Содержание к диссертации
Введение
1 Ветвящиеся процессы в случайной среде. Актуальные результаты, основные определенияиобозначения 9
1.1 Описание модели и первоначальная классификация. 9
1.2 Основные определения, актуальные результаты . 12
2 Процессы с иммиграцией в моменты вырождения . 17
2.1 Определения, обозначения и результаты 17
2.2 Доказательство теоремы 2.1 19
2.3 Доказательство теоремы 2.2 25
3 Процессы с иммиграцией в каждый момент времени 28
3.1 Определения, обозначения и результаты 28
3.2 Вспомогательные утверждения 30
3.3 Доказательство теоремы 3.1 34
3.4 Доказательство теоремы 3.2 43
3.5 Доказательство вспомогательных утверждений 44
Заключение 56
Список литературы 57
- Основные определения, актуальные результаты
- Доказательство теоремы 2.1
- Вспомогательные утверждения
- Доказательство теоремы 3.2
Введение к работе
Актуальность темы
Одной из классических областей теории вероятностей является теория больших уклонений для сумм независимых случайных величин, которая стала активно развиваться в середине 20 века. Важным направлением в ней являются большие уклонения различных функционалов от случайных блужданий, и основополагающими трудами в этой области являются работы Бахадура и Ранга Рао 1, Петрова 2, в которых для i, 2 ~~ последовательности н.о.р. сл.в., удовлетворяющих правостороннему условию Крамера
R(h) = Ее ^ < оо, h Є (0, h+), h+ > 0, (1)
была получена, соответственно, "грубая"асимптотика
—> — Л(#)
ln Р (Sn ^ вп)
п и "точная"асимптотика
Р (Sn ^ вп) ~—^е ? прип —> оо, (2)
выполняющиеся равномерно по в Є [#і,#2] С (/i,m+) в нерешетчатом случае, при этом функции А(в) и D{0) были указаны в явном виде. В решетчатом случае в правой части соотношения (2) добавляется постоянный множитель , включающий величину шага решетки.
Результаты для случайных блужданий широко применяются в статистической физике и финансовой математике, а также являются отправной точкой для исследований вероятностей больших уклонений других процессов, в частности,
1Bahadur R.R., Rango Rao R. On deviations of the sample mean. Ann. Math. Statist., (1960), 31:4, 1015-1027. 2Петров В.В. О вероятностях больших уклонений сумм независимых случайных величин. Теория вероятностей и ее применения, (1965), 10, 310-322.
процессов массового обслуживания, случайных рекуррентных последовательностей и ветвящихся процессов в случайной среде.
В классической теории ветвящихся процессов, представленной в монографиях таких известных авторов, как Т.Е. Харрис 3, Б.А. Севастьянов 4, К. Атрея и П. Ней 5, в основном рассматриваются процессы, для которых закон размножения частиц не изменяется во времени. Переход к более сложным моделям, в которых законы размножения изменяются от поколения к поколению, привел в конце шестидесятых, начале семидесятых годов двадцатого века к появлению ряда новых направлений в теории ветвящихся процессов.
Одним из них является теория ветвящихся процессов в случайной среде (ВПСС). В рамках этой модели предполагается, что размножение частиц зависит от изменяющейся с течением времени среды, которая является реализацией некоторой последовательности случайных величин. Наиболее изученной и активно используемой является обощение модели Смита-Вилкинсона 6, когда законы размножения частиц различных поколений полагаются формирующимися независимо друг от друга. Опишем ее подробнее.
Пусть г] = (щ,..., г)п,...) — последовательность независимых одинаково распределенных (н.о.р.) невырожденных случайных величин (сл.в.) и {fy{s)} , у Є К, — семейство вероятностных производящих функций (п.ф.).
ВПСС Zn определяется, как однородная марковская цепь с условной относительно среды г] п.ф. переходных вероятностей вида Е (sZ n+1 | Znirj) = fr]n+1(s)Z n п.н.
Как видно из определения, если случайную среду зафиксировать, то частицы п-ого поколения размножаются независимо друг от друга и от предшествующего процесса в соответствии с законом размножения, задаваемым случайной производящей функцией fr]n+1{s).
Следующим шагом в развитии теории ВПСС стало использование связи между ветвящимися процессами в случайной среде и случайными блуждани-
3Харрис Т.Е., Теория ветвящихся процессов. Мир, Москва, 1966. 4Севастьянов Б.А., Ветвящиеся процессы. Наука, Москва, 1971. 5Athreya K.B., Ney P.E., Branching Processes. Springer-Verlag, Berlin, 1972.
6Smith W.L., Wilkinson W.E., On branching processes in random environments, Ann. Math. Statist., (1969), 40:3, 814-827.
ями, что позволило использовать новые методы исследований и опираться на важные результаты, полученные для случайных блужданий. Одним из важных направлений исследований в области ВПСС является задача нахождение точной асимптотики вероятностей больших уклонений. Далее полагаем:
п
Zq = 1, j = ln/' (1), Sn = У j, So = 0, Un = e~ n,
i=\
n—l
Vn = У e~ \ Mn = max (Si, і ^ n),
Случайное блуждание Sn называется сопровождающим для ВПСС. Блуждание 5*п может иметь положительный, нулевой и отрицательный снос, соответствующий ветвящийся процесс в случайной среде является надкритическим, критическим и докритическим.
Также определим следующие функции от h:
т{а) = [lnЩп)) , а {а) = т {а) > 0, т = lim m(h),fio = max(/i, U).
Функция m(h) непрерывна и монотонно возрастает при h Є (0,/г+), m(0) = /і, откуда следует, что при любом в Є (ji,m+) найдется /г# Є (0,/г+), такое что m[he) = 0. Введем функцию уклонений А(в) = 6ho —ln R (he), которая является преобразованием Лежандра над функцией ln R (h).
п
Сопряженным к Sn блужданием назовем блуждание Sn = Х^С , ^о = 0>
г=1
где 1'4 — последовательность н.о.р. сл.в. с функцией распределения
г=1
(ft)
х
F1* ^(ж) = Л(/г) е vdF(y).
— 00
Важным и одним из наиболее изученных частных случаев ВПСС является случай, когда условное распределение числа непосредственных потомков частицы
при условии среды является геометрическим, так что
Е (s г | Zq = 1, п\) = 1 — (і + е~^(1 — s)~ ) п.н.. (3)
Одним из основных результатов задачи по нахождению вероятностей больших уклонений для ветвящихся процессов в случайной среде является асимптотика, полученная в работе 7:
Р (ln Zn ^ вп) ~ 1{в) Р (Sn ^ вп), п —> оо. (4)
Это соотношении установлено для ВПСС Zn с п.ф. вида (3), при выполненном правостороннем условии Крамера (1).
При /і ^ 0 указанная асимптотика равномерна по в Є [#і,#2] С (/і, m+). При /і < 0 дополнительно требуется предположение, чтобы т+ > 0. Тогда при ho ^ 1 соотношение (4) имеет место равномерно по в Є [#і,#2] С (0, т+). При /іо > 1 в предположении, что существует такое (единственное) Ь* Є (1, /і+), что R(h*) = R(l), соотношение (4) так же выполняется равномерно по # Є [^1,^2] С (^*, т+), где в* = m(h*).
Для случая, когда /і < 0, а в Є [#і,#2] С (0, #*) асимптотика имеет качественно другой характер, ее описание можно найти в работе 8.
В работе 9 эта асимптотика перенесена на случай ВПСС с произвольным начальным числом частиц. Для тех же ограничений, при которых выполняется соотношение (4), для любого натурального / равномерно по указанным выше в выполняется следующая асимптотика:
Р (lnZn ^ вп + ln/ | Zq = I) ~ Ii(6)P(Sn ^ вп), при п —> оо. (5)
В диссертации результаты (4) и (5) переносятся на случай ВПСС с иммиграцией в двух вариантах: только в случае вырождения и в каждый момент времени.
7Козлов М.В. О больших уклонениях ветвящихся процессов. Дискретная математика, (2006), 18:2, 29-47.
8Козлов М.В. О больших уклонениях строго докритических ветвящихся процессов в случайной среде с геометрическим распределением числа потомков. Теория вероятностей и ее применения, (2009), 54:3, 439-465.
9Шкляев А.В. Большие уклонения ветвящегося процесса в случайной среде с произвольным начальным числом частиц. Дискретная математика, (2012), 24:4, 114-130.
Цель работы. Исследование вероятностей больших уклонений для ветвящихся процессов в случайной среде со случайной иммиграцией, представляющей собой последовательность из независимых, одинаково распределенных случайных величин и происходящей в моменты вырождения, либо в каждый момент времени.
Научная новизна. Все результаты работы являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:
Для случая геометрического условного распределения числа непосредственных потомков частицы получены асимптотики вероятности больших уклонений ветвящихся процессов в случайной среде для случаев иммиграции при вырождении и иммиграции в каждый момент времени.
При тех же условиях доказано, что оба рассматриваемых процесса и ветвящийся процесс в случайной среде без иммиграции ведут себя идентично в левой окрестности точки n, и получено распределение отрезков траекторий в области больших уклонений.
Основные методы исследования. В работе используются общие методы теории вероятностей, функционального анализа и теории случайных процессов, а также новые достижения в области теории ветвящихся процессов в случайной среде.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейших исследованиях в области больших уклонений ветвящихся процессов в случайной среде, а также могут иметь приложения в различных физических и биологических задачах.
Апробация работы. По теме диссертации были сделаны доклады на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова:
Семинаре «Случайные блуждания и ветвящиеся процессы в случайной
среде» под руководством доц. М.В. Козлова, в.н.с. Н.А. Толмачева, с.н.с.
А.В. Шкляева. (2014-2015 гг., неоднократно).
Результаты диссертации докладывались на:
Научной конференции «Ломоносовские чтения», Москва, Россия, 14.04.2014 - 23.04.2014
Научной конференции «Ломоносовские чтения», Москва, Россия, 18.04.2016 - 27.04.2016
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы 2 работах (из них 2 в жураналах из перечня ВАК), список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 27 наименований. Общий объем диссертации составляет 59 страниц.
Основные определения, актуальные результаты
В этой главе изучаются ветвящиеся процессы в случайной среде с иммиграцией, происходящей только в случае вырождения процесса. Показано, что асимптотика вероятностей больших уклонений для такого процесса при некоторых ограничениях, наложенных на процесс и случайную последовательность, отвечающую за иммиграцию, отличается от асимптотики процесса без иммиграции на мультипликативную константу.
Введем последовательность н.о.р. сл. в. ( = (о,... ,n,...), элементы которой принимают натуральные значения и не зависят ни от случайной среды ту, ни от процесса размножения частиц в каждом поколении процесса. ВПСС (Z ) с иммиграцией в моменты вырождения определим как однородную марковскую цепь со следующими п.ф. переходных вероятностей: Е [s n+1 \ Zn = к, rj) = JVn+1(s) п.н. при к 0, Е (s n+1 Z = 0, 77) = Es 1 п.н. Таким образом, (п из вышеопределенной случайной последовательности представляет собой число иммигрантов в момент n при условии, что в этот момент процесс вырождается. Частицы n-ого поколения, также как в случае обычного ВПСС, размножаются условно независимо друг от друга и от предшествующего процесса в соответствии с законом размножения, задаваемым случайной произ водящей функцией fr]n+1{s). Далее полагаем, что Со = 1, Z _x = 0 п.н., откуда следует, что и ZQ = 1 п.н.
Для определенного таким образом ВПСС докажем следующий результат, который показывает, что при определенных ограничениях на иммиграцию асиптотика больших уклонений для ВПСС с иммиграцией в случае вырождения отличается от аналогичных результатов для ВПСС и случайного блуждания на мультипликативную константу.
Пусть ВПСС (Z ) удовлетворяет условиям (1.1), (1.2), при всехh О выполнено условие Е( оо, и sup (R(h), h 0) 1. Тогда соотношение P(ln Z вп) I {6) —j= е п при п -л оо (2.1) у/ТІ выполнено равномерно по в Є [#і,#2] С (/i,m+) при /І ) 0 и равномерно по в Є [#i,6Q\ С (т ,т+) при /І 0, где т = т(/г ), R(h ) = R(l), / 00 \ / 00 \ / (#) = P(Z _1 = 0) R(hg) / / е P(Cfc = 0 ($) 5 (2.2) А;=0 /=1 а величины І і (в) определены в соотношении (1.9). Замечание 2.1. В процессе доказательства указания на интервалы равномерности использованных асимптотических соотношений упоминаться не будут, так как интервал измененения #, для которого доказана теорема 2.1, вложен в каждый из этих интервалов. Замечание 2.2. Функции І(в), Іі{9) - положительные, непрерывные и ограниченные на отрезке [#i,6y, для них имеется аналитические представления.
Полученное выражение для асимптотики больших уклонений позволяет получить результат, описывающий поведение траекторий в левой окрестности точки п при условии совершения процессом большого уклонения. Теорема 2.2 Для стандартного ВПСС без иммиграции, для которого выполнены условия (1.1), (1.2) и для ВПСС с иммиграцией в случае вырождения в условиях теоремы 2.1 имеют место сходимость по распределению случайных векторов P(lnZn_TO — вп, ..., ln Zn — вп\ln Zn вп) — Р (Уо,..., Ут), ТІ — оо, (2.3) где вектор (УЇ, ..., Y jYo) представляет собой отрезок случайного блуждания, а Уо имеет распределение вероятностей начальной точки, задаваемое формулой (2.31).
Введем случайную величину т, полагая, что т — 1 есть момент последнего перед п попадания в нуль процесса Z . Зафиксируем 6 0 и представим вероятность большого уклонения процесса Z в виде суммы в зависимости от числа частиц т, иммигрировавших в момент времени т: Р (ln Z On) = Р (ln Z On, (т е п) + Р (ln Z On, (т е п) . (2.4) В силу неравенства Маркова для второго слагаемого суммы (2.4) получаем оценку сверху Р (lnZ On, (т е п) P(maxj е n) nP((i е п) Е( е п , справедливую при любом h 0. Для любого найдется достаточно большое /г, при котором последнее выражение является величиной о(Р (Sn On)) при всех 0 Є [#і,#2]. Таким образом получаем, что второе слагаемое суммы (2.4), отвечающее случаю большого числа иммигрировавших в момент последнего попадания ВПСС в ноль частиц дает малый вклад в исследуемую асимптотику. Перейдем к оценке первого слагаемого в правой части (2.4). Разбивая событие под знаком вероятности в (2.4) по значениям момента последнего попадания процесса в нуль и числу иммигрантов в этот момент, представим эту вероятность в виде: п Iе J У Р ( _i = 0) у Р(& = /) Р (ln Zn_k On I ZQ = I). (2.5) k=0 1=1 Область внешнего суммирования в (2.5) разобьем на две части: (I) к еп и (II)
Доказательство теоремы 2.1
При %\ і при любом Є2 согласно утверждению 3) леммы 3.2 выполняется соотношение: P(lnZn 6n\Zo = I) c\l e P{Sn On), а также найдется такое t\, что а ,і,ч,і оцениваются сверху величиной P(Xi = 0(2 e P{Sn-i 0п — lnm + ln(l — є)) + P(Sn-i-i 9п — lnm — In/ + ln(l — є) — ti,ХЧ-І ci))? откуда при всех достаточно больших п справедлива оценка Т)(й\ / \ __ Лз 2т в+ (1—є) еЕ%/—г=г ехр(—А{в)п) Є2 + е etlP (хі сі)) R{he) l Cуммируя полученные оценки, имеем для выражения (3.14) оценку сверху 2D (в) h h ( h С2 / /j„ —-j= (1 — є) em e expf— A{6)n) Є2ТпЕіХ\ H ( E(Yi ; %i Ci)+ Vn 1 — R{hg) i +mP(xi ci) (E / + e etlP e (%i c\)) ) ) при некоторых сі, 2 и достаточно больших п. С учетом условия (3.3), полученная сумма, а вместе с ней и (3.14) оценивается сверху величиной eiP(Sn 9п). Таким образом, показана малость первого слагаемого в (3.13).
Перейдем к оцениваниваю второго слагаемого в (3.13) . Для этого фиксируем натуральные t\ 2, к т, представим его в виде Р ( Zn (1 — є) exp(#n), maxxi c\ \ i m и оценим сверху суммой P Zn (1 — є) exp(#n), Zk t\, maxxi c\ + (3.15) i m P ( Zn (1 — є) exp(#n), Zk bit max%i c\ i m P Zn (1 — є) exp(#n),i Zk t2i maxxi c\ , из которой, как будет видно из дальнейших построений, основным окажется последнее слагаемое. Первое слагаемое (3.15) оценим сверху величиной P(Zn_k (1 — є) exp(#n)Zo = ti), которая в силу соотношения (1.8) и пункта 3) леммы 3.1 не превосходит eiP(Sn вп) при всех достаточно больших к, где е\ зависит от t\. Второе слагаемое оценивается сверху величиной ехр((#—IJLQ— 5)п) у P(Zk = l,maxxi c\)P(Zn_k exp(#n)Zo = /) + (3.16) J i m P{Zk exp((# — /io — S)n),maxxi c\). i m При достаточно малых 6 и достаточно больших п имеем оценку для второго слагаемого в (3.16) Р / гу //л с\ \ т-k/—і і (7) /л с 1 / ( /г ехрцб/ — Цо — д)п), maxxi cij F(dz, j : In Z. [U — fio — o)n — m{c\k)). (j) Учитывая, что Zik распределено как Z -i, правую сторону получившегося неравенства оценим сверху выражением С\ У P(Zj -i ехр((# — /io — 6)п — \п(с\к))), г=0 которое в силу пункта 4) леммы 3.2 есть величина порядка o(l)P(Sn вп). Ввиду пункта 3) той же леммы 3.2 P{Zn_k exp(#n)Zo = /) I eP(Sn-k On), откуда при достаточно больших Ї2 следует, что выражение (3.16) не превосходит 2siP(Sn On). В этом рассуждении использован тот факт, что в силу Замечания 3.3 имеем E Zke E(Z ) в оо, а значит Е Zke; Z t\) — 0 при любом к и t\ — оо, равномерность указанной сходимости по 0 вытекает из монотонности xh по h при х 1. Перепишем третье слагаемое суммы (3.15) в виде / т Хг \ Е Т-к Л 1 \ А 1-І I \ Г \ Г ry(j) 7 I F (lnZn_fc Cm + ln(l — jZo = /J F Z. = /, maxxi C\ (3.17) l=h i=0 j=l и оценим его сверху, для чего воспользуемся асимптотикой (1.8) и непрерывностью функций li(0), D{0), в результате чего получаем: /7 (Г/ И1 Р) / Р (Zn_j ехр(#п + ln(l — є)) Zo = /) -== D{0) e n R{he) . V n — к Для / t\ и достаточно большого t\ в силу Замечания 1.2 верно неравенство - /(0) — (l+ i), откуда следует, что выражение (3.17) при всех достаточно больших п не превосходит fi— !: + ljD(6 )e-AWn R{he)-klheV XXfc \ оо / га Хг \ (6 )e-AWn R{he)-klheV Y Y 2ьк = l (3.18) /=0 i=0 j=l Представляя сумму по / в (3.18) в виде Ьл / h ЇЇІ Хг I WI Хг R(ho) Е / v / vZ\Jk = Е1 в \ е в к / v / v Zik i=0 j=l \ i=0 j=l Таким образом, полученная оценка сверху для третьего слагаемого в (3.16) за вершает оценку второго слагаемого в (3.11). Тем самым для выражения (3.11), с учетом (3.19), получаем оценку HmsupP(Z exp((9n)) ехр(А(в)п)л/п be\D{6) + п— , ч h / ЇЇІ Xi \ ?7 / \ Г \ Г ry(j) \ г=0 j=l +(1 — є) в(1 + i)D((9)E в \е в к / / Zifl (3.19)
Устремляя к,т — оо и учитывая произвольность выбора є, Єї, приходим к требуемой оценке сверху. 2) Оценка снизу вероятности P(Z ехр(вп)) . Воспользовавшись представлением (3.11) для числа частиц в n-м поколении процесса Z , оценим рассматриваемую вероятность снизу выражением Р (Zn exp(Qri),ti Zk t i) и представим его в виде / m x» \ E T-k Л І Г7 7\T"k / \ Г \ Г ry(j) 7 /О F(lnZn_ Un\Zo = 1)іґ у у Z-f! = ї . [6.20) l=ti i=0 j=l Воспользуемся асимптотикой (1.8) и получим в силу непрерывности функций //(#), D((9) соотношение Р (Zn_k е п Zo = /) // I ) P{Sn-k (9n—In/) Р{в)е пR{he) ть — к \J ті — к при п — оо. При достаточно больших t\ и всех / t\ выполнено неравенство Ii{9) (1—Єї), поэтому выражение (3.20) оценивается снизу величиной (-] \ h / rn ХІ \ D{Q)e nR{he) у I еР у у Z l = I (3.21) l=ti i=0 j=l при любых І2: тп: к и всех достаточно больших п. При /, не превосходящих t\, используем для вероятностей больших уклонений оценку сверху
Устремляя fc,m - оо и учитывая произвольность выбора Єї, приходим к требуемой оценке снизу, тем самым завершив доказательство теоремы 3.1. 3.4 Доказательство теоремы 3.2
В силу того, что асимптотика вероятностей больших уклонений для случая иммиграции в каждый момент времени отличается от асимптотики для стандартного ВПСС на мультипликативную константу, вычисление распределения начальной точки останется неизменным, так как отношение вероятностей P(lnZn_TO — 9п Є [жо,Жо + До]) и P(lnZn вп), дающее нам это распределение, не поменяется. Выпишем первую вероятность аналогично случаю ВПСС без иммиграции:
В силу того, что для иммиграции выполнено условие (3.3), мы можем использовать сходимость (2.24), и дальнейшие рассуждения теоремы 2.2 для подсчета переходных вероятностей остаются справедливыми.
Для получения предельных соотношений для P(Sn-bn 9п — ап) остается подставить полученные соотношения в асимптотику (1.7). 4) Для получения требуемого утверждения достаточно разделить обе части равенства на вероятность P(Sn 9п), и использовать результат (1.5). Доказательство леммы 3.2.
Вспомогательные утверждения
В силу того, что асимптотика вероятностей больших уклонений для случая иммиграции в каждый момент времени отличается от асимптотики для стандартного ВПСС на мультипликативную константу, вычисление распределения начальной точки останется неизменным, так как отношение вероятностей P(lnZn_TO — 9п Є [жо,Жо + До]) и P(lnZn вп), дающее нам это распределение, не поменяется. Выпишем первую вероятность аналогично случаю ВПСС без иммиграции: п т 1 (в) — V Р Ч / к(/)л І р 1Ьв о (л р fie - о \ (323) Поделив на вероятность большого уклонения P(lnZn 9п) получим такое же распределение начальной точки, как в (2.31). Переходные вероятности P(lnZn_k-0n Є [хт-к,хт-к + Ат-к] lnZn_k_i-0n = xm-k-i) fc = 0,...,m, также останутся неизменными. Запишем их, опираясь на выражение (2.23) и определение ВПСС с иммиграцией. евп+хт-к-1 / j ъп—kj г /Сп—к ln QI t \Хт—к) Хт—к -\- L±m—k (3.24)
В силу того, что для иммиграции выполнено условие (3.3), мы можем использовать сходимость (2.24), и дальнейшие рассуждения теоремы 2.2 для подсчета переходных вероятностей остаются справедливыми.
Таким образом, завершаем доказательство теоремы 3.2. 3.5 Доказательство вспомогательных утверждений Доказательство леммы 3.1. 1) Утверждение прямо следует из того, что функция А(9) выпукла вниз и А (9) = he. 2) Воспользуемся пунктом 1) и получим ( \ fп i л/л\ he08\ 5\ , SilnR(he) А = А в -\ А(в) -\ = А(в) -\ 7А(0) -\ . l-0i 1 — 0\ 1 — 01 1 — 0\ 1 — 01 При фиксированном 0 5\ 1 в силу выпуклости и равномерной непрерывности А(в) найдется достаточно малое 5 О, что при всех 9 Є [#і,#2] 9(1 — 5) 1 — 5\ (9(1 — 5)\ А(9) А — 5\ 1 — Ь\ 3) А(9) — гладкая функция с А (9) = he, А"(9) = a 2(he), откуда ип — ап 9оп — ап a (a) ubn — an = А(в) + he Н п-Ъп п-Ъп 2 п-Ъп где h Є [he, h(e-an)/(n-bn)}. В силу ограниченности сг(-) получаем требуемое соотношение при ап,Ьп = о(л/п), а в силу положительности т2 (-) имеем требуемое неравенство при ап, Ъп = 0(п). Для получения предельных соотношений для P(Sn-bn 9п — ап) остается подставить полученные соотношения в асимптотику (1.7). 4) Для получения требуемого утверждения достаточно разделить обе части равенства на вероятность P(Sn 9п), и использовать результат (1.5). Доказательство леммы 3.2. 1) Положим 9 = 9 — 6 — /io. Применяя неравенство Маркова, получаем: P(max%i exp(#n)) nP(xi ехр(#п)) i n 4 = nExiee A ne s+ he inR he n. exp(he9n) Остается заметить, что поскольку InR(ho) 1пй(Ц) 0 и , Ґгл\ 1 \ ) 0 7 0 с 2/7 7 Г 7 тщпо) = т{\))пв -\ /хліб» Н ті & (д), /ІЄ0,/І#], (3.25) z z /іє[0,/і„] то (/іо + 8) In R(ho)/ho при достаточно малых 5 . 2) Фиксируем а 1 и разобьем область возможных значений среды ту на три подмножества В\ = {г/ : Uk Ук}і 2 = \j] (и — l)Uk nalVk} П i, В% = В\ U В . Оценим вероятность P(Zk U\ZQ = /), и = [ехр(#п — ж)], где [] — целая часть. При г] Є В\ соответствующая часть в разложении вероятности P(Zk U\ZQ = І) относительно возможных значений среды оценивается сверху величиной Р [Zk у і]) ; В\) /Е (Р (Z& е п 77); i) 2 е , (3.26) где последнее неравенство следует из неравенства 1 + — ) 2 е , 4 что дает третье слагаемое в правой части неравенства пункта 2) леммы 3.2. Для оценки остальных частей в разложении воспользуемся следующим представлением вероятности P(Zk U\ZQ = /,77) из работы [4]:
В силу неравенства l\ lle l правая часть в (3.29) оценивается сверху величиной (f((u — 1)UkVjT /l)), где f(v) = 2 exp(ln-u —г /2 + 1). Функция f{v) монотонно убывает при v 2, а потому выражение (3.29) не превосходит 2ехр(—1(па/2 — а\пп — 1)), что представляет собой первый член в правой части неравенства пункта 2) леммы 3.2. Объединив полученные оценки, завершаем доказательство леммы. 3) Оценим сверху вероятность P(lnZn 9n\Zo = I). а) Фиксируем 5\ 0 и предположим, что / eSln. Воспользуемся представлени ем (3.27). Разобьем возможные значения среды г] на три подмножества: В\ = {г] : (и — l)UnV па1}, В ї = {г] : 1е (и — l)UnV па1}, В% = {г] : (и — l)UnV /е }, где t 2, а 1. Вероятность большого уклонения, суженного на событие i, есть о(1)Р(5 п Qn)lhe в силу оценок (3.26), (3.29). В силу того, что и = [ехр(#п—ж)], а определение события з можно переписать в виде \т] : Vn/Un ехр(ln(м — 1) — In/ — )}, вероятность того же события, суженного на _Вз, оценивается сверху величиной n In \ e n — In / — t «=i (9n — In/ — t\ P(on 6/n — In / — t). n / / п P(Vn/Un ехр(вп — In I — t)) = Р In \ є n — In / — t (3.30) Последняя эквивалентность вытекает из Теоремы 1 работы [10] (при этом в случае /І 0 там требуется выполнение условия 9n — \nl—t jn, которое в нашем случае выполняется при ді {9\ — 7)/2).
Функция /+() в явном виде приведена в [10] и при рассматриваемых значениях параметров ограничена некоторой константой с\. Тем самым, применив асимптотику (1.4) и эквивалентность из пункта 3) леммы 3.1 получаем для (3.30) оценку сверху 2ciehetlheP(Sn On) при всех достаточно больших п.
Для вероятности события, суженного на 2, получаем оценку сверху [ехр((5п)]+1 У Е (P(lnZn 6n\Zo = I,rj) , т] : И (и — l)UnV l(i + 1)) . (3.31) г=[е ] При рассматриваемом ограничении на среду имеем, как и прежде, Un Vn. Величина С3и_- и У 3 монотонно возрастает при j /, причем каждый следующий член по меньшей мере в е — 1 2 раз больше предыдущего. Таким образом, сохраняет силу неравенство (3.29), откуда получаем (и — l)Un т7/ где функция / определена в пункте 2) доказательства леммы 3.2 (см. (3.29) и далее). В силу указанного ограничения на ц сумма (3.31) оценивается сверху следующей [ехр((5п)]+1 Р (упи 1 е -] /-1п(г+іЛ f l „ (3.32) г=[е ] ІЄХр ((5?2 ) 1--1 / Р( Ьп cm — In/ — 1п(г + ljjjyi) , г=[е ] где была использована эквивалентность (3.30). Применяя пункт 3) леммы 3.1, пользуясь монотонностью / и тем, что f(i) стремится к 0 при і — оо при достаточно больших t, имеем для (3.32), а следовательно, и для (3.31) при всех достаточно больших п оценку сверху в виде оо 2ciP(5 n вп)1 в У (г + 1) еіехр(—і/2 + 1). Здесь ряд сходится равномерно по всем рассматриваемым в, откуда и следует требуемая оценка.
Доказательство теоремы 3.2
Случайное блуждание 5 п называется сопровождающим для ВПСС. Блуждание Sn может иметь положительный, нулевой и отрицательный снос, соответствующий ветвящийся процесс в случайной среде является надкритическим, критическим и докритическим. Следовательно, многие задачи теории ветвящихся процессов в случайной среде оказываются непосредственно связаны с предельным теоремами для случайных блужданий. Далее будем предполагать, что распределение нерешетчато, математическое ожидание Е І = /І конечно и выполнено правостороннее условие Крамера R(h) = Ее оо, h Є (0, h+), h+ 0. (1.1) Объектом изучения данной работы является частный случай ВПСС, когда условное распределение числа непосредственных потомков частицы при условии среды является геометрическим, так что E (sZl Z{) = 1, 771) = 1 - (і + е" (1 - s)_1) п.н.. (1.2) В этом случае (см. [1]): E (s Zn 77) = 1 - (К + Un(l - s) -1)"1 п.н., откуда следует, что P (Zn к г]) = ((Vn + Un) (1 + V Un) ) п.н., к 0. (1.3)
Таким образом, для геометрического условного распределения числа непосред ственных потомков частицы при условии среды значение вероятности больших уклонений P(Zn к) определяется величинами Un: Vn: так что большие уклонения ВПСС Zn полностью определяются сопровождающим блужданием Sn. Положим т(п) = {шщп)) , о- (ш = т [а) О, m = lim Ш(Д),/ІО = max(/i,U).
Функция m(h) непрерывна и монотонно возрастает при h Є (0, /г+), m(0) = /І, откуда следует, что при любом в Є (и,т+) найдется /г# Є (0,/г+), такое что m{ho) = в. Введем функцию уклонений А(в) = в he — In R (ho), которая является преобразованием Лежандра над функцией In R (h). Ее вероятностный смысл определяется соотношением 1 (Sn \ МО) = — lim -lnr — О . п- оо п п ТІ Сопряженным к Sn блужданием назовем блуждание Sn = Х С о = О, г=1 где — последовательность и.о.р. ел.в. с функцией распределения х F (х) = R(h) е vdF(y). — 00 Теорию больших уклонений для случайных блужданий можно вести от работ Бахадура и Ранга Рао [18] и Петрова [2], в которых для i,2--- последовательности и.о.р. ел.в., удовлетворяющих правостороннему условию Крамера (1.1), была получена, соответственно, "грубая"асимптотика выполняющиеся равномерно по в Є [#ь $2] С (/i,m+) в нерешетчатом случае, при этом функции А(в) и D{6) были указаны в явном виде. В решетчатом случае в правой части соотношения (1.4) добавляется постоянный множитель , включающий величину шага решетки. В работе [18] в дополнение к вышеуказанному результату также были описаны распределения функционалов от случайного блуждания при условии совершения им большого уклонения.
Изучение траектории процесса в целом продолжилось в дальнейшем, в частности, в работе [25] была получена функциональная предельная теорема о слабой сходимости процесса X n (t) = (Snt + Xynt+i}{nt — [nt]) — 6nt)/(\/na(ho)), t Є [0,1], при условии совершения случайным блужданием большого уклонения к процессу броуновского моста в пространстве непрерывных функций на отрезке [0,1]. Также стоит отметить результат, полученный Бартфаи [9], справедливый в тех же условиях, что и соотношение (1.4), и показывающий, что для любого множества В є Б(Шк), такого что Р((Хі,..., Х&) Є дВ) = 0 верна следующая сходимость P(Sk Є B\Sn On) P ( Sk e Є В) , n -л oo, (1.5) равномерная по 9 Є [#і,#2] в том смысле, что P(Sk Є B\Sn On) = 0. lim sup Sk є В n [ 1, 2]
Для вероятностей больших уклонений максимума Мп = (Sk,k п) асимптотика Р (Мп 6п) получается такой же как и в случае случайных блужданий, но с другой мультипликативной константой. В работе [5] получено явное выражение для этой константы в более общем случае, когда вместо случайного блуждания рассматривается асимптотически N - однородная марковская цепь. Мы будем опираться на результат работы [7], в котором утверждается, что при выполнении условии Крамера (1.1) соотношение Р(МП вп) С(в) п-1/2е тп} п - оо, (1.6) выполняется равномерно по в Є [а,/3] С (/І, m+) при /І 0 и равномерно по в Є [а,/3] С (7, тп+) при /І 0, где 7 = тп( с), а величина х 0 определятся соотношением R{K) = 1 в предположении, что sup (R(h), h 0) 1.
Это утверждение близко к результатам работы [5], оно базируется на прямых вероятностных описаниях траекторий. Этот же подход применяется в диссертации для доказательства теорем 2.1 и 3.1.
Сформулированные утверждения относительно случайных блужданий служат основой для исследований больших уклонений ВПСС. Одним из основных результатов по данной тематике является асимптотика, полученная в работе [3]: Р (ln Zn вп) 1{в) Р (Sn вп) , п —. (1.7)
Это соотношении установлено для ВПСС Zn с п.ф. вида (1.2), при выполненном правостороннем условии Крамера (1.1). Для константы также найден явный вид I(Q) = heT(he) I vhe ldGo(v), і 00 /, N GQ(V) = Р (V h v) , V h = 2 e Si , Г(-) — гамма функция. г=0 При /І 0 указанная асимптотика равномерна по в Є [#і,#2] С (/І, m+). При /І 0 дополнительно требуется предположение, чтобы т+ 0. Тогда при ho 1 соотношение (1.7) имеет место равномерно по в Є [#і,#2] С (0, т+). При /го 1 в предположении, что существует такое (единственное) h Є (1, /і+), что R(h ) = R(l), соотношение (1.7) так же выполняется равномерно по в Є [#і, #2] С (в , т+), где # = m(h ).
Для случая, когда /І 0, а в Є [#і, #2] С (0, # ) асимптотика имеет качественно другой характер, подробное описание можно найти в работе [8], в диссертации данный интервал изменения в не рассматривается.