Введение к работе
Актуальность темы. После завершения определенного этапа разработки теории предельных теорем для сумм независимых случайных величин (я.с.в.) в 40-50 годах начали появляться и решаться задачи изучения асимптотического поведения распределений сумм случайного числа н.с.в. Эти задачи возникали в связи с потребностями последовательного анализа, теории массового обслуживания, теории надежности, теории ветвящихг ся процессов и др. Наряду с задачами типа переноса классических результатов на эту схему решались задачи более глубокого изучения некоторых специфичных схем случайного суммирования.
В работах А.Еальда, А.Н.Колмогорова, Ю.В.Прохорова,
Р.Л.Добрушина, Г.Роббинса, Б.В.Гнеденко и его учеников, С.Х.Сираждинова и его учеников, В.Рихтера, Й.Модьороди, В.М.Круглова и др. эта проблематика получила существенное развитие, обогащаясь новыми идеями и методами исследования-В силу ряда причин (которые обстоятельно излагаются во введении диссертации) с особым интересом изучается распределение геометрической случайной суммы н.с.в., т.е. суммы,когда число слагаемых имеет геометрическое распределение. В статье Азларова Т.А., Атакузиева Д.А., Джамирзаева А.А.
IJ Азларов Т.А., Атакузиев Д.А., Джамирзаев А.А., Схема суммирования случайных величин с геометрически распределенным случайным индексом. Предельные теоремы для случайных процессов. Ташкент "Фан", 1977. С.6-21.
приведен обзор результатов по предельным теоремам для такой
схемы суммирования. В монографии В.М.Круглова и В.Ю.Короле-
2)
ва ' геометрическим случайным суммам посвящена отдельная
глава (гл.8). Хотя многие проблемы теории предельных теорем для этой схемы суммирования решены, но имеется так же ряд нерешенных задач. Например, отсутствуют сколь-нибуць удовлетворительные асимптотические разложения для распределения геометрической случайной суммы, представляет также несомненный интерес определить влияние решетчатости распределения слагаемых на вид асимптотического разложения.
Цель работы, диссертация посвящена, в основном, установлению асимптотических разложений (как для решетчатых, так и для нерешетчатых распределений слагаемых), для Функции распределения (ф.р.) геометрической случайной суммы неотрицательных, одинаково распределенных, н.с.в. в предположении конечности второго момента слагаемых.
Методы исследования. В работе используются метод характеристических функций и прямые вероятностные методы.
Научная новизна. В диссертации установлены:
а) необходимое и достаточное условие решетчатости распределения случайной суммы независимых, одинаково распределенных случайных величин (ел.вел.) при невырожденном распределении числа слагаемых,
2) В.М.Круглов, В.Ю.Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. М., Изд-во, Моск. ун-та, 1990, СЛ90-262.
б) асимптотические разложения для ф.р. геометрической
случайной суммы неотрицательных, одинаково распределенных,
н.о.в. в предположении конечности второго момента слагае
мых,
в) асимптотические разложения в глобальной теореме для
ф.р. геометрической случайной суммы неотрицательных, оди
наково распределенных, н.с.в. в предположении конечности
второго момента слагаемых.
Эти разложения различны в зависимости от того, нерешетчатое или решетчатое имеет распределение геометрическая случайная сумма,
г) асимптотически экстремальное свойство распределения
Бернулли в рассматриваемой схеме суммирования,
д) равномерные оценки скорости сходимости в предельной
теореме для распределения геометрической случайной суммы,
выясняющие роль одного слагаемого в этих оценках.
Практическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер. Они, а также некоторые вспомогательные леммы^ могут быть использованы при доказательствах асимптотических разложений для других схем суммирования.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах в Ташкентском государственном университете, в Институте математики им. В.И.Романор-ского Ш Республики Узбекистан, а также в департаменте математики Айн-Шамсского университета (А.Р.Е.).
Публикации По результатам исследований опубликовано Ц научные статьи; список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения и восьми параграфов и списка литературы, содержащего 39 наименований. Общий объем работы 121 страница.
