Предельные теоремы в задаче обслуживания с множественным доступом и в задаче о бесконечной урновой схеме Чебунин Михаил Георгиевич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Эргодические алгоритмы в системах случайного множественного доступа с частичной обратной связью 7

1.1 Введение и обзор литературы 7

1.2 Описание модели и класса алгоритмов 13

1.3 Формулировка основных результатов 18

1.4 Построение пробной функции, формулировка вспомогательных утверждений 22

1.5 Доказательство вспомогательных утверждений 25

1.6 Доказательство стабильности алгоритмов 29

1.7 Оценки скорости сходимости к стационарному распределению 32

1.8 Доказательство невозвратности 38

ГЛАВА 2. Предельные теоремы для числа различных элементов выборки 40

2.1 Введение и обзор литературы 40

2.2 Функциональная центральная предельная теорема 47

2.3 Сильно состоятельные оценки параметра в моделях с неограниченным носителем распределения 62

2.4 Оценивание параметра в модели с растущим носителем распределения 78

2.5 О дальнейших свойствах сильно состоятельных оценок 87

Заключение 101

Список литературы

• Формулировка основных результатов
• Доказательство стабильности алгоритмов
• Функциональная центральная предельная теорема
• Оценивание параметра в модели с растущим носителем распределения

Введение к работе

Актуальность темы. В ряде приложений теории вероятностей и математической статистики возникает проблема построения статистических оценок, решающих правил (статистических критериев) и стохастических алгоритмов в условиях неполноты информации. В частности, встречаются ситуации, в которых исследуемые данные не известны полностью, а представлены в усеченном виде. В диссертации изучаются две таких стохастических модели.

Первая их них — это система массового обслуживания со случайным множественным доступом (с. м. д.) с бесконечным числом пользователей и одним передающим прибором, доступным для всех них, в которой сообщения при поступлении не могут образовывать очереди — изучается в первой главе диссертации. Сообщения поступают в накопитель, и каждое сообщение, присутствующее в системе, направляется на передающий прибор с одинаковыми вероятностями независимо от всех остальных. Предполагается, что время дискретно, и передачи сообщений происходят за единичный слот времени. Передающий прибор простаивает, если в начале слота на него не поступило сообщений. Если поступило одно сообщение, то оно успешно передается. А если поступило несколько, то при передаче сообщения накладываются друг на друга (происходит «конфликт»), т. е. передача оказывается неуспешной, и все сообщения остаются в системе. Совокупность правил, по которым каждое сообщение принимает решение, поступать ему на передающий прибор либо нет, будем называть алгоритмом (протоколом) управления. Система с. м. д. называется централизованной, если при построении протокола управления может быть использована информация об общем числе присутствующих в системе сообщений, и децентрализованной - в противном случае.

Начиная с 70-х годов 20-го века были построены протоколы, гарантирующие стабильную работу системы при интенсивности входного потока, не превышающей порогового уровня е — сначала в централизованном случае¹, а потом для децентрализованных систем с. м. д., в которых есть возможность различать ситуации простоя и

¹ Fayolle G., Gelembe Е., Labetoulle J. Stability and optimal control of the packet switching broadcast channel // J. of Assoc. Comput. Mach. - 1977. - V. 24. - P. 375-386.

конфликта^{2 3} . Менее изученным является случай децентрализованной системы с т. н. обратной связью «успех—неуспех», т. е. если передачи не произошло, то неясно, что было - либо был простой прибора, либо наложение сообщений. Для данного вида обратной связи Фосс, Хайек и Тюрликов⁵ предложили новый класс протоколов с т. н. «двойной рандомизацией». Ими было показано, что для любого числового интервала (А_, А+), строго вложенного в интервал (0, е ), можно построить класс протоколов с двойной рандомизацией, гарантирующих стабильную работу системы при любой интенсивности входного потока из интервала (А_, А+). Однако оставалась открытой актуальная задача о существовании и правильном построении универсальных протоколов, гарантирующих стабильную работу системы при любой входной интенсивности из интервала (0, в ). Вторая вероятностная модель — это т. н. бесконечная урновая схема — изучается в следующей главе диссертации. Имеется п шаров и бесконечное число урн, каждый шар независимо от других попадает в одну из урн с вероятностями, убывающими определенным «регулярным» способом. Изучаются статистики числа непустых урн и числа урн, содержащих фиксированное количество шаров. Для этих статистик Кар лин⁶ доказал усиленный закон больших чисел, центральную предельную теорему для числа непустых урн и многомерную центральную предельную теорему для числа урн, содержащих фиксированное количество шаров, Дутко⁷ получил обобщение центральной предельной теоремы для числа непустых урн, Хванг и Дженсон ⁸ доказали локальную предельную теорему для числа

²Hajek В. and Т. van Loon. Decentralized dynamic control of a multiaccess broadcast channel // IEEE Trans. Automatic Control. - 1982. - V. 27. - № 3. - P. 559-569.

³ Mehravari N., Berger T. Poisson multiple-access contention with binary feedback // IEEE Transactions on Information Theory. - 1984. - V. 30. - № 5. - P. 745-751.

⁴Paris В., Aazhang B. Near-optimum control of multiple-access collision channels // IEEE Transactions on Wireless Communications. - 1992. - V. 40. - P. 1298-1308.

⁵ Фосс С. Г., Хайек В., Тюрликов А. М. Протоколы с двойной рандомизацией для системы
множественного доступа с обратной связью «успех—неуспех» // Проблемы передачи инфор
мации. - 2016. - Т. 52. - № 2. - С. 60-70.

⁶ Karlin S. Central Limit Theorems for Certain Infinite Urn Schemes // Jounal of Mathematics
and Mechanics. - 1967. - V. 17. - № 4. - P. 373-401.

⁷Dutko M. Central limit theorems for infinite urn models // Ann. Probab. - 1989. - V. 17. -P. 1255-1263.

⁸ Hwang H.-K., Janson S. Local Limit Theorems for Finite and Infinite Urn Models // The Annals of Probability. - 2008. - V. 36. - № 3. - P. 992-1022.

непустых урн, а Барбу и Гнедин получили обобщение многомерной центральной предельной теоремы для числа урн, содержащих фиксированное количество шаров, на случай более быстрого убывания вероятностей. Актуальной задачей в этом направлении являлось доказательство многомерной функциональной центральной предельной теоремы для этих статистик.

Существует и другая интерпретация рассматриваемой вероятностной модели. Если в бесконечной урновой схеме ввести последовательность случайных величин, описывающих номера урн, в которые попали шары, то число непустых урн можно интерпетировать как число различных элементов выборки объема п из некоторого распределения на положительных целых числах. Мы будем предполагать, что (ненаблюдаемая) выборка объема п берется из однопа-раметрического распределения, и в распоряжении имеется только информация о числе ее различных элементов. Данное предположение типично для индексированных текстов в сети интернет. Например, Мандельброт¹⁰ предполагал, что вероятности появления слов в тексте описываются некоторым однопараметрическим вероятностным законом со степенным убыванием. Закревская и Ковалевский¹¹ доказали состоятельность неявной оценки параметра, построенной по числу различных элементов выборки из одного параметрического семейства со степенным убыванием вероятностей. Актуальными задачами в этом направлении являлись построение статистических оценок неизвестного параметра распределения и проверка гипотез на основе информации о числе различных элементов выборки.

Цель и задачи исследования. Объектом исследования являются система множественного доступа с децентрализованным алгоритмом и статистика числа непустых урн. Соответствующий предмет исследования — стационарность децентрализованных алгоритмов и асимптотические свойства статистики числа непустых урн. Цель диссертации — обоснование стабильности алгоритма множественного доступа и исследование асимптотических свойств статистики числа непустых урн. Для достижения цели требовалось ре-

⁹ Barbour A. D., Gnedin А. V. Small counts in the infinite occupancy scheme // Electronic Journal of Probability. - 2009. - V. 14. - № 13. - P. 365-384.

¹⁰Мандельброт Б. Теория информации и психолингвистика: теория частот слов // Математические методы в социальных науках. - М. «Наука». - 1973. - С. 316-337.

¹¹ Закревская Н. С, Ковалевский А. П. Однопараметрические вероятностные модели статистик текста // Сиб. журн. индустр. матем. - 2001. - Т. 4. - № 2. - С. 142-153.

шить следующие задачи: нахождение и обоснование правильных условий на пробную функцию, приводящих к стабильности системы для всех интенсивностей входного потока, получение оценок скорости сходимости состояния системы к стационарному режиму, доказательство слабой сходимости траектории статистики числа непустых урн в равномерной метрике к центрированному гауссовскому процессу, получение оценок неизвестных параметров вероятностных моделей по числу различных элементов выборки. Основные результаты диссертации.

1. Построен алгоритм стабильной работы децентрализованной системы множественного доступа с двоичной обратной связью «успех — неудача», не требующий знания границ интенсивности входного потока.

2. Получены оценки скорости сходимости состояния системы множественного доступа к стационарному режиму.

3. Доказана функциональная центральная предельная теорема для числа непустых урн.

4. Получены сильно состоятельные и асимптотически нормальные оценки параметра по числу различных элементов выборки для ряда однопараметрических семейств.

Научная новизна и значимость работы. Работа носит теоретический характер. Все приведенные результаты являются новыми. Результаты работы могут быть использованы при дальнейших исследованиях свойств систем с. м. д. и свойств статистики числа различных элементов выборки.

Методы исследований. В работе используются различные прямые вероятностные методы, метод пробных функций, классические методы доказательства слабой сходимости, метод одного вероятностного пространства.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на объединенном семинаре кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ и лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики СО РАН

под руководством академика А.А. Боровкова. Результаты работ также докладывались на Международной научной студенческой конференции (НГУ, 2012, 2014), на семинаре Добрушинской математической лаборатории Института проблем передачи информации РАН (Москва, 2015), на международной школе «Summer school in advanced probability» (Новосибирск, 2016), международной конференции «Modern problems in theoretical and applied probability» (Новосибирск, 2016).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в виде научных статей в [1]-[4] и тезисов конференций в [5]-[7].

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы в 4 работах. Работа [3] написана в соавторстве с Ковалевским А. П. В данной работе Ковалевскому А. П. принадлежит постановка задачи. Соискателю принадлежат доказательства основных результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Обзор литературы проводится в начале каждой главы. Главы диссертации используют независимые системы обозначений. Нумерация теорем, лемм, следствий, замечаний, предложений и формул сплошная. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам — русскому и латинскому. Объем диссертации составляет 108 страниц. Список литературы содержит 58 наименований.

Формулировка основных результатов

Рассматривается система передачи данных (система обслуживания), в которой сообщения при поступлении не могут образовывать очереди, и их поступление на передающий прибор осуществляется при помощи некоторого случайного алгоритма управления. Модели такого рода называются системами случайного множественного доступа (с. м. д.). Совокупность правил, по которым каждое сообщение принимает решение, поступать ему на передающий прибор либо нет, будем называть алгоритмом управления.

Более подробно, рассматривается модель с. м. д. с бесконечным числом пользователей и одним передающим прибором, доступным для всех них. Мы предполагаем, что система работает в соответствии с «протоколом ALOHA», который может быть описан следующим образом. В системе нет взаимодействия между пользователями, и в момент времени п каждое сообщение, присутствующее в системе, направляется на передающий прибор с одинаковыми вероятностями независимо от всех остальных. Предполагается, что время передачи каждого сообщения равно единице. Пусть {« nj Li входной процесс сообщений, где п — общее количество сообщений, поступающих в систему во временном интервале [п — 1, п). Предполагается, что { п} — независимые одинаково распределенные (н. о. р.) случайные величины с конечным средним Л = Ei. Обозначим через Nn общее число сообщений, присутствующих в системе в момент времени п.

Предположим сначала, что передающий прибор за единицу времени может передать лишь одно сообщение, т. е. возможны три ситуации: либо не передавалось ни одного сообщения («пустой слот»), либо передавалось одно сообщение («успех»), либо произошло столкновение сообщений от двух или более пользователей («конфликт»). Будем называть такую модель базовой.

Ясно, что для описания алгоритма (протокола) мы должны определить последовательность {рп}- Самый простой вариант — положить вероятностирп равными одному и тому же числу р 1, т. н. неадаптивный протокол. Но, как хорошо известно (см. напр. [35]), в этом случае при любом выборе числар алгоритм нестабилен, т. е. Nn - оо п. н. при п — оо. Значит, надо выбирать числа рп зависящими от доступной информации системы, т. е. рассматривать адаптивные протоколы.

Базовая модель является централизованной, если значения Nn известны пользователям. В таком случае (см. напр. [36], [8]), если А е , то алгоритм, при котором рп = l/max(l, 7Vn), стабилен (является эргодическим). Если же А е-1, то любой алгоритм нестабилен, т. е. Nn — оо п. н. при п — оо. Здесь пороговый уровень е-1 называется пропускной способностью системы.

В данной работе мы изучаем децентрализованную модель с. м. д., в которой значения Nn не могут наблюдаться. Для базовой децентрализованной модели хорошо известны алгоритмы, использующие т. н. троичную обратную связь (см. напр. [14], [30]), при которой пользователи могут наблюдать выход из прибора и различать три возможные ситуации: либо «пустой слот», либо «успех», либо «кон 9

фликт». С 80-х годов известно ( см. напр. [39], [52], [9]), что при использовании троичной обратной связи пропускная способность системы также равна е .

При троичной обратной связи стабильный алгоритм может быть построен ре-куррентно следующим образом: в зависимости от рп и обратной связи вероятность pn-\-i выбирается либо большей, чем рп (если слот был пуст), либо равной рп (в случае успеха), либо меньшей рп (в случае конфликта). В [39] предлагалось мультипликативное увеличение или уменьшение вероятностей (т. е. умножение или деление на константу), а в [52] аддитивное (т. е. добавление или вычитание константы).

Интуитивно ясно, что главным достоинством троичной обратной связи является умение проводить различие между пустым слотом (сообщений слишком мало) и наложением сообщений (сообщений слишком много). Поэтому мы можем решить, нужно ли нам увеличить или уменьшить вероятность передачи в следующем временном слоте.

Вскоре после появления работ [14], [30] были предложены и исследованы алгоритмы, основанные на меньшем объеме информации (то есть при наличии лишь т. н. «двоичной обратной связи») - либо «пустой или непустой слот» (мы не можем отличать успешную передачу от наложения сообщений), либо «конфликт или неконфликт» (мы не можем отличать пустой слот от успешной передачи). В работах [50], [55] для данных видов обратной связи были доказаны аналогичные результаты существования (отсутствия) стабильного алгоритма, если скорость входного сигнала ниже (выше) порогового уровня е . Эти ситуации тоже являются монотонными: мы по-прежнему можем сделать вывод, «много» или «мало» вызовов в системе.

Доказательство стабильности алгоритмов

Карлин также доказал (см. [42], теорема 8) сходимость щ- " 1 при п — оо. Дутко (см. [34]) обобщил предложение 2.2, доказав асимптотическую нормальность Rn при условии сходимости Dit n — оо при п — оо. Это условие выполнено всегда при 7 Є (ОД]? а также может выполняться и при 7 = 0. В работе Гнедина, Хансена и Питмана (см. [38]) получены оценки скорости сходимости к нулю разностей Е(ЛП — Яц(п)), Е(ДП — Ящп),к)- Особое внимание уделяется исследованию условий сходимости Dit n — оо. Хванг и Дженсон (см. [40]) доказали локальные предельные теоремы для растущего и бесконечного числа ячеек. Барбур и Гнедин в работе [27] распространили предложение 2.3 на общий случай неограниченного роста дисперсий, получили оценку скорости сходимости, установили, что ковариации сходятся к предельным только в регулярном случае, и выявили четыре типа предельного поведения дисперсий.

Барбур в работе [26] доказал теоремы о приближении Rn и Rn сдвинутым пуассоновским распределением. Кей (см. [43], [44]) изучил предельное поведение Лпд. Закревская и Ковалевский в работе [4] доказали состоятельность неявной оценки параметра, построенной по Лп, для одного параметрического семейства. Дюрье и Ванг [33] доказали функциональную центральную предельную теорему (в условиях предложения 2.2 при 7 Є (ОД)) Для рандомизированных процессов Rn, т. е. каждый индикатор умножался на случайную величину, которая принимала значения =Ы с вероятностью независимо от других случайных величин. В этом случае предельный гауссовский процесс представлял собой сумму независимых самоподобных процессов.

Отметим отличие рассматриваемой постановки задачи от анализа поведения этих же статистик в схеме серий, когда вероятности попадания в ячейку зави 44 сят от числа ячеек (в простейшей постановке задачи попадания в ячейки равновероятны). Это задачи о случайных размещениях, изученные в [45]. Различные модификации этих задач предложены в [53], [47], [48].

Однако доказательство сходимости пуассоновского приближения к нормальному закону может быть построено единым образом для растущего и для бесконечного числа ячеек. Мирахмедов [54] доказал эту сходимость для статистик более общих, чем число разных элементов или число элементов, встретившихся заданное число раз. Приведем краткий обзор результатов, полученных во второй главе. Во втором параграфе второй главы получена функциональная центральная предельная теорема для вектора для любого фиксированного v 1 в предположении, что а(х) является правильно меняющейся функцией от ж с параметром 7, т. е. а(х) = x1L(x), 7 Є (0,1), где L(x) — медленно меняющаяся функция при х — оо. Как следствие, функциональная центральная предельная теорема получена и для вектора (R[nt],l, R[nt],2, R[nt],V, о t 1).

В случае 7=1 функциональная центральная предельная теорема получена для (R[nt]i 0 t 1). Эта теорема является функциональным вариантом предложений 2.2, 2.3. В третьем параграфе рассматриваются однопараметрические семейства распределений, описывающие весь спектр роста математического ожидания Rn. Для того, чтобы ЕЛП росло, носитель должен быть неограничен. Однако рост матема 45 тического ожидания всегда медленнее, чемп, то есть ЕДП = о(п) при п — оо (см. напр. [42], лемма 3 (в регулярном случае), [4], лемма 6 (в общем случае), а также [38], 3). В частности, рассмотрены следующие случаи: 1) ЕЛП- (Inn)0, 9 0; 2)ЕЯп е(1п #є(0,1); 3) ERn ne, 9 Є (0,1); 4) ERn ne \ 9 Є (0,1); 5) ERn n/(lnn)e, 9 0. Во всех этих случаях строятся явные сильно состоятельные оценки параметра 9. Кроме того, доказана общая теорема, позволяющая получить сильно сотоя-тельную оценку параметра для вероятностных моделей, у которых асимптотика математического ожидания Rn сколь угодно близка к линейной. В четвертом параграфе для того, чтобы включить случай линейного роста ERn, рассматривается схема серий с растущим носителем. Наиболее простой вариант: pi = Pi(N) = , і = 1,...,7V, и jj — 9, 9 Є (0, оо). В этом случае мы построим состоятельную, а в случае, когда зависимость между N и п принимает вид п = 7V + o(v7V), и асимптотически нормальную оценку параметра #. Также в параграфе 4 найдены пределы, в которых можно модифицировать модель с растущим носителем без ущерба для состоятельности и асимптотической нормальности оценки параметра 9.

Функциональная центральная предельная теорема

Рассмотрим схему серий, в которой носитель распределения и объем выборки увеличиваются асимптотически пропорционально. Будем предполагать, что значения элементов выборки недоступны, и известно только число различных среди них. По этой статистике построим состоятельную и асимптотически нормальную оценку параметра, определяемого как предельное отношение объема выборки к числу элементов носителя.

Будем предполагать, что (ненаблюдаемая) выборка Х\,..., Хп объема п берется из распределения pi = Pi(N) = Р{Х\ = і} = , і = 1, 2,... N, на положительных целых числах, где N — неизвестное число. Другими словами, случайные величины Х\,... , Хп являются независимыми одинаково распределенными и принимают положительные целые значения. Требуется оценить N по числу Rn различных элементов в выборке объема п, т. е. N i?n = I{3j,l j n:X, = г}. i=\

В классической постановке (см. [45]) предполагается, что объем выборкип растет линейно по N, т. е. т — , где в Є (0, оо) — неизвестное число. Такая ситуация является частным случаем для т. н. модели Изинга, используемой для описания намагничивания материала (см. [57]), если положить гамильтониан тождественно равным нулю.

Здесь п — известное число, и мы пытаемся оценить количество элементов носителя N по Rn. Ясно что данная задача эквивалентна задаче оценивания неизвестного параметра в по Rn.

В [45] рассматривалась задача о размещении дробинок по ящикам с равновероятным попаданием каждой дробинки в любой из ящиков. Исследовалась статистика /io = fio(n,N) числа пустых ящиков после размещения п дробинок по N ящикам. Интерес к ее изучению возник из-за того, что распределение данной случайной величины совпадает с распределением статистики, на основе которой строился критерий «пустых ящиков» для проверки простой гипотезы о распределении выборки. В частности, в [45] была доказана асимптотическая нормальность оценки /io с использованием аппарата характеристических функций. Позднее в работе [53] этот факт был доказан иным способом. Нетрудно видеть, что, т. к. Rn = N — /іо, то и эта оценка является асимптотически нормальной.

В работе [47] изучалась т. и. задача коллекционирования купонов, также приводящая к рассматриваемой модели. А именно, рассматривалась урна с белыми и красными шарами общим числом N, где под белыми шарами понимались несобранные купоны, а под красными собранные. Выборка размера S (1 S N) бралась из урны без возвращения, и белые шары в ней перекрашивались в красные. Затем вся выборка возвращалась в урну. Процесс повторялся п раз. Через Rn обозначалось количество красных шаров после п-го закрашивания. В результате была доказана центральная предельная теорема для Rn с использованием мартингальной техники. Отметим, что рассматриваемая нами модель является частным случаем модели из [47] при S =

Нетрудно заметить, что если в нашей модели ввести, например, запрет на нахождение частиц в некотором конечном числе ячеек (частицы, попавшие в эти ячейки, распределяются между соседними), то в этой новой модели свойства полученной оценки 9*п останутся прежними. При этом мы можем получить оценку #* параметра 9 не только для равномерного распределения, но и для целого класса распределений, не слишком сильно отличающихся от равномерного распределения на N точках. Отсюда возникает закономерный вопрос о том, как и насколько сильно мы можем искажать равномерное распределение, не изменяя при этом свойств оценки 9*п.

Обобщим нашу модель следующим образом. Пусть одна часть вероятностной массы переброшена с носителя {1,...,7V} на «остаток» множества натуральных чисел {7V + 1,7V + 2,...}, и еще одна часть «разбросана» по носителю

Оценивание параметра в модели с растущим носителем распределения

В силу теоремы 4 (см. [37]) Мп принадлежит области притяжения распределения Фк(х) тогда и только тогда, когда для любого с 0 справедливо ,. F(x) hm _ = ск, ж оо F{cx) где F(x) — хвост распределения Х\. Очевидно, что в нашем случае этот предел, в зависимости от выбранного с (с 1, с = 1, с 1), может быть равен только нулю, единице и бесконечности. Поэтому ни Мп, ни 1пМп (в силу теоремы 4 (см. [37]) и того, что 1пМп = max(lnXj)) не могут попадать в область притяжения 1 г п распределения Фк(х). Значит, единственное, чего можно ожидать для Мп и 1пМп, это попадания в область притяжения распределения А(х). Если это так, т. е. нашлось ВТ распределение с параметром в 1, для которого существуют последовательности ап и Ьп такие, что Мп-Ъп = Л, ип то тогда в силу леммы 5 (см. [37]), справедливо Hm тn = 0. Нетрудно показать, П—7 00 что в этом случае -гn 1. Следовательно, в силу леммы 2.6 получаем — (1пМп-1п6п) = Л. Так как из теоремы 2.6 мы знаем, что начиная с некоторого конечного момента времени Мп = Rn с вероятностью единица, то то же самое справедливо для Rn и In Rn. Поэтому полученная нами оценка # (см. теорему 2.2) не является асимптотически нормальной оценкой параметра 9. Единственное, что можно ожидать от Q n — это «асимптотической гумбелевости».

Нам не удалось найти ВТ распределение с параметром в 1, попадающее в область притяжения распределения А(х). Из теоремы 6 (см. [37]), для такого распределения должны существовать последовательности ап и Ьп такие, что для любого х справедливо lim п F(anx + Ъп) = е х. X—т 00 Так как F(x) = 2 Pi, где [х] — целая часть от ж, то следовательно слева мы і=[х}+1 получаем функцию от целой части [апж + &п], справа функцию от х. Это вызывает большие трудности с выбором последовательностей ап и Ьп. В силу того, что 9 1 (т. е. хвосты распределения очень тонкие), то, вероятнее всего, подобных последовательностей просто не существует. Ввиду произвольности функций L\{x 9) и L/2(x,9) доказать или опровергнуть данную гипотезу нам не удалось. Но мы построим простой пример, который хорошо иллюстрирует вышесказанное. оо Пример 1: Пусть F{x) = 2 Pi = е- при х 0, 9 1. Тогда і=[х}+1 Рг = F(i - 1) - Щ) = е- -Ыг,0)+Ь2(г,0) где Li(x,9) = 1, L/2(x,9) = 1п(еж (х 1 — 1). Ясно, что это ВТ — распределение. Из теоремы 6 (см. [37]) следует, что для того, чтобы Мп (1пМп) попадало в область притяжения распределения Л(ж), необходимо и достаточно, чтобы для любого х существовали последовательности ап и Ьп такие, что lim (Inn - [апх + Ъп]в) = -х ( lim (Inn - [еапХ+Ьп]в) = -х) . п— 00 \п— 00 / Взяв х = 0, с необходимостью получаем, что W = (lnn)».(l + o( )) ([ ] = (In„) .(l + 0(I ))). Но ни для какого 9 1 нет сходимости дробной части (Inn)5 к нулю при п — оо. Следовательно, в этом случае ни для Мп, ни для In Мп предельного распределения не существует. Если бы Х{ имели непрерывное распределение с хвостом F(x) = е х при х О, 9 О, то Мп и In Мп при соответствующем центрировании и нормировании сходились бы к распределению Гумбеля (см. [37], пример 1). Но в силу того, что при 9 1 мы получаем очень тонкие хвосты, сходимость перестает иметь место при переходе от непрерывного случая к его дискретному аналогу. Если бы для этого дискретного аналога мы также рассматривали случай 9 1, то тогда Мп, как и 1пМп, продолжали бы попадать в область притяжения распределения А(х). Но т. к. при 9 Є (0,1) максимум Мп растет значительно быстрее, чем Rn, то из того, что Мп продолжает попадать в область притяжения распределения Л(ж), нельзя сделать вывода о предельном распределении для Rn.

Напомним, что во всех пяти классах, рассмотренных в параграфе 3 (в том числе в ВТ-классе при 9 1) имеет место асимптотическая нормальность Rn. Пусть pi = Pi(9) так, что а(х) = а(х,в) = max{i Рі(в) l/x} = хеL{x)9) при в Є (0,1), где L{x 9) — м. м. ф. (по х, при каждом фиксированном значении параметра #). Рассмотрим интересный для приложений подкласс СУ распределений, в котором Рі(в) = 1(г,в)г-К г 1, 0є(О,1), где L(i,6) — м. м. ф. (по і, при каждом фиксированном значении параметра 9). Хорошо известен следующий факт (см. [1], теорема 2.1 (v), стр.598). ПустьV{x) — правильно меняющаяся функция (п. м. ф.) с показателем —(3 0. Определим b(t) := V{-l){l/t) = Ы{и : V{u) 1/t} = sup{w : V{u) 1/t}, тогда b(t) = tl Lb(t), где Lb(t) — м. м. ф. Следовательно, в этом случае а(х) = хвЬ(х,в), где Ь(х,в) — м. м. ф. (по х, при каждом фиксированном значении параметра #). В качестве примера можно привести вероятности Рк{0) = ——щ—, к ко, где ко — целое, ((z) = 2j=iJ z — функция Римана. В этом случае а(в,п) = [(паі/в))в] + ко. Из предложения 2.1 и сходимости (2.4) получаем, что при п — оо In Rn -віпп- 1п(Г(1 - Є)Ь(п)) = Inn f 3lL - 64 - 1п(Г(1 - 9)L(n)) - 0. \ 111 lb І Если L(n) = c{9) 0, то при умножении разности между оценкой полученной в первом пункте теоремы 2.2 и истинным значением параметра на Inn получаем некоторую постоянную (смещение). Поэтому для поиска асимптотически нормальной оценки параметра в будем строить неявную оценку параметра.