеттй, обеспечивающих "сшивание" кусочной функции.

  2. На основе разработанного метода подвижного элемента аппроксимируются «-мерные конечные элементы, получаются простые условия регуляризации решения и строится итерационный алгоритм решения задач математической физики. В отлігше от традиционного метода согласования-"сшивания" конечных элементов, когда систему уравнений, получаемую при решении вариационной задачи, дополняют уравнения "сшивания", в методе подвижного элемента на основе системы Бернштейна используется замечательное свойство Еершины л-мерного параллелепипеда для достижения гладкого решения.

  3. На основе координатных функций Бернштейна возможно построение алгоритмов С'-гладких кусочных многомерных приближений. Таким образом, находит решение алгоритмическая проблема построения n-мерных гладких приближений (например, л-мерных сплайнов).

  4. Полученные кусочные функции позволяют построить методику автоматизации решения задач математической физики с линейным оператором.

  5. Решение вариационных задач значительно упрощается, если построенные многомерные функции интегрируются в квадратурах. Вычисление коэффициентов системы линейных уравнений, получаемой при решении вариационной задачи, приближенными методами существенно затрудняет решение задачи.

  6. С помощью метода подвижного элемента получается решение отимиза-ционной задачи проектирования поверхности земли. В отличие от других существующих методов решения применение метода подвижного элемен-

-8-та приводит к проектированию поверхности, построение которой обходится дешевле.

7. Методика решения обратной задачи для концентратора лучистой
энергии - вычисление поверхности концентратора - получается на основе
построенной кусочной аппроксимации, решения вариационной задачи на
уменьшенном множестве варьируемых параметров.

8. Разработанная методика организации программного обеспечения в си
стемах реального времени позволяет строить экономичные системы обра
ботки информации для "медленных" технологических процессов.

Реализация и внедрение результатов.

Предложенные в диссертационной работе методы, методики, алгоритмы и программы разрабатывались в течение 20 лет в ряде научно-исследовательских и проектных организаций в Ташкенте, а также на кафедре электронных приборов РГРТА.

Результаты, полученные в диссертационной работе, внедрены на следующих предприятиях:

в горно-металлургическом комбинате "Балхашмедь", г. Балхаш;

в проектном и научно-исследовательском институте "Узгипроводхоз";

в Центральном проектно-конструкторском и технологическом бюро научного приборостроения АН Узбекистана, г. Ташкент.

Использование результатов диссертации по названным выше организациям подтверждено соответствующими актами внедрения.

Личный вклад автора в диссертацию.

Все теоретические результаты получены лично автором. Все программные разработки проделаны также лично автором, за исключением переложения разработанной автором ПЗУ-программы на однокристальную микроЭВМ, что отражено в опубликованной монографии.

Апробация работы. Результаты исследований, составляющие основное содержание работы, докладывались:

- на республиканской научно-практической конференции. ТашИНХ. Таш
кент. 1980;

-1-й Всесоюзной школе-семинаре по вычислительной томографии. КАИ. Куйбышев. 1987;

всероссийской научно-технической конференции "Электроника и ин-форматика-95". Москва. 1995;

всероссийской научно-технической конференции "Компьютерные технологии и связь в современном обществе. Таганрог. 1995;

всесоюзном симпозиуме по эмиссионной электронике. Рязань. 1996;

научной сессии, посвященной Дню радио. Москва. 1996;

- международной конференции "Информационные технологии в науке,
образовании и бизнесе" IT+SE"96. КрымДлта-Гурзуф. 1996;

международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения "АПЭП-96". Саратов. 1996;

международной конференции "Проблемы и прикладные вопросы физики". Саранск. 1997;

IX научно-технической конференции "Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления". Гурзуф. 1997;

второй международной конференции "Автоматизация проектирования дискретных систем" CADDD'97. Минск. 12-14 ноября 1997.

По теме диссертации опубликовано 4 монографии, 12 статей, II тезисов докладов на международных и республиканских конференциях, семинарах и симпозиумах.

Объем и структура диссертации: введение, 6 глав, заключение и приложение. Общий объем работы составляет 199 страниц основного текста, 5 страниц списка литературы и 326 страниц приложения.

Похожие диссертации на Приближения многомерных функций в задачах автоматизации проектирования, управления и математической физики