Введение к работе
алчность темы. Задачи изучения предельного поведения
произведений случайных матриц возникают в связи о моделями в механике, теоретической $иэика, радиотехнике, в Которых вектор состояний в следующий дискретный момент времени можно представить кан произведзнйз Некоторой матрицы, олицетворяющей случайное воздействие, на вектор состояния аистемы в исходный момент. Исследование проблемы было начато Р.Беллманом и продолжено рядом работ ( Г.ФюрстенСерг, Г.Кестен, Дж.Коэн, Ч.Ньюмен, Дж.Еоткинс, В.Л.Гйрко и др.), где наличие предельных законов обуславливалось предположениями на элементы матрицы типа ограниченности моментов, Неотрицательности, гауссовосги. Более общие эадачи, связанные с композициями случайных элементов на группах, рассматривали Б.М.КДооо, В.В.Сазонов, В.М.Тутубалин, А.Д.ЕИрцер, П.Мелло И др. Другое обобщение - прбизведения случайных операторов и . стохастические полугруппы - изучались в работах А.В.Скорохода, Г.П.БуЦана» Т.А.Скороход.
Предлагаемая работа продолжает направление, начатое идеей фюрстенберга рассматривать в связи с произведением д К і = * Kft'^H-j ' ' *± >ГДЭ Xt №) - независимые одинаково
распределенные невырожденные п.н.случайные матрицы fft A rh, на одном вероятностном пространстве; однородную марковскую цепь на «іЧ? Є.И іГі-іЗі
( Х0 Є Кх , JL *„) * ч0 , 1*1 - евклидова норда в Л ).
Изучение предельного поведения этой цепи важно само по себе, ибо оно характеризует эволвцию "на прагле кия" вектора ЛХ/'Г
t * п + Кроме того, в предположении эргодичности цепи 5ІгСКв), %й6 Кх
к необременительных предположениях на элементы , %i ( например, Н t И к. Л + flV*0 * * . где II і -соответствующая |- | матричная норма) ( см. Ї 3 ) имеет место:
«о л.н. «І
і ,
jfc.1 fl*ff#l -» J-MeJ^uojjn^ify ft
( *Н. - эргодичеокан мера, ^L ), что позволяет судить об асимптотическом поведений Нормы вектора д К і Г
Достаточные условия наличия у J^ (*e)j » в Кд един-ственноР вргодичеСкой мери были получены Т,Кайзером; Труднопро-веряемые в общем случае, они сводятоя к эффективно проверяемым условий» в ситуаций; когда значения X. iteli - конечное число иовыроэденных матриц йторого Порядка; Это обстьятальсгво, а также возможность явного Нахождения эргодической меры ценя, обусловили выбор в качестве объекта нашего исследования случаев, когда Ц^(и>5 принимают два значения Из множества Невырожденных матриц второго порядка*
Цель работы, Изучение эргодичеокйх свойств марковской цепи (І), порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных матриц второго Порядка» принимающих два невырожденных значения» В Частности, поиск условий» при которых эргодическая мара может быть явно построена^
Методика исследований* Б диссертаций систематически попользуются достижения теории марковских Целей о произвольным фазовым пространством, факты. матричного1 анализа.
Научная новизна. Основные научные результаты диссертация состоят в том, что для двух важных классов распределений случайных сомножителей получена Достаточные условия того, что;
замкнутый носитель единственной эргодической меры совпадает о единичной окружностью;
замкнутый Носитель единственной эргодической меры -нигде не плотное совершенное множество і являющееся притягивающим множеством траекторий цепи при любом начальном значении п.н., и в этом случае явно найдено эргодическая мора;
замкнутый носитель эргодической моры - нигде не плотное совершенное множество, а ?ріодическая мера явно строится по решению предлагаемой системи нелинейных уравнений ( существование и единственность решения гарантируется).
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссер-іаїшршіой работы представляют ннтарео при изучении предельного ПОВ9Д8НИЯ стохастических динамических систем» в задачах стохастической аппроксимации.
Дпробацая работы и публикации. Основные результаты дно--сертащш докладывались на семинарах отделов теории случайных Процессов, теории вероятностей и математической статистики Института математики АН Украины, на конференциях молодых ученых Института математики АН Украины, на Пятой Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статно гике ( 1909 г.), на Республиканской ижоле молодых ученых "Математические методы в естествознании: теоретические и прикладные аспекты" (Алушта, 1?90) и опубликованы в работах ^ -ї-5 Д .
Структура и объем, работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, которые разбиты на семь параграфов. Общий обьем работы стр. машинописного текста» Библиография содержит S3 Наименования.
