Введение к работе
Актуальность темы. Стохастические дифференциальные (интегральные) уравнения занимают видное место в теории случайных процессов. Наряду с многочисленными применениями они дают эффективный способ построения процессов сложной природы на основе более простых (процесс Орнштейна-Уленбека в физике, геометрическое броуновское движение в финансах и др.). Современное состояние этой теории во многом определили мартингальные методы, которые позволили построить наиболее полную и замкнутую теорию стохастического интегрирования, что послужило теоретической основой изучения стохастических уравнений по семимартинга-лам (см. книги Гихман, Скороход. 1982, Проттер, 1990, Мао, 1991). Непосредственно к этому актуальному направлению стохастических дифференциальных уравнений относится настоящая работа, в которой детально рассмотрены не только традиционные проблемы данной теории (существование, единственность, асимптотические свойства решений), но и даны весьма эффективные приложения ее методов в регрессионном анализе, "стохастизируя" эту классическую область математической статистики.
Цель работы. Целью диссертации является развитие таких новых методов исследования, которые позволяют получить существование и единственность решений стохастических уравнений с негладкими коэффициентами и давать детальный анализ асимптотического поведения решений. В приложениях к стохастическому регрессионному анализу цель работы состоит в систематическом развитии таких общих моделей стохастической аппроксимации и регрессии, которые унифицируют классические дискретные и непрерывные модели, изучавшиеся ранее раздельно.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.
В работе систематически исследовано направление стохастических дифференциальных уравнений, связанное с современной теориейин-тегрирования по семимартингалам. Разработанный в ней метод монотонных приближений и обобщенные на семимаргингалы опенки Крылова позволили доказать теоремы существования и единственности сильных решений рассматриваемых уравнений с нелишпипев-
скими коэффициентами. Изучены асимптотические свойства сильных решений, включая сходимость в среднем квадратическом и слабую сходимость распределений последовательностей решений.
На основе линейных стохастических уравнений по семимартин-галам построена и изучена унифицировашіая модель финансового рынка, включающая многие известные модели современной финансовой математики (модель Блэка-Шоулса, модель Кокса-Росса-Рубинштейна и др.).
С помощью методов рассматриваемых стохастических уравнений найден новый подход к некоторым классическим проблемам регрессионного анализа. В диссертациипредложеныобобщенныепро-цедуры стохастической аппроксимации, детерминированным аналогом которых является метод касательных Ньютона. Для изучения их асимптотического поведения (сходимость (п.н.), асимптотическая нормальность и т.д.) найден адекватный математический аппарат в виде стохастических экспонент (экспонент Долеан). В частности, предлагаемый метод стохастических экспонент позволяет сводить вопросы устойчивости таких процедур к сходимости положительных семимартингалов, играющих роль своеобразных стохастических функций Ляпунова.
Доказан усиленный закон больших чисел для многомерных мартингалов, являющийся естественной многомерной формой знаменитого результата Колмогорова.
Изучены линейные по параметру модели регрессии с мартингаль-ными шумами, для которых получены весьма общие результаты о строгой состоятельности и асимптотической нормальности МНК-оценок. - .
Введен класс последовательных МНК-оценок, обладающих важным свойством гарантированной точности, позволяющим строить доверительные интервалы и последовательные критерии различения статистических процедур, в том числе в задаче о разладке для семимартингалов. Показана эффективность последовательных МНК-оценок по сравнению со стандартными.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научном семинаре "Статистика и управление случайными процессами" в Математическом институте им. В. А.Стекловав 1980-
1994 гг., на Вильнюсской Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (1981, 1985, 1989), на Всемирном Конгрессе Общества Бернулли (1986 - Ташкент, 1990 -Упсала), на Европейской встрече статистиков (1991 - Барселона), на Международной конференции по случайным процессам (1988 -Рим), на Международной конференции по статистике и финансам (1992,1994 -Бер лин), на Советско(российско)-финском симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике (1987 - Хельсинки, 1989 - Ленинград, 1991 - Турку, 1993 - Москва), а также на целом ряде других семинаров и конференций.
Публикации. Главные результаты диссертации опубликованы в работах автора, приведенных в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, 4-х глав с аннотациями, разбитых на параграфы, заключения, списка литературы и списка основных обозначений. Список литературы состоит из 120 наименований, общий объем работы - 122 страницы журнального формата.
