Введение к работе
Актуальность темы. Вопросы, связанные с переходом от исходной выборки к вариационному ряду, издавна являются предметом исследования вероятностной науки. Мы рассматриваем вопросы независимости величин, характеризующих порядок соответствия элементов исходной выборки и членов вариационного ряда.
Впервые независимость последовательных рангов в случае стационарности исходной выборки получена Реньи. В работах В.Б.Невзорова, Аллена, Балата и Кошара строятся характериза-ции, использующие независимость величин, являющихся функциями от рангов элементов исходной выборки независимых случайных величин (св.) с непрерывными функциями распределения и членов вариационного ряда.
В последние годы отмечается возрастание интереса к последовательным процедурам, основанным на статистиках, зависящих от последовательных рангов. Свойства таких статистик исследовали Мэйсон, Хмаладзе, Ломбард.
В третьей главе предлагается несколько иной подход к вопросам упорядочения, который с учетом результатов Шоррока позволяет описывать свойства рекордов последовательностей независимых одинаково распределенных величин, принимающих целые неотрицательные значения, через суммы независимых величин, принимающих значения 0 и 1. Отметим также в этом направлении работы Верваата.
Цель работы. Целью данной работы является изучение структуры последовательностей, удовлетворяющих условию независимости антирангов и порядковых статистик и последовательностей с независимыми последовательными рангами, а также получение обобщения представления Шоррока в случае, когда исходные величины принимают целые значения.
Методы исследования. В диссертационной работе используются методы и результаты теории порядковых статистик, свойства рекордов, методы теории линейных интегральных уравнений, а также различные индукционные процедуры.
Научная новизна. В случае независимых случайных величин получены характеризации стационарности исходной выборки, использующие независимость последовательных рангов и крайних членов вариационного ряда, а также независимость антирангов и средних членов вариационного ряда.
Для произвольных последовательностей случайных величин при минимальных ограничениях найден вид распределений последовательных рангов в случае их независимости. С помощью данных результатов получены характеризации в некоторых классах последовательностей независимых случайных величин и гауссов-ских стационарных последовательностей, использующие независимость последовательных рангов.
Также доказана независимость последовательных г-рангов (понятие, которое впервые вводится в данной работе). Свойства г-рангов используются для доказательства некоторых предельных теорем для цензурированных рекордов (в частности, для к-х рекордов).
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы в математической статистике, а также при исследовании предельного поведения цензурированных рекордов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Вильнюсской международной конференции по Теории Вероятностей и Математической Статистике (28 июня — 3 июля 1993 г.) и на семинаре по предельным теоремам в Санкт-Петербургском государственном университете.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 46 наименований. Общий объем работы 95 страниц.