Введение к работе
Актуальность теш. Диссертация посвящена проблеме стохастической оптимизации линейных динамических систем управления;. В теории стохастического управления оптимальность традиционно понимается в 'смысле минимизации по всем допустимым управлениям математического ожидания целевого функционала некоторой динамической сисгеш. В последние годы (в основном с середины 80-х гг.) появился ряд работ, в которых вводилось в некотором смысле более сильное понятие оптимального управления и решалась соответствующая задача оптимизации для различных моделей. А именно, ставился вопрос о поиске управлений, доставляющих экстремум самому функционалу при всех реализациях случайного процесса, из множества, вероятность которого асимптотически, прп большом "времени жизни" системы, близка к единице. При этом давались различные определения оптимальности (оптимальность "в смысле закона больших чисел","в смысле центральной предельной те-' оремы", оптимальность с вероятностью единица, асимптотическая оптимальность по вероятности).
Асимптотическая оптимальность по вероятности, почти наверное и др. остаются малоизученными в рамках моделей линейного стохастического регулирования, а точнее, исследована лишь оптимальность в очень узком классе допустимых управлений для задачи линейного регулятора с постоянными параметрами. Задачи линейного регулирования, в которых рассматривается оптимальность линейных динамических систем с точки зрения квадратичного критерия качества, составляют довольно большой класс задач оптимального управления. В связи с этим представляется актуальным вопрос исследования асимптотической оптимальности по вероятности и почти наверное в задачах лилейного регулирования.
Дель работы - исследование асимптотической оптимальности по вероятности и почта наверное линейных управляемых систем с обратной связью и квадратичным критерием качества как для случая постоянных, так и для случая переменных (зависящих от времени) параметров.
Хорошо известным является управление линейной динамической системой, минимизирующее математическое сшдание квадратичного целевого функционала (управление, оптимальное в среднем). При некоторых условиях на параметры системы существует такке так называемый установившийся оптимальный.(в среднем) закон управления на бесконечном интервале времени. Основными задачами диссертации является:
-
исследование асимптотической оптимальности по вероятности оптимального в среднем закона управления в задаче о линейном регуляторе с переменными параметрами;
-
исследование асимптотической оптимальности почти наверное оптимального в среднем закона .управления в задаче линейного регулятора с постоянными параметрами;
-
исследование асимптотической оптимальности почти наверное установившегося оптимального (в среднем) закона управления линейной динамической системой.
Методы исследования. В работе используются методы теории стохастической оптимизации, линейной теории оптимального управления, динамического программирования, теории случайных процессов (в том числе марковских процессов), мартингальный метод.
Научная новизна. Основная часть работ, в которых рассматривались постановки задач, аналогичные сформулированной в диссертации, относилась к исследованы) однородных марковских процессов с целевым функционалом, имеющим вид средней цены управ-
лвния на конечном интервале времени. При этом использовались в основном два различных метода исследования. ПерЕый метод, связанный с отделением мартингальной части целевого функционала, сводится к наложению таких требований на составлявшие полученного разложения, при которых имеет место соответствующая сходимость (закон больших чисел, центральная предельная теорема и т. д.)с Это приводит в большинстве случаев (например, в случав неограниченной цены управления) к сильным ограничениям на траектории процесса, а тем самым на класс допустимых управлений, порождающих процесс. Эти ограничения возникают, в частности, при исследовании классической линейной динамической модели о квадратичным функционалом потерь. Использование другого метода, яри ' котором эта задача рассматривается как эргодаческая проблема управления, предполагает- изначальные ограничения на исследуемую модель, такие как ограниченность цены управленій в любой момент времени, однородность процесса, ограниченность множества состояний. Ясно, что модель линейного регулятора, в том числе ее неоднородный вариант, не удовлетворяет этим требованиям.
В настоящей работе предлоаена такая методика доказательства, которая в сочетании с мартингальным подходом позволяет снять ограничения .на,класс допустимых управлений, возникавшие вследствие неограниченности функции цены (квадратичной функции). Кроме того, эта методика позволяет исследовать и неоднородные.линейные модели и мояет быть применена как для моделей с дискретным, так и для моделей с непрерывным временем.
Практическая ценность работы. Как уже отмечалось, к модели линейного регулятора сводится большой класс задач: оптимального управления, а точнее, оптимального регулирования. Общую задачу оптимального регулирования шгно определить как задачу
поддержания в допустимых пределах отклонения состояния системы от заданного состояния с использованием допустшлых управлений с обратной связьа при палички возмуценик. "3 том случае, когда постоянно действуют случайте возмущения, стремящиеся вывести систему из заданного состояния, задача состоит в разработке структуры обратной связи, с помощью которой с максимальным быстродействием снаяавтея начальные отклонения, а таклее, насколько ото возмогло, компенсируется воздействие возмущений б уста-ковпвиемся состоянии. Многие реальные объекты управления достаточно точно описываются линейными динамическими моделями. Решение задачи регулирования при нулевой заданной точке обеспечивает устойчивость системы, которая является ватлым аспектом в разработке линейных систем управления с обратной связью. Б либои практическое задаче амплитуда входной переменной, или управле- . нал, доляна быть ограничена. Для целей такой постановки задачи оптимизации, в которой одновременно учитываются скорость перехода системы в нулевое состояние и величина управления, является эффективным квадратичный критерий. В диссертации показано, при каких услозаях на параметры системы, а также предельно достаточных условиях па моменты случайных ошибок существующий метод синтеза линейных систем дает не только оптимальные в среднем характеристики переходного процесса, но и переводит любое ненулевое начальное состояние в нулевое оптимальным образом с вероятностью единица. Эти результаты могут быть использованы при разработке механизмов стабилизации в экономике, технике управления летательными аппаратами и др.
Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы з пяти работах, еще одна работа находится в печати. Эта результаты также докладывались на Всесоюзной студенческой науч-
но-техкической конференции (Москва, 1988 г.), на научных семи- нарах в Политехническом музее, в ЦЭМИ РАН, ШУ ЕАН.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит яз введения и'четырех глав» Объем диссертации - 85 страниц. Список использованной литературы включает 30 наименований.
