Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Односторонние предельные теоремы
1. Основные определения 10
2. Односторонняя сходимость безгранично делимых функции распределения 19
3. Односторонняя сходимость функции распределения сумм независимых случайных величин 30
ГЛАВА. 2. Распространение сходимости 44
1. Две теоремы о распространении сходимости 44
2. На полуоси композиций одинаковых неубывающих функций 48
3. Классы предельных распределений, для которых верна теорема о распространении сходимости 54
ГЛАВА 3. Предельные теоремы дня сумм случайного числа незашсшых случайных величин 61
1. Аналитические свойства одного класса смесей безгранично делимых законов 61
2. Слабая сходимость функций распределения сумм случайного числа независимых случайных величин 69
Дополнение 78
Список литературы 87
- Односторонняя сходимость функции распределения сумм независимых случайных величин
- На полуоси композиций одинаковых неубывающих функций
- Классы предельных распределений, для которых верна теорема о распространении сходимости
- Слабая сходимость функций распределения сумм случайного числа независимых случайных величин
Введение к работе
В работе [зо] Х.Ю.Россберг доказал, что если безгранично делимая функция распределения совпадает с нормальной на полуоси, то она тождественна последней. Этот результат явился положительным решением вопроса, поставленного А.Н.Колмогоровым в пятидесятых годах на одном из семинаров в Московском университете.
В.М.Золотаревым было высказано предположение о том, что множество безгранично делимых функций распределения, которые единственным образом определяются своими значениями на полуоси, не исчерпывается только нормальной функцией распределения. Это предположение было подтверждено И.А.Ибрагимовым [8 ] , указавшим подмножество безгранично делимых фушщий распределения, которые единственным образом определяются своими значениями на произвольном луче вещественной оси.
Таким образом, исследование вопроса о том, когда безгранично делимая функция распределения единственным образом определяется своими значениями на каком-либо множестве точек вещественной оси, имеет достаточно глубокое и интересное содержание. Как указано В.М.Золотаревым в работе [б] , здесь можно выделить два основных направления исследований. Во-первых, пусть фиксирована безгранично делимая фушщия распределения. Каким должно быть множество л? точек вещественной оси, чтобы эта фушщия единственным образом определялась своими значениями на J в классе всех безгранично делшшх фушщий распределения? Во-вторых, пусть задано некоторое бесконечное множество р точек вещественной осиі Указать множество { Gr j « безгранично делимых функций распределения, которые единственным образом определяются своими значениями на Д . В частности, найти условие того, что { Сс }j> не пусто.
Исследованию указанных вопросов, а также вопросов, тесно к ним примыкающих, посвящены работы [зі] Х.Ю.Россберга, [32І Х.Ю.Россберга и Б.Есиака, [34] Х.Ю.Россберга и Г.Зигеля, [23І и Г25 J Б.Есиака, f 28 7 М.Риделя, Гзб 7 Г.Зигеля, fl6j И.В.Островского, f6 J И.А.Ибрагимова.
Сформулируем те результаты из названных работ, которые представляют интерес для нас.
В работе [34 J установлено, в частности, что нормальная функция распределения единственным образом определяется своими значениями на любом неограниченном множестве точек в классе всех безгранично делимых функций распределения.
Упоминавшийся выше результат Ибрагимова состоит в следующем. Пусть где Ot произвольно. Тогда к { (г } j принадлежит каждая безгранично делимая функция распределения, которая нигде не обращается в 0 и удовлетворяет условию
Сс(х) - (У Се )9 X -*-оо для любого вещественного Т . Если же где 6- произвольно, то к { G- j J принадлежит каждая безгранично делимая функция распределения, которая нигде не обращается в I и удовлетворяет условию для любого вещественного Т
Исследование единственности безгранично делимых функций распределения на фиксированном множестве точек вещественной оси привело к появлению предельных теорем нового типа - теорем о распространении сходимости. В качестве пршлера приведем один результат Х.Ю.Россберга [зі] . Пусть
Нй(х) = р{ Ъ+Х*+%* -а.п<х},к-12,.. где случайные величіпш JLl имеют одну и ту же функцию распределения, а константы Сіп, и Ъ~п можно подобрать таким образом, чтобы &оп Ня f х) = U (он) X .< 0, где IX (X) - устойчивая функция распределения. Тогда функции распределения сходятся к U(x) на всей вещест- венной оси.
В общем случае схемы серий, как отмечено В.М.Золотаревым Гб ] , задача о распространении сходимости может быть сформулирована следующим образом.
Пусть дана последовательность серий >0±> пг -> > . у Ау^ > Я = 4>Zy - взаимно независимых (в каждой серии) равномерно предельно малых случайных величин. Обозначим
Предположим далее, что ІІПП FK (%) - Сг0 (7L) y ОС Є S где безгранично делимая функция распределения Gr0 (ос) единст-венным образом определяется своими значениями на множестве J .
Следует ли отсюда, что последовательность функций распределения {/^|слабо сходится к 6г0 ? Или каковы должны быть дополнительные условия, чтобы такая сходимость имела место?
Вопрос о распространении сходимости, а также ряд вопросов, близко к нему примыкащих, исследовался в работах Г34 I Х.Ю.Рос-сберга и Г.Зигеля, [35І и [36 J Г.Зигеля, [24 J Б.Есиака, [29І М.Риделя, А.В.Печинкина.
В работе f34J установлено, в частности, что если функции распределения "j Fn (x)j, введенные наїли выше, сходятся к нормальной функции распределения на произвольном неограниченном множестве точек, то они сходятся к ней всюду на вещественной оси.
В работе [ 35 / получен ряд важных результатов, которые могут быть использованы при исследовании задачи о распространении сходимости. Для нас представляет интерес следующий результат из этой работы. Если введенная выше последовательность функций распределения слабо сходится к неубывающей фушщии которая удовлетворяет условиям то эта функция отличается от некоторой безгранично делимой функции распределения лишь наличием постоянного множителя, не превышающего единицы. Подобный результат был также сфорглулирован в работе [І8І , но приводимое там доказательство содержало пробелы.
В первых двух главах данной диссертации доказан ряд результатов, относящихся к задаче о распространении сходимости.
Основной результат первой главы состоит в доказательстве необходимых и достаточных условий слабой сходимости функций распределения сумм независимых равномерно предельно малых случайных величина неубывакщим фушщиям, которые отличаются от безгранично делимых функций распределения лишь наличием постоянного множителя.
Этот результат является углублением упоминавшегося выше результата Зигеля. При доказательстве этого результата установлен ряд вспомогательных результатов, которые имеют самостоятельный интерес. Среди них мы отметим такой результат. Доказано, что для слабой сходимости функций распределения суш независимых равномерно предельно глалых случайных величин к неубывающей функции положительной вариации необходимо и достаточно, чтобы к этой же функции слабо сходились введенные Б.В.Гнеденко [ 2 ] сопровождающие безгранично делимые функции распределения. Напомним, что в [2Ї (см. также [і,с.119 і ) утверждение о сопровождающих безгранично делимых функциях распределения доказано для случая, когда в качестве предельной выступает функция распределения.
Первый параграф второй главы посвящен собственно задаче о распространении сходимости в формулировке Золотарева. При этом мы ограничиваемся классом множеств /S , удовлетворяющих условию unf{S} =-о.
Пусть фиксировано множество и этого типа. Обозначим «-7j* класс безгранично делимых функций распределения, которые единственным образом определяются своими значениями на /о в множестве всех неубывающих функций, которые лишь наличием постоянного множителя отличаются от безгранично делимых функций распределения. Нами доказано, что если Сг0 & ^4 , то сходимость ог^ЬО К ОгоСх.) на S мечет слабую сходимость Fn * G-0. Этот результат дает ответ на первый вопрос Золотарева. Второй результат этого параграфа состоит в следующем. Пусть безгранично делимая функция распределения (* имеет нормальную компоненту, а представляет собой монотонно убывающую к -о последовательность действительных чисел, показатель сходимости которой больше двух. Тогда, если на последовательность функций распределения { г^ j наложены определенные дополнительные условия, выраженные в терминах функций распределения слагаемых, то сходимость FJi (%) к G(x) на $ влечет слабую сходимость f^ к 6г .
Во втором параграфе второй главы получено несколько результатов, которые могут быть использованы при описании классов Sfe . Эти результаты представляют и самостоятельный интерес. Среди них отметим такой результат. Если свертка двух одинаковых неубывающих функций совпадает с норіальной функцией распределения на луче (— > а 1 , где &. произвольно, то она тождественна нормальной функции распределения.
В третьем параграфе второй главы для нескольких типов множеств лГ указаны принадлежащие w^j* множества безгранично делимых функций распределения.
В третьей главе исследуются условия слабой сходимости функций распределения сумм случайного числа независимых одинаково распределенных случайных величин и аналитические свойства характеристических функций предельных распределений. История вопроса состоит в следующем. Б.В.Інеденко и Фахим І"уссейн в работе Гзї доказали достаточные условия слабой сходимости функций распределения в описанной схеме суммирования. В работах /201 Д.Сааса и J 21J Д.Сааса и Б.Фрайера исследовался вопрос о необходимых условиях сходимости. Опираясь на результаты работы [20 ] , В.М.Крут-лов в работе [II J доказал необходимые и достаточные условия слабой сходимости к нормальной функции распределения. .
Основной результат третьей главы состоит в доказательстве необходимых и достаточных условий слабой сходимости функций распределения сумм случайного числа независимых одинаково распределенных случаїіннх величин в случае, когда характеристическая функция предельной функции распределения аналитически продолжается на всю комплексную плоскость как целая функция конечного порядка.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37] , [38J , [39 J .
Полученные результаты могут найти применение в математической статистике при построении критериев для проверен гипотез о виде функции распределения, в теории случайных процессов при изучении свойств процессов с независимыми приращениями, в теории массового обслуживания.
Основные результаты диссертации докладывались на второй научной конференции аспирантов и студентов факультета Вычислительной Математики и Кибернетики Московского Государственного университета, на семинарах кафедры математической статистики этого факультета в 1979-1982 годах.
Односторонняя сходимость функции распределения сумм независимых случайных величин
В работе установлено, в частности, что если функции распределения "j Fn (x)j, введенные наїли выше, сходятся к нормальной функции распределения на произвольном неограниченном множестве точек, то они сходятся к ней всюду на вещественной оси.
В работе получен ряд важных результатов, которые могут быть использованы при исследовании задачи о распространении сходимости. Для нас представляет интерес следующий результат из этой работы. Если введенная выше последовательность функций распределения слабо сходится к неубывающей фушщии которая удовлетворяет условиям то эта функция отличается от некоторой безгранично делимой функции распределения лишь наличием постоянного множителя, не превышающего единицы. Подобный результат был также сфорглулирован в работе [І8І , но приводимое там доказательство содержало пробелы.
В первых двух главах данной диссертации доказан ряд результатов, относящихся к задаче о распространении сходимости.
Основной результат первой главы состоит в доказательстве необходимых и достаточных условий слабой сходимости функций распределения сумм независимых равномерно предельно малых случайных величина неубывакщим фушщиям, которые отличаются от безгранично делимых функций распределения лишь наличием постоянного множителя.
Этот результат является углублением упоминавшегося выше результата Зигеля. При доказательстве этого результата установлен ряд вспомогательных результатов, которые имеют самостоятельный интерес. Среди них мы отметим такой результат. Доказано, что для слабой сходимости функций распределения суш независимых равномерно предельно глалых случайных величин к неубывающей функции положительной вариации необходимо и достаточно, чтобы к этой же функции слабо сходились введенные Б.В.Гнеденко [ 2 ] сопровождающие безгранично делимые функции распределения. Напомним, что в [2Ї (см. также [і,с.119 і ) утверждение о сопровождающих безгранично делимых функциях распределения доказано для случая, когда в качестве предельной выступает функция распределения.
Первый параграф второй главы посвящен собственно задаче о распространении сходимости в формулировке Золотарева. При этом мы ограничиваемся классом множеств /S , удовлетворяющих условию
Пусть фиксировано множество и этого типа. Обозначим «-7j класс безгранично делимых функций распределения, которые единственным образом определяются своими значениями на /о в множестве всех неубывающих функций, которые лишь наличием постоянного множителя отличаются от безгранично делимых функций распределения. Нами доказано, что если Сг0 & 4 , то сходимость ог ЬО К ОгоСх.) на S мечет слабую сходимость Fn G-0. Этот результат дает ответ на первый вопрос Золотарева. Второй результат этого параграфа состоит в следующем. Пусть безгранично делимая функция распределения ( имеет нормальную компоненту, а представляет собой монотонно убывающую к последовательность действительных чисел, показатель сходимости которой больше двух. Тогда, если на последовательность функций распределения { г j наложены определенные дополнительные условия, выраженные в терминах функций распределения слагаемых, то сходимость FJi к G(x) на $ влечет слабую сходимость f к 6г . Во втором параграфе второй главы получено несколько результатов, которые могут быть использованы при описании классов Sfe . Эти результаты представляют и самостоятельный интерес. Среди них отметим такой результат. Если свертка двух одинаковых неубывающих функций совпадает с норіальной функцией распределения на луче (— а 1 , где &. произвольно, то она тождественна нормальной функции распределения. В третьем параграфе второй главы для нескольких типов множеств лГ указаны принадлежащие w j множества безгранично делимых функций распределения.
В третьей главе исследуются условия слабой сходимости функций распределения сумм случайного числа независимых одинаково распределенных случайных величин и аналитические свойства характеристических функций предельных распределений. История вопроса состоит в следующем. Б.В.Інеденко и Фахим І"уссейн в работе Гзї доказали достаточные условия слабой сходимости функций распределения в описанной схеме суммирования. В работах /201 Д.Сааса и J 21J Д.Сааса и Б.Фрайера исследовался вопрос о необходимых условиях сходимости. Опираясь на результаты работы [20 ] , В.М.Крут-лов в работе [II J доказал необходимые и достаточные условия слабой сходимости к нормальной функции распределения. .
Основной результат третьей главы состоит в доказательстве необходимых и достаточных условий слабой сходимости функций распределения сумм случайного числа независимых одинаково распределенных случаїіннх величин в случае, когда характеристическая функция предельной функции распределения аналитически продолжается на всю комплексную плоскость как целая функция конечного порядка. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37] , [38J , [39 J .
Полученные результаты могут найти применение в математической статистике при построении критериев для проверен гипотез о виде функции распределения, в теории случайных процессов при изучении свойств процессов с независимыми приращениями, в теории массового обслуживания.
Основные результаты диссертации докладывались на второй научной конференции аспирантов и студентов факультета Вычислительной Математики и Кибернетики Московского Государственного университета, на семинарах кафедры математической статистики этого факультета в 1979-1982 годах.
На полуоси композиций одинаковых неубывающих функций
Из этого неравенства на основании теоремы Д3.2 (критерий для аналитического продолжения характеристической функции в полосу), учитывая, что характеристическая функция рЫ) аналитически продолжается в полосу Р получаем, что функции fdt ( J и jZc ( также аналитически продолжаются в полосу Р . Из (3.5) следует, что функция f c имеет безгранично делимую компоненту Gj С "К J . Из теоремы Д3.7 о компонентах аналитических харшстеристических функций следует, что характеристическая функция ас(/) аналитически продолжша в полосу D . В силу безграничной делимости ее аналитическое продолжение нигде не отражается в нуль в полосе D , и потому характеристическая функция gf (« ) также аналитически продолжима в полосу О , Тем самым первая часть утверждения теоремы доказана. Докажем теперь, что интеграл, определенный соотношением (3.2), сходится абсолютно и равномерно в полосе Dj ,
Так как функция xd с (х) определена с помощью интегрирования в конечных пределах, то всюду в О имеем Функция у с ( на мшшо оси положительна, поэтому на основании (3.6) получаем при всех С ? . Учитывая, что при каждом : є R , и применяя к последовательности { с 6 у/!.) j теорему Витали о сходимости последовательности аналитических функций (формулировка этой теоремы приведена в п.2 Дополнения), имеем причем интеграл сходится абсолютно и равномерно в D Для завершения доказательства нам осталось исследовать вопрос об аналитическом продолжении характеристической функции Из теоремы ДЗ.І известно, что определенная на интервале вещественной оси функция % У \ Ц является выпуклой функцией. Это означает, что она достигает своего максимума на границе этого интервала. По определению ин тервала С (К ) -б ) точка Ц = 0 лежит либо внутри, либо на его границе. Следовательно, введенная наш величина А удов летворяет условию Если , то воз можность аналитического продолжения функции ft ( ) в полуплоскость X v?2 О следует из того, что функция tfl () сосредоточена на положительной полуоси. Поэтому нам достаточно рассмотреть случай т? О , В силу непрерывности функции (X ((%) для любого положи тельного числа % ri всегда найдется число (tft в) такое, что . Имеем На основании этого соотношения из теоремы Д3.2 следует, что Ст) аналитически продолжается в полуплоскость Т гп % - п. Теорема доказана. Доказательство теоремы 3.2. Рассмотрим функции v c (зі) и y t С ) » введенные нами при доказательстве теоревлы 3.1. Как уже отмечалось, эти функции аналитически продолжаются в ту же полосу коїлплексной плоскости, что и функция ( ) .В данном случае функция Ы) аналитически продолжима на всю комплексную плоскость. Это же имеет место и для функций jfc (/) , причем, в силу (3.6), Так как функция % с (z) положительна всюду на мнимой оси, то fz.c.((l/) (( !/) ПРИ всех У По теореме Д3.4 максимум модуля аналитической характеристической функции достигается на мнимой оси, поэтому порядок функции rf2c (z) не превосходит порядка функции f-(Z-) . Так как порядок функции f(z) конечен, то отсюда следует, что функция foc (z) также является целой функцией конечного порядка. Далее, функция J?2C (z) , в силу (3.5), имеет компоненту Ц (\) , которая, в силу теоремы о компонентах целой аналитической характеристической фзгнкции конечного порядка (п.3 Дополнения), также аналитически продолжается на всю комплексную плоскость как целая функция конечного порядка. Так как функ-идя (я) нигде не обращается в нуль в силу безграничной делимости, то функция также является целой функцией конечного порядка. Но, как следует из теоремы Д3.6, целая аналитическая безгранично делимая характеристическая функция конечного порядка является либо характеристической функцией норлального закона, либо вырожденного в точке распределения. Иными словами, Й ( ) определяется с помощью соотношения (3.3). При этом, если у и ft- і то cj(4) = 1 . Тогда и ftf) «У. Но это противоречит нашему исходному соглашению о том, что Доказательство теоремы 3.3. Из теоремы 3.1 следует, что характеристические функции % (т) и fa ( ) аналитически продолжаются ъ Р .В силу теоремы ДІ.5 эти функции могут быть представлены в виде
Классы предельных распределений, для которых верна теорема о распространении сходимости
Обозначим д множество точек действительной оси, - множество точек комплексной плоскости.
Как правило, мы рассматриваем функции (числовые или комп-лекснозначные), которые определены всюду на R , если не оговорено противное. Стремление к пределу числовой последовательности будем обозначать знаком — в тех случаях, когда это удобно и не приводит к недоразумению. Как правило, мы рассматриваем последовательности (чисел или функций), зависящие от индекса Пределы таких последовательностей указаны всюду при fl - ос», если не оговорено противное. Пусть - ограниченные неубывающие функции. Будем говорить, что последовательность { Н ц } слабо сходится к п , если в каждой точке непре рывности функции Н . Для слабой сходимости будем использовать обозначение Ни- н . Отметшя, что совпадеьше обозначений слабой сходимости и сходимости числовых последовательностей не приведет к недоразумению, так как из контекста всегда ясно, о каком виде сходимости идет речь. Если то будем говорить, что последовательность Нп f сходится вполне к Н , и обозначать это г\ц =Ф Н. Введем еще один тип сходимости, промежуточный между слабой сходимостью и сходимостью вполне. А именно, если то будем говорить об отрицательной односторонней сходимости, обозначаемой На оо Н Если же то будем говорить о положительной односторонней сходимости, обозначаемой Нп + Л Н Множество ограниченных неубывающих функций называется компактным в смысле некоторого типа сходимости, если каждая бесконечная последовательность функций из этого множества содержит подпоследовательность, сходящуюся в том же смысле к некоторой неубывающей функции. Ради краткости, шожество ограниченных неубывающих функцші, компактное в смысле слабой сходимости, будем называть слабо компактным, компактное в смысле сходимости вполне - компактным вполне, компактное в смысле отрицательной (положительной) односторонней сходимости - компактным слева (справа) множеством. Ясно, что множество ограниченных неубывающих функций компактно вполне тогда и только тогда, когда оно компактно и слева, и справа. Необходимые нам в дальнейшем критерии компактности приведены в п.1 Дополнения. Обозначим (г множество ограниченных неубывающих функций р , непрерывных слева и удовлетворяющих условию Функции этого множества, как правило, мы всегда будем обозначать заглавными латинскими буквами (с индексами, или без них), а соответствующие строчные латинские буквы (с теми же индексами) будем использовать для обозначения преобразования Фурье-Стильтьеса этих функции. При этом №і часто будем использовать следующий важный результат. Теорема единственности [ 14, с.199] . Соответствие между функциями множества и их преобразованиями Фуръе-Стильтьеса является взаимно-однозначным. Во множествевыделим подмножество функции, которые удовлетворяют дополнительному условию
В теории вероятностей такие функции принято называть функциями распределения, а их преобразования Фурье-Стильтьеса - характеристическими функциями. Вероятностный смысл функций распределения определяется тем обстоятельством, что каждая такая фушщия задает распределение вероятностей некоторой случайной величины. И обратно, если задана случайная величина , то ее функция распределения в каждой точке ОС действительной оси определяется как вероятность события jp ЗС 9
Слабая сходимость функций распределения сумм случайного числа независимых случайных величин
Отсюда, в частности, следует, что Из этого неравенства на основании теоремы Д3.2 (критерий для аналитического продолжения характеристической функции в полосу), учитывая, что характеристическая функция рЫ) аналитически продолжается в полосу Р получаем, что функции fdt ( J и jZc ( также аналитически продолжаются в полосу Р . Из (3.5) следует, что функция f c имеет безгранично делимую компоненту Gj С "К J . Из теоремы Д3.7 о компонентах аналитических харшстеристических функций следует, что характеристическая функция ас(/) аналитически продолжша в полосу D . В силу безграничной делимости ее аналитическое продолжение нигде не отражается в нуль в полосе D , и потому характеристическая функция gf (« ) также аналитически продолжима в полосу О , Тем самым первая часть утверждения теоремы доказана. Докажем теперь, что интеграл, определенный соотношением (3.2), сходится абсолютно и равномерно в полосе Dj ,
Так как функция xd с (х) определена с помощью интегрирования в конечных пределах, то всюду в О имеем Из теоремы Д3.2 следует, что Функция у с ( на мшшо оси положительна, поэтому на основании (3.6) получаем при каждом : є R , и применяя к последовательности { с 6 у/!.) j теорему Витали о сходимости последовательности аналитических функций (формулировка этой теоремы приведена в п.2 Дополнения), имеем причем интеграл сходится абсолютно и равномерно в D Для завершения доказательства нам осталось исследовать вопрос об аналитическом продолжении характеристической функции Из теоремы ДЗ.І известно, что определенная на интервале вещественной оси функция % У \ Ц является выпуклой функцией. Это означает, что она достигает своего максимума на границе этого интервала. По определению ин тервала С (К ) -б ) точка Ц = 0 лежит либо внутри, либо на его границе. Следовательно, введенная наш величина А удов летворяет условию Если , то воз можность аналитического продолжения функции ft ( ) в полуплоскость X v?2 О следует из того, что функция tfl () сосредоточена на положительной полуоси. Поэтому нам достаточно рассмотреть случай т? О , В силу непрерывности функции (X ((%) для любого положи тельного числа % ri всегда найдется число (tft в) такое, что . Имеем На основании этого соотношения из теоремы Д3.2 следует, что Ст) аналитически продолжается в полуплоскость Т гп % - п. Теорема доказана. Доказательство теоремы 3.2. Рассмотрим функции v c (зі) и y t С ) » введенные нами при доказательстве теоревлы 3.1. Как уже отмечалось, эти функции аналитически продолжаются в ту же полосу коїлплексной плоскости, что и функция ( ) .В данном случае функция Ы) аналитически продолжима на всю комплексную плоскость. Это же имеет место и для функций jfc (/) , причем, в силу (3.6), Так как функция % с (z) положительна всюду на мнимой оси, то fz.c.((l/) (( !/) ПРИ всех У По теореме Д3.4 максимум модуля аналитической характеристической функции достигается на мнимой оси, поэтому порядок функции rf2c (z) не превосходит порядка функции f-(Z-) . Так как порядок функции f(z) конечен, то отсюда следует, что функция foc (z) также является целой функцией конечного порядка. Далее, функция J?2C (z) , в силу (3.5), имеет компоненту Ц (\) , которая, в силу теоремы о компонентах целой аналитической характеристической фзгнкции конечного порядка (п.3 Дополнения), также аналитически продолжается на всю комплексную плоскость как целая функция конечного порядка. Так как функ-идя (я) нигде не обращается в нуль в силу безграничной делимости, то функция также является целой функцией конечного порядка. Но, как следует из теоремы Д3.6, целая аналитическая безгранично делимая характеристическая функция конечного порядка является либо характеристической функцией норлального закона, либо вырожденного в точке распределения. Иными словами, Й ( ) определяется с помощью соотношения (3.3). При этом, если у и ft- і то cj(4) = 1 . Тогда и ftf) «У. Но это противоречит нашему исходному соглашению о том, что у (Ю ф . Значит, если У = О , то у2 ф О , Теорема доказана.
