Введение к работе
Актуальность темы. Численное решение задач математической физики на ЭВМ играет важную роль в моделировании технических устройств и физических явлении. Широким классом задач является численное решение эллиптических уравнений в двумерных и трехмерных областях со сложной конфигурацией границы, с различными типами краевых условий, физическими характеристиками и коэффициентами уравнений в подобластях.
Процесс получения численного решения является сложным технологическим процессом, состоящим из нескольких этапов: построения математической модели задачи, дискретизации, аппроксимации исходных уравнений, получения результирующей системы уравнении и ее решения на ЭВМ. При этом возникают нетривиальные вопросы выбора структур данных и алгоритмов их обработки.
Одним из способов аппроксимации дифференциальных уравнений является метод конечных объемов (МКО), который широко применяется для многих задач математической физики, и, в частности, для аппроксимации уравнения диффузии.
Повсеместное применение ЭВМ с различным программным обеспечением и окружением привело к тому, что математическая постановка некоторого класса задач и программное обеспечение для его решения стали очень взаимосвязаны.
В связи с этим рассмотрение всей технологической цепочки решения задачи с аппроксимацией по методу конечных объемов - от создания математического аппарата до написания и тестирования программы и проведения численных экспериментов - представляется важной темой научных исследовании.
Цель работы. Разработка технологических принципов метода конечных объемов на примере его использования для решения уравнения диффузии и создание на этой основе программ для численного решения уравнения в двумерном и трехмерном случаях.
Методы исследования. Методы вычислительной математики. Модульный анализ программ. Модульное программирование.
Научная новизна. Построено семейство конечно-объемных аппроксимаций повышенной точности на прямоугольных неравномерных сетках в двумерном и трехмерном случаях для эллиптических краевых задач со смешанными краевыми условиями. Предложен поя-чеечный подход к построению результирующей системы линейных алгебраических уравнений на базе понятий локальной и глобальной матриц баланса. Для численной реализации поячеечного подхода предложены соответствующие структуры данных, алгоритмы их построения и обработки для смешанных краевых задач в двумерных н трехмерных областях, составленных из произвольного количества прямоугольных и параллелепипедоидальных подобластей, и созданы программы численного расчета уравнения диффузии в двумерных и трехмерных областях. С помощью созданных программ проведены модельные численные эксперименты, подтверждающие применимость предлагаемых подхода, структур данных и алгоритмов.
Практическая ценность. Результаты диссертации находят приме-Hf-Hiie при численном решении эллиптических задач математической физики и, в частности, тех, которые описываются уравнением диффузии, и при разработке специализированного программного обеспечения.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции АМСА-95 ("Современные проблемы прикладной и вычислительной математики"), г. Новосибирск, 1995; конференции молодых ученых Вычислительного Центра СО РАН, 1997; семинаре математического факультета Католического университета г.Неймегена (Нидерланды), 1997; научных семинарах Вычислительного Центра СО РАН.
Публикации. По темо диссертации опубликовано пять работ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит ні введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем работы - 123 машинописных страницы. Список литературы содержит 85 наименований.
