Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные обозначения, понятия и вспомогательные результаты 15
1.1. Рассматриваемые случайные процессы 15
1.2. Понятие разбиения траектории простейшего случайного блуждания на экскурсии 18
1.3. Известные свойства броуновского движения и других процессов 21
1.4. Дискретный вариант теоремы Леви 26
Глава 2. О распределении функционалов, связанных с законами арксинуса 33
2.1. Случай дискретного времени 35
2.2. Предельный переход к непрерывному времени 43
2.3. Обобщение на случай других процессов 46
Глава 3. Дискретный процесс Бесселя размерности три 49
3.1. Определение дискретного процесса Бесселя 51
3.2. Свойства дискретного процесса Бесселя 60
Список литературы
- Понятие разбиения траектории простейшего случайного блуждания на экскурсии
- Дискретный вариант теоремы Леви
- Предельный переход к непрерывному времени
- Свойства дискретного процесса Бесселя
Введение к работе
В теории случайных процессов давно изучается вопрос об аппроксимации непрерывных процессов их дискретными аналогами. Цель настоящей работы состоит в том, чтобы построить дискретные аналоги различных функционалов от броуновского движения и изучить их.
В качестве дискретной аппроксимации броуновского движения мы рассматриваем простейшее симметричное случайное блуждание, то есть блуждание, шаг которого имеет распределение Бернулли. На его основе мы строим дискретные аналоги многих связанных с броуновским движением процессов, таких как локальное время, время пребывания выше заданного уровня, значение максимума и точка достижения этого максимума, броуновский мост и броуновский меандр. Особое внимание уделяется процессу Бесселя размерности три. Определения всех этих процессов можно найти в очень подробной монографии по теории броуновского движения [12].
Для построенных дискретных процессов мы доказываем дискретные варианты многих известных утверждений, имеющих место в непрерывном времени. Например, в теории броуновского движения хорошо известен следующий результат П. Леви (см., например, [12; IV (2.3)])
Предложение 1.6 (Теорема Леви). Для стандартного броуновского движения (Bt)t o процесса его максимума (Mt)t o и локального времени в нуле {Lt)t o имеет место следующее равенство по распределению.
(Mt-Bt,Mt)t 0l=(\Bt\,Lt)t 0.
Рассмотрим теперь простейшее симметричное случайное блуждание (Аг)гг=од,..., обозначим процесс его максимума через Мп = supk nBk, и построим дискретный аналог локального времени в нуле п Ln - 2 {(Вп_х-1/2)-(В„-1/2) 0} г=1
другими словами величина Ln равна количеству пересечений уровня 1/2 случайным блужданием до момента времени п. В этих обозначениях имеет место следующее соотношение
Теорема 1.11 (Дискретный вариант теоремы Леви). Пусть процессы (-Bn)n=o,i,...; ( n)n=o,i,... и (I/n)n=o,i,... такие как определено выше. Тогда распределения следующих двумерных процессов совпадают (М„ - Вп, Мп)п=0,1,... 1= (\Вп - 1/2 - 1/2, Ln)n=0,i,....
В дальнейшем мы также будем обозначать дискретные процессы теми же буквами, что и их непрерывные прототипы, но над ними всегда будет ставиться волна, так же как в формулировке предыдущего утверждения. Это делается для избежания путаницы во время предельного перехода от дискретного времени к непрерывному.
Помимо классической теоремы Леви (предложение 1.6), известно ее обо-щение на случай броуновского движения со сносом (Вх := Bt + Xt)t o.
Предложение 1.7. Пусть (Bx)t 0 — броуновское движение со сносом А. Обозначим через MfA := sups t Вх процесс его максимума. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение dXt = dBt-X sgn Xt dt, X0 = 0
и обозначим через {X)t o его решение. Тогда следующие пары процессов одинаково распределены (Mtx - Bt\M 0 =W (\X L(Xx)t)t 0, где L{Xx)t обозначает локальное время в нуле процесса (X )t o.
Впервые это утверждение было доказано в работе СЕ. Граверсена и А.Н. Ширяева [6] исходя из классической теоремы Леви с помощью техники замены меры. В более поздней статье А.С.Черного и А.Н. Ширяева [3] приводится непосредственное доказательство. Для этого обобщения теоремы Леви мы также доказываем дискретный аналог, который формулируется для несимметричного случайного блуждания.
Другим хорошо известным утверждением о броуновском движении, которому мы уделяем внимание, является закон арксинуса, впервые установленный в уже упоминавшейся работе П. Леви [9]. В действительности, известно три разных закона арксинуса, которые можно объединить в одно общее утверждение.
Предложение 1.2. Пусть (Bt)t o — стандартное броуновское движение. Обозначим положение последнего нуля через gt = sup{s t \ Bs — 0}, время пребывания его выше нуля через 7г — Jo I{B„ o},ds, а точку достижения своего максимума через dt — argsup, Bs, то есть B#t = supa tBs. Тогда все три величины д\} 71 и #1 распределены по закону арксинуса P(Si € dx) - P(7i Є das) - Р(0! Є dx) = )
ТГу/х(ї —X)
Воспользовавшись этим утверждением и свойством автомодельности броуновского движения, легко сделать вывод, что справедливо следующее соотношение.
Предложение 1.3. Пусть (Bt)t o — стандартное броуновское двиоюе-пие. Обозначим время пребывания его выше нуля через 7t = /0 {B« O} SJ а точку достижения своего максимума через 6t = argsup5 t Bs, то есть Bet sups t Bs. Тогда распределения этих величин совпадают при каж дом фиксированном t л law
В диссертации приводятся различные обобщения этого последнего равенства. Так, вместо функционала jt мы рассматриваем величину lt = / !{B. a},ds, Jo
О
для произвольного неотрицательного а, а вместо одномерных, некоторые трехмерные условные распределения, и доказываем их равенство.
Теорема 2.2. Пусть (Bt) — стандартное броуновское движение. Обозначим через Mt = sups t Bs процесс его максимума, через (Lf) его локальное время в точке а. Обозначим также К? = MtA (Mt -Bt- а).
Процессы (7f) и (9t) такие как описано выше. Тогда при фиксированном t и а 0 имеет место следующее равенство совместных условных распределений Law (7ta, L?/2, Bt I Mt a) =
= Law (6t,K?,Bt + 2a\Mt-Bt a).
Это утверждение получено предельным переходом в соответствующем дискретном соотношении. А именно, рассмотрим дискретные аналоги процессов, упомянутых в предыдущей теореме. Для простейшего случайного блуждания (B„)n=o,i,... положим мп = maxk nBk, 9п = min{k n\Bk = Мп},
К = МпЛ(Мп-Вп-а),
Гп — }- к=0І{Вк а}і I
то есть вп обозначает самую левую точку достижения случайным блужданием своего максимума, а 7п есть количество значений, строго больших а. Введем также процесс
п
Nn := 2- {Б4_,во+іЛ=о}» k=l
который «считает» количество пересечений случайным блужданием уровня а + 1/2 сверху вниз.
В этих обозначениях оказывается справедливым следующее утверждение Теорема 2.3. Для простейшего симетричного случайного блуждания (Ai)n=o,i,... и его функционалов, определенных выше, при каждом натуральном п и любом целом а 0 имеет место равенство по распределению Law (.Щ,Вп\Мп а) =
= Law (On, К, Вп + 2а\Мп Вп а).
В заключение второй главы приводится обобщение полученных результатов для других случайных процессов, таких как броуновское движение со сносом и броуновские мосты. А именно, для этих процессов доказывается равенство аналогичное утверждению теоремы 2.2 в случае а = 0.
Другая часть диссертации посвящена изучению свойств дискретного процесса Бесселя размерности три. Речь идет о процессе, рассматриваемом в работе Дж. Питмана [10], а именно, для простейшего симметричного случайного блуждания {Bn)n=o,i, . и процесса его максимума (Мп)п=о,1,-положим R := 2Мп - Вп.
Этот процесс мы и называем дискретным процессом Бесселя размерности три. В работе [10] доказана его сходимость к непрерывному процессу Бесселя, который мы будем обозначать (Rt)t o Помимо указанного выше определения мы приводим три других эквивалентных определения дискрентного процесса Бесселя, описывающих его с различных точек зрения. В одном из этих определений этот процесс задается как некоторый другой функционал от простейшего случайного блуждания. В другом определении указана его переходная функция как марковского процесса. Последнее определение состоит в задании плотности распределения этого процесса относительно распределения простейшего симметричного случайного блуждания.
Для этого дискретного процесса мы доказываем аналоги различных известных соотношений, выполненных для процесса Бесселя в непрерывном времени, в частности
Теорема 3.4 (Дискретный вариант теоремы Питмана). Рассмотрим процессы (jBn)n=0,i)..., (M„)„=o,i,... и (Яп)п=о,1,..., определенные выше. Положим Jn := inffc „ Rk- Тогда следующие двумерные процессы совпадают по распределению (2МП — Вп, Mn)n=0)i,... = (Rn, Jn)n=o,i,- причем условное распределение Law (Jn\Fn) является дискретным равномерным распределением на отрезке [0, Rn], то есть Jn принимает значения 0,1... Rn с равными вероятностями. Здесь Fn := a(Rk, к = О,1,... п).
Немалая часть работы посвящена доказательству дискретных вариантов теорем Д. Вильямса [16] (см. также ([12; VI, (3.11)], [12; VII, (4.9)]), двух утверждений о взаимосвязи между процессом Бесселя и броуновским движением. Чтобы их сформулировать нам потребуются следующие обозначения.
Для целого числа а и дискретного случайного процесса (Xn)n=o,i,...» имеющего такие же траектории, как и у простейшего случайного блуждания, обозначим через la(X),la+(X),ra-(X)1ra(X)) случайные момен ты времени, задаваемые формулами
Цх)
1а+(Х)
Га-(Х)
Га(Х)
= Ы{п\Хп = а], = inf{nXn = a+l}-l, = sup{nXn = а- 1} + 1, = sup{n\Xn = a}.
Тогда справедливо следующее утверждение
Теорема 3.12 (Дискретный вариант теоремы Вильямса) Выберем произвольное целое число Ь 0. Пусть следующие четыре случайных элемента независимы. Случайная величина а имеющая дискретное равномерное распределение на отрезке [0,6]. Симметричное случайное блуэюдание (?n)n=o,i,..., выходящее из точки Ъ. Два дискретных процесса Бесселя {Rn)n=o,i,... и (Rl)n=o,i,....
Определим моменты времени п\ и п2 по формулам
щ = 1Ъ(В}) := M{n\Rln = b}, п2 - пі = la(B) := inf{n Вп = а}.
Тогда процесс (- п)п=од,...; определенный по формуле
В-п, о п щ,
Хп := \ Вп-щ, Щ п п2,
а + Ё1_П2, п2 п,
имеет распределение дискретного процесса Бесселя.
Пусть (Ді)п=од,... — дискретный процесс Бесселя. Назовем положительным дискретным процессом Бесселя процесс задаваемый формулой
R-п := п+г(Л)0 Тогда к предыдущему результату можно добавить и смежный с ним.
Теорема 3.13 (Дискретный вариант разложения Вильямса).
Зафиксируем некоторое целое число b 0 и зададим следующие четыре
независимых случайных элемента. Случайная величина с с дискретным равномерным распределением па отрезке [0,6]. Простейшее симметричное случайное блуждание (Ді)п=од,...- Два положительных дискретных процесса Бесселя (/ ) 0,1,... « (#п 2)п=од,... Определим моменты времени т,\, т2 и гпз по формулам гщ = lc+(B) := inf{n5n = c+l}-l, m2 — mi = rc{R+ 1) := sup{n Rp1 = с}. m3-m2 = h+{R+ 2) .= inf{n Л+-2 = 6 + 1} - 1.
Тогда процесс (Yn)n m3, определенный no формуле І Bn, 0 п ті,
Уп = с - Rn-mi, ті п m2, , Rn-m2y m2 n m3,
имеет распределение простейшего симметричного случайного блуждания, остановленного в момент 1ь+ Свойства дискретных случайных процессов интересны и сами по себе, и с точки зрения возможности совершить в них предельный переход к непрерывному времени. Обычно, эти предельные переходы опираются на результаты, подобные теореме, называемой принципом инвариантности Донскера-Прохорова, получившей свое название благодаря работам М. Донскера [5] и Ю.В. Прохорова [И] (см. также [12; XIII, (1.9)]).
Предложение 1,1 (Принцип инвариантности). Пусть (f7n)n=i,2,... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с Ег]п = 0, Е772 = 1. Рассмотрим случайное блуждание Вп := Y k=\ Vk и построим по нему случайный процесс в непрерывном времени с помощью кусочно-линейной интерполяции, который обозначим через (Bt)t o- Тогда {-j Bmt)t o — (Bt)t o при т — со в смысле слабой сходимости распределений в пространстве С[0, со), где (Bt)t o - стандартное броуновское движение.
Помимо принципа инвариантности в классической формулировке доказано множество различных обобщений этого результата, многие из них можно найти в монографии П. Биллингсли [2], или в книге Ж. Жако-да и А.Н. Ширяева [7]. Из недавних работ упомянем статью Т. Соттинена [14] утверждение аналогичное принципу инвариантности доказывается для фрактального броуновского движения. Для нас особый интерес представляют работа Дж. Питмана [10], в которой он строит дискретную аппроксимацию процесса Бесселя размерности три, а также совместная работа М. Йора, А.С. Черного и А.Н. Ширяева [4], в которой с помощью интегральных сумм построенных по случайному блужданию аппроксимируется стохастический интерграл по броуновскому движению и теорема Донскера-Прохорова обобщается на этот случай. Идеи доказательства этой теоремы восходят к работам А.В. Скорохода [13].
Предложение 1.10. Пусть Вп := Y k iVk такое же случайное блуждание как и в классическом принципе инвариантности, а f(x) некоторая функция. Рассмотрим стохастический интеграл It •= JQ f(Bs)dBs, и построим его дискретный аналог. Л именно, выберем некоторое т 0, полооїсим Ї™ := ]С/ь=і/(т/ О Ь о- затем доопределим этот, процесс с помощью кусочно-линейной интерполяции. Предположим, что выполнено одно из двух условий: либо функция f(x) кусочно-непрерывна, либо распределение г]п имеет нетривиальную абсолютно непрерывную относительно меры Лебега компоненту. Тогда при т — со имеет место сходимость
I Bmt Imt \ d т м
\у/т у/т J в смысле сходимости распределений в пространстве С[0,оо)2.
Этот замечательный результат позволяет при совершении предельного перехода от дискретного времени к непрерывному оперировать, в частности, с таким важным функционалом от броуновского движения как его локальное время в некоторой точке а. Доказательство теоремы 2.2 опирается именно на это утверждение. Впервые функционал локального времени ввел в рассмотрение П. Леви в работе [9]. Далее X. Танака в работе [15] установил (см. также [12; VI, (1-2)]), что для локального времени имеют место следующие соотношения
Предложение 1.4 (Формулы Танака) Пусть {Bt)t o — стандартное броуновское движение, a {Lf) его локальное время в точке а. Тогда имеют место следующие соотношения
Ц/2 = (Bt-a)+-f I{Bt a}dBs, Ц = \Bt-a\-f sgn(Bs-a)dBs,
из которых видно, что локальное время представляется в виде непрерывного функционала от самого броуновского движения и некоторого стохастического интеграла по нему. Причем функции f\{x) = 1{х а) и /г (ж) = sgn(a; — а) является кусочно-непрерывными, что позволяет воспользоваться предложением 1.10. Классический же принцип инвариантности в виде предложения 1.1 к локальному времени неприменим, поскольку, как видно из другой известной формулы
1 /• Lt =І1!?; / 1{а В. а+е) dS 1° fc JO
локальное время задается функционалом от броуновского движения, который всюду разрывен в С[0, t].
Важным понятием в теории броуновского движения является понятие экскурсии, иод которой понимается отрезок траектории между двумя соседними нулями. В настоящей работе вводится понятие экскурсии для случайного блуждания, это понятие используется на протяжении всей работы. Оно несколько отличается от классического, поэтому остановимся на нем поподробнее. Основное отличие состоит в том, что мы принимаем за «начало отсчета» не точку 0, а точку 1/2. То есть именно моменты пересечения уровня 1/2 считаются границами между экскурсиями. Полное определение и основные свойства такого разбиения на экскурсии приводятся в первой главе.
Такой, на первый взгляд, незначительный нюанс в определении экскурсии, как оказалось, имеет решающее значение. На основе такого разбиения на экскурсии мы строим несколько важных отображений на множестве траекторий простейшего случайного блуждания, которые определенным образом переставляют и переворачивают экскурсии. Построение этих отображений и доказательство их свойств является основной частью диссертации. Именно с помощью подобных рассуждений доказываются основные утверждения, касающихся дискретного времени.
Диссертация построена следующим образом.
В главе 1 приводятся основные обозначения и определения, вводится используемое в дальнейшем понятие разбиения траектории случайного блуждания на экскурсии и излагаются его свойства. Далее формулируются известные свойства броуновского движения и смежных процессов, которые либо будут использованы в доказательствах, либо предназначены для сравнения со своими дискретными аналогами, приводимыми в диссертации. Также в эту главу вынесены дискретный аналог классической теоремы Леви и ее обобщения.
Глава 2 посвящена различным обобщениям раветства, приведенного в предложении 1.3. Здесь доказывается равенство некоторых условных трехмерных распределений в дискретном времени (теорема 2.3), далее производится предельный переход, что приводит к теореме 2.2. В заключение главы с помощью техники замены меры утверждение теоремы 2.2 в случае а = 0 доказывается для броуновского движения со сносом и для броуновских мостов, идущих из нуля в произвольную точку. Для рассматриваемых совместных распределений не только установлено их совпадение, но и вычислен явный вид, в чем неоценимую помощь оказал справочник [1].
В главе 3 изучается дискретный процесс Бесселя размерности три. Вначале приводятся различные определения этого процесса и доказывается их эквивалентность. Потом приводятся вспомогательные утверждения, являющиеся дискретными аналогами известных свойств процесса Бесселя. Дальнейшее содержание главы посвящено доказательству теорем 3.12 и 3.13.
Цитируемые утверждения носят название «предложение». Собственные результаты автора названы «теоремами», «леммами» или «следствиями».
Нумерация утверждений сплошная внутри каждой главы. При этом используется двойная система нумерации, так что ссылка на теорему 3.1 указывает на первую теорему в третьей главе. То же самое относится и к нумерации формул.
По теме диссертации были сделаны доклады на научно-исследовательском семинаре «Стохастический анализ и финансовая математика» кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, а также на Большом Семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ в 2005 году.
Непосредственно к теме диссертации относятся статьи [17], [18] и [19].
Работа выполнена под руководством члена-корреспондента РАН, профессора Альберта Николаевича Ширяева, которому автор выражает искреннюю благодарность. Также автор благодарит к.ф.-м.н. Александра Семеновича Черного за помощь и поддержку.
Понятие разбиения траектории простейшего случайного блуждания на экскурсии
В теории случайных процессов важное место занимает понятие экскурсии траектории, под которой понимается отрезок между двумя соседними нулями, на котором процесс сохраняет определенный знак. В частности экскурсиям броуновского движения в книге [12] полностью посвящена глава XII.
Это определение можно было бы непосредственно применять и в дискретном случае, а именно экскурсией случайного блуждания можно было бы назвать отрезок между двумя соседними нулями траектории. Но как показало более глубокое изучение, такое «наивное» определение, которое первым приходит на ум, не приводит ни к чему интересному.
В этом параграфе мы дадим другое определение экскурсий случайного блуждания, которое и будет использоваться в дальнейшем. Основная идея состоит в том, что следует перенести «начало отсчета» из точки 0 немного выше, в точку 1/2. Именно в случае пересечения уровня 1/2 мы будем считать, что закончилась предыдущая экскурсия и началась следующая. Приведем точное определение.
Для случайного блуждания (Вп) рассмотрим следующие моменты времени
Определение 1.2. Точки, задаваемые формулами (1.1) разбивают временную ось на отрезки, которые мы будем называть экскурсиями случайного блуждания. Более точно, будем называть часть траектории {(s, Bs), s Є lrjfc" at\У &-тои полооюительной экскурсией, а часть {(s, Bs), s є [ц, а ]} А;-той отрицательной экскурсией. Это построение можно применять как для бесконечного временного интервала, так и при ограничении {Вп)п м. Во втором случае для последней экскурсии следует положить akh = N, эту экскурсию мы будем называть незаконченной. В случае В 0 эта незаконченная экскурсия будет отрицательной, в противном случае — положительной. Под приращением экскурсии будет пониматься разность значений на ее концах.
Заметим, что величины тк, ак не являются моментами остановки, они «заглядывают в будущее» на один шаг.
Поскольку такое разбиение на экскурсии не столь естественно, как «наивное», упомянутое в начале, поясним его примером. На рисунках 1.1 и 1.2 изображены две траектории и для каждой из них отмечены точки тк . При этом, согласно определению, конец каждой экскурсии совпадают с началом а і = т, следующей, то есть ак = тк+1, ак
Сформулируем свойства экскурсий, которые будут выполнены для любой траектории. Как следует из определения, в начале траектории всегда располагается нулевая отрицательная экскурсия, хотя она может иметь нулевую длину, как на рис. 1.2. Нулевая экскурсия имеет приращение равное 0. Все остальные законченные отрицательные экскурсии имеют приращение —1, а все законченные положительные экскурсии имеют приращение
Приращение незаконченной экскурсии может быть произвольным. Далее, любая положительная экскурсия расположена полностью строго выше своего левого конца, а любая отрицательная экскурсия ниже своего левого конца, для нулевой отрицательной экскурсии строгое неравенство может нарушаться. Отрицательные и положительные экскурсии всегда чередуются.
В этом параграфе мы приведем несколько известных результатов из теории броуновского движения. Некоторые из них будут использоваться в последующих доказательствах, а некоторые просто приводятся для сравнения с их дискретными аналогами, которые мы будем доказывать.
Основным инструментом для совершения предельного перехода от случайного блуждания к броуновскому движению является следующий результат Донскера и Прохорова.
Дискретный вариант теоремы Леви
Приведенное доказательство, несмотря на свою естественность и прозрачность, обладает одним важным недостатком. Такого рода рассуждения не удается применить в случае непрерывного времени. Поэтому оригинальная теорема Леви доказывается исходя из совсем других соображений, основанных на применении так называемой леммы Скорохода. Мы повторим этот путь и в случае дискретного времени, ниже приводится другое доказательство теоремы 1.11, использующее именно эту идею.
Разобьем это доказательство на несколько отдельных этапов. Вначале докажем дискретный аналог хорошо известной формулы Танака (предложение 1.4). Лемма 1.12 (Дискретный аналог формулы Танака). Пусть (Вп) и (Ln) — процессы определенные выше. Справедливо следующее равенство Вп п -\ = 2&ЩЪ (4-і - f) + Ln, (1.6) fc=i где & := Вп - Бп_ь
Доказательство проведем по индукции. При п = О соотношение выполнено. Для шага индукции нужно проверить, что для всякого к l-BJUil - I Jfel = tk+iSgaBl + Ік+1 - Lk, где для удобства использовано обозначение Вп := Вп — . Убедимся, что во всех возможных случаях это равенство верно: 1) 0и В к+1 0. Тогда \В к+1\ - \В к\ = +&+1 = k+lsgnB k и lk = Lk+1. 2) В к 0 и В к+1 0. Тогда \В к+1\ - \В к\ = -&+1 = k+1sgnB k и Lk = Ьк+І. 3) Bl и Вк+1 имеют разные знаки. Тогда \В М\ = \В;\(= ±), ЫгЩпЩ = -1, a Lk+1 - Lk = 1
На этом доказательство завершается. Следует отметить, что во многих учебниках по теории вероятностей доказывается формула, которую авторы также называют дискретной формулой Танака. Но наша формула (1.6) отличается от приводимой там.
Далее докажем дискретный аналог одного утверждения из теории функций, называемого леммой Скорохода. Лемма 1.13 (Дискретный аналог леммы Скорохода). Пусть числовые последовательности уп и 1п обладают следующими свойствами (О Уо = 1о = 0, (И) 1п неубывает, (in) Vn ln yn, (iv) ln+i - ln 0 = ln+1 = у„+1. Тогда эти последовательности связаны равенством ln = maxyi. г п
Доказательство. Вновь воспользуемся методом математической индукции. База индукции следует из свойства (і). Пусть для некоторого к выполнено h = max /;. Возможны два случая i k 1) Ук+і к Тогда докажем, что к+\ = к- Если предположить, что k+i к,то по свойству (ii) lk+i h и по свойству (iv) Ik к+і = Ук+і, что противоречит предположению. Следовательно, выполнены равенства k+i = к = maxyi = max yt. і к і к+1 2) Ук+і к Тогда по свойству (ііі) к+\ ук+\ к, и по свойству (iv) имеем 4+1 = Ук+i = max у І. і к+1 Итак, в обоих случаях нам удалось совершить индукционный переход, и лемма тем самым доказана.
Последнее вспомогательное утверждение, которое нам потребуется для альтернативного доказательства теоремы 1.11, имеет некоторую схожесть с характеристической теоремой Леви. п Лемма 1.14. Пусть ( Вп := ]Г) & I простейшее симметрич \ fc=i / п=0,1,... ное случайное блуждание, а последовательность случайных величин ( п)п=од,... принимающих значения ±1; согласована с фильтрацией п Тп := a(Bk,k п). Тогда последовательность Вп := 52 fc-iffc также jt=i является простейшим симметричным случайным блужданием.
Доказательство. Обозначим п := Дп-іп(= Вп — Вп-\). Для доказательства леммы нужно проверить, что п независимые берпуллиевские случайные величины. Распределение „ вычисляется непосредственно Р(„ = 1) = Р(„ = 1, /in-i = 1) + Р(& = -1, Л„_і = -1) = = (/ = 1) + (/ = -1) = 1 И аналогично Р(п = —1) = \. Для доказательства независимости ь... заметим, что fn является, как нетрудно видеть, Тп измеримой, a n+i независима с Тп. Действительно, для произвольного Agfn имеем Р(& = 1, А) = Р(п = 1, Дп_! = 1, A) + P(n = -l,/in_! = -1, Л) = = p(/2n_! = 1, A) + ip( _x = -1, Л) = ІР(А). Итак, лемма доказана. П
Другое доказательство теоремы 1.11 представляет собой последовательное применение трех предыдущих лемм. Вначале выпишем соотношение (1.6). Далее применим лемму 1.13 к последовательностям ln := Ln п и уп = Yl & sgn(t-i - 1/2). Затем воспользуемся леммой 1.14 при г=1 hn:=-sgn(Bn-l/2). П Рассмотрим теперь случай, когда простейшее случайное блуждание несимметрично. Зафиксируем чиаю Л Є (—1/2,1/2), и пусть независимые одинаково распределенные случайные величины {„}я=і,... имеют следующее распределение Р(А = Д) = 1/2+ЛД, Д = ±1. Рассмотрим случайное блуждание В := ХХ=о& и обозначим через (MA)n=o,i,... процесс его максимума.
Рассмотрим далее марковский процесс (X )n=o,i,l.. выходящий из нуля и имеющий следующую переходную функцию P(X 1-XZ = A\Fn) = \-\sgn(xt- A, Д = ±1, и обозначим через LA количество пересечения процессом (Х)к п уровня 1/2. Заметим, что при Л = 0 процесс (X) есть ни что иное как простейшее симметричное случайное блуждание.
Оказывается, что для этих процессов имеет место обобщение теоремы 1.11, которое является дискретным вариантом предложения 1.7. Теорема 1.15. Пусть (A)„=o,i,..., (МА)п=0д,..., (ХА)п=0д,... и (1/ )п=од)... процессы, определенные выше. Тогда распределения следующих пар процессов совпадают. (МПЛ - 4\ МпА)п=од,... 1={\Х - 1/2 - 1/2, LA)n=0)1)... (1.7)
Доказательство полностью аналогично первому доказательство теоремы 1.11. Мы вновь имеем дело с двумя двумерными марковскими процессами, выходящими из нуля, и тем самым достаточно проверить, что их переходные функции совпадают.
Предельный переход к непрерывному времени
Популярным и хорошо известным способом перехода от случайного блуждания к броуновскому движению является применение принципа инвариантности Донскера-Прохорова (предложение 1.1).
К сожалению, для работы с локальным временем принцип Донскера-Прохорова в классической формулировке не подходит. Дело в том, что функционал локального времени 1 Ґ С[0, ] Э /- La(f) := lim - / I{a f(s) a+e} ds i t Jo всюду разрывен в C[0,]. Чтобы преодолеть эту трудность, воспользуемся результатами работы [4], а именно предложением 1.10, приведенным в первой главе.
В дальнейшем мы будем считать, что все рассмотренные выше дискретные процессы доопределены с помощью кусочно-линейной интерполяции до процессов в непрерывном времени.
Лемма 2.4. Для произвольного а при т — со имеет место сходимость следующих пар процессов Имеется в виду, что т принимает только такие значения, при которых у/та является целым числом.
Доказательство. Согласно формуле Танака (предложение 1.4), имеет место следующее равенство Ц/2 = (В -а)+- f I{Ba a)dBs. Jo Обозначим кусочно-линейную функцию 1{х а) =: f{x) и докажем, что N. \/та rat у/т mt \ у/т а + [mt] 1 V , / Bk-\ m /m Действительно, как уже упоминалось выше, число iV равно количеству пересечений уровня а+1/2 сверху вниз. Но можно заметить, что разность (Вп — а)+ — Х)І5=і ї{Вк-\)щ совпадает с количеством пересечений этого же уровня снизу вверх, поэтому эти величины не могут различаться больше, чем на единицу.
К тому же, функционал C[0,t] Э д н- (g(t) — а)+ непрерывен в про странстве С[0,оо). Таким образом применяя предложение 1.6 получаем доказываемое утверждение. Итак, проведем теперь строгое доказательство перехода к непрерывному времени в формуле (2.3). Доказательство теоремы 2.2.
В доказываемой формуле (2.2) фигурируют условные распределения, но условия являются событиями, имеющими одну и ту же положительную вероятность, поэтому достаточно убедиться в сходимостях ( d Imt lymt ti-n m "mt tjjnj T J у/т у/т \Mmt \Jmaf J (2.8) (LL l !mi + 2a If- - r-\ (et,K?,Bt + 2a,I{Mt_Bt a)}) при га — со, и тогда доказываемое равенство будет следовать из единственности слабого предела. Несмотря на то, что отображения / 4a(f)--=lL0i{m }ds f 0(f) :=argsups t/(s), / -» Авир, ,/(«)-/(0 а} где / Є С[0, і], не являются непрерывными функционалами, множества их точек разрыва имеют винеровскую меру нуль.
Помимо этого имеется еще одна трудность. Дискретная величина 7п := Х)ь=о 1{вк а\ пе совпадает со значением указанного выше функционала -уа на кусочно-линейной интерполяции случайного блуждания. Например, на рис. 1.1 значение 7 = 4 (случайное блуждание имеет 4 положительных значения), в то время как -у0 = 6 (б единичных отрезков кусочно-линейной интерполяции проходят выше нуля). Но можно заметить, что разность между этими величинами всегда совпадает с iV, и поэтому при нормировке она будет стремиться к нулю по вероятности, поскольку iV имеет слабый предел при нормировке -?=.
Остается присоединить к этим соображениям утверждение леммы 2.4, тем самым сходимости (2.8) доказаны, а с ними и теорема 2.2. Если далее воспользоваться известной формулой, задающей явный вид совместного распределения рассматриваемых функционалов, которую можно найти, например в справочнике по броуновскому движению [1; 1, 1.13.8, стр. 180] P{9(B)t е dx,S(B)t Є dy,Bt Є dz) = ф(і-х)) ехР { ё - Щ х)} dxdydz, то непосредственными вычислениями доказывается следующее
Свойства дискретного процесса Бесселя
Доказательство. Утверждение следствия вытекает из определений 3.3, 3.4 и биективности сужения jvn которая следует из леммы 3.1 как вид но из рассуждений описанных выше. Сформулируем теперь еще одно определение дискретного процесса Бесселя, описывающее его с точки зрения теории марковских процессов.
Определение 3.5. Дискретным процессом Весселя, обозначаемым че-рез (FQi )П=ОД,... , мы будем называть марковский процесс, выходящий из нуля и имеющий следующую переходную функцию р(да1- = Адт) = 1. + 1 + А Д = ±1. (3.4) z яу + 1
Для того, чтобы дать последнее четвертое определение дискретного процесса Бесселя, нам придется ограничиться конечным временным интервалом. Рассмотрим на множестве Q]y вероятностную меру QN заданную формулой ММ) = (3-5)
Другими словами траектория, имеющая в последний момент времени значение х, наделяется весом, пропорциональным величине (х + 1).
Определение 3.6. Дискретным процессом Весселя (Щі )n N назовем канонический процесс на пространстве Q , рассматриваемый относительно меры QN- Под каноническим понимается процесс, заданный равенством Rn(u) =шп. (ш) = (wN + 1). 57
К последнему определению сделаем небольшое замечание, а именно проведем вновь аналогию со случаем непрерывного времени. Из определений 3.4 и 3.6 можно заметить, что распределения дискретного броуновского меандра и дискретного процесса Бесселя оказываются эквивалентными с плотностью, имеющей вид d?R dP Это соотношение полностью повторяет ситуацию, имеющую место в непрерывном случае, где соответствующие распределения также эквивалентны, и плотность линейно зависит от значения в последний момент времени (см., например, [12; XII, (4.18),3]). Этот факт лишний раз подтверждает правильность определения 3.4, хотя мы и не доказываем сходимость дискретного броуновского меандра к непрерывному. А теперь сформулируем основной результат этого параграфа.
Теорема 3.3. Все четыре определения дискретного процесса Бесселя, приведенные в этом параграфе, эквивалентны между собой, то есть все четыре процесса {(ftw-}WWi4 имеют одно и то же распределение вероятностей, в дальнейшем все эти процессы мы будем обозначать просто через (Rn)n=o,i,...- При этом, распределение процесса (Rn)n=o,i,... сходится к распределению непрерывного процесса Бесселя (Rt)t o в смысле принципа инвариантности Донскера-Прохорова. А именно, если через (Rt)t o обозначить кусочно-линейную интерполяцию процесса {Rn)n=o,i,..., то Rmt ) — {Rt)t 0 т / о при т —» со в смысле слабой сходимости распределений в пространстве С[0,оо).
Доказательство. Практически все утверждения теоремы были уже доказаны выше, так что нам потребуется лишь подвести итоги. Эквивалентность определений 3.1 и 3.2 мгновенно следует из теоремы 1.11.
Докажем эквивалентность определений 3.2 и 3.5. Для этого нужно иро (2) верить, что процесс (Rn )п=од,... марковский, и его переходная функция задается формулой (3.4). Зафиксируем «настоящий» момент времени п. (2)
Из леммы 3.1 мы знаем, что при известном значении FCh = х величина Ln распределена дискретно-равномерно на отрезке [0, х]. При этом, если Ln = ж, то значение на «следующем» шаге определено однозначно R li = х+1, поскольку Ln не убывает, а второе слагаемое \Вп —1/2 —1/2 неотрицательно. Вероятность такой ситуации равна 1/(х + 1). Если же Ln re, что имеет место с вероятностью х/(х + 1), то «будущее» значение имеет два варианта Rnli = х ± 1, которые равновероятны. Во-первых, из этих рассуждений следует марковость процесса (Rh ), а, во-вторых, по формуле полной вероятности мы получаем переходную функцию, такую же как и в определении 3.5, а именно р(л 1 = - Фй2) = ) = і-іїг Эквивалентность определений 3.2 и З.б также следует из леммы 3.1. Зафиксируем «последний» момент времени N. При ivN — х имеется ровно (х + 1) возможных значений для у = Ln. Все траектории пространства IN имеют вероятность 1/2 относительно меры Law {{Вп)п и), где (Вп) случайное блуждание, фигурирующее в определении 3.2. Следовательно, (2) распределение Law ((Rh, )n N) 5 которое индуцировано отображением фм, совпадает с мерой Qx, заданной формулой (3.5). Заметим, что это заодно доказывает согласованность семейства мер ( 5ЛГ)ЛГ=О,І,... Последнее утверждение теоремы, в котором говорится о сходимости к непрерывному процессу Бесселя, доказано в работе [10]. Также оно следу ет из определения 3.1, принципа инвариантности Донскера-Прохорова для броуновского движения (предложение 1.1), и теоремы Питмана (предло жение 1.5). При этом следует воспользоваться тем, что взятие максимума является непрерывной операцией в пространстве С[0, оо).
