Введение к работе
\
_., Актуальность тема. Поискам хаоса в квантовых системах
уделяется в последнее время большое внимание. Рассмотрим модель квантового ротатора, находящегося под воздействием периодических ударов (['],[]). Это одномерная квантовая система на окружности единичной длины S1, поведение которой может быть описано с помощью оператора эволюции U , который задает изменение волновой функции ротатора за период времени, равный промежутку между двумя последовательными ударами. Он имеет следующий вид:
Uq>p>=»*p((20)e«p((*A0), .
где зе- вещественный параметр, А и 30 - ограниченные самосопряженные операторы в le(z): AQ - одномерный разностный лапласиан, 3Q - диагональный оператор. Действительные числа 'р'# стоящие на главной диагонали.оператора 3Q, задаются следующим образом
t^-p,=2ic|ak2 + pic} ,
где a,p?R (через I J обозначается дробная часть числа.) Отметим, что числа 1кч'р' обр&зуют стационарную эргодическую последовательность. Большой интерес вызывает задача
[1] Casatl 0.. Chlrikov B.V., Ford J., Izraelev P.M. Stochastic behavior of a quantum pendulum under a periodic perturbation.| Lecture Botes in Physios. 197T. V.92. P.334-352.
121 Sinai Ya.G.| Physloa A. 1990. V.163. Jf 1 . P.197-20*.
исследования спектральных характеристик оператора U ', так как эти характеристики существенным образом определяют асимптотическое поведение ротатора.
Расширим постановку задачи и рассмотрим оператор вида U=eip(t3)eip((sA), где ае- вещественный параметр, А и S - ограниченные самосопряженные операторы в l2(.z); оператор А задается теплицевой матрицей, элементы которой убывают с квадратичной скоростью с увеличением расстояния до главной диагонали, S -диагональный оператор с матрицей (Ek8km). Потребуем, чтобы действительные числе tk, стоящие на главной диагонали оператора 3, образовывали стационарную зргодическую последовательность. Задаче исследования спектра.оператора U и посвящена данная работа.
Отметим, что оператор U относится к классу метрически транзитивных унитарных операторов. Спектральная теория метрически транзитивных операторов получилв в последнее время широкое развитие (см., например, обзоры С3],[4]), главным образом, за счет интенсивного изучения (начало которому было положено в работе [5П оператора Шредингерэ с эргодическим стационарным потенциалом. В частности, чистая точечность
[3] Пастур Л.А. Спектры случайных самосопряженных операторов | Успехи математических неук. 1973. Т.28. Вып.1. С.3-64.
(4) Simon В. Almost periodic Schrodlnger operators. A review. J Adv.Appl. Math.. 1982. V.3. J83. P.469-490.
[5, Anderson P. Absence of diffusion in certain random lattices. | Physical Reviei». 1958. V.109 P.1492.
спектра оператора Шредингера установлена для достаточно широкого класса потенциалов. Оператор U, по своей форме, является унитарным аналогом одномерного оператора Шредингера с эргодическим стационарным потенциалом.
Цель работы - исследование спектральных свойств оператора U.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные
результаты
I . Введено понятие предельного распределения состояний оператора U. Установлены важные спектральные свойства предельного распределения состояний. Вычислен спектр оператора эволюции квантового ротатора U в типичном случае.
-
В случае, когда числа к образуют последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с плотностью, найдены условия на их распределение, гарантирующие гладкость и аналитичность предельного распределения состояний оператора П.
-
В условиях п.2 и при сверхэкспоненциально быстром убывании элементов матрицы оператора U доказано наличие у этого оператора чисто точечного спектра и быстро убывающих собственных функций с вероятностью 1.
Методы исследования. В работе используются методы эргодической теории и теории вероятностей, техника спектральной теории метрически транзитивны: операторов.
Приложения. Диссертация носит теоретический характер. Ее
результаты и методы могут быть использованы в спектральной теории метрически транзитивных операторов, а также найти применение в математической и статистической физике.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на научно--исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора, список которых приведен в ко.'це автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых в совокупности на 4 параграфа, а также приложения. Список литературы включает 49 наименований. Общий объем работы составляет 108 стр. машинописного текста.
