Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Единственность предельных гиббсовских полей . 17
1. Гиббсовские поля со случайным взаимодействием . 17
2. Единственность предельного гиббсовского распределения со случайным взаимодействием 23
3. Построение кластерного разложения 25
4. Экспоненциально регулярное кластерное разложение 32
5. Доказательство единственности и аналитичности предельного гиббсовского распределения 34
6. Единственность предельного гиббсовского поля с неограниченным спином 35
7. Рост граничных условий 38
Глава 2. Динамики классического газа 45
1. Идеальный классический газ 45
2. Полиномы Шарлье 48
3. Спектральное разложение свободной динамики . 49
4. Локальное возмущение классического газа 52
5. Кластерные свойства возмущенной динамики 64
6. Морфизмы Меллера на фазовом пространстве 70
7. Метрический изоморфизм идеальной и локально возмущенной систем 74
Литература 77
- Единственность предельного гиббсовского распределения со случайным взаимодействием
- Доказательство единственности и аналитичности предельного гиббсовского распределения
- Спектральное разложение свободной динамики
- Метрический изоморфизм идеальной и локально возмущенной систем
Единственность предельного гиббсовского распределения со случайным взаимодействием
Пусть в момент времени ; внутри А находятся п частиц в точках xit...,xn , обозначим через потенциальную энергию, создаваемую системой частиц, находящихся в А , в точке Эс0 . а) если (Vі) 2/v » то будем считать, что в момент времени і і частица имеет перпендикулярную состовляющую скорости V (ti) такую, что При этом составляющие скорости V , лежащие в кас-сательной плоскости к А_ в точке Х0, не изменяются; б) если z Vі —О , то есть частица движется по кассательной к А , то она продолжает двигаться равномерно и прямолинейно; в) если 0 г" ( Vх) Z/v , то частица упруго от- разится от _/V , и Vх(ti) -If1, а составляющие скорости, лежащие в кассательной плоскости, не из менятся, на интервале времени (іігі;+і) движение частиц внутри А осуществляется в соответствии с гамильтоновой динамикой, отвечающей парному потенциалу $ , если за это время ни одна частица не вылетит из объема А При этом в качестве начальных условий в момент времени ft- мы выберем координаты и скорости частиц, находящихся внутри А , и частиц, находящихся на "VI , скорости которых направлены внутрь А , если частица попадает на ")А изнутри, мы также предполагаем (см. ниже), что одновременно на границу не могут попасть две или более частиц, то перпендикулярная составляющая скорости частици испытывает положительный скачок аналогичный пункту а). Таким образом, полная энергия системы частиц, состоящей из частиц находящихся внутри А и частицы входящей или выходящей из А . не изменяется. Мы определили возмущенную динамику La? для любой локально конечной по координатагл конфигурации со до момента времени 0 (со) - момента первого выхода двух или более частиц на Л .
Ниже, в утверждении 3, будет доказано, что с ВерОЯТНОСТЬЮ I 0(to)= + оо , Локально возмущенная динамика Тд действует на подмножестве -Q.1 с S2.. Определение 8. _0.1 состоит из всех со є _Q. таких, что 1. проекция конфигурации і о на IR для любого і локально конечна, и за интервал времени [0, J в любой ограниченный объем Л. с IR влетает только конечное число частиц, 2. существует бесконечная последовательность моментов времени х (и ) (ю) ... , стремящаяся к бесконечности, и такая, что для любого I и для любого f , не совпадающего ни с одним из t , Заметим, что множество Sl1 инвариантно относительно ТІ. Утверждение [l2J. Множество Si , состоящее из всех оО , удовлетворяющих условию І в определении множества Нх, имеет полную м-меру, то есть jw(_fl )=I. Утветждение 2. Множество 2.J, имеет полную ум-меру, то есть J14 (-0()=1. Доказательство. Пусть со ё _Q.l , но we _П/ , тогда существует момент времени й ( - ) +оо - первого попадания двух частиц на -Л, при этом возможны-три случая: 1. две частицы извне одновременно попадают на А , но так как вне А действие динамики Тд_ совпадает .с действием свободной динамики, то множество таких со имеет меру нуль, 2. две частицы изнутри А одновременно выходят под действием ТА на А, 3. одна частица изнутри, а вторая снаружи попадает на под действием 7 в момент времени t0 . Во втором случае рассмотрим множество конфигураций п частиц в А и таких, что под действием 1А две частицы одновременно выходят на границу А . Так как действие этой динамики на такие конфигурации, если за время 0 ни одна частица не входит и не выходит из А » совпадает с действи- ем гамильтоновой динамики, соответствующей бесконечно дифференцируемому парному потенциалу SP , то это множество имеет лебеговскую меру нуль, а, следовательно, все множество имеет угу-меру нуль. Третий случай. Пусть {Ак\ - возрастающая последовательность объемов из Ял . Для любого А к и целого п { , рассмотрим множество конфигураций в Ак» состоящих из п частиц, двигающихся в Лк до момента i0 , а в момент i0 две частици: одна извне, а вторая изнутри объема Д , попадают на Д. Такие конфигурации имеют лебеговскую меру нуль. Но для любой конфигурации , удовлетворяющей случаю 3, существует объем А.к и число П такие, что все кроме п частиц конфигурации aj в течении интервала времени [0, z!0] двигаются равномерно и прямолинейно, а остальные п частиц в течении этого промежутка времени находятся внутри J\K, Поэтому множество таких со имеет ru-меру нуль, и, следовательно, счетное объединение также имеет jtf-меру нуль. Утверждение доказано.
Доказательство единственности и аналитичности предельного гиббсовского распределения
Потенциалам р соответствуют гиббсовские меры м , задаваемые аналогично мере и по формуле (2.9), и динами та Л ки 1уА , определенные на множестве SL , описанном выше, которые существуют в силу локальности и бесконечной диффе- ренцируемости потенциалов Утверждение 4. Для любого гиббсовская мера /w инвариантна относительно динамики 1$-А. Доказательство. Пусть {У\дЛ - последовательность кубов в (R,. с центрами в начале координат и таких, что AjcAic7\sc... где Л s - SUPP Jyi и (J Ate - R . Рассмотрим прос- транства Обозначим через о /и меру на , задаваемую формулой &, d t ...olxh dvi,.,dvn на h для каждого п . Зададим вероятностную меру fAK на df,, соответствующую потенциалу где HK - статистическая сумма. Из локальности J и то-го, что Л.$ C-Ai » следует, что семейство мер {JAK} согласовано и задает гиббсовскую меру JU на (-Q. ,2 ). Пусть где / - 9-мерный тор, соответствующий кубу Лк . На прос-транствах Кк определены динамики iKh , задаваемые решениями гамильтоновых уравнений с бесконечно дифференцируемым потенциалом 5д . По теореме Ливилля меры jiA , являющиеся сужением меры (Ык на , инвариантны относительно Тк h . Поэтому и мера JU инвариантна на л относительно динамики 1 .
Переходя к пределу при А к. R » получаем доказательство утверждения. Лемма 9. Для любого i0 и crfejTL j A - l о; при $ - О и А - + оо в стандартной топологии. Доказательство. Так как сое _/2 » то существует конечное число частиц таких, что они находятся в А или попадают туда под действием динамики ""П на интервале времени [,0, ±о] . Поэтому существует 0 такое, что под действием любой из динамик Tj А , при 5" Г0 , остальные частицы двигаются равномерно и прямолинейно. Мы докажем, что для любого іє[.ОЛ ] \xi (4)- Сi)\ 0 и l/f A(i) - Vi(i)\- 0 ищ Б - О и А - + о= , где ЗГ/ и 2/- обозначают координату и скорость Z-ой части- цы под действием динамики Т А а V и Тл Так как (VGLd , то существует конечная последователь ность моментов времени 0 t± ... і к. - і о такая, что в эти моменты и только в них на оА находится ровно одна частица конфигурации и) под действием динамики ТЛ . Для любого є L Ai) существует ?о .такое, что частицы, на ходящиеся вне А , находятся и вне Ау, поэтому, для них 3zf A() = ) и АГ = ( ).
Пусть частицы, находящиеся внутри Л , на интервале времени [0, ] под действием динамики ТА не приближаются друг к другу ближе d , тогда, выбирая А0 Ф (а) , получаем и для остальных частиц x. \i)z=Xj(-) и Vj (-b)-V-(i) , если и А Ас . Пусть = z , и предположим, что это момент входа частицы номер I в Л . Так как строго больше i± , то существует окрестность Ъ11 границы Ли t 0 такие, что в течении интервала времени (it- , + ) под действием і динамики і. в окрестности Zfd находится только частица номер I. Пусть (Хх есть минимум из OL , описанного выше, и расстояния от 2у1 до частиц, находящихся внутри А на интервале времени [0, iL l . Выберем А = $ ( i) . Существует также 5 такое, что А с 1ALVJ\. . Предположим, что кинетическая энергия частицы больше потенциальной в точке входа, то есть мы рассматриваем случай а). Обозначим через i s момент входа частицы номер І в _Aj , а через t-время прохождения ею слоя А последнее следует из зависимости семейства jf - от 5 . Поэтому, при А Ai, действия динамики Т А не зависит от значения А , а при F- О (i is) — %І( Л) Ж 2rfA (t g. + s \ - ITi Ci±) Для і =2,...,n . Для первой частицы ay ( fj. + is ) - P x±(iA . Заметим, что так как в Ух нет других частиц на интервале времени (х f , ), то из вида ,л следует, что составляющая силы, действующая на частицу номер I и лежащая в кассательной плоскости к Q.A в точке 2 ( ) , равномерно ограничена на интервале времени ( -f, — s L+ ) для любого потенциала Фд , равномерно по F и не зависит от А при А Ad . Поэтому, при о - О , кас-сательная составляющая скорости не изменится. Вто же время, из закона сохранения энергии следует, что (г/ ( s4is))- - (VLiti)) и поэтому 2// ( г+ г)-ъ 2/"i( x) при Г- 0 и А А.. Тем самым доказано, что в момент времени і± скорости и координаты всех частиц под действием ТГ можно при-близить к соответствующим скоростям и координатам частиц под действием Тд .
Спектральное разложение свободной динамики
Парный потенциал взаимодействия имеет вид где р называется обратной температурой, h О - параметром внешнего поля. Пусть на задано вероятностное распределение \f0 . Тогда где "Ж - множество ребер решетки Ж , является вероятностным распределением на jTL , при котором tDi± будут независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Пусть JIA о есть вероятностная мера на SI , относительно которой &± - независимые случайные величины, принимаю-щие значения ±1 с вероятностью . Данная модель является гиббсовским полем со случайным взаимодействием. Активное изучение гиббсовских полей со случайным взаимодействием началось с работ С.Эдвардса и Р.Андерсона(29]) и Д.Шеррингтона и С.Киркпатрика( [40]). Ими, в частности, был введен параметр порядка системы со случайным взаимодействием и определены термодинамические фазы. Возникшей при этом проблеме существования фазового перехода для почти всех параметров взаимодействия посвящены работы Я.Г.Синая и К.М.Ханина(["19], [33]), гДе рассматривались одномерные модели с дальнодействующим потенциалом, Ж.Аврона, Ж.Рапшторфа и А.Шульмана([22 , [39]), в которой изучались системы с конкурирующими ферромагнитным и антиферромагнитным взаимодействиями, и ряд других работ ([зі], [4l]). Существованию предельной свободной энергии, которая не является случайной величиной, и другим задачам, возникающим при исследовании гиббсовских систем со случайным взаимодействием, посвящены работы А.Энтера, Р.Гриффитса, А.Шуто, П.Буиллермонта и других ( [28] , [Зі], [41 - 43]). В диссертации исследуется гиббсовская система с неограниченным параметром случайного взаимодействия на решетке любой размерности. При этом изучаются свойства гиббсовского поля,соответствующего данному параметру взаимодействия, но присущие с вероятностью I всем гиббсовским поля со случайным взаимодействием (0.1). В параграфах 3-5 первой главы диссертации доказывается
Теотзема I. Для любого вещественного / 0 ? и произвольного вероятностного распределения Ро на (R+, не сосредоточенного в нуле, существует j$0 0 , зависящее только от Р0 и h0 , такое, что при \В \ В0 для почти всех по Р параметров случайного взаимодействия со 1. существует предельное гиббсовское распределение U , соответствующее потенциалу (0.1) и параметру случай ного взаимодействия UJ , $ 2. для любого конечного подмножества А с существу- ет экспоненциально регулярное кластерное разложение (см. определение fl3]) корреляционной функции где суммирование ведется по всем конечным подмножествам R с Z таким, что любая их 1-связная компонента пересекается с А , 3. предельное гиббсовское распределение единственно и все корреляционные функции аналитически зависят от f и h в области {(f ,h): (// / , RP /, h0]. При доказательстве теоремы I используется метод кластерных разложений корреляционных функций. Формальные ряды кластерных разложений использовались в физике сравнительно давно. Первое же доказательство сходимости получили Н.Н.Боголюбов и Б.Н.Хацет в 1947 году ((). С тех пор кластерные разложения получили широкое развитие. Многие новые идеи и результаты принадлежат Дж.Глимму, А. Джаффе, Р.Л.Добрушину, В.А.Малышеву, Р.А.Минлосу, Я.Г.Синаю и другим ([б], [в], [ІЗ - Іб], [їв], [зб]). Метод кластерных разложений использовался как для изучения предельных гиббсовских распределений, так и для исследования спектров гамильтонианов и трансфер-матриц ([і], [її] , [13 - 1б] , [20], [21], [35], [зб]). Для исследования гиббсовских полей со случайным взаимодействием этот метод ранее не применялся. Как видно из теоремы I, он позволяет изучать свойства гиббсовских распределений, соответствующих индивидуальным паршлетрам случайного взаимодействия, и свойств, соответствующих почти всем параметрам. В частности, из экспоненциальной регулярности кластерного разложения (0.2) следует утверждение
Метрический изоморфизм идеальной и локально возмущенной систем
Они рассматривали единственность в классе . —, случайных полей с равномерно ограниченными матема- о тическими ожиданиями значений спинов системы в отдельных точках рашетки. В диссертации доказывается единственность гиббсовского поля с фиксированным потенвдалом (0.3) в классах случайных полей OlL и Olz , описанных ниже. Оба эти класса не являются подмножествами 11_ц,о , поэтому критерий Добрушина-Печерского не применим.
При этом в теореме 2 допускается более быстрый рост граничных условий, чем в работе [2б]. Рассмотрим два класса случайных полей на решетке - , зависящих от константы состоит из таких слу- чайных полей, что вероятность (У?р (А) состоит из таких случайных полей, что где - целое число, а ІЛ/уЧ объем куба из /L с ребрами, равными лг. Рассмотрим два типа потенциалов (0.3): где Р есть полином конечной степени, большей или и равной 4, и ограничений снизу, Л - маленькая ненулевая константа, (и) т0 О - достаточно мало. Теорема 2. Любое предельное гиббсовское поле с фиксированным потенциалом (0.3) типа (I) или (И) единственно среди случайных полей класса Фл(А) для некоторого А 1, и любое предельное гиббсовское поле с фиксированным потенциалом (О.З) с d = Тк типа (и) единственно в классе (%Z(A) .
При доказательстве теоремы 2 используются кластерные разложения корреляционных функций гиббсовских мер, соответствующих потенциалу (О.З) типа (I) ИЛЕ (І І) и ограниченным граничным условиям (см./б], fl4) , и утверждение I (см. ниже). Обозначим через i-Рлг вероятность того, что существу-ет объем А такой, что А# с Л с Л лг » и все значения спинов на границе А меньше фиксированного числа В О . Утверждение I. Если VK d, , то существует число A i такое, что если все граничные условия xt , t є Лдг , удовлетворяют неравенству где Сх и Гг (9 - константы, не зависящие от /V. Если (А - Ук , то существует А 1 такое, что если то неравенство (0.4) также выполнено. Во второй главе диссертации рассматривается гиббсовс-кая модель классического газа. Определение б. Идеальный классический газ есть четверка (_Q_ 9гЕ2,іЦ ,Т ) , элементы которой описаны ниже. О. является множеством всех локально конечных подмножеств ft , мы будем называть его фазовым пространством классического газа. Пусть со є_Q_ , тогда оо является конечным или счетным подмножеством IR — Rx х ft;» и все его точки можно занумеровать, то есть где Xi мы будем называть координатой, a V - скоростью і-ой частицы классического газа. Для любого ограниченного подмножества В с R введем целочисленную функцию з (со) на Пусть 21 наименьшая б -алгебра измеримых подмножеств SI , относительно которой измеримы все функции Э а . Пусть Зададим на CJQ, 52) пуассоновскую меру ju следующим образом где j - борелевская мера на ft имеющая плотность относительно лебеговской мерыz
