Актуальные времена ожидания в модели МrIGrI1I00 с абсолютным и относительным приоритетами Аллуш, Тарек Абдуллакафи

Введение к работе

Актуальность тема. Математическая теория очередей начиналась ь СССР с работ А.Я.Хинчина.Е.В.Тнеденко.И.Н.КовалеЕКО,Г.П.Климова.

Простейшая немарковская модель теории-модель M|G|1 j» с параметром а;0 поступления,функцией-распределения (ФР)В(х),3(+0)=0 времен обслуживания вызовов. В момент t=C" вызовы отсутствуют и начинается задержка 6>0. .

Эта модель лежит в основе статических моделей с пуассонов-скими поступлениями, которым посвящены исследования Ю.В.Прохорова, А.А.Цоровкава, Л.Такача, Дж.М.Коэна и др.

К статическим относятся приоритетные модели M^jGj.lljco

Модель u_rlGJ1 j. в одноканальную модель очередей с ожиданием

поступают независимые пуассоновские потоки 1 -вызовов... .,,г-вы-зовов с параметрами а^О... .,а_г>0 соответственно.Длительности обслуживания независимы,не зависят от процесса поступления и для к-шзовов, я=Т7г, имеют ФР &_К{х),' В,_&(+0)=0. В момент t=0 в модели вызовы отсутствует и начинается задержка 930.

Приоритетная модель это модель плкс приоритетная дисциплина.

Ранее возникли и лучше изучены дисциплины относительного (схема А) и абсолютного (схемы В) приоритетов. Разновидности схем В таковы: В1-дообслуживание прерванного вызова, В2-потеря, ВЗ-обслуживание заново.

Приоритетные дисциплины используются при.организации прохождения программ разных типов на ЭВМ (см. монографию Л.Клейн-рока "Вычислительные системы с очередями".-М. : Мир, 19Т9).

Первый этап теории зазершился выходом в свет монографій Б.В.Гнеденко я др."Приоритетные системы обслуживания".-^.:МГУ, 1972, и Н.К.Джейсуола "Очередя с приоритетями".-Ы.:Мир,1072. Эта монографии содержат тесрж представлений для периодов занятости,длин очередей,виемен ожидания схем А и В модели И IG II [....-з тер.инах производящих функций," или преобразований "Лапласа. ОСрисуем ситуацию для 'времен ожидания. Обозначим: vP(.Z) и -JI визтуальнсе время ожидания в исаен? і л время ожидания я-го"

поступившего вызова в модели M|G|1|a> ; .ти(t) и w, ^ti ,к=Т~г,-виртуальное время ожидания к-вкзова в момент t и время ожидания n-го поступившего k-вызова в схемах А и В модели М |G |

1)

Общеизвестно интегральное уравнение Такача для iw^e(t) б модели W|G|1|oo. Его вероятностная интерпретация принадлежат Г.П. Климову. З.А.Даниеляк предложил метод получения уравнений типа Такача для и»^ в схемах А и В, модели M_rjG_r|1|».

Т.З.Хачикян получил аналог уравнения Такача для ьР в модели MjG|1 |оо. Вопрос изучения .ш^п в схемах А и В модели М jG^.11 |ю остается открытым. Возникает

Задача 1. В схемах А и В модели M_r|G₇,j1 ja> получить аналог уравнений Такача для w^.

Основываясь на теории представлении,многие авторы (Э.А.Да-ниелян,Т.А.Азларов,Дж.А.Хук,Н.У.Прабху,Г.А.Попов,Г.С.Григорян и др.)стали доказывать предельные теоремы при различных загрузках.

Пусть р=ар₁,гдэ р₁-среднее ФР В(х),р-загрузка модели К|С(1|к; р...,-загрузка модели K_|G |1|<* 1 ,к-вызовое (1-вызовов,...Д-вызо-вов) в схемах А и В. Вид р_к1 приведен в работе.

Ограничимся обзором результатов для времен ожидания при фиксированных загрузках.

Модель K(G|1 {оо. 1. Пусть конечна дисперсия времен обслукивания. При р=1 и р>1 предельные теоремы для цг, п-»«, доказаны П.Эрдешем и М.Кацом, а позже другим методом Н.У.Прабху. Аналоги этих теорем для vft(t) установлены Н.У.Прабху.

Предположение конечности дисперсии заманим на более общее. Именно, пусть при sj,0 имеет место представление

P(s) = J e~^sx dB(x) = 1-sp₁ + asT(1+o(1)), (1)

о где 1<7<2, a-положительная константа.

^:При р=1 и'р>1 предельные теоремы для иг, п-»<», доказаны

Т.З.Хачикяном, а для itr'(t). t-»», — Э.А.Даниеляном.

1. Внутри каждого потока в рассматриваемых моделях вызовы обслуживаются в порядке поступления (дисциплина FIFO).

2. Условие (1) введеноА.В.Печинкиным.

Схемы А и 3 в модели M„|G |1|<». Пусть времена обслуживания имеют

конечные дисперсии.

Для ш^(ъ). U&, предельные теоремы в случаях "околокритических" загрузок

8)^.^=1, б) p^^l, р_к1>1, В) p_w=1 ^

установлены Э.А.Даниелянсм. Те же случаи, но при двух потоках, рассматривал Дж.А.Хук.

Предположение конечности дисперсий обобщается. Пусть для всех 1=Т"Гг при si.0 тлеют место представления

(З^з) = J е7^п ffljd) = 1- 3^+ c^s ⁽ⁱ⁾(1+o(1)). (3) где 1<7/,-)^, а^-положительные константы.

Пусть Условия (3) выполнены для схем А и В1, а для схем В2 и 33 имеет место (3), но при 1=1.

Предельные теоремы для a)^(t), t-w», в-случаях (2) установлены Э.А.Даниэляном. Вопрос же об асимптотическом поведении taj?, п-к», остается открытым. Возникает

Задача 2. Пусть в схемах А и В модели М |G |11а> выполнены условия (3). Изучить асимптотическое поведение wjr, п-«», при любом іс=ТТг в случаях (2).

Диссертационная работа посвящена решению задач 1 и 2.

Объект исследования. 1. Величины ю , п1. в модели M|GJ1|a> с

ненадежным в свободном состоянии прибором''.

2. Величины lUjJj, п1, при любом fc=T7? в схемах А и В модели

Цель работы. 1. Получить уравнения для ш^ и ш^ з модели M|G|11«. с неяадекным прибором и в схемах А и В модели И J0 |1 jco.

1) Если Т-момент освобождения модели от вызовов. Тогда с вероятностью 3(t), 3(+0)=0, прибор еыходит из строя в прсмекутке [T,7+t) и восстанавливается с Ф? ?(х), ?(+0)=G, Бремена "зкгни' и восстановления прибора независимы и не зависят от процессов поступления и обслузязания.

2. Изучить асимптотическое поведение ta^, п-ю>, в случаях "около-критических" загрузок (2) в предположении (3).

Научная новизна. Е диссертационной работе:

1. Найден аналог формулы Такача для u/j в модели M|G|1 |оо с ненадежным прибором.

2. Усилен аналог формулы Такача для лР в модели MJGJ11<» .

3. Найдены аналоги формул Такача для wj^ в схемах А и В модели М_ГЮ_Г|1|«,.

4. В предположении (3) в случаях (2) для ш^, n-wo, в схемах В модели M_r|G_r|11<» доказаны предельные теоремы при любом к=ТТг .

Метод анализа. Использованы : метод вложенных цепей Маркова, прием введения дополнительных событий, метод Н.У.Прабху нахождения ФР периодов занятости, тауберовы теоремы.

Практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы при чтении курса по теории очередей в университетах. Вид результатов обеспечивает их практическую реализацию на ЭВМ.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике в Варне (1994г.), на ежегодных сессиях.профессорско-преподавательского состава ЕГУ (1990-1994гг.), на семинарах по ТМО в МИЭМ и ЕГУ.

Структура и объем. Диссертационная работа изложена на 90 страницах машинописного текста, состоит из вводной главы, трех глав и списка литературы, содержащего 61 наименование.

Похожие диссертации на Актуальные времена ожидания в модели МrIGrI1I00 с абсолютным и относительным приоритетами

Организационная лояльность: модель реализации ожиданий работника от своей организацииДоминяк Владислав Игоревич

Математические модели инвестиций в условиях ожидания кризисаВащенко Михаил Петрович