Содержание к диссертации
Введение
1. Гауссовская аппроксимация процессов частных сумм сколь зящих средних 5
1. Введение и формулировка основных результатов 5
1.1. Принцип инвариантности в форме Штрассена 5
1.2. Принцип инвариантности в форме Донскера. Теорема сходимости 10
1.3. Принцип инвариантности в форме Донскера. Оценки скорости сходимости 12
2. Доказательство основных результатов 14
2.1. Доказательство предложения 1 14
2.2. Доказательство теоремы 1 15
2.3. Доказательство предложения 2 и следствия 1 24
2.4. Доказательство теоремы 2 29
2.5. Доказательство предложения 3 38
2.6. Доказательство теоремы 3 41
2. Принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних 50
1. Введение и формулировка основных результатов 50
1.1. Принцип больших уклонений 50
1.2. ПБУ для гауссовских процессов в С[0,1] 52
1.3. ПБУ для процессов частных сумм скользящих средних 55
2. Доказательство основных результатов 57
2.1. Схема доказательства ПБУ в С[0, 1] 57
2.2. Доказательство предложения 5 59
2.3. Доказательство теоремы 4 в пространстве С[0, 1] для верхней зоны уклонений 61
2.4. Доказательство теоремы 4 в пространстве С[0, 1] в нижней зоне уклонений 67
2.5. Доказательство теоремы 4 в пространстве Lp[0, 1], р > 1 69
2.6. Доказательство предложения 7 69
- Принцип инвариантности в форме Донскера. Теорема сходимости
- Доказательство предложения 2 и следствия 1
- Доказательство теоремы 3
- Доказательство предложения 5
Введение к работе
Работа посвящена исследованию точности гауссовской аппроксимации, а также изучению логарифмической асимптотики вероятностей больших уклонений нормированного процесса частных сумм стационарно связанных наблюдений, имеющих структуру так называемых скользящих средних последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин, в случае притяжения этого процесса к фрактальному броуновскому движению с произвольным параметром Хёрста. Отметим, что форма зависимости упомянутых скользящих средних, вообще говоря, не укладывается в общепринятые схемы. В частности, классическое сильное (или равномерно сильное) перемешивание здесь уже может не иметь места. Стало быть, в данном случае далеко не всегда могут быть использованы классические результаты по асимптотическому анализу сумм стационарно связанных случайных величин.
Интерес к подобным предельным теоремам наблюдается уже давно (см., например, [8], [9]) и объясняется ярко выраженной прикладной направленностью рассматриваемой в диссертации модели. Например, подобные случайные процессы частных сумм возникают в финансовой математике и теории страхования.
В классической монографии И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника [9] впервые приводится одномерная центральной предельной теоремы для нормированного процесса частных сумм скользящих средних. В работе Ю. А. Давыдова [8] доказывается функциональный вариант центральной предельной теоремы - так называемый принцип инвариантности в форме Донскера (теорема сходимости). В п. 1.2 первой главы диссертации теорема 2 усиливает последний результат, снижая моментные ограничения на исходную последовательность случайных величин, по которым строятся скользящие средние. Кроме того, мы усиливаем соответствующий результат П. Биллингсли [2] в случае притяжения упомянутого процесса частных сумм к винеровскому процессу, значительно ослабляя условия на коэффициенты, с помощью которых строятся скользящие средние, при тех же оптимальных моментных ограничениях на упомянутую исходную последовательность случайных величин. Мы также частично усиливаем один результат П. Холла и К. Хейди [26], приводя достаточно широкий класс упомянутых выше коэффициентов, который не удовлетворяет условиям в [26], но для которого справедлив отмеченный выше принцип инвариантности Донскера (см. вторую часть теоремы 2 и замечание 7).
Заметим, что метод доказательства в [2] сводит исходные процессы частных сумм к аналогичным процессам, но построенным по "срезанным" скользящим средним с конечным набором порождающих коэффициентов. Для видоизмененного процесса применялись известные предельные теоремы для процессов частных сумм стационарно связанных m-зависимых случайных величин, что дало в итоге существенное огрубление достаточных условий сходимости. Авторы в [26] использовали приближение процессов частных сумм скользящих средних с помощью мартингалов и применили соответствующие предельные теоремы. Этот более тонкий подход несколько ослабил ограничения в [2] на коэффициенты, порождающие скользящие средние. В настоящей диссертации при доказательстве соответствующей теоремы сходимо-
сти (см. далее вторую часть теоремы 2) используется принципиально иной подход, а именно, представление исходного процесса частных сумм как линейного преобразования процесса с независимыми приращениями (классического случайного блуждания с независимыми одинаково распределенными скачками) с последующим использованием соответствующего метода одного вероятностного пространства.
Далее, в первой главе в п. 1.1 и п. 1.3 мы с помощью метода одного вероятностного пространства получаем также оценки скорости сходимости в принципах инвариантности в форме Штрассена (см. теорему 1) и Донскера (см. теорему 3 и замечание к ней), где существенно используются результаты Я. Комлоша, П. Майора и Г. Туш-нади. Ранее этот подход применялся в работах К. Вонга, И. Лина и К. Галэти [32], а также Т. Константопулоса и А. И. Саханенко [28].
Мы строим процесс частных сумм скользящих средних и фрактальное броуновское движение на одном вероятностном пространстве так, что их разность оказывается малой по сравнению с самими процессами. В принципе инвариантности Штрассена мы несколько расширяем класс предельных гауссовских процессов по сравнению с [28] и [32]. В п. 1.3 первой главы мы доказываются также неравенства (см. теорему 3), которые существенно используются при получении принципа больших уклонений в так называемой зоне нормальных уклонений (см. доказательство теоремы 4 для нижней зоны уклонений).
Основным результатом второй главы является принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних. Наибольший прогресс в этой области достигнут для процессов с независимыми приращениями (см. [4], [13], [31]), гауссовских процессов (см. [3], [12], [23]) и марковских процессов (см. [6], [31]). Однако процесс частных сумм скользящих средних в общем случае не принадлежит ни одному из указанных классов. В связи с этим отметим, что в диссертации впервые доказан принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних. Инструментом для получения этого результата стал соответствующий результат А. А. Пухальского для пространства С[0, 1] (см. [16], [30]). Кроме того, мы использовали вышеупомянутый результат из первой главы, касающийся гауссовской аппроксимации, а также экспоненциальные неравенства для сумм скользящих средних - аналоги классического неравенства С. Н. Бернштейна. Во второй главе (см. предложение 5 в п. 1.2) мы также устанавливаем связь между функцией уклонений для фрактального броуновского движения и нормой в так называемом пространстве Камерона-Мартина для распределения процесса фрактального броуновского движения в С[0,1].
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Нумерация теорем, лемм, предложений и формул сквозная. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам - русскому и латинскому. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [21], [22].
Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю профессору Игорю Семеновичу Борисову за предложенную интересную тему исследования, помощь и внимание к работе, ценные замечания и советы. Автор благодарит также профессора Анатолия Альфредовича Могульского за совместное творчество при получении результатов второй главы диссертации.
Принцип инвариантности в форме Донскера. Теорема сходимости
В следующих утверждениях мы получим оценки в принципе инвариантности в форме Донскера, а также докажем соответствующую теорему сходимости (по поводу других предельных теорем для скользящих средних см. [27]). Кроме того заметим, что во всех следующих утверждениях сг = 1 (см. (4)) и в качестве предельного процесса будет рассматриваться исключительно фрактальное броуновское движение. Обозначим Теорема 2. Пусть функция медленно меняется при п — со. Пусть, кроме того, выполнено одно из двух условий: (іі) Н 1/2, E\,Q\XIH со, liminfn.+oo Л(п) 0 и выполняются следующие два условия: Тогда при п — со имеет место С-сходимостъ в D[0,1] распределений случайных процессов Sn(-) к распределению гауссовского процесса В . Напомним, что под С-сходимостью в D[0,1] понимается слабая сходимость распределений измеримых (в топологии А. В. Скорохода) функционалов на D[0,1], непрерывных в равномерной топологии в точках пространства С[0,1] (см. [5]). Замечание 4. В случае Н = 1/2 условие а = о(г -1) при г — со в п. (И) теоремы 1 с необходимостью выполняется, если коэффициенты {aj} абсолютно суммируемы и представляют собой правильно меняющуюся функцию целочисленного аргумента і на бесконечностях обоих знаков. Замечание 5. В случае Н 1/2, в рамках условия D5„ сгцП2Я, вышеприведенное утверждение было доказано в [28]. Необходимость условия DSn = h(n)n2H в теореме 2 была установлена в [8], где, к тому же, в случае Я 1/2 была установлена указанная С-сходимость при несколько более жестких по сравнению с теоремой 2 моментных ограничениях. Замечание 6. Пусть ][ ezlaA; со. Тогда нетрудно убедиться в справедливости соотношения При этом в силу леммы Кронекера (см. [15], стр. 328) последняя двойная сумма в правой части этого равенства в пределе при п— со обращается в ноль. Так что при условии абсолютной суммируемости последовательности {ак} имеем Отсюда, в частности, следует, что условие (9) и указанное условие абсолютной суммируемости влекут за собой неравенство Я 1/2. При этом если а\ О, то условие (9) выполнено при Н = 1/2.
Следовательно, в условиях пункта (і) теоремы 2 для абсолютно суммируемых коэффициентов {а } имеет место указанная С-сходимость к винеровскому процессу, если только a 2 и о\ 0. Но в силу пункта (п) теоремы 2, абсолютная суммируемость и оценка а,- = 0(г-1) при г -» со, а также условие а\ 0 приводят к указанной С-сходимости при существовании лишь второго момента случайной величины о- Например, последнее применимо к простейшему частному случаю, когда щ = 0 при всех і 0 и і т, где т — фиксированное натуральное число (в этом случае {Xj} являются т—зависимыми случайными величинами), и Замечание 7. При существовании второго момента & в [2] (стр. 255 и 264) и [26] (стр. 146) приведены некоторые достаточные условия, обеспечивающие С-сходимость „() к винеровскому процессу. В частности, в [2] содержится следующее дополнительное ограничение на последовательность коэффициентов {а } : Очевидно, отсюда следует абсолютная суммируемость {а }, упомянутая в замечании 6. Далее, в [26] приведено следующее ослабление (12): В частности, здесь уже допускается условная сходимость ряда Х)а«- Отметим, что и в этом случае выполняется соотношение которое, собственно, и требуется в теореме 2. В качестве примера можно взять коэффициенты Однако, если хвост ряда 2\ц ксч убывает достаточно медленно, то вышеприведенные два условия из [2] и [26] могут не выполняться. Скажем, последовательность а, = сто (г-1/2 — (г + 1)-1 2) при г 0, а0 = оо и а,- = 0 при г 0 им не удовлетворяет, в то время как условие (ii) теоремы 1 может иметь место., т. е. для данного набора {OJ} имеет место указанная выше С-сходимость к винеровскому процессу (при тех же моментных ограничениях, что и в [2] и [26]). 1.3. Принцип инвариантности в форме Донскера. Оценки скорости сходимости. Оценки скорости сходимости в принципе инвариантности Донскера получены в предположении, что A(n,i) удовлетворяют более сильному, чем (9), условию (Iff)- Существует конечный ненулевой предел Введем в рассмотрение известное условие Крамера для исходной последовательности случайных величин: существует такая положительная постоянная h, что Обозначим через Zn(t) непрерывную случайную ломаную построенную по точкам (п о я") = 0,1,...П, где Н Є (0,1). Введем в рассмотрение еще одно условие, связывающие между собой последовательность {а,} и вышеприведенный параметр Я Є (0, 1) - показатель степени нормирующей последовательности в (13): (Ия). Пусть для некоторых постоянных сф0и0 5 Н при п — оо выполняются соотношения В пункте 2.5 следующего параграфа будет доказано Предложение 3.
Пусть выполнено условие (П#). Тогда выполняется условие (1я); причем константа о % из условия (1#) имеет вид ?Ьц, где 1щ = гя + fo(0- + s)H 1/2 — sH 2)2 ds, а константа с определена в условии (Пя)- Теорема 3. Пусть выполнено условие (Пя), причем коэффициенты ОІ монотонны в каждой из двух зон i Nui —N. Тогда (і) при выполнении условия Крамера (см. (14)) существует вероятностное пространство, на котором при всех достаточно больших п и любых х 0, у О (іі) если Efoa со для некоторого а 2, то существует вероятностное пространство, на котором при всех достаточно больших п, любых х О и у О где X, К, L — некоторые положительные постоянные, Н = тт{Н, 1/2}. х = п «+Ї-, и в обоих пунктах у = л/ Р мы получим оценки сильной аппроксимации ломаной Zn гауссовским процессом Вн, т. е. оценки скорости сходимости в принципе инвариантности Донскера для Zn в пространстве С[0,1]. 2. Доказательство основных результатов. 2.1. Доказательство предложения 1. Мы ограничимся случаем возрастающей функции д. Случай убывающей д рассматривается аналогично. Имеем Рассмотрим первое слагаемое правой части (17). В силу теоремы о мажорируемой сходимости Разобьем второй интеграл в правой части (17) на два: /0 = /0 + f . Оценим первый интеграл: при этом последовательность {g2(2n)/g2(n)} ограничена. Следовательно, для функции под знаком исходного интеграла построена интегрируемая мажоранта. Поэтому в силу теоремы Лебега Теперь оценим второй интеграл в указанном выше разбиении: Рассмотрим первое слагаемое правой части (19). Очевидно, Таким образом, последовательность функций {s2H 3g2(ns)/g2(n)}n i равномерно интегрируема. Тем самым, мы построили равномерно интегрируемую мажоранту для последовательности функций {((1 + s)H xl2g{n{\ + s))/g(n) — sH ll2g(ns)/д{п))2}п \. Следовательно, Лемма доказана. 2.2. Доказательство теоремы 1. В целом мы будем следовать схеме доказательства соответствующего результата в [28]. Положим п = [t]. С помощью (7) нетрудно показать, что Положим где, как и до этого, W(s), W (s) — две независимые версии стандартного винеров-ского процесса. Кроме того, обозначим Эти величины есть не что иное, как гауссовские аналоги сумм Sn, Sn и Sn соответственно. Известно (см.[б]), что если Е\0\а со для некоторого а 2, то последовательности { , 7 J А: 1} и {-к, 7-JtJ & 0} можно так задать на одном вероятностном пространстве, что при п - со
Доказательство предложения 2 и следствия 1
Лемма 7. Имеет место соотношение а + а_ = 0{g{k)kH zl2), к - со. Доказательство. Действительно, а_ =0(5( )Ая-3/2), А- со. Отсюда следует утверждение леммы. Лемма 8. Справедливо соотношение ]C =-n l l = 0(g(n)nH 1 2), п -+ со. . Доказательство. Рассмотрим случай, когда # возрастает. Очевидно, существует такая константа С, что а С 7(&+1)(&+1)я 3/2, & 0, при этом последовательность д(к)кн 3/2 монотонно убывает, начиная с некоторого достаточно большого М. Итак, Рассмотрим последнее слагаемое правой части равенства (39): Можно считать, что М выбрано так, что получаем Откуда мы получаем Проводя аналогичные вычисления, получаем Случай убывающей д рассматривается совершенно аналогично. Лемма доказана. Теперь оценим Да,л- Прежде всего, заметим, что Оценим первое слагаемое правой части (40). Имеем Рассмотрим второе слагаемое правой части (40). Имеем (в силу того что коэффици- енты щ монотонны при г N) где Сі — некоторая константа (см. лемму 7). Рассмотрим последнее слагаемое правой части (41). Имеем (см. доказательство леммы 8) Третье слагаемое правой части (40) оценивается аналогично первому слагаемому того же выражения, в итоге получаем Соответственно четвертое слагаемое правой части (40) оценивается аналогично второму слагаемому Объединяя оценки первого — четвертого слагаемого правой части (40), получаем, что Докажем пункт (И) предложения 2. Имеем \ак\ + \а-к\ = 0{g{k)kH zl2), к - со (доказательство такое же, как и в случаю Н 1/2). Тогда Х ь=-оо lfcl - Оценим теперь Да,п- Так же, как и в случае Н 1/2, отдельно рассмотрим суммы а также Для первой суммы в (42) оценка элементарна: Рассмотрим вторую сумму в (42). Имеем (опять же в силу монотонности коэффициентов Zi при г N) Первая и вторая сумма в (43) оцениваются аналогично первой и второй сумме в (42). Следовательно, Докажем пункт (ш) предложения 2. Ограничимся случаем, когда д — возрастающая функция. Случай убывающей д рассматривается аналогично п. (ii). Рассмотрим первую сумму в (42): Теперь оценим вторую сумму в (42), в силу монотонности коэффициентов a при і N получаем где С — некоторая константа (см. лемму 7). Аналогично оценивается первая и вторая сумма в (43). Итак, в условиях п. (Ш) Да,п = 0(д(п)п1 а), п —) со, если д возрастающая; Д0)Т1 = 0(п11а), п — со, если д убывающая. Покажем, что для всех трех случаев Дп = 0(р2(п)п2Я-2,у), п - со. Введем обозначения: Сначала рассмотрим второе слагаемое правой части (44): где С — некоторая константа (см. (8)). Теперь рассмотрим первое слагаемое правой части (44): Аналогично предыдущему где С\ — некоторая константа (см. (8)).
Следовательно, Третье и четвертое слагаемое правой части (44) рассматриваются аналогично первому слагаемому правой части (44). Тем самым, Таким образом, что и доказывает наше утверждение. Следствие 1 непосредственно вытекает из предложения 2 и теоремы 1. 2.4. Доказательство теоремы 2. Докажем первую часть теоремы 2. Введем обозначения: Нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения: Лемма 9. ([9], стр. 456) Для любого к Є Z имеет место неравенство Лемма 10. Для всех 1 t т 0 при п — со ил«еет jwecmo сходимость Отсюда получаем одномерных проекций процессов Sn(t) имеем Лемма доказана. Лемма 11. Для любых 1 t т О выполняется равенство Доказательство. Имеем Лемма доказана. Лемма 12. ([15], стр. 86) Пусть {Xk}k=i...n — независимые случайные величины, ЕХк = 0 для любого к, а 2. Положим где c(oi) — полоокительная константа, зависящая только от а. Лемма 13. Имеет место неравенство где С — константа, зависящая от распределения о, а и {а,}. Доказательство. Из леммы Фату и леммы 12 следует Здесь мы воспользовались следующим элементарным неравенством: Применив лемму 11, получим наше утверждение. Лемма 14. Пусть д — произвольная медленно меняющаяся функция, є - произвольное положительное число. Тогда последовательность (maxi k ng(k)ke\ \ g{n)ns J ограничена для всех п 1. Доказательство. Воспользуемся известным представлением медленно меняющейся функции (см. [19]): где с(х) -4с 0и р{х) - 0 при х - со. Для доказательства нашего утверждения, достаточно установить, что функция возрастает для всех достаточно больших х. Прежде всего отметим, что интеграл f f- dt как функция верхнего предела дифференцируем всюду на положительной полупрямой за исключением не более чем счетного числа точек (см. [10]). Так что для всех х О за исключением, быть может, не более чем счетного числа точек. Осталось заметить, что (3{х)+є 0 для всех достаточно больших х. Лемма доказана. Из предыдущих двух лемм, сразу получаем следующее утверждение. Лемма 15. Пусть аН 1. Тогда имеет место неравенство где С — положительная константа, зависящая от а, {а,-} и распределения о- Из леммы 15 следует плотность семейства распределений процессов {«Sn}n ii поскольку s ti Лемма 16. ([28]) Пусть {Ьп,-; п 1, г Є Z} — .массив действительных чисел и {Cm гс 1» Є Z} — лшссие случайных величин, удовлетворяющих условиям LI. Hindoo X),gz bli = !; L2. Ишп- оо supiZ Ь„І = 0; L3.
Для каждого п 1 последовательность {m-, і Є Z} состоит из независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих нулевые средние и единичные дисперсии; Тогда У) ,-gz n Cn nPu п — со сходится по распределению к стандартной нормальной случайной величине. Лемма 17. При п —) со конечномерные распределения случайных процессов Sn(t) сходятся к конечномерным распределениям процесса #( ). Доказательство. Достаточно показать, что 5 ,=1 CiSn{ti) сходится по распределению к ]i=i CiBff(ti) для любого конечного набора чисел {d; г = 1.../}. Итак, сначала отметим, что zn = (=1 Теперь в условиях леммы 16 положим bnk = J2i=i Ci/UAk iU), Спк = & Легко видеть, что в нашем случае условие Ы выполнено. Применяя лемму 9, получаем і sup Х А ,П&)) = 0(п-н/Ч- (п)), п - со. к »=i Следовательно, выполняется и условие L2. Выполнение условий L3 и L4 очевидно. Итак, zn сходится по распределению к нормальной случайной величине с нулевым средним и дисперсией б2. Лемма доказана. Из лемм 15 и 17 следует утверждение первой части теоремы. Докажем вторую часть теоремы 2. Введем в рассмотрение центрированную срезку и соответственно центрированный хвост срезки уровня N случайной величины &: = &%I JV} - Е(&% ;у}), = &Г{й лг} - Е(% ;у}). Очевидно, выполняется равенство & = $ + , для всех і Є Z. Соответствующие нормированные процессы частных сумм скользящих средних, построенные по последовательностям {,- },ez и { }ієг обозначим через Sn () и S„(-). Очевидно, для всех і Є [0, 1] выполняется равенство В следующей лемме с помощью классического метода цепочек А. Н. Колмогорова мы оцениваем величину sup n- A- HI Х М+ - ОЙІ-Лемма 18. Для любого положительного є выполняется равенство при П - CO. Доказательство. Обозначим Тогда с вероятностью 1 выполняется равенство где M — множество точек вида {2[log n]+1, 1 k 2flog2 +1 — 1} . Введем обозначение Точку t мы будем называть двоично-рациональной дробью ранга т. В таком случае имеет место равенство где ""х — ближайшая слева к t двоично-рациональная дробь ранга т — к — 1, при этом = . Тогда с вероятностью 1 выполняется неравенство Зафиксируем некоторое є 0. Воспользовавшись (46), получим Применяя неравенство Чебышева к правой части последнего неравенства в (47), получаем Как уже было отмечено, всякую медленно меняющуюся функцию можно представить в виде h(x) = с(х)ехр С Г Мdy\ t где 0 Нпіі-юо с(х) сю и limx- oo /3(х) = 0. Обозначим а(х) := ехр (/ &j& dyj и l(x) := exp (f 2 jl dy\ Очевидно, что а (х) = 1(х) для всех х 0 за исключением, быть может, не более чем счетного числа точек (где производная функции а не существует). Легко заметить, что 1(х) = о(а(х)/х) при х — со. В силу условия теоремы имеем \йі\ СахІ2{ї)ін гІ2 для всех г 1. В таком случае И[п /2«]+ - Л[„( _і)/2«]-и —Cal 2{i)iH-zl2.
Доказательство теоремы 3
Во второй главе диссертации исследована логарифмическая асимптотика вероятностей больших уклонений процессов частных сумм стационарно связанных наблюдений, имеющих структуру так называемых скользящих средних последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин, в случае притяжения этого процесса к фрактальному броуновскому движению с произвольным параметром Хёрста. 1.1. Принцип больших уклонений. Пусть X - сепарабельное банахово пространство с нормой х, В - а-алгебра всех борелевских подмножеств X. Функцию I = 1(х), отображающую X в расширенную вещественную полуось [0, со], называют функционалом действия в X, если 1) I непрерывна снизу в каждой точке і 6 X, т. е. 2) при всех конечных t 0 множество {х Є X : 1{х) t} компактно в X. Пусть заданы функционал действия J в X, вещественная функция г (и) —У со при и - со и семейство вероятностных мер {Qu}u o на В. Говорят, что семейство {Qu}u 0 удовлетворяет (J, г(и))-принципу больших уклонений (ПБУ) в X, если выполнены следующие два соотношения a) для любого замкнутого множества U СХ b) для любого открытого множества V С X Для любого множества А Є В положим Легко видеть, что / )() - монотонно убывающая функция множества, т. е. IQ{A) Io{B) при Л СВ. В частности, если для некоторого А є В имеет место равенство h{A) = io(-i4c) (включая случай бесконечных значений), где А0 и Ас - соответственно внутренность (т.е. объединение всех открытых подмножеств А) и замыкание А, то приведенные выше два неравенства влекут за собой равенство Отметим также, что вышеупомянутое равенство 10(А) = 1о{Ас) вовсе не эквивалентно соотношению IQ(AC \ А0) = 0, что, очевидно, справедливо для мер. Для функции io( ) указанная эквивалентность возможно только в случае, когда h{A) = IQ(AC) = 10(АС\А) = 0. Иногда нам удобно будет считать параметр и натуральным и говорить о последовательности Qn вероятностных мер, удовлетворяющих (/, г(п))-ПБУ в пространстве X. Если дана последовательность Хп случайных элементов со значениями в X, то под словами "последовательность Хп удовлетворяет (/, г(га))-ПБУ в X будем понимать принцип больших уклонений для последовательности Qn{ ) = Р(Хп Є ) соответствующих распределений. Приведем теперь формулировку известного результата - ПБУ для центрированного гауссовского элемента Г со значениями в сепарабельном банаховом пространстве X и распределением 7 (см. [3], [12], [23]).
На сопряженном пространстве X определим скалярное произведение и норму по формулам Определим на пространстве X следующую функцию со значениями на расширенной полуоси Отметим, что если X гильбертово со скалярным произведением (, ), то приведенная формула принимает следующий вид: В общем случае, как нетрудно видеть, подмножество имеет структуру линейного нормированного пространства с нормой як(7)- Оно называется пространством Камерона-Мартина для меры 7 в X. Из определения следует, что функция J(x) := як-(7)і заданная на всем пространстве X, непрерывна снизу, и, как доказано в [23] (см. также следствие 3.2.4 на стр. 97 в [3]), единичный шар является компактом в X. Поэтому функция является функционалом действия в X. Следующее предложение доказано в [23] (см. также [3], [12]). Предложение 4. Пусть Г—центрированный гауссовский элемент со значениями в сепарабельном банаховом пространстве X и распределением 7. Тогда семейство Г удовлетворяет (J, и2)-ПБУ в пространстве X, где функционал действия I определен в (81). В качестве X мы будем рассматривать либо банахово пространство С[0,1] непрерывных функций / = f(t) с равномерной нормой либо гильбертово пространство L $, 1], в котором стандартным образом определяются скалярное произведение и эвклидова норма: 1.2. ПБУ для гауссовских процессов в С[0,1]. Пусть теперь Г (і) - произвольный центрированный гауссовский процесс с непрерывными на [0,1] траекториями и ковариационной функцией R(t,s) := ЕГ(і)Г(5), которая с необходимостью непрерывна на квадрате [0,1]2. Рассмотрим ковариационный оператор Т2 : Ь [0,1] - г[0,1] введенного процесса T{t): Сразу отметим, что Т2 является самосопряженным положительным линейным оператором, все собственные числа которого неотрицательны. Скажем, для стандартного винеровского процесса (т. е. в случае R(t, s) = min(t, s)) этот оператор имеет вид а для вырожденного гауссовского процесса с ковариацией R(t, s) = ts Как известно, положительный интегральный оператор в Z fOi 1] с симметричным непрерывным на квадрате [0,1]2 ядром является вполне непрерывным. Причем совокупность его собственных функций еі(), ег(і), » отвечающих соответствующим положительным собственным значениям А2, А2, ..., образует ортонормированный базис в линейном подпространстве Im(T2) := {g = Т2/ : / Є / [0,1]}). Так как функции {ejk} удовлетворяют соотношениям то в силу теоремы Лебега орты е непрерывны на [0, 1]. Согласно теореме Гильберта-Шмидта для любого / Є L2[0,1] имеют место следующие представления (см., например, [10]): где д принадлежит линейному подпространству Кег(Т2) - ядру оператора Т2, и (/ ?) = 0- Таким образом, при этом ряды в правых частях двух приведенных выше равенств сходятся в норме В рассматриваемом случае определен "квадратный корень" Т из оператора Т2 по формуле Очевидно, что Т - тоже самосопряженный положительный линейный оператор с тем же набором собственных функций, что и у Т2, причем Ker(T) = Кег(Т2).
Введем в рассмотрение линейный оператор S, отображающий подпространство Im(T) в Х2[0,1] по формуле Отметим, что если Кег(Т) состоит только из нулевого элемента (т. е. Т обратим, как, скажем, в случае стандартного винеровского процесса), то оператор S будет обратным для Т. В общем же случае справедливо равенство STf = STf = / , где функция / определена в (82). Далее, определим функцию отображающую Ь2[0,1] в расширенную полуось [0, оо]. Будучи преобразованием Ле-жандра над функцией (Т2д, д), отображение Л(/) неотрицательно, непрерывно снизу и выпукло. Имеет место следующее представление (см. 2): Поскольку С[0,1] С L2[0,1], то функция Л(/) определена и в пространстве С[0,1]. В частности, для стандартного винеровского процесса функция Л(/) имеет вид (см. [4]) Для упомянутого выше вырожденного гауссовского процесса с ковариацией R(t, 5) = s имеем Обозначим далее одним и тем же символом 7 распределение Г в банаховом пространстве X как для X = С[0,1], так и для X = 2 [0,1]. Следующее утверждение будет доказано в 2. Предложение 5. Имеют место следующие соотношения: Im(T) = {/ L2[0,1]: Л(/) со} С С[0,1]. (84) При этом Л(/) совпадает с функцией /1я-(7ъ построенной для гауссовской меры 7 по формуле (81) б пространствах L2[0,1] « С[0,1]. Поэтому Л(/) является бг/кк-ционалом действия в пространствах Lz[0,1] и С[0,1]. Особый интерес для дальнейшего представляет случай, когда в качестве Г() выступает так называемое фрактальное броуновское движение. Напомним, что фрактальным (или дробным) броуновским движением с параметром Хёрста Н Є (0,1] (см. глава 1, п. 1.1) называется центрированный гауссовский случайный процесс BQH = BH{t) Є С[0,1] с ковариационной функцией Например, Bi/2(t) представляет собой стандартный винеровский процесс, поскольку при Н = 1/2 имеет место равенство R(t, s) = min(i, s). При H = 1 имеет место равенство R(t, s) = ts, а соответствующий вырожденный гауссовский процесс, неоднократно упоминавшийся выше, имеет вид Bi(t) = trjt где rj — случайная величина со стандартным нормальным распределением. Замечание. Для ковариационного оператора, соответствующего винеровскому процессу, известны собственные функции и сообственные значения (см. [7], стр. 248) Для ковариационного оператора, соответствующего фрактальному броуновскому движению, известна асимптотика сообственных значений этого оператора (см. [24]), а именно: при к - с», где Г — гамма функция Эйлера. В качестве следствия из предложений 1, 2 получаем
Доказательство предложения 5
Покажем, что для всех / Є 1 (0, 1] на расширенной полуоси [0, со] выполняется равенство Напомним, что — преобразование Лежандра над функцией 1(Т2д,д). Нетрудно проверить, что для любых фиксированных / Є 1 (0,1] и д . Кег(Т) имеет место равенство При этом, если допустить.существование ненулевой функции д Є Кег(Г), то при условии {д, /) ф 0 обе части приведенного неравенства, очевидно, обращаются в бесконечность, т. е. оно справедливо для любых /, д Є г[0,1]- Отсюда мы получаем, что на расширенной положительной полуоси Последнее равенство следует из упомянутого выше представления функционала /к-(7) для гильбертова пространства, а также из равенства Щд, Г)2 = ЦГрЩ- Итак, справедливость равенства (90) установлена. Теперь покажем, что Вновь воспользуемся представлением Пусть сначала h Є Im(T). Тогда определен элемент Sh, причем Ц ЛЦг оо. В силу самосопряженности оператора Т и соотношения T(Sh) = h имеем если только ЦГаЦг 1, т. е. Л/с(7) 57іІ2 С другой стороны, положим h := 12І=ІЬІЄІІ гДе Ы -— (Л, е»). Рассмотрим следующую последовательность конечномерных функций из L2[0,1]: Заметим, что Та#І2 = 1 и на конечномерных векторах типа /ілг корректно определена любая степень оператора S. Тогда нетрудно видеть, что при N - оо. Тем самым, мы доказали, что Л/с(7) = S7i2 со для всех h 6 Im(T). Пусть теперь h . Im(T). Как уже было отмечено, имеет место представление h = Y =i ie« + & гДе Р Є Кег(Т). Тогда при сделанном предположении с необходимостью либо XlSiC1 / » )2 = либо (3 ф 0, так как в противном случае, т. е. при условии 5 І(ЛІ/АІ)2 оо и р = 0, элемент из L2[0,1] с координатами {/ц/А ; і 1} переводится оператором Т в элемент h. Положим 6 r := 4N + N0, где а определен в (92). Очевидно, Tbjv2 = 1 и при N -» оо, откуда и следует, что Лк-(7) = со. Итак, равенство (91) доказано. Поскольку пространство С[0, 1] непрерывно вложено в пространство Ь2[0, 1], то в силу леммы 3.2.2 в [3] (см. стр. 96) множество К("у) не зависит от того, рассматривать ли Г на С[0, 1] или на -2(0, 1]. Поэтому мы можем считать, что К ) (стало быть, и Im(T)) является подмножеством С[0,1]. В силу предложения 4 процесс Г удовлетворяет (J, п2)-ПБУ в пространстве С[0, 1], где функционал /() определен в (1). Кроме того, как мы только что доказали, процесс Г удовлетворяет также и (Л, и2)-ПБУ в пространстве L2[0, 1]« Покажем, что 1(g) = Л( 7) для всех д Є С[0, 1].
Сначала отметим, что для любого д Є С[0,1] справедливы соотношения (см. [6], [16], [30]) где Ue(g) - открытый шар радиуса є с центром в точке д в банаховом пространстве С[0,1]. Обозначим через Ue{g) аналогичный шар в норме L2[0,1]. Так как то в силу предложения 4 и соотношения (93), справедливого также и для шара Щ2 (д), для любой функции д Є С[0,1] получаем неравенство Таким образом, нам достаточно рассмотреть случай А(д) со. Так как Г удовлетворяет (/, и2)-ПБУ в пространстве С[0, 1], то выполняется следующее условие экспоненциальной плотности (см. [6], [16], [30]): для любого положительного С найдется такое компактное подмножество К в С[0,1], что Теперь выберем компакт К так, чтобы (95) имело место при С = 2А(д). Так как в силу теоремы Арцела - Асколи компакт К состоит из равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных (т. е. имеющих равномерно ограниченные модули непрерывности) функций, то для любого є 0 найдется 5 0, зависящее не только от є, но и от компакта К, для которого и$2)(д)ПКСие(д). Поэтому в силу выбора С имеем при и — со. Применяя к правой части последнего неравенства предложение 4 и соотношение (93), получаем неравенство Соотношения (94) и (96) доказывают предложение 5. Всюду в дальнейшем класс последовательностей {г(ті)}, удовлетворяющих соотношениям r(n)/x/ioi - со, r(n) = о(птіп /2 я ) при п — со, мы будем называть верхней зоной уклонений и обозначать Лі+, а класс последовательностей {г(п)}, для которых r(n) = O(logn), т(п) -» со при л - со, - нижней зоной и обозначать М+. 2.3. Доказательство теоремы 4 в пространстве С[0, 1] для верхней зоны уклонений. Введем обозначение: Покажем, что первое слагаемое правой части (98) стремится к 0 при п — оо. Для этого достаточно проверить, что для любой последовательности к(п), удовлетворяющей условиям к(п) — оо при п —) оо и к(п) п, выполнено при п — оо. Из последнего соотношения получаем (99). Совершенно аналогично доказывается, что и второе слагаемое правой части (98) также стремится к 0 при п —у оо. Лемма доказана.
Для любого ц Є V введем обозначение Напомним также обозначение из пункта 2.1: Отметим, что в силу теоремы Фубини кратные интегралы в правых частях этих формул представляют собой дисперсии функционала (/л, Y) соответственно для Y(t) = BH(t) и Y(t) = Zn(t). Из леммы 32 и теоремы Лебега следует Лемма 33. Для любой меры fj, Є Vd имеет место сходимость Далее, обозначим через М. класс последовательностей положительных чисел {г(п)}, удовлетворяющих условиям г(п)- оо и г(га) =о(пшіп{1/2,я}) при п- оо. Для каждой последовательности г(-) Є М и любой меры ц Є V определен функционал (см. п. 2.1) Следующее утверждение устанавливает условие (Ai) из пункта 2.1 для введенных случайных ломаных. Лемма 34. Для любой мери ц GVd и любого г(-) Є Л4 имеет место сходимость And ) 4 ад Доказательство. Для t Є [k/n, (k + l)/n] имеет место представление Zn(t) = n{(k + l)/n - t)Zn{k/n) + n(t - k/n)Zn((k + l)/n). Тогда, очевидно, выполняется равенство Из условия Крамера (см. (14)) следует, что существует круг с центром в точке О, внутри которого производящая функция кумулянтов L (z) := logEexp( i) является аналитической функцией. В точках этого круга имеет место следующее разложение L (z) в сходящийся степенной ряд: где 7i кумулянт порядка / случайной величины &. Мы имеем 71 = 0, 72 = 1- В частности, найдутся положительные а и с, для которых supfl(.z) с І7і 1]-аГ1сдля всех 1 = 2,3, .... (100) Представим величину Ап(ц) в виде суммы двух слагаемых: где а = 2 ftf. Поскольку г(п) = о(птіп я 1/2 ) при п — со, то в правой части (101) второе слагаемое стремится к 0. Осталось заметить, что Аі п(ц) совпадает с Rn(v) и воспользоваться леммой 33. Лемма доказана. Далее, нам понадобится аналог неравенства С.Н. Бернштейна для хвоста распределения частичных сумм Sn- Прежде всего отметим, что из условия (88) для всех п 1 следует оценка max \А(п, ») „«п«{я-і/2,о}ш (Ш) Здесь мы использовали тот факт, что Принимая во внимание (102) и используя известные показательные оценки для распределений сумм независимых случайных величин (см. [15], стр. 81), получаем следующее утверждение. Лемма 35. Существуют такие положительные постоянные Ь иТ, зависящие от распределения случайной величины ь что имеют место неравенства В следующей лемме мы покажем, что последовательность ТТЇЇТ О» Где г( ) М+ удовлетворяет условию экспоненциальной плотности. Тем самым мы установим справедливость условия (Аг) из пункта 2.1 для введенных случайных ломаных.
