Введение к работе
Актуальность работы. Начиная с классических работ А Н Колмогорова и А Я Хинчина вероятностные методы широко использовались в теории информации В последние годы интенсивно развивается квантовый аналог теории К Шеннона, в котором важную роль играют методы некоммутативной теории вероятностей Начало этим исследованиям было положено в 1970-х годах, когда была установлена верхняя граница С(Ф) для количества классической информации, которое можно асимптотически безошибочно передать по квантовому каналу связи Ф 1 С математической точки зрения квантовый канал есть некоммутативный аналог марковского отображения, а величина С(Ф) является одной из целого ряда энтропийных характеристик, описывающих такие отображения Вопрос о точном значении так называемой классической пропускной способности С(Ф) квантового канала Ф оставался открытым вплоть до 1990-х годов, когда возросший в связи с появлением знаменитых работ П Шора2 интерес к квантовой теории информации привел к появлению в этой области новых методов и представлений В 1996 г А С Холево и независимо Б Шумахером и М Вестморлендом была доказана теорема об асимптотической достижимости указанной выше границы,3 которая дает общее выражение для классической пропускной способности квантового канала
С(Ф)= Inn ^в") (1)
Для многих конкретных каналов Ф доказано равенство С(Ф) = С(Ф) Однако вопрос о справедливости тождества С(Ф) = С(Ф) до сих пор остается открытым
В силу теоремы Холево-Шумахера-Вестморленда величина С(Ф) имеет смысл пропускной способности квантового канала Ф при кодировании классических сообщений с помощью состояний-произведений В данной диссертации эта величина называется х-пРтУскной способностью квантового канала Ф
1 Холево А С Некоторые оценки для количества информации, передаваемого квантовым каналом связи// Проблемы передачи информации - 1973 - Т 9 N3 - С 3-11
2Shor Р W Quantum computmg//International congress of mathematicians, Berlin, 1998
3Холево А С Квантовые теоремы кодирования//УМН - 1998 - Т 53 N6 - С 193-230
Для доказательства тождества С(Ф) = С(Ф) достаточно показать, что для любых двух квантовых каналов Ф и Ф имеет место следующее свойство аддитивности х-пропускной способности
В настоящее время равенство (2) доказано для конечномерных квантовых каналов Ф и Ф определенных типов Гипотеза о справедливости этого равенства для всех квантовых каналов является одной из основных открытых аналитических проблем квантовой теории информации
Причиной возможного нарушения равенства (2) является наличие т н сцепленных состояний составной квантовой системы, которые характеризуются особым видом зависимости составных систем, не имеющей аналога в классической теории вероятностей Именно использование сцепленных состояний в качестве кодов гипотетически может увеличить количество передаваемой квантовым каналом классической информации
Наличие сцепленных состояний проявляется и при анализе другой открытой проблемы - гипотезы о справедливости для любых двух квантовых каналов Ф и Ф следующего свойства аддитивности минимальной выходной энтропии
#тт(Ф Ф) = Ятт(Ф) + #тт(Ф), (3)
где минимальная выходная энтропия flmm квантового канала определяется как точная нижняя грань выходной энтропии канала на всем множестве входных состояний этого канала
Проблемы аддитивности х-пропускной способности и минимальной выходной энтропии показывают особую роль сцепленных состояний составной квантовой системы В настоящее время изучение эффекта сцепленности представляет собой одно из основных направлений исследований в некоммутативной теории вероятностей В частности, нерешенным является вопрос о выборе меры сцепленности - количественной характеристики состояния составной квантовой системы, определяющей "уровень его сцепленности". Одним из наиболее перспективных кандидатов на роль меры сцепленности является тн сцепленностъ формирования EF (Entanglement of Formation=EoF), в конечномерном случае определенная в 4 Одно из важных требований к мере сцепленности сводится к
4Bennett С Н , DiVincenzo D Р, Smolm J A , Wootters W К Mixed State Entanglement and Quantum Error Correction//Phys Rev A -1996 -V54 N5 -P3824-3851
выполнению следующего свойства аддитивности EoF Ер(рх <гу) = EF(px) + EF{aY)
для всех состояний-произведений рх су составной квантовой системы XY, полученной объединением двух составных квантовых систем X и У Недавно было показано 5, что это свойство равносильно формально более сильному свойству супераддитивности EoF
Ef{uxy) > ЕР(шх) + EF(u>y)
для всех состояний ujxy составной квантовой системы XY указанного выше вида, где ш^иыу- частичные (маргинальные) состояния составных квантовых подсистем X и У, соответствующие состоянию UJXY, -частичные следы состояния шХу Как и случае проблем аддитивности Х-пропускной способности и аддитивности минимальной выходной энтропии препятствием доказательства (супер) аддитивности EoF является наличие сцепленных состояний составной квантовой системы XY
Важное направление исследований - поиск адекватного определения EoF для состояния бесконечномерной составной квантовой системы и исследование аналитических свойств EoF при таком определении
Существенным достижением явилось доказательство в 2003 г эквивалентности в конечномерном случае всех рассмотренных выше свойств (супер)аддитивности на глобальном уровне, те эквивалентности гипотез об их выполнении для всех конечномерных квантовых каналов и состояний, которая показывает существование единой глобальной гипотезы аддитивности (в конечномерном случае) Отдельные этапы этого доказательства получены несколькими авторами, а окончательное завершение - П Шором 6 В 7 установлена связь гипотезы аддитивности с чисто аналитической проблемой мультипликативности р-норм вполне положительных отображений (см обзор в 8)
5 Pomeransky A A Strong superadditroty of the entanglement of formation follows from its additivity// Phys Rev A - 2003 - V 68 - 032317
eShor P W Equivalence of additivity questions in quantum information theory// Comm Math Phys -2004 -V246 N3 -P 4334-4340
7 Амосов Г Г, Холево А С О гипотезе мультипликативности для квантовых кана-лов//Теория вероятностей и ее применения - 2001 - Т 47 N 1 - С 143-146
8Холево А С Мультипликативность р-норм вполне положительных отображений и проблема аддитивности в квантовой теории информации// УМН - 2006 - Т 61 N2 - С 113-152
В последнее время возрастает интерес к бесконечномерным квантовым системам и каналам, в частности, к квантовым гауссовским каналам Однако, переход к бесконечномерному случаю связан с радикальным ухудшением аналитических свойств основных энтропийных характеристик Достаточно сказать, что множество квантовых состояний перестает быть компактным, а такая важная характеристика квантового состояния, как энтропия, из непрерывной ограниченной функции превращается в полунепрерывную снизу функцию, принимающую бесконечные значения на плотном подмножестве квантовых состояний Поэтому представляет значительный интерес разработка специальных методов аппроксимации, позволяющих, вопреки указанным выше трудностям, переносить на бесконечномерный случай результаты, доказанные в рамках конечномерной модели
Цель работы. Данная диссертация тесно связана со всеми рассмотренными выше проблемами, причем основное внимание уделяется в ней бесконечномерным системам и каналам К числу основных целей диссертации относятся
исследование свойства аддитивности х-пропускной способности конечномерных и бесконечномерных квантовых каналов с произвольными ограничениями,
исследование свойств обобщенных ансамблей квантовых состояний -вероятностных мер на множестве квантовых состояний,
исследование аналитических свойств энтропийных характеристик бесконечномерных квантовых каналов и состояний,
построение методов аппроксимации, позволяющих обобщать на бесконечномерный случай результаты, доказанные в рамках конечномерной квантовомеханической модели,
исследование вопроса об адекватном определении меры сцепленности для состояния бесконечномерной составной квантовой системы,
доказательство сильной аддитивности х-пропускной способности и супераддитивности выпуклого замыкания выходной энтропии для определенных типов бесконечномерных квантовых каналов,
7) доказательство бесконечномерной версии теоремы Шора и теоремы об эквивалентности конечномерной и бесконечномерной глобальных гипотез аддитивности
Методика исследований. В диссертации используются методы некоммутативной теории вероятностей, теории операторов в гильбертовом пространстве и теории вероятностных мер на сепарабельных метрических пространствах
Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми Впервые для исследования энтропийных характеристик бесконечномерных квантовых каналов применен подход, основанный на использовании результатов теории меры в метрических пространствах Новыми также являются реализованные в диссертации методы доказательства свойств аддитивности для бесконечномерных квантовых каналов, основанные на конечномерной аппроксимации
Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертация носит теоретический характер Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего развития математической теории квантовых каналов, в теории сцепленности и в других разделах некоммутативной теории вероятностей В диссертации разработаны аппроксимативные подходы к исследованию глобальной проблемы аддитивности и энтропийных характеристик бесконечномерных квантовых каналов
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ (4 работы — в соавторстве)
Вклад автора в совместных работах. В работах [1-2] автору принадлежит доказательство теорем об эквивалентности различных свойств (суб, супер) аддитивности для двух конечномерных квантовых каналов и теоремы о свойствах расширения Шора В работе [3] автору принадлежит доказательство теоремы, в которой получено достаточное условие существования оптимальной меры для квантового канала с ограничением, а также конструкция примера, показывающего, что оптимальная мера существует не всегда В работе [4] автором построен пример бесконечномерного квантового канала, разрушающего сцепленность и определены его основные характеристики
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях
"General Theory of Information Transfer and Combinatorics" (April 26 - 30, 2004, Bielefeld, Germany),
"Квантовая информация - 2004" (4-8 октября, 2004, Москва),
"Quantum Statistics - quantum measurements, estimation and related topics" (November 15 -19, 2004, Newton Institute, Cambridge),
VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (2-8 октября 2005 г, Сочи),
Конференция в институте Макса Планка по квантовой оптике, (18-23 апреля, 2006, Мюнхен, Германия)
Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах
Семинар кафедры высшей математики Московского физико-технического института (рук д ф -м н ЕС Половинкин),
Семинар "Бесконечномерный анализ и математическая физика" механико-математического факультета Московского государственного университета (рук д ф -м н О.Г Смолянов),
Семинар "Ортогональные ряды" механико-математического факультета Московского государственного университета
(рук. д ф -м н , чл корр РАН Б С Кашин),
Семинар 'Теория приближений и теория экстремальных задач" механико-математического факультета Московского государственного университета (рук д ф -м н В.М Тихомиров),
Семинар отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института им В А Стеклова РАН
(рук. д ф -м н академик РАН Ю В Прохоров)
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, и библиографии Объем диссертации - 330 страниц Список литературы содержит 97 наименований
Во введении дается краткий обзор современного состояния и основных открытых проблем квантовой теории информации, формулируются цели диссертации и приводится краткое описание полученных результатов
В главе 1 рассматривается х-пропускная способность конечномерных квантовых каналов с ограничениями и свойство сильной аддитивности для таких каналов
Устанавливается используемая далее система обозначений, в частности, &(Т~С) обозначает множество квантовых состояний - операторов плотности в сепарабельном гильбертовом пространстве Ті, {714,/} ~ ансамбль квантовых состояний - набор состояний {рг} с распределением вероятностей {пг}, Л4*л - множество всех конечных ансамблей {7гг,рг},
Среднее СОСТОЯНИе р = ^2г ТГгРг КОТОРЫХ ЛЄЖИТ вЛС &(Н)
Квантовый канал Ф - это линейное сохраняющее след вполне положительное отображение банахового пространства (Н) всех ядерных операторов на входном гильбертовом пространстве Тї в банахового пространство 1(Н') всех ядерных операторов на выходном гильбертовом пространстве Н' Таким образом, канал Ф отображает входные состояния из Є(Н) в выходные состояния из Є(7і') Двойственным отображением Ф* к каналу Ф называется линейное отображение пространства ЯЗ(Н') = %(Н')* в пространство *В(Н) = 1(H)*, определяемое равенством
ТгАФ(р) = ТгФ*(А)р, VA є »(«')» Vp Є (H)
Важными характеристиками канала Ф являются его выходная энтропия Нф(р) = Н(Ф(р)) - вогнутая полунепрерывная снизу неотрицательная функция на множестве входных состояний (H) и ее выпуклое замыкание Нф(р) = соНф(р) Минимальная выходная энтропия канала Ф определяется выражением
#тга(Ф)= mf Яф(р) (4)
рЄв(Н)
Состояние, на котором достигается точная нижняя грань в (4) называется оптимальным состоянием для канала Ф Преобразование Фенхеля выходной энтропии канала Ф - это функция Нф на множестве 93^(7^) эрмитовых операторов, определяемая выражением
Н*ф{А)= sup {ТтАр - Нф{р)), АеЪк(П)
рЄЄ(И)
Если на множество входных ансамблей канала Ф накладывается ограничение {7гг,рг} Є Л4{Л, Л С (H), то такой канал будем называть
Л-ограниченным %-пропускная способность Л-ограниченного канала Ф определяется выражением
С(Ф,Л)= sup 5>,Я(Ф(А)||Ф(р)), (5)
{Кг,Р,}ЄМ!л г
в котором Я( || ) - относительная энтропия х-пропускную способность канала Ф без ограничений (Л = (Я)) будем обозначать С(Ф)
Х-функцией канала Ф называется функция Хф(р) = С{Ф, {р}) на множестве входных состояний 6(Я) этого канала
Если Ф - конечномерный канал (dim Я < +00 и dim Я' < +00), то при любом замкнутом множестве Л С (Я) существует оптимальный ансамбль для Л-ограниченного канала Ф, на котором достигается точная верхняя грань в (5) Для случая выпуклого множества Л получено следующее характеристическое свойство оптимальных ансамблей для Л-ограниченного канала Ф, обобщающее известное свойство "максимальной равноудаленности" оптимальных ансамблей для канала без ограничений ансамбль {кг,рг} Є Л4!Л со средним р является оптимальным для Л-ограниченного квантового канала Ф тогда и только тогда, когда
5>Я(Ф(а,)||Ф(р)) < 5>Я(Ф(А)||Ф(Р))
для любого ансамбля {Aj,
С(Ф,Л) = mf ( sup 5>,Я(Ф(<г,)|М)
и существование единственного состояния П(Ф, Л), на котором достигается точная нижняя грань в правой части данного выражения Это состояние - выходное оптимальное среднее Л-ограниченного квантового канала Ф - является образом среднего состояния любого оптимального ансамбля для этого канала и обладает рядом специальных свойств, в частности, позволяет получить следующее важное неравенство для Х-функции
Хф(р)<С(Ф,Л)-Я(Ф(р)Р(Ф,Л)), УреЛ (6)
В случае Л = (H) состояние 0(Ф, 6(H)) будем обозначать С1(Ф) и называть оптимальным выходным средним для канала Ф
Пусть Ф Є(П) -> 6(Н') и Ф 6(/С) ь* Є (/С') - квантовые каналы, а Ля В - произвольные подмножества множеств &{Н) и (/С) соответственно Аддитивность х-пропускной способности для ^-ограниченного канала Ф и В-ограниченного канала Ф означает равенство
С(ФЧ!,АВ) = С(Ф,А)+С(Ъ,В), (7)
в котором Л В - подмножество множества 6(Н<8>/С), состоящее из всех состояний и> таких, что шн = Тт/сш Є Л и ojk = Tr-^w Є В Выполнение равенства (7) для произвольных подмножеств Л vs. В называется свойством сильной аддитивности х-пропускной способности для каналов Ф и Ф
С помощью неравенства (6) и некоторых других вспомогательных результатов доказана следующая теорема об эквивалентности различных свойств (суб, супер) аддитивности для двух конечномерных квантовых каналов 9
Теорема 1.3.1. Пусть Ф &{П) н-> Є(П') и Ф Є(/С) н+ (/С') -квантовые каналы Следующие свойства равносильны
(і) сильная аддитивность х-щощскной способности имеет место для каналов Ф и Ф,
(п) аддитивность х-пропускной способности имеет место для каналов Ф и Ф с произвольными линейными ограничениями,
(ш) для любого и є (Ті /С) имеет место неравенство
ХффМ < Хф(^и) + Хф(шк), (8)
(iv) любых р Є (H) u сг Є (/С) имеет место равенство
Хфф(/> о-) = хф(р) + Хф(о-), (v) для любого ш Є Є (Ті <Е> /С) имеет место неравенство
#ффИ > ЯФ(ww) + ЯФ(шк), (9)
9 Эквивалентность гипотез о выполнении приведенных в теореме 13 1 свойств для всех квантовых каналов следует из упомянутой выше теоремы П Шора, однако, используемый в ее доказательстве метод построения специальных расширений квантовых каналов нельзя применить для доказательства эквивалентности этих свойств для двух конкретных каналов
(vi) для любых р Є Є(Н) и а Є Є(/С) имеет место равенство ЯФ(8Ф(р (vn) для любых А Є Q5ft(Ті) и В є 25 () имеет место равенство Щт(А1,с + 1пВ)=Щ(А) + Щ(В) (10) Показано, что свойство сильной аддитивности имеет место для двух конечномерных квантовых каналов, один из которых произвольный, а второй является каналом одного из нескольких классов Исследуется связь между свойствами аддитивности х-пропускной способности для конечномерных квантовых каналов без ограничений и при наличии ограничений Как оказалось, эту связь можно установить с помощью специального расширения квантового канала, которое первоначально использовалось П Шором в доказательстве теоремы об эквивалентности различных гипотез аддитивности Теорема 1.4.1 показывает, что при исследовании свойства аддитивности х-пропускной способности переход от исходного канала к его расширению Шора позволяет автоматически учесть наличие ограничений на этот канал, те. расширение Шора играет ту же роль, какую функция Лагранжа играет в задачах оптимизации Данное наблюдение позволило, в частности, показать, что из выполнимости гипотезы аддитивности х-пропускной способности для всех конечномерных квантовых каналов без ограничений следует выполнимость гипотезы сильной аддитивности х-пропускной способности для всех конечномерных квантовых каналов Далее рассматриваются специальные подмножества состояний, названные оптимальными, которые связаны с х-пропускной способностью и минимальной выходной энтропией конечномерного квантового канала Ф. Первое оптимальное множество Л% определяется как множество всех состояний р, для которых имеет место равенство в (6) при А = &(Н), второе оптимальное множество А% определяется как выпуклое замыкание множества всех оптимальных состояний (состояний с минимальной выходной энтропией) для канала Ф Исследована структура оптимальных множеств, получено необходимое и достаточное условие их совпадения Теорема 1.5.1. Пусть Ф (W) >-> Є(7і') - квантовый канал с двойственным отображением Ф* 93/i(W) н-» 23^(7^) Пусть Р$ - проектор на минимальное подпространство Нф пространства Н, содержащее носители всех состояний из А% U А% Множества Л% и Л% совпадают тогда и только тогда, когда Ф*(-1оёа(Ф))РФ = АРф при некотором Аєі, причем в этом случае А = С(Ф) + НШ1П(Ф) С помощью теоремы 15 1 получена характеристика канала, у которого любой оптимальный ансамбль состоит из оптимальных состояний Доказана теорема 1.6.1 о структуре подмножеств состояний составной квантовой системы, обладающих специальными свойствами наследственности ш ЕЛ => ши/бЛ и сильной наследственности Ші,ш2єА => и?^ Є А, г, j = 1,2 С помощью теоремы 16 1 доказана следующая теорема (в которой 0-ц и Ojc - операции частичного следа в &(Н <8> /С) по пространствам К. и Ті. соответственно) Теорема 1.7.1. Если для квантовых каналов Ф (H) н-> Є (Ті') и ственными подмножествами множества Є(ТЇ — Л* —ня вн(А**) = А*, Єк(Л*вФ) Оп(Афн*) = А%, в,с(Афн*) В главе 2 исследуются в бесконечномерном случае свойства множества ЛІ = Л4((Н)) обобщенных квантовых ансамблей - вероятностных борелевских мер на множестве квантовых состояний с топологией слабой сходимости, в частности, свойства барицентрического отображения fi і— р((і) из Лі на (H) и его сужения на подмножество ЛІ С Лі, состоящего из мер с носителем на множестве чистых состояний - крайних точек множества Є (Ті) С помощью критерия компактности для подмножеств мер из ЛІ (который является следствием теоремы Прохорова), получены некоторые вспомогательные результаты, в частности, аналог теоремы Шоке о барицентрическом разложении для выпуклых подмножеств множества Є (Ті), утверждение^ плотности атомических мер в выпуклом подмножестве множества Л4, состоящего из мер с заданным барицентром, наблюдения о свойствах порядка Шоке на множестве М. Получены следующие свойства открытости барицентрического отображения 10 Предложение 2.1.3. Отображение М. Э р >—> р(/х) є (H) является открытым Предложение 2.1.4. Отображение М. Э р, —> р(а) Є &(Н) является открытым Пусть Л4{Р} - подмножество множества Л4, состоящее из мер с барицентром р С помощью установленных свойств барицентрического отображения получен следующий результат Теорема 2.3.1. Пусть f - ограниченная снизу полунепрерывная снизу функция на множестве &(Н) A) Функции Кр) = inf / /(о-)м(^ст) и /О) = sup / f(a)fj,(dcr) полунепрерывны снизу на множестве 6 (ТС) Б) Функция f совпадает с выпуклым замыканием со/ функции f, B) Для любого состояния р из Є(Н) существует мера pJp из М{р} Кр) = [ f(o-)4(d*) Если дополнительно f - такая функция, что — / Є Р(&(Н)),п то в качестве меры yJp можно выбрать меру из -М{р} Г) Функция f является минимальной вогнутой функцией, мажорирующей функцию f, - вогнутой оболочкой f, причем f(p)= sup 5>J(A), УреЄ(П) Из теоремы 2 3 1 следует, в частности, что выпуклое замыкание любой непрерывной ограниченной функции f на множестве &ІТІ.) является 10 В Кп при п > 3 существуют выпуклые компакты, для которых барицентрическое отображение не является открытым г1Р{&{Н)) - множество выпуклых функций, представимых в виде пределов монотонных последовательностей выпуклых непрерывных ограниченных функций на множестве &(Л) непрерывной ограниченной функцией на множестве Є (ТС), определяемой выражением со/(р)= mf У>,/(А), УР&(ТС), которое показывает, что выпуклое замыкание со/ функции / совпадает с ее выпуклой оболочкой со/ Пусть М{р) - подмножество множества Л4, состоящее из мер с барицентром р В силу спектральной теоремы множество М{ру непусто при каждом р из Є (ТС) С помощью установленных свойств барицентрического отображения получен следующий результат Теорема 2.3.2. Пусть / - ограниченная снизу полунепрерывная снизу функция на множестве extr6(TC) A) Функции U(p) = mf / f(a)p,(da) и f*(p) = sup / f(a)p,(da) 1ХМЫ 7extrS(W) »ММ ЛхігЄ(К) полунепрерывны снизу на мнооюестве Є (ТС), Б) Функция /* является максимальным полунепрерывным снизу выпуклым расширением функции f на множество &(ТС), B) Для любого состояния р из &(ТС) существует мера Д из ЛІ{Р} Ш = f f(*H(d-), /extrS(-H) Г) Функция /* является минимальным ограниченным снизу12 вогнутым расширением функции / на множество Є (ТС), причем f*(p)= sup_ J>/(A), Ур&Є(ТС) {щ,Рг}ЄМ{„,у г Из теоремы 2 3 2 следует, в частности, что любая ограниченная непрерывная функция / на множестве extr (ТС) имеет выпуклое ограниченное непрерывное расширение на множество &(ТС), определяемое выражением /,(р)= mf_ $>,/(А), VpeS(W), {іГг,рг}ЄМ{р} г 12 требование ограниченности снизу существенно причем это расширение совпадает с точной верхней гранью всех ограниченных сверху выпуклых расширений функции f на множество (W) В главе 3 исследуются в бесконечномерном случае свойства квантовой энтропии и х-пропускной способности, рассматриваемой как функция множества квантовых состояний и поэтому называемой х-емкостью множества. Получены различные результаты о непрерывности энтропии, в частности, достаточное условие непрерывности и ограниченности энтропии, применимое к некомпактным невыпуклым множествам состояний (в диссертации показано, что всякое выпуклое множество с ограниченной энтропией является относительно компактным) Один из результатов связан с понятием if-сходимости последовательности состояний {рп} к состоянию ро, определяемой условием lim„_>+00//(p„||po) = 0. Показано13, что hm Н(рп) = Н(р0) < +оо п—>+оо для любой последовательности состояний {рп}, -ff-сходящейся к состоянию ро, тогда и только тогда, когда d(po) = mf {А > 0 | Тгр* < +оо} < 1 Х-емкостъю множества состояний А С. &{7і) называется величина С {А) = SUp У" ТГгН (рг \\р) , Р=У2 ТгРг, где Л4* (А) - множество всех конечных ансамблей состояний из А Последовательность {{тгГ,/э}}„ с М{(А) такая, что hm J2<HШРп) = С(Л), ри = Х>>Г, п—*+оо *—' <* * г г называется аппроксимирующей последовательностью для множества А Теорема 3.2.1. Пусть А - множество с конечной х-емкостъю Существует единственное состояние С1(А) в &(7i) такое, что H(p\\Q(A)) < С (А) для всех р из А 13Это утверждение можно рассматривать как некоммутативный аналог результата, полученного в Harremoes Р, Information Topologies with Applications// Entropy, Search, Complexity - Bolyai Society Mathematical Studies, Springer, 2007 - P 113-150 Состояние 1(А) принадлежит со(Л) Для любой аппроксимирующей последовательности ансамблей {{тС,/?}}» для множества Л, соответствующая последовательность средних состояний {рп} Н-сходится к состоянию 1(А) Для х-емкости множества Л имеет место выражение С(Л)= mf вирЯ(рИ= т 8щ>Н(р\\а)= sup Н(р\\ЩА)), (И) <тб(И) реА сгЄсо{Л) рЄА рєЛ в котором первые два равенства выполнены и в случае С(Л) = +оо Определение 3.2.1. Состояние ЩЛ), введенное в теореме 3 21, называется оптимальным средним состоянием множества Л Если Л - замкнутое множество, то можно показать, что С(Л)= sup [ H(p\\p(fi))u(dp), (12) ІіЄМ(А) J А где Л4(Л) - множество всех вероятностных мер на Л Определение 3.2.2. Мера из Л4(Л), на которой достигается точная верхняя грань в (12), называется оптимальной мерой для множества Л Достаточные условия существования оптимальной меры дает следующая теорема Теорема 3.2.2. Пусть Л - замкнутое множество с конечной х~ем-костью Оптимальная мера для множества Л существует, если выполнено одно из следующих условий H(Cl(A)) < +оо и limn_+0o Н(рп) = Н(ЩЛ)) для любой последовательности {р„} состояний из со(.А), В.-сходящейся к состоянию П(Л), функция р і— Н(р\\0.(Л)) непрерывна на множестве Л Дальнейшие исследования показали, что условия непрерывности в теореме 3 2 2 обеспечивают не только существование оптимальной меры, но и выполнение некоторых других свойств, связанных с понятием Х-емкости, которые аналогичны свойствам множеств состояний в конечномерном гильбертовом пространстве Поэтому множества состояний, для которых выполнено одно нз условий в теореме 3 2 2 названы регулярными Эти условия различны существуют множества, для которых выполнено первое условие, но не выполнено второе и наоборот Заметим, что первое условие регулярности выполнено, если d(Q(A)) < 1, те когда оптимальное среднее ЩА) имеет быстро убывающий спектр В теореме 3.2.3 установлены различные свойства х-емкости и оптимального среднего, главные из которых относительная компактность множества с конечной х-емкостью, существование у любого регулярного множества с конечной х-ем-костью минимального замкнутого подмножества с той же самой Х-емкостью, устойчивость х-емкости и оптимального среднего по отношению к малым возмущениям множества Получено следующее свойство инвариантности оптимального среднего Следствие 3.2.8. Пусть А - множество с конечной х-емкостью Тогда 1(А) - инвариантное- состояние для любого канала Ф такого, что Ф(Л) С со(Л) и С(Ф(Л)) = С (А) В частности, П(А) = UQ(A)U* для любого унитарного оператора U такого, что UAU* С со(А) Следствие 3.2 8 позволяет определять или, по-крайней мере, локализировать оптимальное среднее 0(.4) произвольного множества состояний А и с помощью выражения (11) вычислять х-емкость этого множества путем поиска достаточно большого семейства унитарных операторов U таких, что UAU* С со(.А) Этот прием активно используется в разделе главы 3, посвященном исследованию различных примеров, в котором рассмотрены следующих типы множеств конечные множества состояний, сходящиеся и ії-сходящиеся последовательности состояний, JCH,h = {р Є &{Н) | ТгНр < h}, где Н - положительный неограниченный оператор в дискретным спектром конечной кратности и h > О, VCT]C = {р Є &(Н)\ Н(р\\ст) < с}, где а - квантовое состояние и с > О, (<т) = {р Є &(Н) | (&|р|А;) = (fc|o-|Jfc)}, где {1)} - базис из собственных векторов состояния <т, AB = {w Є <3{H орбита группы симметрии множества &(Н), Для указанных типов множеств решены следующие задачи определены условия ограниченности и непрерывности сужения квантовой энтропии на выпуклое замыкание множества, определены условия существования состояния с максимальной энтропией для выпуклого замыкания множества, определены условия конечности х-емкости, в большинстве примеров получены явные выражения для у-емкости и оптимального среднего, определены условия существования оптимальной меры, определены условия регулярности Построены следующие примеры множеств с конечной ^-емкостью замкнутое счетное множество, не имеющее оптимальной меры, замкнутое множество, не содержащее минимального замкнутого подмножества с той же самой х-емкостью, убывающая последовательность замкнутых множеств с одинаковой положительной %-емкостью, пересечение которых имеет нулевую Х-емкость, замкнутое множество, имеющее оптимальную меру, но не имеющее атомической оптимальной меры В последнем разделе главы 3 показана возможность конструктивного определения х-емкости и оптимального среднего для произвольного множества состояний Для заданного проектора Р Є 25(H) рассмотрим отображение Ар(р) = (ТгРр)_1РрР множества (H) в себя с областью определения Э(Др) = {р (H) | Рр ф 0} Теорема 3.4.1. Пусть А - подмножество множества 0(H) Если х-емкостъ множества А конечна, то km С(АРп(А)) = С(А) и km П{АРп(Л)) = П(Л) п—*+оо п—*+оо для любой последовательности проекторов {Рп} С %$(Н), сильно сходящейся к оператору 1-н Если существует последовательность проекторов {Рп} С 25(H), сильно сходящаяся к оператору I-ц, такая, что А С 1)(Арп) при всех п и последовательность {С(Арп(А))} ограничена, то х-емкость множества А конечна Поскольку для любого замкнутого подмножества состояний в ^-мерном гильбертовом пространстве точную верхнюю грань в определении х-емкости можно брать по множеству всех ансамблей из d? состояний, х-емкость и оптимальное среднее состояние такого множества определяются методами линейного программирования Поэтому, выбирая в теореме 3 4 1 последовательность {Рп}, состоящую из проекторов конечного ранга, получаем определение х-емкости и оптимального среднего, которое (в принципе) может быть использовано для численной аппроксимации этих величин В главе 4 рассматривается х-пРопУскная способность бесконечномерных квантовых каналов с ограничениями и связанные с ней энтропийные характеристики - х-функция и выпуклое замыкание выходной энтропии Х-пропускная способность бесконечномерного квантового канала Ф &(Н) і—> &(Н') с ограничением, задаваемым множеством А С &{7i), определяется выражением (5) В отличие от конечномерного случая, ансамблей, на которых достигается точная верхняя грань в (5), как правило, не существует Последовательность ансамблей {{я-, р?}}п С М\ такая, что Иш Х>Г#(Ф(рГ)||Ф(р„)) = С(Ф,Л), р„ = 5>>г, г г называется аппроксимирующей последовательностью для А-ограничен-ного канала Ф Теорема 4.1.1. Пусть Ф S(H) ь-* &(Н') - квантовый канал, а А -выпуклое подмножество множества &(Н) Если С(Ф, А) < +оо, то множество Ф(Л) компактно14 и содержит 14 Это утверждение верно и без условия выпуклости множества А единственное в <5(7ї') состояние 1(Ф,А) такое, что для любого ансамбля {\,о~3} из Мд. Для любой аппроксимирующей последовательности ансамблей {{к?,р}}п для Л-ограниченного канала Ф с соответствующей последовательностью средних состояний {рп}п последовательность {Ф(р„)}„ Н-сходится к состоянию П(Ф,Л) Для х-пропускной способности Л-ограниченного канала Ф имеет место выражение С(Ф,Л)= mf ( sup алЯ(Ф(<г,)|М] Если С(Ф, Л) < +оо, то П(Ф, Л) - единственное состояние, на котором достигается точная нижняя грань в правой части данного выражения В конечномерном случае С1(Ф,Л) - образ среднего состояния любого оптимального ансамбля для Л-ограниченного канала Ф Теорема 4 11 показывает, что несмотря на отсутствие оптимальных ансамблей в бесконечномерном случае, существует состояние, играющее роль образа среднего состояния оптимального ансамбля Именно это состояние позволяет обобщить на бесконечномерный случай некоторые результаты, полученные в главе 1, в частности необходимое для доказательства теоремы 5 11 неравенство (6) Определение 4.1.2. Состояние 0,(Ф,Л) называется выходным оптимальным средним для Л-ограниченного канала Ф Показано, что С(Ф,А)= sup [ Н(Ф(р)\\ФШ)М<1р) (13) fiMA Je(H) Если существует мера из М.д, на которой достигается точная верхняя грань в (13), то она называется оптимальной мерой - обобщенным оптимальным ансамблем для ^.-ограниченного канала Ф Достаточные условия существования оптимальной меры для ^.-ограниченного канала Ф дает теорема 4.2.1 Важность этих условий подтверждается примерами каналов с ограничениями, для которых не существует оптимальной меры Для бесконечномерного квантового канала Ф также вводятся %-функция Хф{р) = С(Ф, {р}) и Я-функция Нф{р) = соНф(р) - выпуклое замыкание выходной энтропии Существенное отличие от конечномерного случая проявляется в том, что выпуклое замыкание выходной энтропии соНф(р), как правило, не совпадает с выпуклой оболочкой выходной энтропии соНф(р) бесконечномерного квантового канала Ф Результаты главы 2 позволили получить следующее выражение для выпуклого замыкания выходной энтропии: соЯф(р) = inf / Нф(а)р(сіа), Мр Є &(Н) Показано, что при каждом р Є &(Ті) точная нижняя грань в этом выражении достигается на некоторой мере с носителем в extr(H) С помощью этого выражения установлено следующее наблюдение если соНф(р) < +оо, то {соНф(р) = соНф(р)} <> {Нф(р) < +оо} (14) Основное внимание в главе 4 уделяется исследованию аналитических свойств функций хф и соНф, причем эти функции рассматриваются как функции пары (канал, состояние) Такое рассмотрение необходимо для реализации методов исследования бесконечномерных квантовых каналов, основанных на конечномерной аппроксимации этих каналов, развитию которых уделено значительное внимание в диссертации В частности, все основные результаты главы 5 получены с использованием этих методов Пусть $(Ti,Ti') - выпуклое множество всех каналов из &(Н) в &{ТС), снабженное топологией сильной сходимости, которая порождается сильной операторной топологией на множестве всех линейных ограниченных отображений банахова пространства Z(Ti) в банахово пространство %{ТС) Из сепарабельности множества Є(Ті) следует метризуемость топологии сильной сходимости на множестве 3(Н, Ті') Сходимость последовательности {Фи} каналов из $(7ї, Ті') к каналу Фо означает, что lim Фп(р) = Фо(р), УрЄЄ(ТІ) Топология сильной сходимости на множестве $(Ті, Ті') совпадает с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах множе- ства &(Н) Такой выбор топологии связан с необходимостью аппроксимировать произвольных квантовый канал последовательностью каналов, энтропийные характеристики которых обладают хорошими аналитическими свойствами, например, последовательностью IF-каналов, характеризуемых конечномерностью выходного пространства Для любого канала Фо Є $(ТС, ТС) в качестве аппроксимирующей последовательности можно использовать последовательность IF-каналов Ф„(р) = РпЫр)Рп + №(/«' - рп)Ыр)) тп (15) из $(Н, ТС), где {Рп} - любая последовательность проекторов конечного ранга из 35 (W), сильно сходящаяся к тождественному оператору /«'> а {т„} - произвольная последовательность чистых состояний из Є (ТС) Показано, что множество $(ТС,ТС) с топологией сильной сходимости изоморфно некоторому подмножеству состояний составной квантовой системы (с топологией следовой нормы) Этот изоморфизм позволяет исследовать структурные свойства подмножеств каналов, отождествляя их с подмножествами состояний С его помощью установлен простой критерий компактности для подмножеств каналов подмноокество 5о ЗСН,ТС') компактно, тогда и только тогда, когда в <5{ТС) существует состояние полного ранга а такое, что {Ф(с)}фє5о ~ компактное подмноокество множества &(ТС') С помощью результатов главы 2 установлено следующие важное наблюдение о свойствах энтропийных характеристик как функций пары (канал, состояние), те как функций, определенных на декартовом произведении множества всех каналов (с топологией сильной сходимости) и множества входных состояний (с топологией следовой нормы) Предложение 4.6.2. Функции (Ф,р) і—> Хф(р) и (Ф5р) |—* соі/$(р) являются полунепрерывными снизу на множестве $(ТС,ТС) х Є {ТІ) Отметим, что геометрические свойства функций (Ф,р) >—> Хф(р) и (Ф,/з) н-> соДф противоположны первая является вогнутой по р и выпуклой по Ф, а вторая - выпуклой по р и вогнутой по Ф Из предложения 4 6 2 следует важное наблюдение об аппроксимации Х-функции Следствие 4.6.3. Пусть Фо - квантовый канал из $(ТС,ТС) и ро - состояние из &(ТС) Для последовательности каналов {Фп}? определенных формулой (15), и последовательности {рп} состояний из &(ТС), сходящейся к состоянию ро, такой, что \прп < ро для некоторой по- следовательности {Аге} положительных чисел, сходящейся к 1, существует lim ХфЛРп) =Хф0(Ро) п—>+оо Если Рп = /«' при всех п, то утверждение следствия 4 6 3 является обобщением на случай х-функции теоремы Саймона15 о мажорированной сходимости для квантовой энтропии (которая совпадает с х-функцией тождественного канала). Из предложения 4 6 2с учетом свойства (14) следует достаточное условие непрерывности х-функции и выпуклого замыкания выходной энтропии Теорема 4.6.1. Пусть {Фп} ~~ последовательность каналов из $(?Ї,И.'), сильно сходящаяся к каналу Фо, и {рп} - последовательность состояний из &ІТІ), сходящаяся к состоянию ро Если hm #ф„(Лг) = #Фо(Ро) < +оо, п—>+оо lim ХфЛРп) = ХфоІРо) и hm соЯФ„(р„) =соНф0(р0) п—*+оо тг—>+оо Определенная парадоксальность утверждения теоремы 4 6 1 состоит в том, что значение выходной энтропии Нф в некотором состоянии р зависит только от действия канала Ф на это состояние, а значения функций Хф и сойф в этом состоянии р зависят, в силу их определения, от действия канала Ф на все состояния, лежащие в объединении носителей всех мер с барицентром р Полученные результаты о свойствах х-функции как функции пары (канал, состояние) позволили получить следующее утверждение о свойствах х-пРопУСКной способности канала с ограничением как функции канала Предложение 4.6.4. Пусть {Фп} - последовательность каналов из $(И,,Н'), сильно сходящаяся к каналу Фо, а Л - произвольное подмножество множества в (Ті.) 15Simon В Convergence theorem for entropy// appendix in Lieb EH, Ruskaz MB Proof of the strong subadditivity of quantum mechanical entropy// J Math Phys - 1973 - V 14 - P1938-1941 A) Имеет место неравенство hmmf С{Фп,Л) > С(Ф0,Л) Б) Равенство km С(Фп,Л) = С(Ф0,Л), п~>-Ьоо имеет место, если выполнено одно из следующих условий- Ф„ = П„оФ0 при каждом п, где Пп - некоторый канал из ^(W, Н'), множество Л компактно и lim„_*+00 Нфп(рп) = Нф0(ро) < +оо для любой последовательности {рп} состояний из Л, сходящейся к состоянию ро B) Если 1ші„^+00 (7(ФП, Л) — С(Фо, Л) < +оо и множество Л выпук hm П(Фп, Л) = П(Ф„, Л) п—*+оо С помощью предложения 4 6 4с условием 1 в утверждении Б можно показать, например, что для любого канала Фо Є #(7^, W) и соответствующей последовательности каналов {Ф„}, определенных формулой (15) посредством произвольных последовательностей {Рп} и {т„}, при любом выпуклом множестве Л С Є(7Ї) таком, что С^Фо, Л) < +оо, имеют место соотношения Ьш С(Фп,Л) = С(Ф0,Л) и lim П(Фп,Л) = П(Ф0,Л) п—*+оо п—*+оэ С помощью предложения 4 6 4с условием 2 в утверждении Б можно показать, что при ограничениях "энергетического типа" х-пропускная способность непрерывна на множестве всех каналов с ограниченным "коэффициентом усиления" В силу утверждения А предложения 4 6 4 х-пропускная способность является полунепрерывной снизу функцией канала Условия 1-2 в утверждении Б предложения 4 6 4 являются существенными, что подтверждается примерами, показывающими, что х-пРпУскная способность не является непрерывной функцией канала даже относительно топологии равномерной сходимости на множестве всех каналов Можно показать, что именно разрывность х-пропускной способности как функции канала в бесконечномерном случае лежит в основе данного П Шором доказательства глобальной равносильности различных гипотез аддитивности, в котором используется специальное расширение канала и операция предельного перехода Отдельный раздел главы 4 посвящен применению рассмотренных выше общих результатов для исследования класса бесконечномерных квантовых каналов, имеющих при отсутствии ограничений конечную Х-пропускную способность Этот класс содержит, в частности, каналы с непрерывной выходной энтропией, которые, обладая непрерывными энтропийными характеристиками, проявляют и специфические свойства бесконечномерных каналов такие, например, как отсутствие оптимальной меры Для каналов указанного класса получено бесконечномерное обобщение свойства "максимальной равноудаленности" оптимальной меры Приведены примеры квантовых каналов, для которых определены Х-пропускная способность и выходное оптимальное среднее, получены условия существования оптимальной меры В последнем разделе главы 4 рассматривается проблема обобщения на бесконечномерный случай понятия сцепленности формирования EoF Рассмотрим составную квантовую систему, состояния которой - это операторы плотности в тензорном произведении Ті /С двух гильбертовых пространств Ті. я 1С, характеризующих отдельные подсистемы Рассмотрим канал Єн Є(И/С)Зш^1їсшЄб(«), где Тг;с() - частичный след по пространству К. Если пространства НяК. конечномерны, то EoF определяется как выпуклая оболочка соНвп выходной энтропии канала 9«, которая в силу компактности множества состояний &{TLK.) и непрерывности выходной энтропии Hqu совпадает с выпуклым замыканием сбН&п выходной энтропии канала 6 Обобщение понятия сцепленности формирования EoF на бесконечномерный случай было рассмотрено в 16, где EoF определялось выражением E%(w) = mf_ V ХгНЄп (гиг), шЄб(НЦ {Л„га,}Л({„, *-? ^Eisert J, Simon С, Plenw MB The quantification of entanglement m lafimte-dimensional quantum systems // J Phys A Math and Gen - 2002 - V 35 - P 3911 где М{ш} - множество всех вероятностных мер на extr@(K /С) с барицентром ш Недостатком такого определения является отсутствие доказательства полунепрерывности снизу функции Ер на 6(7i Е%{ш)= mf J Hen(w)/j,{dzv), шЄ&{НК) (16) Из общих результатов главы 4 следует, что Ер - выпуклая полунепрерывная снизу функция на множестве &(ТС1С), совпадающая с выпуклым замыканием соНє,п выходной энтропии канала &гс и что для любого состояния ш из &(7І1С) точная нижняя грань в выражении (16) достигается на некоторой мере из М{ш} Функция Ер обладает естественным свойством EoF {Ер(ш) = 0} Ф> {состояние ш разделимо}, где множество разделимых (несцепленных) состояний определяется как выпуклое замыкание множества всех чистых состояний-произведений Из полученных в главах 2 и 4 результатов вытекают следующие свойства функции Ер Предложение 4.8.1. А) Функция Ер непрерывна на &{Н1С) тогда и только тогда, когда либо dim?i < +оо, либо dim К < +оо Б) Если С - такое подмножество множества Є(7Ї К.), что либо функция Нвп, либо функция Hqk непрерывна на С, то функция Ер непрерывна на С. В) Если lj - такое состояние из &{TLK,), что либо HQn(to) < +оо, либо Hqk(u)) < +оо, то Ер(ш) = Ер{и>) Г) Функция Ер является максимальной полунепрерывной снизу (замкнутой) выпуклой функцией, совпадающей на множестве чистых состояний с энтропией частичного состояния Из предложения 4 8 1 следует важное для приложений наблюдение функция Ер непрерывна на множестве всех состояний составной квантовой системы с ограничениями энергетического типа и совпадает на этом множестве с функцией Ер ^Доказательство полунепрерывности снизу функции Ер равносильно доказательству совпадения этой функции с функцией Ер В главе 5 рассматриваются свойства сильной аддитивности х-про-пускной способности и супераддитивности выпуклого замыкания выходной энтропии для бесконечномерных квантовых каналов С помощью теоремы 4 11 доказана следующая теорема о связи свойств (суб, супер) аддитивности для двух произвольных квантовых каналов - бесконечномерный вариант теоремы 13 1 Пусть ф,Ф = {ш Є (Я <8> /С) | НФ(шп) < +оо, Н^{шк) < +оо} -выпуклое подмножество множества &(Н <8> /С) Теорема 5.1.1. Пусть Ф (Я) ^ Є(Я') и Ф (/С) н-» Є(/С') -квантовые каналы А) Супераддитивностъ выпуклого замыкания выходной энтропии для каналов Ф в! равносильна выполнению равенства (10) для всех операторов А Є 03(Я) и В Є 03(/С), из которого следует аддитивность минимальной выходной энтропии (3), Б) Выполнение неравенства (9) для всех состояний и> Є ф,ф равносильно выполнению неравенства (8) для всех состояний ш є ф^, которое означает аддитивность х~пРопУскнй способности (7) для любых множеств - ограничений Л и В таких, что Нф(р) < +оо, У/з Є Л и Яф(ст) < +оо, V<7 Є В В отличие от конечномерного случая теорема 5 1 1 не позволяет показать, что субаддитивность х-функЦии (выполнение неравенства (8) для всех состояний ш) эквивалентна супераддитивности Я-функции (выполнение неравенства (9) для всех состояний ш) для двух произвольных каналов Основная трудность, не позволяющая доказать указанную эквивалентность, связана с существованием состояний с бесконечной выходной энтропией, для которых значения х-функции и Я-функции нельзя выразить друг через друга В частности, исходя только из субаддитивности х-функции для каналов Ф и Ф нельзя доказать ни супераддитивность Я-функции, ни даже аддитивность минимальной выходной энтропии для каналов Ф и Ф из-за наличия чистых состояний в (Я <2> /С), имеющих частичные следы с бесконечной энтропией В главе 5 разработаны методы доказательства сильной аддитивности Х-пропускной способности и супераддитивности выпуклого замыкания выходной энтропии для бесконечномерных квантовых каналов, использующие технику конечномерной аппроксимации и основанные на результатах главы 4 Эти методы позволили доказать справедливость указанных свойств для двух бесконечномерных квантовых каналов, один из которых произвольный, а другой является прямой суммой тождественного канала и канала, разрушающего сцепленность Также доказана эквивалентность сильной аддитивности х-пропускной способности для пар бесконечномерных квантовых каналов, связанных отношением компле-ментарности, при условии, что выходная энтропия этих каналов конечна на множестве чистых состояний Данные результаты показывают, что для нетривиального класса бесконечномерных квантовых каналов Х-пропускная способность при произвольных ограничениях совпадает с классической пропускной способностью Полученные аппроксимативные методы позволили доказать следующее утверждение Теорема 5.3.1. Из выполнимости конечномерной глобальной гипотезы аддитивности следует, что А) сильная аддитивность х-ЩОЩскной способности имеет место для всех бесконечномерных квантовых каналов, Б) супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии имеет место для всех бесконечномерных квантовых каналов Следствие 5.3.1. Из выполнимости конечномерной глобальной гипотезы аддитивности следует свойство супераддитивности EoF для всех состояний бесконечномерной составной квантовой системы Поскольку из супераддитивности выпуклого замыкания выходной энтропии для двух каналов следует аддитивность минимальной выходной энтропии для этих каналов, из теоремы 5 3.1 следует бесконечномерный вариант теоремы Шора Теорема 5.3.2 Следующие свойства равносильны- сильная аддитивность х-пРпускной способности для всех квантовых каналов, супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии для всех квантовых каналов, аддитивность минимальной выходной энтропии для всех квантовых каналов
Ф (/С) !-* <5(}С') имеет место сильная аддитивность х-пропускной
способности, являются сильно наслед-
рємір} 7є(и) иєм{р} Je(H)
такая, что
такая, что
ло, тоПохожие диссертации на Энтропийные характеристики квантовых каналов и проблема аддитивности
