Введение к работе
. Актуальность темы. Среди динамических систем особое место занимают каскады и потоки, порожденные преобразованием сдвига а на различных подмножествах Y пространства X всех двусторонне-бесконечных последовательностей х = {хі }, где Xi -буквы некоторого алфавита П. Это связано с тем, что топологические л арготические свойства многих важнейших динамических систем исследуются при помощи символических моделей, в которых элементы множества У соответствуют траекториям изучаемой системы, а отображение а — сдвигу вдоль них. Если в качестве У взять пространство X(G) двусторонне-бесконечных путей ориентированного графа G с множеством вершин V(G) = il, то мы получим символическую динамическую систему (X(G),
Прибавив к Л(сг,іі) интеграл от ограниченной непрерывной функции /, мы получим функционал P(X(G); /;р) на пространстве 1{Х(G)), принимающий значения в f-oo, ooj. Элементы множества I(X(G);j) точек максиума этого функционала называются равновесными состояниями для функции /. Они играют важную роль при изучении одномерных моделей статистической механики.
Предположим, что величина
ВДГ(С);Я= «*(/(***))
tcFixa(X'{0)) i»o
конечна при любом п. Тогда можно определить вероятностную меру ц, значение 1*&(х) которой для любого г Є Fisn(X(G)) рав-
п—і
но ехр( f(akx))JN„(X(G);f). При card V(G) < оо множество I(X(G)}f) непусто и любая предельная точка (в слабой топологии) последовательности дискретных инвариантных мер {ц^} принадлежит I(X(G); /). Используя этот факт, Боуэн показал, что если G — конечный связный апериодический граф и / — гельдеровская функция, то существует единственное равновесное состояние т^, автоморфизм (c,rn-f) изоморфен сдвигу Бериулли и вероятностная мера т* имеет полный носитель, т.е. положительна на любом цилиндрическом подмножестве X(G). В этом случае дзета-функция Артина-Мазура-Рюэля допускает мероморфное продолжение за пределы естественного круга сходимости, и ее ближайшая к нулю особенность является полюсом первого порядка.
Помимо преобразований с дискретным временем, Боуэн, Пэр-ра и Полликот рассматривали специальные потоки а/, построенные по конечной ТМЦ и положительной непрерывной функции /.
Используя формулу Абрамова, нетрудно показать, что в этом случае вопрос о структуре множества мер с максимальной энтропией относительно потока <г/ сводится к исследованию множества равновесных состояний для функции — Л(оу)/, где Л(с/) — топологическая энтропия потока <г/. В частности, для специального потока, построенного по конечной ТМЦ, отвечающей связному графу, и гельдеровской функции /, мера с максимальной энтропией единственна и имеет полный носитель. Дзета-функция Рюэля-Смейла такого потока оу (эта функция является аналогом дзета-функции Римаяа — роль простых чисел здесь играют величины exp(h(
card {т : ехр(/і(ст/)А(т)) < у} ~ у/ ту. (1)
Все вышесказанное относилось к случаю конечного графа G. При изучении бесконечных ТМЦ возникают новые трудности, так или иначе связанные с тем, что пространство X(G) не является компактом в любой топологии, в которой открыты цилиндрические подмножества. Тем не менее Б.М. Гуревич дал критерий
существования равновесного состояния для функции, зависящей от конечного числа координат точки пространства X (G) и доказал его единственность в случае связного графа G. Что касается множества периодических точек, то здесь до сих нор многие вопросы не были изучены, хотя имелись результаты, при помощи которых, как выяснил автор, можно обобщить подученные ранее законы распределения периодических точек на случай бесконечных ТМЦ. Среди них отметим формулу Такахаси, связывающую дзета-функции Аргнна-Мазура ТМЦ (X(G),tr) и {X{G \ v),
Цель работы: исследовать законы распределения числа периодических траектория для бесконечных ТМЦ.
Научиая ноанзиа, Вс« результаты диссертации являются новыми. Решены следующие задачи:
1) исследованы аналитические свойства дзета-функдди Арти-на-Мазура-Рюэля, а также сходимость дискретных инвариантных мер к равновесным состояниям для функций, зависящих от конечного числа координат точки х Є X(G);
-
получен критерий существования меры с максимальной энтропией относительно специального потока, построенного по счетной ТМЦ и положительной функции, зависящей от конечного числа координат точки пространства X(G), исследованы аналитические свойства дзета-функции Рюэля-Смейла и законы распределения числа периодических траекторий таких потоков;
-
при card V(G) < со изучена структура множества равновесных состояний, аналитические свойства дзета-функций и сходимость дискретных инвариантных мер для некоторого класса, вообще говоря, негельдеровскнх функций.
Методы исследования. В работе применяются метод производящих функций и асимптотические методы теории чисел.
Научная и практическая иенпость. Диссертация имеет теоретический характер, ее результаты могут найти применение в теории марковских процессов, при исследовании одномерных моделей статистической механики, гиперболпческах и близких к ним динамических систем (например, рассеивающих биллиардов).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на научно-исследовательском семинаре МГУ по динамическим системам и на конференциях молодых ученых МГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы (список приведен в конце автореферата).
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 47 наименований. Общий объем диссертации — 122 страницы.
