Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Описание восстанавливаемых систем с резервом времени полумарковскими процессами с произвольным множеством состояний
1.1. Основные определения и используемые результаты 17
1.2. Процессы марковского восстановления, описывающие функционирование восстанавливаемых систем с резервом времени 25
1.3. Предельные теоремы о времени безотказной работы для восстанавливаемых систем с пополняемым резервом времени в условиях высокой надежности 30
1.4. Асимптотический анализ функции распределения времени безотказной работы систем с большим пополняемым резервом времени 48
ГЛАВА II. Система с резервом времени: стационарные показатели надежности, большой резерв времени .. 66
2.1. Нагруженное резервирование из N элементов с восстанавливаемым резервом времени (с отключением). Полумарковская модель 66
2.2. Стационарные показатели надежности системы Р из N с резервом времени 74
2.3. Предельное поведение времени безотказной работы системы Р из А/ при большом резерве времени ... 82
2.4. Нахождение стационарного распределения р для ПМП с конечным множеством состояний 93
ГЛАВА III. Время безотказной работы восстанавливаемых систем с резервом времени при условии быстрого восстановления
3.1. Система р из Л/ с резервом времени в случае неог раниченного восстановления 100
3.2. О времени безотказной работы системы Р из N с резервом времени при ограниченном восстановлении .. 111
3.3. Ненагруженное дублирование с резервом времени 116
Приложение 123
Литература 128
- Процессы марковского восстановления, описывающие функционирование восстанавливаемых систем с резервом времени
- Асимптотический анализ функции распределения времени безотказной работы систем с большим пополняемым резервом времени
- Предельное поведение времени безотказной работы системы Р из А/ при большом резерве времени
- О времени безотказной работы системы Р из N с резервом времени при ограниченном восстановлении
Введение к работе
Одним из способов повышения надежности систем является введение в нее резерва времени или временной избыточности. О временной избыточности говорят в тех случаях, когда системе в процессе функционирования предоставляется возможность израсходовать некоторое дополнительное время на восстановление ее технических характеристик. Можно указать несколько основных источников резерва времени Г27,44]. qh может создаваться за счет увеличения времени, выделяемого системе для выполнения порученного ей задания. Другим основным источником является запас производительности, который позволяет уменьшить минимальное время выполнения задания и создагь резерв без увеличения оперативного времени системы. Следующим источником резерва времени является функциональная инерционность; таким свойством обладают, например, системы термостатирования, жизнеобеспечения судов и др. Ряд задач, связанных с резервом времени, возникает в теории восстановления С 48 ] .
Приведем два примера реальных систем, исследование надеж -ности которых связано с рассмотрением резерва времени.
Пример I [ 271. Система передачи данных (СПД) осуществляет передачу радиолокационной информации, поступающей с устройства вторичной обработки в реальном масштабе времени. Длительность сеанса t*, задана. В процессе функционирования системы возможны отказы СПД и восстановления ее работоспособности. В системе предусмотрен специальный накопитель большой емкости, ко-
торый запоминает всю информацию, поступающую для передачи во время ремонта СПД. После окончания ремонта,в первую очередь, передается накопленная информация, а затем вновь поступившая. По условиям функционирования перерыв в передаче информации на время,
большее допустимого tn , обесценивает поступающую информацию и
7 рассматривается как срыв функционирования системы.
Пример 2 Г 27]. Рассмотрим ЦВМ, используемую в некоторой автоматизированной системе управления и работающую в реальном масштабе времени. Машина решает определенную задачу, причем время , необходимое и достаточное для ее решения (при абсолют-ной надежности ЦВМ), известно. В процессе решения задачи возникают отказы и сбои, нарушающие нормальную работу машины. Для обнаружения указанных выше внешних возмущений и обеспечения высокой достоверности выходной информации в ЦВМ реализуется метод двойного просчета. Для решения задачи выделена норма времени t , превышающая необходимое и достаточное время t~ для решения задачи при отсутствии внешних возмущений. Задача будет решена,если суммарная наработка ЦВМ достигает величины t, раньше, чем сум-марные потери рабочего времени превзойдут величину ta = t-t* , где ta - избыточное время относительно минимально необходимого для решения задачи в условиях абсолютной надежности ЦВМ.
Примеры I и 2 иллюстрируют основные особенности систем с резервом времени.
Системы с резервом времени различаются по способу использования временного резерва.
Наиболее исследованы два вида систем:
а) системы с пополняемым резервом времени, которые характеризуются тем, что для восстановления работоспособности системы выделяется одно и тоже время, не зависящее от предыдущих наруше-
ний работоспособности системы;
б) кумулятивные системы, в которых при очередном нарушении работоспособности системы используется только та часть первоначального резерва, которая не была израсходована при предыдущих отказах.
Система, описанная в примере I, является системой с пополняемым резервом времени; система представленная в примере 2, кумулятивная.
Можно привести примеры систем со смешанным использованием резерва времени.
Исследованию систем с резервом времени посвящены работы Г.Н.Черкесова [43,44,45], Б.П.Креденцера С 24,26,27 1, Ю.К.Беляева С 3 1, Я.Г.Гениса С 7 J, Л.В.Коломенского I 20 ], О.Ф.Пос -лавского U 35 1, Н.А.Северцева С 37 ] и др., в которых изучен широкий класс систем с резервом времени.
Для исследования систем с резервом времени применялись различные методы: метод интегральных преобразований различных видов для решения интегральных уравнений, которым удовлетворяют характеристики надежности систем с резервом времени С 27,46 ], использовались марковские С 27 ], полумарковские с конечным множеством состояний [ 24 ], регенерирующие процессы. В большинстве из этих работ предполагалось, что или время безотказной работы или время восстановления элементов системы имеют экспоненциальное распределение, что сужает возможности применения полученных результатов.
В последнее время интенсивно проводятся исследования, результаты которых позволяют полностью или частично отказаться от предположения о конкретном виде исходных распределений при анализе надежности восстанавливаемых систем. Отметим в этом направлении работы Б.В.Гнеденко, Ю.К.Беляева, И.Н.Коваленко, А.Д.Соловьева,
И.И.Ежова, В.В.Анисимова, Д.С.Сильвестрова, А.А.Войны, Н.Ю.Кузнецова и др.
В ряде работ В.С.Королюка С21т23 3, А.Ф.Турбина E21,29,411 » В.Н.Кузнецова [28 ], Г.Ж.Цатуряна С 29 3, Т.Л.Влаха, Р.Л.Диснея С 50 ] и др. для анализа надежности сложных систем использовались полумарковские процессы с произвольным множеством состояний и предельные теоремы типа фазового укрупнения, что позволило получить характеристики надежности ряда систем при отказе от предположения о конкретном виде распределений- времен безотказной работы и восстановления элементов системы.
Целью данной диссертации является разработка методики описания функционирования восстанавливаемых систем с резервом времени посредством полумарковских процессов с произвольным множестве вом состояний, исследованиеЧкоторых общих свойств систем с резервом времени и решение задач по нахождению показателей надежности конкретных систем при достаточно общих предположениях относительно распределений времен безотказной работыУвосстановления элементов системы.
В диссертации используются термины и определения, а также некоторые результаты теории полумарковских процессов с произвольным множеством состояний, полученные в работах Е.Цинлара Г 49 3, Королюка B.C., Турбина А.Ф 2,233, Кузнецова В.Н. С 28 3 и др. При выводе предельных теорем и асимптотического разложения для распределения времени безотказной работы систем с пополняемым резервом времени в условиях высокой надежности автор использовал идеи работ В.С.Королюка, А.Ф.Турбина С21 3, В.Н.Кузнецова Г 28 3.
Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения. Первая глава, имеющая четыре параграфа, посвящена общей методике описания функционирования восстанавливаемых систем с ре -
зервом времени посредством полумарковских процессов с произвольным множеством состояний и исследованию общих свойств таких систем. В первом параграфе вводятся необходимые определения, приводятся используемые результаты.
Во втором параграфе, исходя из процесса марковского восстановления {fft б^'п^с^ » вложенная цепь Маркова (f ^о] которого имеет фазовое пространство (X »^), строится новый процесс марковского восстановления (f би,і и-*0}, » описывающий функционирование систем с резервом времени, равным -Я^о и соответствующий
ему полумарковский процесс ftn (і) с фазовым пространством (Л Ъ) ,
— ш *
где X имеет вид:
X = Е^х{о} U ( Е.иЕ"') хсо, «о; и { ег, ** Е_* ^ «^
К\ С, Е.« », Е^О Е^»0, 3 - (Г -алгебра в X, % описывают отказовые состояния системы с резервом времени.
Построенный полумарковский процесс IL.U) может описывать функционирование систем с резервом времени, включая как с пополняемым резервом времени, так и кумулятивным.
В 1.3 доказываются общие предельные теоремы о времени безотказной работы систем с пополняемым резервом времени:
а) при большом резерве времени, теоремы 1.3Д, 1.3.2,
б) при условии быстрого восстановления, теорема 1.3.3.
Сформулируем результат теоремы I.3.I.
Пусть %ВА±), 3) , семейство регулярных полумарковских процессов с фазовым пространством(Е+, ^>+) » где
Определяется опорный полумарковский процесс ^,^ с фазовым пространством (Е+,ЗУ, который получается из " () при й-»^* Предположим, что вложенная цепь Маркова { "f л.»о1 полумарковс-
кого процесса < (t) имеет N*i классов эргодических состоя-
ний Л, » k=d,N , = іУ Л, , р го стационарные распределения
*=* _ * вложенной цепи Маркова { <*, л » 0}
Пусть d& = /,/+,.>Pfoo)) банахово пространство Ж-измери-
_ (оо)
мых функций z(x) , интегрируемых по мере р о) с нормой
Hall = J \2СХ)\р (dx), J) Ї6)=^2д (хкпв-), В^+. Рассмотрим следующие операторы в пространстве dy :
IP гї<&. [гфР^Ъф,
Е.
СМ(ыг] Ш = | J t в* fttt) Рш(F.dp гф ,
Е*
// J ^Л В. t _ "_ _ _
Теорема I.3.I. Пусть выполнены следующие условия: 1) В1Щ {j; > nzo} с оператором переходных вероятностей р , действующих в банаховом пространстве & , равномерно эргодична в том смысле, что
lim И {Z РСҐк\ -П || =0, где
47^ ^) С00) Г - С00) —
О, хе Е+\Л^ ;
2) равномерно по k , к є. Г/г,,^)» где к - некоторое неотрицательное число,
Г -Rt
S - tim ({-Є )Н (t)dt = 0 ,
а-~о J (к)
где s - lim означает слабый предел;
3) Г (aa)
т.
оо *Ч
.. = J т(х)р. (d(x,)) > 0 ,
4) лШ гь&\ л &) ,«*»;_ _ х ч .. .—,
, , А ' Л г Л .- Л #//
iet\*0t Л ={ACi,i,jri,N}9 Л^.-^f;
5) существует положительная функция В (k,) , для которой
1т ш1 = ?> f*-
оо
к-
Тогда для любого начального распределения л (В) » Ее fe+ , /* СЕ+ х {о} >1 процесса 4(/с) (Ь
1Ы [ ?{Ык)^ >t}/a(dx) = 5!//. . М,),
Ef-
где л
ft = JL и.(Х)рЫх), E.(A,t)= i-EL(A,t) ,
A f
Е.(Л,г)~ обобщенная эрланговская функция распределения, опреде-ляемая равенством
-ЛІ - А ,. ^ А Г-Л
Є E.(A,t)dt = 01* Л).. ,
В теореме 1.3.2 результат, полученный в теореме 1.3.I, формулируется для случая N=i ; в теореме 1.3.3 аналогичный результат устанавливается для систем с быстрым восстановлением.
В 1.4 строится асимптотическое разложение для функции распределения времени безотказной работы систем с пополняемым резервом времени при к — о .
Теорема 1.4.1. Пусть наряду с условиями 1)-4) теоремы 1.3.2 выполнено следующее условие: ограничен оператор
(3) третьих моментов Мх, :
См"'г]сл) = _ jt5G(k\dt,x,y)P (х,с!рг(р.
г Рл л<)>
Ef"
Тогда в норме пространства & = 1 (Ё,,&,,Р )$ввно№що по telOJl
+ о(1—,х
Лчш Л) Л ~ь Г и-, (Ьп1(к) -V /а(к)
60 І t-m. \
где функции v. (t, ас) и w ( (М,#) выписываются в явном
виде, г
. = {е-, хе Ё_*Г0,~У}.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию с использованием методики, изложенной в первой главе, стационарных показателей надежности и времени безотказной работы при большом резерве времени восстанавливаемых систем, со структурой часто используемой в конкретных технических системах.
В 2.1 строится полумарковская модель системы Р из /у с резервом времени, состоящей из Nъ-{ элементов, времена безотказной работы и восстановления которых соответственно случайные
„(о) „it) г ^Со) СО . —
величины ,. , ,- с функциями распределения к (х), F. (зс)^ы={7Н.
Случайные величины 4. ,4; , i=l,N , предполагаются независимы-
ми в совокупности.
Система становится неисправной, если отказали некоторые l^P^N элементы системы. В момент наступления неисправности системы работоспособные элементы отключаются до момента восстановления одного из Р отказавших элементов. Отключенные элементы начинают работать с тем уровнем наработки, на каком их застало наступление неисправности. Отказ системы наступает тогда,когда неисправность длится время большее, чем ft^o . Число восстанавливающих устройств z , i^Z^P. Дисциплина восстановления элементов системы прямая.
В 2.2 находятся стационарные показатели надежности этой системы при полнодоступном восстановлении. Доказано, что стационарный коэффициент готовности К г , наработка на отказ Т^ и среднее стационарное время восстановления Т_ находятся по формулам:
^ * (L) ~ СО) ({)
Z П М4 - Z П М Л п. (к,)
К —
2. п М4/
н d&
СО) _ CV)
(to _ Ш\*Р 5:lctl=P
У П Mi - ) П М4 . П т (к)
01 <Ш1=Р l *'h
+ Z п мС' I f^' п Л
СО) „ сі)
Д) ^:іЯ/=Р Ч" kldk'1
П M0 П ^ CA) T =
1 L k*l
/и. Ш
Ck) = J F (t)dt , k= i,N ,
д - N-мерный вектор, каждая компонента которого равна нулю или единице, I d I - число компонент вектора d равных единице.
В 2.3 доказывается предельная теорема о времени безотказной работы системы р из N с резервом времени при k~- в случае неограниченного восстановления.
Теорема 2.3.1. Пусть выполнены следующие условия:
ff(X+t)
1) #«, Sup t ' -*-=гтп dt = 0 , і = i,N ;
/l-~> xfo J F. 7я>) '
/t
Г /V /- «- (Д.
2) m*s sup J п -рсг— * * 'б** <i ;
л/ F^ttj+t) (d})
П ^, / -
:=/ f e(v\ L
+ e/W^ *
/// ) (d;)
3) Im П .^/ ^77^ <#<«>,
_ю со |cL,"P> хе/5",г, V = /^' ^/ ;
4) R (X)=i~FL (х)>0, х?0, i=i,N;
5) существуют МС4- 1 * , к=0,{ , =/,У , для некоторого JV0
Тогда для любого начального распределения и (*) , /U(E+) = 4
It*00 с
ftm Г р\Лг1УУ>Ь\дах)= є'*,
и + сх, J L (k) х JL
Здесь М обозначает множество номеров отключенных элементов в состоянии idx, x = (xif...Jxk,...,x-N)f r' = {х : х^>>0, х- = 0} . В 2.4 рассматривается вопрос о нахождении стационарного распределения р оу в случае, когда ВЦМ {4к;п*0} в ПМВ{<* ,Ок;Ц}0] по которому строится ПМВ {Д ?в % Уі^О]Соа) , имеет конечное фазовое пространство. Излагается метод нахождения стационарного распреде-
(оо)
ления jd (.) в этом случае; приводится пример.
В третьей главе исследуется время безотказной работы ряда конкретных систем с пополняемым резервом времени.
В 3.1 в теореме 3.1.I для системы Р из N с резервом времени при полнодоступном восстановлении доказывается, что для вре-мени безотказной работы <с ~ имеет место следующее предельное со-отношение:
С г til) (7ft) ,., ,^ -f
1\т Р{Л -Г_ >t}ju
+0 J x <-
-+
ГДЄ С «» ЯГ -CW ({)
I П M4 * Z Я (І)П m (k)
П KA Г (0)
Ы L
3.2. посвящен исследованию времени безотказной работы системы Р из N с резервом времени при ограниченном восстановлении, т.е. i^z
. В этом случае получены предельные соотношения, аналогичные указанному выше, где:
а) если 2=р-1 , то
Л = ;
П м*.
б) в случае z s {
to)
г-.
Л = —— -*%*-*
П М4.
пь.
х aF. ' (х + /t), /= />/v ,
{гг.,,г.,..;г^>- сочетание из {4,...,A/]U по /V-^ .
В 2.4 для дублированной системы с ненагруженным резервом доказывается предельная теорема о времени безотказной работы, в этом случае параметр А имеет следующий вид:
Л = —^ — :
где d- , b- , і = 1,2, соответственно времена безотказной работы и восстановления элементов системы.
В приложении приводится ряд конкретных результатов по оценке показателей надежности различных видов систем, полученных на основании методики, развитой в первой главе и не вошедших в основной текст диссертации.
Основные результаты диссертации докладывались на I Республиканской конференции по повышению надежности и долговечности машин и сооружений (Киев,1982), на семинарах отдела теории вероятностей и математической статистики Института математики АН УССР (руков. академик АН УССР В.С.Королюк), на семинаре по проблемам надежности Ин-та надежности и долговечности машин и механизмов АН БССР (руков. чл.-корр.АН БССР И.С.Цитович), на семинаре по теории надежности при Республиканском доме экономической и научно-технической пропаганды, на конференции молодых ученых Ин-та математики АН УССР.
Ряд результатов внедрен в РТМ 25 499-82 "АСУ ТП.Надежность. Аналитическая оценка. Асимптотические методы" Минприбора СССР и в "Договор 14/12750108 на передачу научно-технического достижения и на оказание помощи в исследовании заимствованного передового опыта" между Институтом математики АН УССР и ЦНИИ им. академика А.Н.Крылова (г.Ленинград).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [32 -34, 42].
Автор выражает глубокую благодарность за постоянную поддержку и помощь в работе над диссертацией Владимиру Семеновичу КОРОЛШУ и своему научному руководителю Анатолию Федоровичу ТУРБИНУ.
Процессы марковского восстановления, описывающие функционирование восстанавливаемых систем с резервом времени
В приложении приводится ряд конкретных результатов по оценке показателей надежности различных видов систем, полученных на основании методики, развитой в первой главе и не вошедших в основной текст диссертации.
Основные результаты диссертации докладывались на I Республиканской конференции по повышению надежности и долговечности машин и сооружений (Киев,1982), на семинарах отдела теории вероятностей и математической статистики Института математики АН УССР (руков. академик АН УССР В.С.Королюк), на семинаре по проблемам надежности Ин-та надежности и долговечности машин и механизмов АН БССР (руков. чл.-корр.АН БССР И.С.Цитович), на семинаре по теории надежности при Республиканском доме экономической и научно-технической пропаганды, на конференции молодых ученых Ин-та математики АН УССР.
Ряд результатов внедрен в РТМ 25 499-82 "АСУ ТП.Надежность. Аналитическая оценка. Асимптотические методы" Минприбора СССР и в "Договор 14/12750108 на передачу научно-технического достижения и на оказание помощи в исследовании заимствованного передового опыта" между Институтом математики АН УССР и ЦНИИ им. академика А.Н.Крылова (г.Ленинград).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [32 -34, 42]. Автор выражает глубокую благодарность за постоянную поддержку и помощь в работе над диссертацией Владимиру Семеновичу КОРОЛШУ и своему научному руководителю Анатолию Федоровичу ТУРБИНУ. Для описания восстанавливаемых систем с резервом времени и исследования их надежностных характеристик в диссертации используется аппарат теории полумарковских процессов с произвольным фазовым пространством [ 21, 22, 49 ] . Сформулируем основные определения и факты теории полумарковских процессов с произвольным фазовым пространством, используемые в настоящей работе. Определение I.I.I. С 21 ] Полумарковским ядром (ПМ-ядром) в измеримом пространстве (X, 3) называется функция Q.(t,x,B) , удовлетворяющая условиям: 1) GKt,x,B) - неубывающие непрерывные справа функции по t 0 , QC0rx,B)=O t осєх ,8є$ ; 2) Ot(t,x,B) при фиксированном t 0 является полустохастическим ядром: Q Сt,х, X) і ; 3) QO,:K, В) является стохастическим ядром по х,В Для задания полумарковских процессов часто используются процессы марковского восстановления. Предположим, что (Q, &, Р) полное вероятностное пространство. Определение I.I.2. С 21 . Процессом марковского восстановления (ПМВ) называется двухмерная цепь Маркова {„,0ft; п 0] со значениями в Xх С0,) , вероятности перехода которой определяются равенством Первая компонента {п,п 0} ПМВ {ДЛ,0Л; к О } является цепью Маркова, переходные вероятности которой определяются через ПМ-ядро Qf,.r,B) равенством: она называется вложенной цепью Маркова (ВЦМ) ПМВ { ,.; кьО]. Случайные величины (с.в.) 6 , п О , составляющие вторую компоненту ПМВ {Д ? 1- 0} задают интервалы между моментами марковского восстановления Тп : и Каждое ПМ-ядро U ,,B) можно представить в виде з 1 где G(t,x,y) P {0лн і/ л-х94пи = /}. (I.I.3) Моменты марковского восстановления { ,, и?о} вместе с ВЦМ {4Л, У1 0) образуют двухмерную цепь Маркова \ Л ;п.Щ со значениями в X 0,о) , вероятности перехода которой имеют вид С 23 ] Рассмотрим считающий процесс 0 () : OCt) = Sap {и: t }, процесс \ (i) считает число моментов марковского восстановления на отрезке C0,t] . Определение I.I.3. Е 21 1 Процесс #)= называется полумарковским процессом (ПМП).
Асимптотический анализ функции распределения времени безотказной работы систем с большим пополняемым резервом времени
В настоящем параграфе строится ІШВ, описывающий функционирование конкретной системы с резервом времени, в последующих параграфах этот ПМВ используется для нахождения показателей надежности этой системы.
Пусть S - система, состоящая из /v / элементов, времена безотказной работы которых св. ,. с ф.р. F. (х), а време-на восстановления св. ; с ф.р. F- (v) , i= [jj. Св. 44 » ,. предполагаются независимыми в совокупности, имеющими конечные математические ожидания; ф.р. Я (х), F. (&) абсолютно непрерывными относительно меры Лебега.
Система становится неисправной, если отказали некоторые 1 N элементы системы. В момент наступления неисправности системы работоспособные элементы отключаются до момента восстановления одного из Р отказавших элементов. Отключенные элементы начинают работать с тем уровнем наработки, на каком их застало наступление неисправности системы. Отказ системы наступает тогда, когда неисправность длится время, большее чем kz 0 . Число .восстанавливающих устройств і г Р
Дисциплина восстановления элементов системы прямая: первый отказал - первым восстанавливается. Аналогичная система без резерва времени рассматривалась в С 28 ]. 6 последующем изложении,описанная система будет называться системой Р из А/ с резервом времени. Для описания функционирования системы S введем фазовое пространство (,20 вида: Е = {(idx), d= (dr...,dk,„.,dN)9 5 я (х{1.„,хк,...,хы\ хк о} и U {(jex), ё = (е{,„., ,...,вдг)} U{(i ,m)dx} , где I указывает номер элемента, который восстановился или отказал, 1={,N ; d, описывает "физическое" состояние элемента с номером к : 0, если /с-ый элемент работоспособен или отключен, 1, если к -ый элемент неисправен и восстанавливается, YI , если /с -ый элемент неисправен и занимает и -І -ое [место в очереди на восстановление, , указывает время до очередного отказа или восстановления элемента с номером к , если d = 0,і , Полагаем х, =0 в случаях dL 29 х. = х- х,= о . Состояния }гх описывают отказовые состояния системы: указывает номер элемента, который отказал перед переходом системы в состояние /eic , е имеет тот же смысл, что и d, . Состояния (l ,Yri)dx. описывают состояния системы S , возникающие при восстановлении некоторого элемента с номером т = к : d, = 2 ; - б -алгебра борелевских множеств Е . Построим ІШВ {, 9 1ь 0У ch,) » описывающий функционирование системы S Выпишем вероятности переходов ВЦМ {4 ,tt?0},,4. Обозначим через d I число компонент вектора d , больших или равных единице. Г, Рассмотрим случай состояния idх , idl Р-4 (система 5 исправна, отключенных элементов нет). I). Пусть 21 d. г (очереди на восстановление нет). В этом к к случае возможны переходы двух видов: а) Ldx- jdij при l j в условиях: х. - х А х„ , Ц; е dt ( dt обозначает окрест -ность точки і , dt = (t,t+Ab) idt-dj; при к І » % = хк х » ф1 " Плотность вероятности перехода в этом случае вычисляется по формуле _,_ id її (d-L) Р-_5 =f. (x + t) , D t w Idx l б) переход Idx --Ida в условиях: если Л хр реализуется на X=J - , то ucdt dk=dk кфі » u,exk-x+dt » _кФі » 0±t x . Плотность вероятности перехода имеет вид: Л Г 7 ft) tax 2). Предположим, что 2L d г в состоянии /д (имеется очередь на восстановление). Пусть в состоянии iVx . 2 (т.е. L ый элемент отказал и встал в очередь на восстановление. Тогда возможны переходы вида: r _ a) Letx jd ff при l-J при ограничениях: x. x- A xp , d. o , и =x,-x щл dk±{ , остальные непрерывные компоненты вектора у равны —і нулю. Вектор d формируется в соответствии с дисциплиной восстановления, описанной выше. Вероятность перехода вычисляется по формуле: tdx г _ б) переход вида idx —- (j, m) d a , l j в условиях: X. -X = Л хв % d. = i % m= k: d=2 и - x. -cc і dtM / К k при d, { , и є dt , остальные непрерывные компоненты вектора w равны нулю. Вектор d формируется в соответствии с дисциплиной восстановления. Плотность вероятности перехода вычисляется по формуле:
Предельное поведение времени безотказной работы системы Р из А/ при большом резерве времени
В настоящем параграфе методика исследования систем, изложенная выше, применяется к анализу времени безотказной работы дублированной системы с ненагруженным резервом в условиях быстрого восстановления при наличии резерва времени.
Система S состоит из двух элементов, времена безотказной работы которых св. с ф.р. FjC»J , времена восстановления св. & с ф.р. С-Сх , і = 1,2. Предполагается, что св. dLt- , а , 0=1,2 независимы в совокупности и имеют конечные математические ожидания; у ф.р. F- Ctf , С Ы предполагается наличие плотностей f- Сж), Q.; Lx) =1,2.
При отказе работающего элемента мгновенно начинает работать (в случае исправности) резервный элемент, отказавший элемент восстанавливается и поступает в резерв. Резервный элемент не отказывает (ненагруженный резерв).
Неисправность системы наступает при отказе основного и отсутствии резервного, отказ системы S наступает тогда, когда неисправность длится время большее, чем кг о . Число восстанавливающих устройств равно двум. Эта система при различных ограничениях рассматривалась в [9,15,23 1 .
Введем следующие состояния системы S : 10(01) - первый (второй) элемент отказал, второй (первый) элемент, находившийся в резерве, начинает работать; 023:(20)- первый (второй элемент работает, второй (первый) элемент восстановился и поступил в резерв, до отказа первого (второго) Ии(ІІх) - первый (второй) элемент отказал, второй (первый) элемент) элемент восстанавливается, до восстановления второго (первого) элемента осталось время и(х); Оїи(ІОж) - восстановился первый (второй) элемент, второй (первый) прибор находится на восстановлении, до восстановления второго (первого)прибора осталось время и(х) ; е - отказовое состояние системы. Опишем переходные вероятности ВЦМ {4„,tt o},, в случае состояний 10, 02#, Ні/, 01 /, Є , для остальных состояний это можно сделать аналогично. I). Из состояния 10 возможны переходы: а) 10 - 20а , 0 Ц- » плотность вероятности перехода имеет вид: Р , где Л л - плотность распределения вероятностей СВ. 2 f { б) 10 Их , 0 х 2). В случае состояния 02 х 02Х 3). Рассмотрим переходы из состояния 11 и : а)Иу-My, , 0 у , y-y/Sfc, б) Юх, O u k , ХЇО , плотность вероятности перехода в"этом случае вычисляется по формуле: Юсе 118 в) їїие с вероятностью перехода: е Г0 t k 4). Переходы из 01 могут быть следующими: а) 01ц - 02х, т 0 02х P = f Cii+x); Oil і 5). Pc =1. e Предположим, что времена восстановления элементов системы 5 /3. » = i»2, зависят от положительного параметра е[0,) так, что () Сім, М А. = 0 . і 42 . -0 JL (3.3.1) В этом случае ПМП Ь , описывающий систему S , также за (к) висит от г . Определим Е+ как множество всех описанных выше состояний, кроме е , & « 5"-алгебра борелевских множеств + . Перейдем к описанию ВЦМ { , 0} ) опорного ПМП 4,%] (і) Зададим переходы в случае состояний 10, 02 л: , її и , 01 . I). Из состояния 10 возможен переход в состояние Z0ut0 il oo, с плотностью вероятности перехода: Р209 = f (и) 2). Р" =L,x?0. 02 ос 3). В случае состояний II и., 01 и , полагаем (0} Нетрудно показать, что ВЦМ \ fn,zO}, имеет следющее стационарное распределение: J ({ilp=j (Ux)=j)(Olip = рСІОХ) = 0. Введем банахово пространство_ф = L (Е+,9Г,/ ) -функций Z (х ), х є , интегрируемых с квадратом по мере р(.) и равных нулю на состояниях х , для которых р(х) = О , с обычной нор мой. Рассмотрим св. с :
О времени безотказной работы системы Р из N с резервом времени при ограниченном восстановлении
В приложении приводятся результаты, не вошедшие в основной текст диссертации ввиду громоздкости их изложения, позволяющие вычислять время безотказной работы ряда систем с пополняемым резервом времени при условии быстрого восстановления.
Описание системы. Пусть 5 - система, состоящая из N I элементов, времена безотказной работы которых св. ,. с ф.р. F. (х) , а времена восстановления св. 4. с ф.р. F. (), = 4 Св. 4. »4; предполагаются независимыми в совокупности, имею щими конечные математические ожидания, ф.р. F. Ос) , F. (х)абсолют но непрерывными относительно меры Лебега. Состояние всей совокупности элементов системы S в момент времени і задается вектором cL(t) , где I 0, если в момент Ь к -ый элемент работоспособен lid)] - или отключен, Ї, если в момент Ї к -ый элемент восстанавливается. Пусть D -множество всех двоичных векторов длины N , предположим, что D представлено в виде: D = Е+ U Е_ , EfnE. = , элементы из Е_ будем называть предотказовыми, из Е+ работоспособными. Система S считается неисправной в момент t , если dit)e Е_ В момент наступления неисправности системы работоспособные элементы отключаются на период неисправности системы, затем начинают работать с тем уровнем наработки, на каком их застало наступление 124 неисправности в системе. Отказ системы наступает тогда, когда неисправность длится время, большее чем Н, 0 . Число восстанавливающих устройств равно г . Дисциплина восстановления прямая. Ввведем следующие определения. Определение I. Граничным отказовым состоянием системы S называется состояние d є Е_ , если существует работоспособное состояние d є Е+ , из .которого система S может попасть в d в результате отказа некоторого элемента системы. Определение 2. Минимальным отказовым состоянием называется граничное отказовое состояние с минимальным (из всех граничных отказовых состояний) количеством отказавших элементов. Множество минимальных отказовых состояний системы S обоз-начим Е_ . Пусть 5 число отказавших элементов в минимальных отказовых состояниях, предполагается, что s 2 . I. Пусть г = s . Тогда при выполнении условий теоремы 3.1.I справедливо предельное соотношение вида (3.1.2), где параметр Л s (к) с иииіпишспис вида. \j,xmu j, і дс параметр j\ находится по формуле: (ft) sr і v- -4) Д (№ , (1) где ,..., - номера отказавших элементов из минимального от-казового состояния d . 2. В случае Z=s-{ при выполнении условий теоремы 3.2.1 (к) имеет место предельное соотношение вида (3.2.1) , параметр Л имеет следующий вид: 125 - ли Д.._лл 7 " 1=[ 1п (2) л = 2. Z п ). И=4 К/ 3. Предположим, что 1- і . Тогда при выполнении условия теоремы 3.2.3 справедливо предельное соотношение вида (3.2.3)» где о Рассмотрим примеры систем, часто встречающихся в приложениях. 1. Параллельное соединение элементов, p = /V. а). Если Z - Р Формулы, полученные в диссертации для систем с резервом времени и формулы для соответствующих систем без резерва времени, выведенные в [ 21, 29 ] ,позволяют анализировать эффективность введения резерва времени. Покажем это для системы с параллельным соединением (однородный случай). 127 Для этой системы при неограниченном восстановлении где M#. Mw средние времена безотказной работы системы Р из N соответственно без резерва и с резервом времени равным к . Следовательно,
